數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用實(shí)用教案

1、第1頁/共37頁第一頁，共37頁。第2頁/共37頁第二頁，共37頁。2011年年8月某人存入銀行月某人存入銀行(ynhng)1 000元，年利率為元，年利率為3.50%.問題問題1：如果按照單利，第五年末的本利和是多少？：如果按照單利，第五年末的本利和是多少？提示：本利和為：提示：本利和為：1 0001 0003.50%51175(元元)問題問題2：如果按照復(fù)利，第五年末的本利和是多少？：如果按照復(fù)利，第五年末的本利和是多少？提示：設(shè)各年的本利和為數(shù)列提示：設(shè)各年的本利和為數(shù)列an，a01 000，r3.50%，a11 0001.035，a21 0001.0352，a51 0001.03551

2、 187.7(元元)第3頁/共37頁第三頁，共37頁。單利單利(dnl)和復(fù)利和復(fù)利單單利利單利的計(jì)算是僅在原有本金上計(jì)算利息，對(duì)本金所產(chǎn)單利的計(jì)算是僅在原有本金上計(jì)算利息，對(duì)本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息，其公式為生的利息不再計(jì)算利息，其公式為利息利息 若以符號(hào)若以符號(hào)P代表本金，代表本金，n代表存期，代表存期，r代表利率，代表利率，S代表代表本金與利息和，則有本金與利息和，則有S 復(fù)復(fù)利利把上期末的本利和作為下一期的本金，在計(jì)算時(shí)每一把上期末的本利和作為下一期的本金，在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計(jì)算公式為期本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計(jì)算公式為S 本金本金(bnjn)利率利率存期存

3、期P(1nr)P(1r)n第4頁/共37頁第四頁，共37頁。 1零存整取模型零存整取模型 所謂零存整取，是指開戶時(shí)約定存期，分次每月固定存款所謂零存整取，是指開戶時(shí)約定存期，分次每月固定存款金額，到期一次支取本利和的一種個(gè)人存款金額，到期一次支取本利和的一種個(gè)人存款 對(duì)于零存整取，在計(jì)算利息時(shí)，每次存入的錢不計(jì)復(fù)對(duì)于零存整取，在計(jì)算利息時(shí)，每次存入的錢不計(jì)復(fù)利這種儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)按單利利息每期的本利和組成等差數(shù)列利這種儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)按單利利息每期的本利和組成等差數(shù)列(dn ch sh li)，它就是等差數(shù)列，它就是等差數(shù)列(dn ch sh li)模型模型第5頁/共37頁第五頁，共37頁。 2定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模

4、型定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模型 所謂定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存，是指儲(chǔ)戶與銀行約定在存款到期日自所謂定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存，是指儲(chǔ)戶與銀行約定在存款到期日自動(dòng)將本利和按原存期轉(zhuǎn)入下一個(gè)存款周期，定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)動(dòng)將本利和按原存期轉(zhuǎn)入下一個(gè)存款周期，定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)(yw)，在計(jì)算利息時(shí)，以復(fù)利計(jì)算，是等比數(shù)列模型，在計(jì)算利息時(shí)，以復(fù)利計(jì)算，是等比數(shù)列模型 3分期付款模型：分期付款模型： 分期付款是一種新的付款方式，就是可以不一次性將款付分期付款是一種新的付款方式，就是可以不一次性將款付清，就使用商品清，就使用商品(或貸款或貸款)，還款時(shí)可以分期將款逐步還清，還款時(shí)可以分期將款逐步還清第6頁/共37頁第六頁，共37頁。第7頁/共3

5、7頁第七頁，共37頁。第8頁/共37頁第八頁，共37頁。 例例1某單位用分期付款的方式為職工購買某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房，共套住房，共需需1 150萬元，購買當(dāng)天先付萬元，購買當(dāng)天先付150萬元，以后每月這一天都交付萬元，以后每月這一天都交付50萬元，并加付欠款利息，月利率為萬元，并加付欠款利息，月利率為1%，若交付，若交付150萬元后的萬元后的第一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，問分期付款的第第一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，問分期付款的第10個(gè)月個(gè)月應(yīng)付多少錢？全部按期付清后，買這應(yīng)付多少錢？全部按期付清后，買這40套住房實(shí)際花了多少錢？套住房實(shí)際花了多少錢？ 思路思路(s

6、l)點(diǎn)撥點(diǎn)撥明確儲(chǔ)蓄類型，構(gòu)建等差數(shù)列求解明確儲(chǔ)蓄類型，構(gòu)建等差數(shù)列求解第9頁/共37頁第九頁，共37頁。 精解詳析精解詳析因購房時(shí)付因購房時(shí)付150萬元，則欠款萬元，則欠款1 000萬元，萬元，依題意依題意(t y)分分20次付款，則每次付款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列次付款，則每次付款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列an 則則a1501 0001%60， a250(1 00050)1%59.5， a350(1 000502)1%59， a450(1 000503)1%58.5， 第10頁/共37頁第十頁，共37頁。第11頁/共37頁第十一頁，共37頁。第12頁/共37頁第十二頁，共37頁。 一點(diǎn)一點(diǎn)(y din)

7、通通分期付款是一種常見的付款方式，分期付款是一種常見的付款方式，與存款中的與存款中的“零存整取零存整取”，都屬于等差數(shù)列模型解題的關(guān)，都屬于等差數(shù)列模型解題的關(guān)鍵是確定首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)鍵是確定首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)第13頁/共37頁第十三頁，共37頁。1某人從某人從1月起每月第一天存入月起每月第一天存入100元，到元，到12月最后一月最后一 天取出全部天取出全部(qunb)本金和利息，已知月利率是本金和利息，已知月利率是0.165%，按，按 單利計(jì)息，那么實(shí)際取出多少錢？單利計(jì)息，那么實(shí)際取出多少錢？ 解：實(shí)際取出的錢等于：本金利息解：實(shí)際取出的錢等于：本金利息 到到12月最后一天取款時(shí)：月最后一天

8、取款時(shí)： 第一個(gè)月存款利息：第一個(gè)月存款利息：100120.165% 第二個(gè)月存款利息：第二個(gè)月存款利息：100110.165% 第14頁/共37頁第十四頁，共37頁。第15頁/共37頁第十五頁，共37頁。第16頁/共37頁第十六頁，共37頁。 例例2某大學(xué)張教授年初向銀行貸款某大學(xué)張教授年初向銀行貸款20萬元用于購房，萬元用于購房，銀行貸款的年利息為銀行貸款的年利息為10%，按復(fù)利計(jì)算，按復(fù)利計(jì)算(即本年的利息計(jì)即本年的利息計(jì)入次年的本金生息入次年的本金生息)若這筆款要分若這筆款要分10次等額還清，每年次等額還清，每年年初還一次，并且在貸款后次年年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)年初還一次，并且在貸款后

9、次年年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)還多少萬元？還多少萬元？(參考數(shù)據(jù)參考數(shù)據(jù)1.1102.594) 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥認(rèn)真分析理解題意，構(gòu)造認(rèn)真分析理解題意，構(gòu)造(guzo)等比等比數(shù)列模型解決問題數(shù)列模型解決問題第17頁/共37頁第十七頁，共37頁。 精解詳析精解詳析法一：設(shè)每年還款法一：設(shè)每年還款x萬元，需萬元，需10年還清，年還清，那么各年還款利息情況如下：那么各年還款利息情況如下： 第第10年付款年付款x萬元，這次還款后欠款全部萬元，這次還款后欠款全部(qunb)還還清；清； 第第9年付款年付款x萬元，過一年欠款全部萬元，過一年欠款全部(qunb)還清時(shí)，還清時(shí)，所付款連同利息之和為所付款連同利

10、息之和為x(110%)萬元；萬元； 第第8年付款年付款x萬元，過萬元，過2年欠款全部年欠款全部(qunb)還清時(shí)，還清時(shí)，所付款連同利息之和為所付款連同利息之和為x(110%)2萬元；萬元； 第18頁/共37頁第十八頁，共37頁。第19頁/共37頁第十九頁，共37頁。法二：第法二：第1次還款次還款(hi kun)x萬元之后還欠銀行萬元之后還欠銀行20(110%)x201.1x，第第2次還款次還款(hi kun)x萬元后還欠銀行萬元后還欠銀行20(110%)x(110%)x201.121.1xx，第20頁/共37頁第二十頁，共37頁。第21頁/共37頁第二十一頁，共37頁。 一點(diǎn)通一點(diǎn)通本題屬于

11、本題屬于(shy)“復(fù)利復(fù)利”問題，是等比數(shù)列模問題，是等比數(shù)列模型根據(jù)還款的本利和等于貸款的本利和，建立方程是解題型根據(jù)還款的本利和等于貸款的本利和，建立方程是解題的關(guān)鍵的關(guān)鍵第22頁/共37頁第二十二頁，共37頁。2某人從某人從2011年年1月月1日起，每年這一天到銀行存一日起，每年這一天到銀行存一 年定期年定期a元，若年利率元，若年利率r保持不變，且每年到期的保持不變，且每年到期的 存款將本和利都再存入新一年的定期，到存款將本和利都再存入新一年的定期，到2015年年1 月月1日，將所有的存款利息日，將所有的存款利息(lx)全部取回，他可取全部取回，他可取回回 的錢數(shù)為的錢數(shù)為_第23頁/

12、共37頁第二十三頁，共37頁。第24頁/共37頁第二十四頁，共37頁。第25頁/共37頁第二十五頁，共37頁。 例例3(12分分)某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造(j sh i zo)，有，有兩種方案：甲方案：一次性貸款兩種方案：甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸的利潤；乙方案：每年貸款款1萬元，第一年便可獲利萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前年多獲利萬元，以后每年比前年多獲利5千元，兩種方案，使用期限都是十年，到期一次性歸還本息，千元，兩種方案，使用期限都是十年，到期一次性

13、歸還本息，若銀行貸款利息按年息若銀行貸款利息按年息10%的復(fù)利計(jì)算，比較兩種方案，哪的復(fù)利計(jì)算，比較兩種方案，哪個(gè)獲利更多？個(gè)獲利更多？(計(jì)算數(shù)據(jù)精確到千元計(jì)算數(shù)據(jù)精確到千元1.1102.594，1.31013.786) 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥分清兩種方案分別屬于什么數(shù)列模型，然分清兩種方案分別屬于什么數(shù)列模型，然后分別建立不同數(shù)列模型解決后分別建立不同數(shù)列模型解決第26頁/共37頁第二十六頁，共37頁。第27頁/共37頁第二十七頁，共37頁。第28頁/共37頁第二十八頁，共37頁。111(110%)(110%)91.117.53(萬元萬元)，乙方案凈獲利乙方案凈獲利(hu l)32.5017.53

14、15.0(萬元萬元) (11分分)比較兩方案可得甲方案獲利比較兩方案可得甲方案獲利(hu l)較多較多 (12分分)第29頁/共37頁第二十九頁，共37頁。 一點(diǎn)通一點(diǎn)通解決數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是讀懂題意，解決數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是讀懂題意，從實(shí)際問題中提煉出問題的實(shí)質(zhì)，分清是等差數(shù)列，還是從實(shí)際問題中提煉出問題的實(shí)質(zhì)，分清是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列，然后轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決本題方案等比數(shù)列，然后轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決本題方案(fng n)甲甲屬等比數(shù)列模型，方案屬等比數(shù)列模型，方案(fng n)乙則屬于等差數(shù)列模型乙則屬于等差數(shù)列模型第30頁/共37頁第三十頁，共37頁。3某市某市2011年新建住房

15、年新建住房400萬平方米，其中有萬平方米，其中有250萬平萬平 方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)在今后方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)在今后(jnhu)的若干年內(nèi)，的若干年內(nèi)，該市每該市每 年新建住房面積平均比上一年增長年新建住房面積平均比上一年增長8%，另外，每，另外，每 年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50 萬平方米，那么到哪一年底：萬平方米，那么到哪一年底：第31頁/共37頁第三十一頁，共37頁。(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以以2011年為累年為累計(jì)的第一年計(jì)的第一年)將首次不少于將首次不少于4 750萬平方米？萬平方米

16、？(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于比例首次大于85%？(參考參考(cnko)數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)：1.0841.36，1.0851.47,1.0861.59)第32頁/共37頁第三十二頁，共37頁。第33頁/共37頁第三十三頁，共37頁。(2)設(shè)新建住房面積成數(shù)列設(shè)新建住房面積成數(shù)列bn，由題意可知，由題意可知bn是等比數(shù)是等比數(shù)列列其中其中(qzhng)b1400，q1.08，則，則bn4001.08n1，由題意可知由題意可知an0.85bn，則有，則有250(n1)504001.08n10.85，即，即5n20341.08n1.則則n6.故到故到2016年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于房面積的比例首次大于85%.第34頁/共37頁第三十四頁，共37頁。 1等差、等比數(shù)列等差、等比數(shù)列(shli)的應(yīng)用題常見于：產(chǎn)量的應(yīng)用題常見于：產(chǎn)量增減、價(jià)格的升降、細(xì)胞繁殖、貸款利率、增長率等增減、價(jià)格的升降、細(xì)胞繁殖、貸款利率、增長率等方面的問題，解決方法是建立數(shù)列方面的問題，解決方法是建立數(shù)列(shli)模型，應(yīng)用模型，應(yīng)用數(shù)列數(shù)列(shli)知識(shí)