第章 平穩(wěn)線性ARMA模型AR模型PPT課件

1、單擊此處編輯母版標題樣式單擊此處編輯母版文本樣式第二級第三級第四級第五級上海財經大學統(tǒng)計學系 *單擊此處編輯母版標題樣式單擊此處編輯母版文本樣式第二級第三級第四級第五級上海財經大學統(tǒng)計學系 *單擊此處編輯母版標題樣式單擊此處編輯母版文本樣式第二級第三級第四級第五級上海財經大學統(tǒng)計學系 *本節(jié)結構方法性工具線性過程的因果性和可逆性 AR模型 13.1 方法性工具 差分運算滯后算子線性差分方程在正式討論線性過程之前，我們首先給出相應的準備工具，介紹延遲算子和求解線性差分方程，這些工具會使得時間序列模型表達和分析更為簡潔和方便2差分運算一階差分 階差分 步差分3滯后算子延遲算子類似于一個時間指針，當

2、前序列值乘以一個延遲算子，就相當于把當前序列值的時間向過去撥了一個時刻 記B為延遲算子，有 4延遲算子的性質 ，其中 5用延遲算子表示差分運算 階差分 步差分6線性差分方程 線性差分方程齊次線性差分方程7齊次線性差分方程的解特征方程特征方程的根稱為特征根，記作齊次線性差分方程的通解不相等實數(shù)根場合有相等實根場合復根場合8非齊次線性差分方程的解 非齊次線性差分方程的特解使得非齊次線性差分方程成立的任意一個解非齊次線性差分方程的通解齊次線性差分方程的通解和非齊次線性差分方程的特解之和910線性平穩(wěn)時間序列分析 在時間序列的統(tǒng)計分析中，平穩(wěn)序列是一類重要的隨機序列。在這方面已經有了比較成熟的理論知識

3、，最常用的是ARMA（Autoregressive Moving Average）序列。用ARMA模型去近似地描述動態(tài)數(shù)據(jù)在實際應用中有許多優(yōu)點，例如它是線性模型，只要給出少量參數(shù)就可完全確定模型形式；另外，便于分析數(shù)據(jù)的結構和內在性質，也便于在最小方差意義下進行最佳預測和控制。本章將討論ARMA模型的基本性質和特征，這是時間序列統(tǒng)計分析中的重要理論基礎。 1112定理3.1 定義（3.1）中的線性過程是平穩(wěn)序列，且 是均方收斂的。133.1.2 線性過程的因果性和可逆性在應用時間序列分析去解決實際問題時，所使用的線性過程是因果性的，即： 14設 為一步延遲算子，則 ， ，(3.4)可表為：

4、其中， ，今后將把 看作對 進行運算的算子，又可作為 的函數(shù)來討論。 15 在理論研究和實際問題的處理時，通常還需要用t時刻及t時刻以前的 來表示白噪聲 ，即 16173.2 ARMA模型的性質 AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Average Model） ARMA模型（Auto Regression Moving Average model）18193.2.1一階自回歸過程AR(1)通常地，由于經濟系統(tǒng)慣性的作用，經濟時間序列往往存在著前后依存關系。最簡單的一種情形就是變量當前的取值主要與其前一時期的取值狀況有關，用數(shù)學模型來描述這種關系就是下

5、面介紹的一階自回歸模型。2021 在一階自回歸AR(1)模型中，保持其平穩(wěn)性的條件是對應的特征方程 的根的絕對值必須小于1，即滿足 。 對于平穩(wěn)的AR(1)模型，經過簡單的計算易得 22233.2.2 二階自回歸過程AR(2)當變量當前的取值主要與其前兩時期的取值狀況有關，用數(shù)學模型來描述這種關系就是如下的二階自回歸模型AR(2)： 引入延遲算子 的表達形式為：2425下面利用特征方程的根與模型參數(shù) 的關系，給出AR(2) 模型平穩(wěn)的 的取值條件（或值域）。 26(3.16)和(3.17)式是保證AR(2)模型平穩(wěn)，回歸參數(shù) 所應具有的條件。反之，若(3.16)和(3.17)式成立，則特征方程

6、 特征方程的根必落在單位圓內。 27滿足條件(3.16)和(3.17)式給出的區(qū)域 稱為平穩(wěn)域。對于AR(2)模型平穩(wěn)域是一個三角形區(qū)域，見下圖陰影部分。 282930例3.2 設AR(2)模型： 試判別 的平穩(wěn)性。 解：根據(jù)上述關于平穩(wěn)條件的討論，可以通過兩種徑進行討論： 3132下面我們討論序列的統(tǒng)計特性，關于平穩(wěn)的二階自回歸模型AR(2)模型： AR模型的定義具有如下結構的模型稱為 階自回歸模型，簡記為特別當 時，稱為中心化 模型33 AR(P)序列中心化變換稱 為 的中心化序列 ，令34自回歸系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化 模型又可以簡記為 自回歸系數(shù)多項式35AR模型平穩(wěn)性判別 判別

7、原因AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的 判別方法單位根判別法平穩(wěn)域判別法36例3.1:考察如下四個模型的平穩(wěn)性37例3.1平穩(wěn)序列時序圖38例3.1非平穩(wěn)序列時序圖39AR模型平穩(wěn)性判別方法特征根判別AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個特征根都在單位圓內根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項式的根成倒數(shù)的性質，等價判別條件是該模型的自回歸系數(shù)多項式的根都在單位圓外平穩(wěn)域判別 平穩(wěn)域40AR(1)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域41AR(2)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域42例3.1平穩(wěn)性判別模型特征根判別平穩(wěn)域判別結論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)43平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)

8、計性質均值方差協(xié)方差自相關系數(shù)偏自相關系數(shù)44均值 如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且 為白噪聲序列，有推導出45方差平穩(wěn)AR模型的傳遞形式兩邊求方差得46例3.2:求平穩(wěn)AR(1)模型的方差平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為Green函數(shù)為平穩(wěn)AR(1)模型的方差47協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘 ，再求期望根據(jù)得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式48例3.3:求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差遞推公式平穩(wěn)AR(1)模型的方差為協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為49例3.4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為50自相關系數(shù)自相關系數(shù)的定義平穩(wěn)AR(P)模型的自相關系數(shù)遞推公式51常用AR模型自相關系數(shù)遞推公式AR(1)模型AR(2)模型52AR模型自相關系數(shù)的性質拖尾性呈復指數(shù)衰減53例3.5:考察如下AR模型的自相關圖54例3.5自相關系數(shù)按復指數(shù)單調收斂到零55例3.5:56 例3.5: 自相關系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期”性57例3.5:自相關系數(shù)不規(guī)則衰減58偏自相關系數(shù)定義對于平穩(wěn)AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關系數(shù)就是指在給定中間k-1個隨機變量 的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾之后， 對 影響的相關度量。用數(shù)學語言描述就是