第2章 邏輯門與邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、第第2章章 邏輯門與邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯門與邏輯代數(shù)基礎(chǔ)本章介紹：邏輯描述、邏輯門、邏輯代數(shù)本章介紹：邏輯描述、邏輯門、邏輯代數(shù)基本公式與邏輯代數(shù)化簡?；竟脚c邏輯代數(shù)化簡。2.1 邏輯描述邏輯描述1. 邏輯函數(shù)邏輯函數(shù) 邏輯函數(shù)與一般的數(shù)學(xué)函數(shù)一樣，邏輯函數(shù)與一般的數(shù)學(xué)函數(shù)一樣，描述輸入與輸出變量描述輸入與輸出變量之間的邏輯關(guān)系之間的邏輯關(guān)系，函數(shù)中的邏輯變量常用大寫或小寫字母表，函數(shù)中的邏輯變量常用大寫或小寫字母表示，但取值只能為示，但取值只能為0或或1。通常取值為。通常取值為1的變量稱為原變量，的變量稱為原變量，取值為取值為0的變量稱為反變量。的變量稱為反變量。2. 真值表真值表 真值表是

2、將所有可能情況下的輸入取值與對應(yīng)的輸出值真值表是將所有可能情況下的輸入取值與對應(yīng)的輸出值列成的表格，是邏輯關(guān)系的表格表示列成的表格，是邏輯關(guān)系的表格表示。通常表格左側(cè)為輸入。通常表格左側(cè)為輸入變量按照二進(jìn)制數(shù)增序排列的所有取值，右側(cè)為輸出變量。變量按照二進(jìn)制數(shù)增序排列的所有取值，右側(cè)為輸出變量。 如果用數(shù)字如果用數(shù)字0、1表示輸入與輸出變量的取值，則真值表表示輸入與輸出變量的取值，則真值表描述輸入邏輯變量與輸出變量之間的關(guān)系。如果用高電平描述輸入邏輯變量與輸出變量之間的關(guān)系。如果用高電平H、低電平低電平L表示輸入信號與輸出信號的取值，則真值表描述門表示輸入信號與輸出信號的取值，則真值表描述門電

3、路輸入與輸出之間的電平關(guān)系，稱為電平真值表。電路輸入與輸出之間的電平關(guān)系，稱為電平真值表。 3. 3. 邏輯電路圖邏輯電路圖 邏輯圖邏輯圖是是用圖形的方式描述邏輯輸入變量與輸用圖形的方式描述邏輯輸入變量與輸出變量之間的關(guān)系出變量之間的關(guān)系，邏輯門符號是邏輯圖的基本元，邏輯門符號是邏輯圖的基本元素。素。 在邏輯電路圖中，低電平或是邏輯在邏輯電路圖中，低電平或是邏輯0 0有效的信號，有效的信號，常與邏輯非（小圓圈）引腳連接，以表示該信號是常與邏輯非（小圓圈）引腳連接，以表示該信號是低電平或是邏輯低電平或是邏輯0 0有效的信號。若是信號不與邏輯非有效的信號。若是信號不與邏輯非符號（小圓圈）引腳連接，

4、則表示該信號是高電平符號（小圓圈）引腳連接，則表示該信號是高電平或是邏輯或是邏輯1 1有效的信號。用圓圈表示邏輯非的符號稱有效的信號。用圓圈表示邏輯非的符號稱為邏輯非符號。為邏輯非符號。4. 4. 邏輯信號邏輯信號 邏輯信號既可以用高電平邏輯信號既可以用高電平H H或是邏輯或是邏輯1 1表示有效，表示有效，也可以用低電平也可以用低電平L L或是邏輯或是邏輯0 0表示有效。在信號為高表示有效。在信號為高電平電平H H或是或是1 1有效的邏輯中，低電平有效的邏輯中，低電平L L或是或是0 0表示信號表示信號無效，而在信號為低電平無效，而在信號為低電平L L或是或是0 0有效的邏輯中，高有效的邏輯中

5、，高電平電平H H或是或是1 1表示信號無效。有些邏輯圖中的信號既表示信號無效。有些邏輯圖中的信號既有高電平有效的信號也有低電平有效的信號，這種有高電平有效的信號也有低電平有效的信號，這種邏輯稱為混合邏輯。邏輯稱為混合邏輯。 若是用邏輯若是用邏輯1 1代表高電平代表高電平H H，用邏輯，用邏輯0 0代表低電代表低電平平L L，則稱為，則稱為正邏輯正邏輯；若是用邏輯；若是用邏輯1 1代表低電平代表低電平L L，用邏輯用邏輯0 0代表高電平代表高電平H H，則稱為負(fù)邏輯。，則稱為負(fù)邏輯。 2.2 2.2 基本邏輯門功能概述基本邏輯門功能概述 1. 1. 非門非門 非門又稱為非門又稱為反相器反相器，

6、是實(shí)現(xiàn)邏輯非運(yùn)算的邏輯電路。，是實(shí)現(xiàn)邏輯非運(yùn)算的邏輯電路。YA電路圖EAYR 當(dāng)決定事件（當(dāng)決定事件（Y Y）發(fā)生的條件（）發(fā)生的條件（A A）滿足時，事）滿足時，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達(dá)式為：表達(dá)式為：輸入輸入輸出輸出輸入輸入輸出輸出AYAYLH01HL10邏輯符號：邏輯符號：真值表真值表【例【例2-1】 如圖一串方波波形加在非門輸入端，如圖一串方波波形加在非門輸入端，試畫出非門輸出端波形。試畫出非門輸出端波形。【例【例2-2】 用非門實(shí)現(xiàn)反碼用非門實(shí)現(xiàn)反碼 2或門或門 或門或門是是實(shí)現(xiàn)或運(yùn)算的門電路實(shí)現(xiàn)或運(yùn)算的門電路。 或運(yùn)算或運(yùn)算又稱

7、為又稱為或邏輯或邏輯、邏輯加邏輯加：當(dāng)決定事件（：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條件（發(fā)生的各種條件（A，B，C，)中，中，只要有一個只要有一個或多個條件具備，事件（或多個條件具備，事件（Y）就發(fā)生。）就發(fā)生。表達(dá)式為表達(dá)式為：邏輯符號邏輯符號：電路圖L=ABEABYYAB輸入變量輸入變量A與與B中只要有一中只要有一個為個為1，則輸出，則輸出Y為為1。輸輸 入入輸輸 出出ABY000011101111電路圖L=ABEABY或門或門真值表真值表邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式：【例例2-3】 圖圖2-6所示波形加在一個或門輸入端，所示波形加在一個或門輸入端，試畫出或門輸出端的波形試畫出或門輸出端的波形 圖圖2-

8、6【例【例2-4】某房間的某房間的3個窗戶上安裝有磁控開關(guān)，當(dāng)窗個窗戶上安裝有磁控開關(guān)，當(dāng)窗戶打開時磁控開關(guān)輸出高電平，現(xiàn)在要求設(shè)計一個電戶打開時磁控開關(guān)輸出高電平，現(xiàn)在要求設(shè)計一個電路，當(dāng)任何一個窗戶打開時，該電路輸出報警信號。路，當(dāng)任何一個窗戶打開時，該電路輸出報警信號。圖圖2-7 3與門與門 與門與門是是實(shí)現(xiàn)與運(yùn)算的門電路實(shí)現(xiàn)與運(yùn)算的門電路。與運(yùn)算又稱為與邏輯、。與運(yùn)算又稱為與邏輯、邏輯乘。邏輯乘。與邏輯與邏輯：僅當(dāng)決定事件（：僅當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的所有條件）發(fā)生的所有條件（A，B，C，）均滿足時，事件（）均滿足時，事件（Y）才能發(fā)生。）才能發(fā)生。 輸輸 入入輸輸 出出ABY00001

9、0100111YA B電路圖L=ABEABY邏輯符號邏輯符號表達(dá)式表達(dá)式：真值表真值表【例【例2-5】 對于圖所示的對于圖所示的A、B波形，試確定與門波形，試確定與門輸出波形。輸出波形?！纠纠?-6】 利用與門控制計數(shù)器輸入脈沖的脈沖頻率利用與門控制計數(shù)器輸入脈沖的脈沖頻率測量電路如圖測量電路如圖2-10所示，試分析工作原理所示，試分析工作原理 圖圖2-10圖圖2-9【例【例2-7】 汽車安全帶綁緊檢測裝置如圖汽車安全帶綁緊檢測裝置如圖2-112-11所示，所示，試分析工作原理試分析工作原理 解：當(dāng)汽車點(diǎn)火開關(guān)接通（輸出信號為高電平解：當(dāng)汽車點(diǎn)火開關(guān)接通（輸出信號為高電平H），），30 s定

10、時器開始計時，當(dāng)定時器開始計時，當(dāng)30 s定時器時間到（輸出定時器時間到（輸出信號為高電平信號為高電平H），若安全帶未綁緊（輸出信號為高），若安全帶未綁緊（輸出信號為高電平電平H）時，與門輸出高電平，三極管）時，與門輸出高電平，三極管9013飽和導(dǎo)飽和導(dǎo)通，蜂鳴器報警。通，蜂鳴器報警。圖圖2-114與非門與非門與非門可實(shí)現(xiàn)與門和非門的復(fù)合運(yùn)算與非門可實(shí)現(xiàn)與門和非門的復(fù)合運(yùn)算 輸輸 入入輸輸 出出 ABY001011101110YA B邏輯符號：邏輯符號：表達(dá)式：表達(dá)式：真值表真值表見見0得得1，全，全1得得0圖圖2-12【例【例2-8】 對于圖對于圖2-13所示的所示的A、B波形，試確定與波形

11、，試確定與非門輸出波形。非門輸出波形。【例例2-9】某工業(yè)生產(chǎn)中，某工業(yè)生產(chǎn)中，需要監(jiān)視兩種液體的液位，需要監(jiān)視兩種液體的液位，當(dāng)液位高于液罐高度的當(dāng)液位高于液罐高度的10%10%時，液位傳感器輸出時，液位傳感器輸出高電平，否則輸出低電平。高電平，否則輸出低電平。要求當(dāng)兩罐液位同時高于要求當(dāng)兩罐液位同時高于液罐高度的液罐高度的10%10%時，綠色時，綠色發(fā)光二極管亮。發(fā)光二極管亮。圖圖2-13圖圖2-145或非門或非門或非門可實(shí)現(xiàn)或門和非門的復(fù)合門運(yùn)算或非門可實(shí)現(xiàn)或門和非門的復(fù)合門運(yùn)算 輸輸 入入輸輸 出出ABY001010100110YAB表達(dá)式表達(dá)式：邏輯符號邏輯符號真值表真值表見見1得得

12、0，全，全0得得1【例【例2-10】 對于圖對于圖2-16所示的所示的A、B波形，試確定波形，試確定或非門輸出波形。或非門輸出波形?！纠纠?-11】 汽車門關(guān)閉檢測系統(tǒng)，汽車門若是汽車門關(guān)閉檢測系統(tǒng)，汽車門若是未完全關(guān)閉未完全關(guān)閉，門檢測開關(guān)輸出高電平門檢測開關(guān)輸出高電平；若是門完全關(guān)閉，門開關(guān)輸出低電；若是門完全關(guān)閉，門開關(guān)輸出低電平。要求若是有一個或多個門未完全關(guān)閉，發(fā)光二極管亮，平。要求若是有一個或多個門未完全關(guān)閉，發(fā)光二極管亮，提示駕駛員關(guān)門。提示駕駛員關(guān)門。圖圖2-16圖圖2-176異或門異或門（同或非）（同或非）異或門異或門：實(shí)現(xiàn)異或邏輯：實(shí)現(xiàn)異或邏輯 。異或是一種二變量邏輯運(yùn)異

13、或是一種二變量邏輯運(yùn)算，當(dāng)兩個輸入變量取值算，當(dāng)兩個輸入變量取值相同相同時，邏輯函數(shù)值為時，邏輯函數(shù)值為0；當(dāng)兩個輸入變量取值當(dāng)兩個輸入變量取值不同時不同時，邏輯函數(shù)值為，邏輯函數(shù)值為1。輸輸 入入輸出輸出 ABY000011101110YABAB表達(dá)式：表達(dá)式：邏輯符號邏輯符號:真值表真值表Y= A B【例【例2-12】 對于圖對于圖2-19所示的所示的A、B波形，試確定波形，試確定異或門輸出波形。異或門輸出波形。 圖圖2-19Y= A BY= 0 B= BY= 1 B=YABAB017同或門同或門（異或非）（異或非）同或門同或門：實(shí)現(xiàn)同或邏輯。：實(shí)現(xiàn)同或邏輯。同或同或是一種二變量邏輯運(yùn)是一

14、種二變量邏輯運(yùn)算，算，當(dāng)兩個變量取值當(dāng)兩個變量取值相同相同時，邏輯函數(shù)值為時，邏輯函數(shù)值為1；當(dāng)兩；當(dāng)兩個變量取值個變量取值不同不同時時，邏輯函數(shù)值為，邏輯函數(shù)值為0。 輸輸 入入輸輸 出出 ABY001010100111 YABAB表達(dá)式：表達(dá)式：邏輯符號邏輯符號:真值表真值表Y= A B【例【例2-132-13】 某裝置為可靠運(yùn)行，采用兩套控制裝置，某裝置為可靠運(yùn)行，采用兩套控制裝置，當(dāng)兩套控制裝置輸出結(jié)果同是當(dāng)兩套控制裝置輸出結(jié)果同是1 1或或0 0時，時，一致性檢測一致性檢測裝置裝置的發(fā)光二極管滅，否則發(fā)光二極管亮。的發(fā)光二極管滅，否則發(fā)光二極管亮。解：一致性檢測裝置如圖解：一致性檢測

15、裝置如圖2-212-21所示，當(dāng)控制裝置所示，當(dāng)控制裝置1 1和和2 2輸出同為高電平或是低電平時，同或門輸出高輸出同為高電平或是低電平時，同或門輸出高電平，發(fā)光二極管滅；當(dāng)控制裝置電平，發(fā)光二極管滅；當(dāng)控制裝置1 1或或2 2輸出輸出不一致不一致時，同或門輸出低電平，發(fā)光二極管亮。時，同或門輸出低電平，發(fā)光二極管亮。圖圖2-212.3 2.3 邏輯代數(shù)基本定律與公式邏輯代數(shù)基本定律與公式2.3.1 2.3.1 基本定律基本定律1 1交換律交換律或或運(yùn)算交換律運(yùn)算交換律 A + B = B + A與與運(yùn)算交換律運(yùn)算交換律 A B = B A或運(yùn)算交或運(yùn)算交換律證明換律證明等式等式左側(cè)左側(cè)等式等

16、式右側(cè)右側(cè)ABA+BB+A00000111101111112. . 結(jié)合律結(jié)合律或或結(jié)合律結(jié)合律 A + ( B + C ) = ( A + B ) + C與與結(jié)合律結(jié)合律 A( B C ) = ( AB )C結(jié)合律結(jié)合律表明門電路的輸出與輸入變量組表明門電路的輸出與輸入變量組的接入的接入位置無關(guān)位置無關(guān) 3 3分配律分配律與對或與對或的分配律的分配律： A(B+C)=AB +AC或?qū)εc或?qū)εc的分配律：的分配律： A+BC =(A+B)(A +C)A B CBC A+BCA+BA+C（A+B）(A+C)0 0 0000000 0 1000100 1 0001000 1 1111111 0 00

17、11111 0 1011111 1 0011111 1 111111u證明證明：（1 1）真值表法）真值表法或?qū)εc或?qū)εc的分配律：的分配律： A+BC =(A+B)(A +C)（2 2）公式推演法）公式推演法u證明證明左右 BCABCCBABCACABACABA)1 ()(左右 BCABCCBABCACABACABA)1 ()(左右 BCABCCBABCACABACABA)1 ()(左右 BCABCCBABCACABACABA)1 ()(或?qū)εc或?qū)εc的分配律：的分配律： A+BC =(A+B)(A +C)2.3.2 2.3.2 基本公式基本公式1 1使能公式使能公式（1）A+0=A （2）A

18、1=A2 2禁止公式禁止公式（1）A+1=1 （2）A 0=0輸入為輸入為0 0的信號可以使能或門的信號可以使能或門 輸入為輸入為1 1的信號可以使能與門的信號可以使能與門輸入為輸入為1 1的信號可以禁止或門的信號可以禁止或門 輸入為輸入為0 0的信號可以禁止與門的信號可以禁止與門 3 3冗余公式冗余公式（1）A+A=A （2）A A=A4 4互補(bǔ)公式互補(bǔ)公式1AA0A A5 5雙重否定公式雙重否定公式AA6吸收公式吸收公式 （1） A+AB =A BABABAAABAA 1 兩個乘積項相加時，如果一項取反后是另一項兩個乘積項相加時，如果一項取反后是另一項的因子，則此因子是多余的，可以消去。的

19、因子，則此因子是多余的，可以消去。證：證： A+AB=A（1+B）=A1=A 在兩個乘積項相加時，若其中一項以另一項為在兩個乘積項相加時，若其中一項以另一項為因子，則該項是多余的，可以刪去。因子，則該項是多余的，可以刪去。證：證：（2）BABAA 與或表達(dá)式中，兩個乘積項分別包含同一因子的原與或表達(dá)式中，兩個乘積項分別包含同一因子的原變量和反變量，若兩項的剩余因子包含在第三個乘變量和反變量，若兩項的剩余因子包含在第三個乘積項中，則第三項是多余的積項中，則第三項是多余的CAABBCDECAAB 公式推廣：公式推廣： BCCAAB)1()1(BCACAB CAAB等式右邊等式右邊BCAACAAB)

20、( BCAABCCAAB 證明證明7包含公式包含公式CAABBCCAAB 2.3.3 2.3.3 基本定理基本定理1 1代入定理代入定理 任何一個邏輯等式中，如果將等式兩邊所任何一個邏輯等式中，如果將等式兩邊所有出現(xiàn)的某一邏輯變量都用一個邏輯函數(shù)式來有出現(xiàn)的某一邏輯變量都用一個邏輯函數(shù)式來代替，則邏輯等式仍然成立。代替，則邏輯等式仍然成立。這個定理稱為這個定理稱為代代入定理。入定理。()BCDBCD BBCD()(1)BCDBBCD等式等式左側(cè)左側(cè)： 2對偶式和對偶定理對偶式和對偶定理 對偶式對偶式就是將一個邏輯函數(shù)式就是將一個邏輯函數(shù)式Y(jié)中所有中所有的的“”換成換成“+”，“+”換成換成“”

21、，“1”換成換成“0”，“0”換成換成“1”，則得到一個新的邏則得到一個新的邏輯函數(shù)式輯函數(shù)式Y(jié)。對偶定理：對偶定理：若是兩邏輯函數(shù)式相等，則它若是兩邏輯函數(shù)式相等，則它們的對偶式也相等。們的對偶式也相等。()YA BCYABC 3反演定理反演定理 將一個邏輯函數(shù)式將一個邏輯函數(shù)式Y(jié)中所有的中所有的“”換成換成“+”，“+”換成換成“”，“1”換成換成“0”，“0”換成換成“1”，原變量換成反變量，反變量換成原變原變量換成反變量，反變量換成原變量，量，則得到的邏輯函數(shù)式為。將則得到的邏輯函數(shù)式為。將Y變?yōu)榈囊?guī)律變?yōu)榈囊?guī)律稱為反演定理。稱為反演定理。 使用反演定理時，注意遵循如下約定：使用反演定

22、理時，注意遵循如下約定： 需要遵守需要遵守“先括號，然后乘，最后加先括號，然后乘，最后加”的運(yùn)算順序。的運(yùn)算順序。 不屬于單個變量上的非號應(yīng)該保留不變。不屬于單個變量上的非號應(yīng)該保留不變。4 4摩根定理摩根定理（1 1）摩根定理）摩根定理a）定理）定理1： 或函數(shù)的非或函數(shù)的非等于等于非的與函數(shù)非的與函數(shù)，即，即 ABABA B0011010010001100AB ABb）定理）定理2：與函數(shù)的非與函數(shù)的非等于等于非的或函數(shù)非的或函數(shù)ABABA B0011011110111100（1 1）摩根定理）摩根定理ABABAB CAB CABC【例【例2-142-14】使用摩根定理化簡圖所示的邏輯圖。

23、】使用摩根定理化簡圖所示的邏輯圖。 由摩根定理有：由摩根定理有： （2 2）摩根定理用于門電路轉(zhuǎn)換）摩根定理用于門電路轉(zhuǎn)換a a）將或門轉(zhuǎn)換成輸入低電平有效的與非門。）將或門轉(zhuǎn)換成輸入低電平有效的與非門。YAB YA Bb b）將與門轉(zhuǎn)換成輸入低電平有效的或非門。）將與門轉(zhuǎn)換成輸入低電平有效的或非門。YABYABc c）將與非門轉(zhuǎn)換成輸入低電平有效的或門）將與非門轉(zhuǎn)換成輸入低電平有效的或門。YABYABd d）將或非門轉(zhuǎn)換成輸入為低電平有效的與門）將或非門轉(zhuǎn)換成輸入為低電平有效的與門。 YAB YAB2.4 2.4 標(biāo)準(zhǔn)邏輯函數(shù)式標(biāo)準(zhǔn)邏輯函數(shù)式1 1標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)與與-或或函數(shù)式函數(shù)式 最小項最小項

24、: :若與若與- -或邏輯函數(shù)式中的與（乘積）項或邏輯函數(shù)式中的與（乘積）項中包含所有輸入變量，且每個變量以原變量或是反中包含所有輸入變量，且每個變量以原變量或是反變量出現(xiàn)變量出現(xiàn)1 1次，則該次，則該與項與項稱為稱為最小項最小項。 標(biāo)準(zhǔn)與標(biāo)準(zhǔn)與- -或函數(shù)式或函數(shù)式: : 與項采用最小項形式的與與項采用最小項形式的與- -或函數(shù)式或函數(shù)式最小項最小項 m： m是是n個變量的乘積項個變量的乘積項 m包含包含n個因子個因子 n個變量可以原變量或反變量的形式在個變量可以原變量或反變量的形式在m中出中出現(xiàn)一次現(xiàn)一次.對于對于n n變量函數(shù)變量函數(shù)有有2 2n n個最小項個最小項最小項舉例：最小項舉例

25、： 兩變量兩變量A、B的最小項的最小項）（4個2,2 ABBABABA）（8個2,3 ABCCABCBACBABCACBACBACBA 三變量三變量A、B、C的最小項的最小項最小項的編號：最小項的編號：最小項最小項 使使m為為1的取值的取值 對應(yīng)對應(yīng)10進(jìn)制數(shù)進(jìn)制數(shù)編編 號號ABC0 0 0 0m00 0 1 1m10 1 0 2m20 1 1 3m31 0 04m41 0 15m51 1 06m61 1 17m7在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最小項的值為在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最小項的值為1ABCCABCBACBABCACBACBACBAABCCABCBACBABCACBACB

26、ACBA最小項的性質(zhì)最小項的性質(zhì) 在輸入變量任一取值下，必有一個最小項而且僅在輸入變量任一取值下，必有一個最小項而且僅有一個最小項的值為有一個最小項的值為1 全體最小項之和為全體最小項之和為1 任何兩個最小項之積為任何兩個最小項之積為0 兩個兩個相鄰相鄰的最小項之和可以的最小項之和可以合并合并，消去一對因子，消去一對因子，只留下公共因子。只留下公共因子。 相鄰相鄰：僅一個變量不同的最小項：僅一個變量不同的最小項 BACCBABCACBABCACBA )(與()()YABACAB CCA BB CYABAC1,3,6,7m（） 7631YABCABCABCABCmmmm m表示最小項表示最小項，

27、下標(biāo)下標(biāo)是是最小項的編號最小項的編號。 在與在與-或函數(shù)式中，只要有一個最小項為或函數(shù)式中，只要有一個最小項為1，則與，則與-或函數(shù)式等于或函數(shù)式等于1。標(biāo)準(zhǔn)與標(biāo)準(zhǔn)與- -或函數(shù)式或函數(shù)式: : 7631YABCABCABCABCmmmm2 2標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)或或-與與函數(shù)式函數(shù)式最大項最大項：若或若或-與函數(shù)式中的與函數(shù)式中的或或（和）（和）項項包含所有包含所有變量，且每個變量以原變量或是反變量形式出現(xiàn)變量，且每個變量以原變量或是反變量形式出現(xiàn)1次，則該次，則該或項或項稱為稱為最大項最大項。標(biāo)準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)或-與函數(shù)式與函數(shù)式：或項采用最大項書寫的或或項采用最大項書寫的或-與函與函數(shù)式數(shù)式。 最大項最大項

28、M M是是n個變量的和項個變量的和項 M包含包含n個變量個變量 n個變量均以原變量或反變量的形式個變量均以原變量或反變量的形式在在M中出中出現(xiàn)一次現(xiàn)一次最大項最大項）（4個2,2 BABABABA最大項舉例：最大項舉例： 兩變量兩變量A、 B的最大項的最大項最大項最大項使使M為為0的取值的取值 對應(yīng)對應(yīng)10進(jìn)制數(shù)進(jìn)制數(shù)編編 號號ABC0 0 0 0M00 0 1 1M10 1 0 2M20 1 1 3M31 0 04M41 0 15M51 1 06M61 1 17M7CBACBACBACBACBACBACBACBA 最大項的編號最大項的編號在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最大項的值為在輸入變

29、量任一取值下，有且僅有一個最大項的值為0 0 在非標(biāo)準(zhǔn)或在非標(biāo)準(zhǔn)或-與式中的或項中，增加缺失變量與式中的或項中，增加缺失變量的原變量和反變量相與的項。的原變量和反變量相與的項。 例如：或項中缺失變量例如：或項中缺失變量D，則增加，則增加 ，然后，然后用或?qū)εc的分配律，就可以將或項轉(zhuǎn)換成最大項。用或?qū)εc的分配律，就可以將或項轉(zhuǎn)換成最大項。 或?qū)εc的分配律：或?qū)εc的分配律：A+BC=(A+B)(A+C)DD求標(biāo)準(zhǔn)或求標(biāo)準(zhǔn)或-與函數(shù)式的方法：與函數(shù)式的方法：最大項的性質(zhì)最大項的性質(zhì) 在輸入變量任一取值下，必有一個最大項，而且在輸入變量任一取值下，必有一個最大項，而且僅有一個最大項的值為僅有一個最大項

30、的值為0 0 全體最大項之積為全體最大項之積為0 0 任何兩個最大項之和為任何兩個最大項之和為1 1【例【例2-15】 ()()()YABC BCD ABCD()()()A B C DD AA B C D A B C D ()()()()()A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D ()()()()A B C D A B C D A B C D A B C D 45136()()()()YA B C D A B C D A B C D A B C DM M M M (4,5,6,13)M對于任意一個最大項，只有一組變量，使最大項為對于任意一個最大項，只有一

31、組變量，使最大項為0 0 最大項與最小項之間的關(guān)系：最大項與最小項之間的關(guān)系：iimM 00MBAB Am 相同編號的最小項和最大項存在互補(bǔ)關(guān)相同編號的最小項和最大項存在互補(bǔ)關(guān)系系 mi =Mi Mi =mi 若干個最小項之和表示的表達(dá)式若干個最小項之和表示的表達(dá)式F F，其反函數(shù)，其反函數(shù) F F可可用與這些最小項相對應(yīng)的等同個最大項之積表示。用與這些最小項相對應(yīng)的等同個最大項之積表示。7531mmmmF75317531mmmmmmmmF 7531MMMM 2.5 2.5 代數(shù)法化簡函數(shù)式代數(shù)法化簡函數(shù)式 化簡函數(shù)式的目的就是使邏輯函數(shù)式簡單，實(shí)現(xiàn)函數(shù)式化簡函數(shù)式的目的就是使邏輯函數(shù)式簡單，

32、實(shí)現(xiàn)函數(shù)式時不僅所用的門電路最少，而且門電路的輸入端個數(shù)最少。時不僅所用的門電路最少，而且門電路的輸入端個數(shù)最少。或者說在或者說在最簡與或函數(shù)最簡與或函數(shù)式中，式中，與項最少與項最少，與項中的，與項中的變量數(shù)最變量數(shù)最少少，因此為最簡與或函數(shù)式。，因此為最簡與或函數(shù)式。 邏輯代數(shù)法化簡就是用邏輯代數(shù)的定律與公式進(jìn)行化簡邏輯代數(shù)法化簡就是用邏輯代數(shù)的定律與公式進(jìn)行化簡CCC 2.6 2.6 卡諾圖卡諾圖2.6.1 2.6.1 畫卡諾圖畫卡諾圖 卡諾圖是二維表格，像真值表一樣，卡諾圖中的卡諾圖是二維表格，像真值表一樣，卡諾圖中的每一個格代表一個輸入組合每一個格代表一個輸入組合，因此三變量輸入的卡諾

33、，因此三變量輸入的卡諾圖具有圖具有2 23 3=8=8個格。個格。 卡諾圖每個格中填入的數(shù)字是對應(yīng)輸入變量組合卡諾圖每個格中填入的數(shù)字是對應(yīng)輸入變量組合的輸出邏輯值。的輸出邏輯值。1.卡諾圖卡諾圖A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3AABBABBAAB ABAB1010 m0 m1 m2 m3 miABC0100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m5 m6 m7 m40001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD卡諾圖卡諾圖

34、0001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD2 2從真值表到卡諾圖從真值表到卡諾圖 真值表與卡諾圖一樣是輸入變量的最小項與輸出真值表與卡諾圖一樣是輸入變量的最小項與輸出值之間關(guān)系的表格，因此只要將值之間關(guān)系的表格，因此只要將真值表中輸出為真值表中輸出為1 1的的最小項所對應(yīng)的卡諾圖格中填入最小項所對應(yīng)的卡諾圖格中填入1 1，就可以完成真值，就可以完成真值表到卡諾圖之間的轉(zhuǎn)換。表到卡諾圖之間的轉(zhuǎn)換。 例如，圖（例如，圖（a a）所示的真值表，其輸出）所示的真值表，其輸出Y（A、B、C）為為1

35、1的最小項值是的最小項值是001001、010010、110110和和111111，將這些最小，將這些最小項對應(yīng)卡諾圖格中填入項對應(yīng)卡諾圖格中填入1 1，如圖（，如圖（b b）所示卡諾圖。）所示卡諾圖。3 3將與將與- -或函數(shù)式填入卡諾圖或函數(shù)式填入卡諾圖（1 1）將標(biāo)準(zhǔn)與）將標(biāo)準(zhǔn)與- -或函數(shù)式填入卡諾圖或函數(shù)式填入卡諾圖 YABCABCABCABC【例【例2-232-23】將四變量標(biāo)準(zhǔn)與】將四變量標(biāo)準(zhǔn)與- -或或函數(shù)式填入四變量卡諾圖。函數(shù)式填入四變量卡諾圖。 YABCDABCDABCDABCD（2 2）非標(biāo)準(zhǔn)與）非標(biāo)準(zhǔn)與- -或函數(shù)式填入卡諾圖或函數(shù)式填入卡諾圖 非標(biāo)準(zhǔn)與非標(biāo)準(zhǔn)與-或函

36、數(shù)式中的與項常缺少一個或幾個變量，或函數(shù)式中的與項常缺少一個或幾個變量，缺哪個變量，就相當(dāng)于哪個變量互補(bǔ)，缺哪個變量，就相當(dāng)于哪個變量互補(bǔ)，最小項占據(jù)卡最小項占據(jù)卡諾圖中的一個格諾圖中的一個格，缺一個變量，則占據(jù)缺一個變量，則占據(jù)2個格，個格，缺兩缺兩個變量占據(jù)個變量占據(jù)4個格，個格，缺缺3個變量，則占據(jù)個變量，則占據(jù)8個格個格。YAABABCABACAB用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù) )15,11,10, 9 , 8 , 6 , 4 , 1 ()()( )(),(mDDCCBACDBBADBACCDCBABAACDDBADCBADCBAY【例【例】【例【例】已知邏輯函數(shù)的卡諾圖，試

37、寫出函數(shù)的邏輯式。已知邏輯函數(shù)的卡諾圖，試寫出函數(shù)的邏輯式。函數(shù)式等于卡諾圖中填入函數(shù)式等于卡諾圖中填入1 1的那些最小項之和的那些最小項之和CBAABCCBACBAY CBACBACBAABC2.6.2 2.6.2 用卡諾圖化簡與用卡諾圖化簡與- -或函數(shù)式或函數(shù)式1 1畫圈畫圈 用卡諾圖化簡就是使與用卡諾圖化簡就是使與- -或函數(shù)式中的或函數(shù)式中的與項最少與項最少，每個與項中的每個與項中的變量最少變量最少。與項少則與門的個數(shù)最少，。與項少則與門的個數(shù)最少，與項中的變量少，則與門中的輸入端個數(shù)少。與項中的變量少，則與門中的輸入端個數(shù)少。 卡諾圖中卡諾圖中: : 兩個相鄰格具有一個變量互補(bǔ)，可

38、以消除一個變量兩個相鄰格具有一個變量互補(bǔ)，可以消除一個變量；四個相鄰格具有兩個變量互補(bǔ)，可以消除兩個變量，四個相鄰格具有兩個變量互補(bǔ)，可以消除兩個變量，八個相鄰格具有三個變量互補(bǔ)，可以消除三個變量八個相鄰格具有三個變量互補(bǔ)，可以消除三個變量。 用用畫圈畫圈的方法的方法將相鄰的最小項圈在一起將相鄰的最小項圈在一起：圈越大說明變量消除得越多；圈越大說明變量消除得越多；不允許有重復(fù)圈；不允許有重復(fù)圈；每個圈中至少有一個沒有被圈過的最小項。每個圈中至少有一個沒有被圈過的最小項。【例【例2-24】 試在圖試在圖2-542-54所示的卡諾圖上畫圈，使所示的卡諾圖上畫圈，使圈圈最大，使圈的個數(shù)最少。最大，使

39、圈的個數(shù)最少?！纠纠?-252-25】 試寫出圖示三變量卡諾圖中各圈的函試寫出圖示三變量卡諾圖中各圈的函數(shù)式。數(shù)式。(a)(a) ABBCABC(b) (b) B ACAC(c) ABDABAC(d) BCDABC【例【例2-252-25】 試寫出圖試寫出圖2-552-55所示的三變量卡諾圖中所示的三變量卡諾圖中各圈的函數(shù)式。各圈的函數(shù)式。（1 1）任何兩個（任何兩個（2 21 1個）標(biāo)個）標(biāo)1 1的相鄰最小項，可以合并為一項的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量并消去一個變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。（消去互為反變量的因子，保留公因子）。CBACBAABCBCADBCAD

40、CBACDBADCBACBBCDBADBA合并最小項的原則：合并最小項的原則： CD AB 00 01 11 10 00 0 1 0 0 01 1 1 1 1 11 0 1 1 0 10 0 1 0 0 （2 2）任何任何4 4個（個（2 22 2個）標(biāo)個）標(biāo)1 1的相鄰最小項的相鄰最小項，可以，可以合并合并為一項為一項，并，并消去消去2 2個變量個變量。 B C A 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 CCBAABBABACBACABCBACBA)(BBACCACACAABCCABBCACBA)(DCBABD C D AB 00 01 11 10 00 1

41、 0 0 1 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 1 0 0 1 C D AB 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 0 1 1 0 BD C D AB 00 01 11 10 00 0 0 0 0 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10 0 0 0 0 （3 3）任何）任何8 8個（個（2 23 3個）標(biāo)個）標(biāo)1 1的相鄰最小的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去項，可以合并為一項，并消去3 3個變量。個變量。BD小結(jié)小結(jié)：相鄰最小相鄰最小項的數(shù)目必須為項的數(shù)目必須為 2 2n n個才能合并為個才能合并為一 項

42、， 并 消 去一 項 ， 并 消 去 n n 個變量。個變量。包含的包含的最小項數(shù)目越多，最小項數(shù)目越多，即由這些最小項即由這些最小項所形成的圈越大，所形成的圈越大，消去的變量也就消去的變量也就越多，從而所得越多，從而所得到的邏輯表達(dá)式到的邏輯表達(dá)式就越簡單。這就就越簡單。這就是利用卡諾圖化是利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的基簡邏輯函數(shù)的基本原理。本原理。（1 1）圈盡量大圈盡量大，但每個圈內(nèi)只能含有，但每個圈內(nèi)只能含有2 2n n（n n=0,1,2,3=0,1,2,3）個相鄰項。要特別注意對邊相）個相鄰項。要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。鄰性和四角相鄰性。（2 2）圈的個數(shù)盡量少圈的個數(shù)盡量少。

43、（3 3）卡諾圖中）卡諾圖中所有取值為所有取值為1 1的方格均要被圈過的方格均要被圈過，即，即不能漏下取值為不能漏下取值為1 1的最小項。的最小項。（4 4）在）在新畫的包圍圈中至少要含有新畫的包圍圈中至少要含有1 1個末被圈過的個末被圈過的1 1方格方格，否則該包圍圈是多余的。，否則該包圍圈是多余的。 用卡諾圖合并最小項的注意事項：用卡諾圖合并最小項的注意事項： C D AB 00 01 11 10 C D AB 0 0 01 1 1 10 00 1 1 0 1 00 1 1 0 1 01 0 1 1 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 1 11 0 0 1 1 10 0 0 0 0

44、 10 0 0 0 0 兩點(diǎn)說明：兩點(diǎn)說明： 在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到的各個乘積項組成的與或表達(dá)式各不相同，哪個是到的各個乘積項組成的與或表達(dá)式各不相同，哪個是最簡的，要經(jīng)過比較、檢查才能確定。最簡的，要經(jīng)過比較、檢查才能確定。不是最簡不是最簡最簡最簡BCDCABDACBABCDCADBABCDACDDCBCABDAACDDCBCA CD AB 00 01 11 10 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 0 0 00 1 1 0 0 01 1 1 1 0 01 1 1 1 0 11 0 0 1 0 11 0 0 1 0 10

45、1 0 1 0 10 1 0 1 0 在有些情況下，不同圈法得到的與或表達(dá)式都是在有些情況下，不同圈法得到的與或表達(dá)式都是最簡形式。即一個函數(shù)的最簡與或表達(dá)式不是唯一的。最簡形式。即一個函數(shù)的最簡與或表達(dá)式不是唯一的。【例【例2-262-26】 化簡函數(shù)式化簡函數(shù)式 YABCABCABCABCABCYBAC【例【例2-272-27】 試化簡最小項函數(shù)試化簡最小項函數(shù)Y(A,B,C,D) (0,1,2,3,4,6,9,11,12,13,15)。m YABABDABCAD化簡不完全！化簡不完全！ ADCABDABAADCABDBAADCABDBBAADCABDBABAY ADCABDABAY AD

46、DCBDABAY 化簡結(jié)果不唯一?；喗Y(jié)果不唯一?！纠纠?-28】 真值表如表真值表如表2-112-11所示，試用卡所示，試用卡諾圖化簡并寫出最簡與諾圖化簡并寫出最簡與- -或式。或式。ABCY00000010010101111000101111011111YBAC2.6.3 2.6.3 具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)化簡具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)化簡 如果在實(shí)現(xiàn)某些邏輯功能時，如果在實(shí)現(xiàn)某些邏輯功能時，不允許輸入變量的某些組合不允許輸入變量的某些組合出現(xiàn)出現(xiàn)，因此這些輸入變量組合對邏輯函數(shù)沒有作用，則這些輸，因此這些輸入變量組合對邏輯函數(shù)沒有作用，則這些輸入變量的組合稱為入變量的組合稱為約束項約束項。 如

47、果在實(shí)現(xiàn)某些邏輯功能時，如果在實(shí)現(xiàn)某些邏輯功能時，某些輸入變量組合的取值不某些輸入變量組合的取值不影響邏輯功能的實(shí)現(xiàn)，影響邏輯功能的實(shí)現(xiàn)，則這樣的輸入變量組合稱為則這樣的輸入變量組合稱為任意項任意項。 無論是約束項還是任意項，都不能使邏輯函數(shù)有確定的輸無論是約束項還是任意項，都不能使邏輯函數(shù)有確定的輸出值，也不影響邏輯函數(shù)的功能，因此稱為邏輯函數(shù)的無關(guān)項。出值，也不影響邏輯函數(shù)的功能，因此稱為邏輯函數(shù)的無關(guān)項。若是所有輸入變量的組合都產(chǎn)生確定的邏輯函數(shù)值，則該函數(shù)若是所有輸入變量的組合都產(chǎn)生確定的邏輯函數(shù)值，則該函數(shù)沒有無關(guān)項。沒有無關(guān)項。 在卡諾圖中，無關(guān)項常用在卡諾圖中，無關(guān)項常用x x表

48、示。表示。在卡諾圖中的在卡諾圖中的無關(guān)項無關(guān)項x x，可以，可以根據(jù)需根據(jù)需要取要取1 1或是取或是取0 0，因此也，因此也可以根據(jù)需可以根據(jù)需要與輸出為要與輸出為1 1的最小項圈在一起的最小項圈在一起。圖圖2-592-59是具有無關(guān)項的卡諾圖。是具有無關(guān)項的卡諾圖?！纠?-29】 試用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) ( , , ,)(5,6,7,8,9)(10,11,12,13,14,15)Y A B C Dmd 為無關(guān)項，表示這些輸入變量組合的為無關(guān)項，表示這些輸入變量組合的函數(shù)值是任意的。函數(shù)值是任意的。 (10,11,12,13,14,15)d( , ,)Y A B C DCBDAD2.7 2.7 邏輯電路圖、函數(shù)式與真值表之間的轉(zhuǎn)換邏輯電路圖、函數(shù)式與真值表之間的轉(zhuǎn)換1 1邏輯電路圖轉(zhuǎn)換到邏輯函數(shù)式邏輯電路圖轉(zhuǎn)換到邏輯函數(shù)式 用用邏輯運(yùn)算符號邏輯運(yùn)算符號替代替代邏輯圖中相應(yīng)的邏輯圖中相應(yīng)的門電路門電路，就可，就可以將邏輯圖轉(zhuǎn)換為邏輯函數(shù)式。通常從輸入向輸出逐以將邏輯圖轉(zhuǎn)換為邏輯函數(shù)式。通常從輸入向輸出逐級推導(dǎo)各個門的輸出函數(shù)式。級推導(dǎo)各個門的輸出函數(shù)式。 【例【例2-302-30】 對于給定的輸入波形對于給定的輸入波形A、B，試畫