第五章大數(shù)定律與中心極限定理

1、第五章、大數(shù)定律與中心極限定理第五章、大數(shù)定律與中心極限定理第一節(jié)：大數(shù)定律第一節(jié)：大數(shù)定律第二節(jié)：中心極限定理第二節(jié)：中心極限定理5.1 5.1 大數(shù)定理大數(shù)定理 一、一、 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出: :第一章我們說(shuō)過(guò)頻率穩(wěn)定于概率，這里的是穩(wěn)定什么含義？lim011 2() 0 . nnnnnXn, , XP XXXPXXX 定義 ：設(shè)是一隨機(jī)變量序列，是一個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)于，有，則稱序列于依概率收斂， 記作二、定義意義意義：)(1, )(,|時(shí)時(shí)則則npAPpXXAnnnnn其中其中為誤差。為誤差。請(qǐng)注意請(qǐng)注意 :01.nnnXXnXXXX依概率收斂于 ，意味著對(duì)任意給定的，當(dāng) 充分大時(shí)，事

2、件的概率很大，接近于；并不排除事件的發(fā)生，而只是說(shuō)他發(fā)生的可能性很小.定定性性弱弱些些，它它具具有有某某種種不不確確中中的的普普通通意意義義下下的的收收斂斂依依概概率率收收斂斂比比高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)12,1(1 2)n nnnnkknnPXEXXEXn, ,XXnX定義 ：設(shè)是一隨機(jī)變量序列 數(shù)學(xué)期望存在，記服從，若則稱序列大數(shù)定律。意義：即意義：即n很大時(shí)，很大時(shí)， 以很大的可能性靠以很大的可能性靠近一個(gè)常數(shù)（近一個(gè)常數(shù)（隨機(jī)性消失隨機(jī)性消失）。）。nX三、大數(shù)定律三、大數(shù)定律1 1、切比雪夫大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律: : 設(shè)設(shè)X1, X2, , Xn, 是由是由相互獨(dú)立相互獨(dú)立的隨機(jī)變的隨

3、機(jī)變量所構(gòu)成的序列量所構(gòu)成的序列, , 其中其中EXk= k, DXkC 0 ，有，有 2、貝努里大數(shù)定律、貝努里大數(shù)定律1|lim pnnPAn或或0|lim pnnPAn此定理說(shuō)明了頻率的穩(wěn)定性此定理說(shuō)明了頻率的穩(wěn)定性。證：令nkAkAkXk, 2 , 110，發(fā)生次試驗(yàn)中，在第不發(fā)生次試驗(yàn)中，在第則nkkAXn1，且nXX,1相互獨(dú)立同服從于 分布) 10( 故 ,2, 1)1(nkppDXpEXkk，1|1|lim1pXnPniin,由定理一有由定理一有即 1|limpnnPAn。貝努里大數(shù)定律的重要意義貝努里大數(shù)定律的重要意義： (1)(1)從理論上證明了頻率具有穩(wěn)定性。從理論上證明

4、了頻率具有穩(wěn)定性。 （2)2)提供了通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定事件概率的方法提供了通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定事件概率的方法: : 這種方法是參數(shù)估計(jì)的重要理論基礎(chǔ)。這種方法是參數(shù)估計(jì)的重要理論基礎(chǔ)。 （3 3）是）是“小概率原理小概率原理”的理論基礎(chǔ)。的理論基礎(chǔ)。 小概率原理：小概率原理：實(shí)際中概率很小的隨機(jī)事件在個(gè)實(shí)際中概率很小的隨機(jī)事件在個(gè)別試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的。別試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的。)(APpnnA 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 相互獨(dú)立，服從同一相互獨(dú)立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期分布，具有數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則對(duì)于任意則對(duì)于任意正數(shù)正數(shù) ，有，有3、辛欽大數(shù)定律、辛欽大

5、數(shù)定律1|1|lim1 niinXnP 1、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.注注2、伯努利大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況、伯努利大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況.3、辛欽定理具有廣泛的適用性、辛欽定理具有廣泛的適用性. 要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量 ，要收割某些有代表性塊，例如要收割某些有代表性塊，例如n 塊塊地地. 計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n 較較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì)產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).niixnx11當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)有充分

6、大時(shí)有第二節(jié)第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理一個(gè)實(shí)際例子一個(gè)實(shí)際例子中心極限定理的定義中心極限定理的定義中心極限定理中心極限定理小結(jié)小結(jié) 一、一個(gè)實(shí)際例子一、一個(gè)實(shí)際例子 例子：某小區(qū)有例子：某小區(qū)有400戶人家，每個(gè)家庭有戶人家，每個(gè)家庭有10%的的可能沒(méi)有車(chē)，可能沒(méi)有車(chē)，60%的可能有的可能有1輛車(chē)，輛車(chē)，30%的可能有的可能有2輛車(chē)，問(wèn)小區(qū)應(yīng)準(zhǔn)備多少車(chē)位才能以輛車(chē)，問(wèn)小區(qū)應(yīng)準(zhǔn)備多少車(chē)位才能以95%的概率滿的概率滿足用戶的停車(chē)需要？足用戶的停車(chē)需要？二、中心極限定理定義二、中心極限定理定義 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列Xn, 設(shè)設(shè)EXn , DXn (n=1,2,)存在存在

7、, , 令令niininiiinDXEXXY1112/21l,im( )2xtnnnP YxxedtX 若成立則稱服從中心極限定理。三、中心極限定理三、中心極限定理1、林德貝格、林德貝格(Lindeberg)定理定理 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立，數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望及方差存在及方差存在：), 2 , 1(,)(2 nkDXXEkkkk有有若若記記, 0,122nkknB0)()(1lim1|22xdFxBknkBxknnnk則則 Xn服從中心極限定理。服從中心極限定理。 上式中極限稱為上式中極限稱為林德貝格條件林德貝格條件，我們要驗(yàn)，我們要驗(yàn)證此條件成立是比較困難的，所以計(jì)算

8、時(shí)一般證此條件成立是比較困難的，所以計(jì)算時(shí)一般不會(huì)引用此定理。但是該條件給了我們一個(gè)很不會(huì)引用此定理。但是該條件給了我們一個(gè)很好的結(jié)論：好的結(jié)論：則則記記), 2 , 1(| nkBXAnkkknkknkknkknkAPAPBXP111)()()|max()(1|xdFknkBxnk時(shí)時(shí)）（nxdFxBknkBxknnk0)()(11|222。一一致致地地依依概概率率收收斂斂于于項(xiàng)項(xiàng)充充分分大大時(shí)時(shí)，和和式式中中每每一一上上式式表表明明，當(dāng)當(dāng)0), 2 , 1(kBXnnkk2、獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列Xn(n=1, 2, ) 獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布，)( )X(li

9、m 2, 1,k,)(,)(n1k2xxnnPRxXDXEknkk則則此定理為此定理為林德貝格林德貝格-勒維中心極限定理勒維中心極限定理。例例1 1、計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法運(yùn)算，把每個(gè)加數(shù)四舍、計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法運(yùn)算，把每個(gè)加數(shù)四舍五入到整數(shù)相加，假設(shè)各個(gè)加數(shù)的舍入誤差是五入到整數(shù)相加，假設(shè)各個(gè)加數(shù)的舍入誤差是相互獨(dú)立的同服從于相互獨(dú)立的同服從于U(-0.5 , 0.5)。求求：(1)1500(1)1500個(gè)數(shù)相加，誤差之和的絕對(duì)值超過(guò)個(gè)數(shù)相加，誤差之和的絕對(duì)值超過(guò)1515的概率；（的概率；（0.18020.1802）(2)(2)最多幾個(gè)數(shù)相加才能保證誤差之和的絕對(duì)最多幾個(gè)數(shù)相加才能保證誤差之和的絕對(duì)值小

10、于值小于1010的概率不小于的概率不小于0.90.9。（。（443443）3、德莫佛-拉普拉斯定理（二項(xiàng)分布的 正態(tài)近似）n (n, p), , limP( ) (1)nnxnpxxnpp 設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布b對(duì)于有注：注：p較小時(shí)，用泊松分布近似較好；而較小時(shí)，用泊松分布近似較好；而在在np5和和n(1-p)5時(shí)，用正態(tài)分布近似時(shí)，用正態(tài)分布近似較好。較好。德莫佛-拉普拉斯定理的應(yīng)用： 令令n是是n重貝努里試驗(yàn)中事件重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次發(fā)生的次數(shù)數(shù)，則則n b (n, p)，其中其中p=P(A)。12pqnpqnpqnpqnnpqnppqnPpnPnn) 12(,1pqnpnPp

11、nn的誤差的誤差，計(jì)算頻率與概率之間，計(jì)算頻率與概率之間、已知、已知確確定定樣樣本本容容量量）（即即抽抽樣樣方方案案的的設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)，求求和和、已已知知npnPpn,2計(jì)計(jì)）（事事后后評(píng)評(píng)估估，精精度度的的估估，求求和和、已已知知 pnPpnn,3例例2 2、有、有240240臺(tái)電話分機(jī)，獨(dú)立使用，每臺(tái)話機(jī)臺(tái)電話分機(jī)，獨(dú)立使用，每臺(tái)話機(jī) 約有約有5%5%的時(shí)間使用外線。問(wèn)總機(jī)至少需要多少外的時(shí)間使用外線。問(wèn)總機(jī)至少需要多少外線才能線才能90%90%以上的保證各分機(jī)用外線不必等候。以上的保證各分機(jī)用外線不必等候。解：設(shè)解：設(shè)X為為240240臺(tái)分機(jī)中同時(shí)需用外線的臺(tái)數(shù)，臺(tái)分機(jī)中同時(shí)需用外線的臺(tái)數(shù)，

12、顯然顯然Xb(240,0.05). 即求最小的即求最小的N, ,使得使得9 . 0)( NXP由于由于n=240=240很大，而很大，而拉拉普普拉拉斯斯定定理理知知由由德德莫莫佛佛4 .1195. 0121205. 0240npqDXnpEX9 . 0)38. 312( )4 .1112( )4 .11124 .1112()(NNNXPNXP9 . 09015. 0)29. 1 (, 9 . 08997. 0)28. 1 (查查正正態(tài)態(tài)分分布布表表得得條條外外線線才才可可滿滿足足要要求求。即即總總機(jī)機(jī)至至少少需需要要故故取取于于是是因因而而得得17.1736.16,29. 138. 312NN

13、N例例3 3、 已知某廠生產(chǎn)一大批無(wú)線電產(chǎn)品中合格已知某廠生產(chǎn)一大批無(wú)線電產(chǎn)品中合格品占品占1/61/6。某商店從該廠任意選購(gòu)。某商店從該廠任意選購(gòu)60006000個(gè)元件，個(gè)元件，試問(wèn)這試問(wèn)這60006000個(gè)元件中，合格品的比例與個(gè)元件中，合格品的比例與1/61/6之間之間誤差小于誤差小于1%1%的概率是多少？（的概率是多少？（0.96240.9624）練習(xí)練習(xí):1. 抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則認(rèn)為個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受，問(wèn)應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為這批產(chǎn)品不能接受，問(wèn)應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不能被接受的概率達(dá)到的一批產(chǎn)品不能被接受的概率達(dá)到0.9? ()2. 一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由n個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個(gè)部件的可靠度為每個(gè)部件的可靠度為0.9，且必須至少有，且必須至少有80%的部件工作的部件工作才能使整