經(jīng)濟(jì)高數(shù)實(shí)驗(yàn)二

1、經(jīng)濟(jì)高數(shù)實(shí)驗(yàn)二經(jīng)濟(jì)類高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課經(jīng)濟(jì)類高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課 理學(xué)院數(shù)學(xué)系第二講一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康囊?、?shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握利用Mathematica軟件求極限的方法，加深對(duì)極限概念的理解，了解函數(shù)極限與左右極限間的聯(lián)系，進(jìn)一步理解無窮小的概念和收斂速度問題； 熟練掌握用Mathematica軟件求顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的方法； 掌握隱函數(shù)以及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法； 一般掌握用Mathematica軟件求函數(shù)極值的近似值的方法。 二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1.用Mathematica求函數(shù)極限： 命令的一般形式是 Limitfx,x-a （其中fx是數(shù)列或者函數(shù)的表達(dá)式， x-a是自變量的變化趨勢(shì)。如果自變量趨

2、向于無窮，用 x-Infinity來表示。） 示例：示例：i. i.輸入輸入 Limitx3+Sqrt1+2x2,x-1 輸出輸出 1 1ii. ii.輸入輸入 Limit（n2+n）(1/3)/(n+2),n-Infinity 輸出輸出 0iii.iii.輸入輸入 Limit(Tanx-Sinx)/(Sinx)3,x-0 輸出輸出312驗(yàn)證重要極限驗(yàn)證重要極限繪制圖形 Plot(1+1/x)x,x,10,1000輸出為求極限 Limit(1+1/x)x,x-Infinity輸出為 exxx)11 (lim 20040060080010002.622.642.662.682.72.722.2.

3、左右極限的計(jì)算左右極限的計(jì)算 對(duì)于單側(cè)極限，通過命令對(duì)于單側(cè)極限，通過命令Limit的選項(xiàng)的選項(xiàng)Direction表示自變量的變化方向。表示自變量的變化方向。i. i.求右極限時(shí)：求右極限時(shí)：Limitfx,x-a, Direction-1;ii. ii.求左極限時(shí)：求左極限時(shí)：Limitfx,x-a, Direction-1;iii.iii.求求 時(shí)的極限：時(shí)的極限： 用用Limitfx,x-Infinity, Direction-+1;iv.iv.求求 時(shí)的極限：時(shí)的極限： 用用Limitfx,x-Infinity, Direction-1;( (注意：右極限用減號(hào)，表示自變量減少趨向于注

4、意：右極限用減號(hào)，表示自變量減少趨向于a。) ) x x 觀察函數(shù) ，并確定其當(dāng) 時(shí)的極限。分別輸入： PlotArcTanx,x,-5Pi,5Pi LimitArcTanx,x-Infinity,Direction-+1 LimitArcTanx,x-Infinity,Direction-1arctanyxx 3.3.無窮小收斂速度的比較無窮小收斂速度的比較（i i） 與與 （ii ii） 與與首先在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出每組函數(shù)的圖形首先在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出每組函數(shù)的圖形Plotx2, 2x, x, -0.1, 0.1, PlotStyleRGBColor0, 1, 0, RGBColor0, 0

5、, 1Plot1-Cos2x, x2, x, -0.1, 0.1, PlotStyleRGBColor0, 1, 0, RGBColor0, 0, 1從圖形中容易看到無窮小趨于零的快慢從圖形中容易看到無窮小趨于零的快慢 。再輸入：再輸入：Limitx2/（2x）, x - 0 輸出輸出： 0 0Limit(1-Cos2x)/x2, x - 0 輸出輸出： 2 22x2xx2cos1 2x 溫馨提示： 由于Mathematica軟件版本的限制，有些極限在Mathematica4.0中可能不能計(jì)算，但對(duì)于Mathematica5.0則都可以完成。4. 4. 用用Mathematica軟件求一軟件求

6、一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分：元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分： 在Mathematica軟件中，可用命令D求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其基本形式是 Dfx,x 例： DLogx,x DArcTan6x-1,x 若要求fx在x=a處的導(dǎo)數(shù)，只要將x=a賦給上面的導(dǎo)函數(shù)便可得到，或直接使用命令 Dfx,x/.x-a DArcTan(6x-1)(1/2),x/.x-1例： 設(shè) ，求 和 輸入 DSin2x*Cos5x,x輸出 2Cos2xCos5x-5Sin2xSin5x再輸入 %/.x-Pi/4輸出 ( )sin2 cos5f xxx( )fx()4f52 若求fx對(duì)x的n階導(dǎo)，則使用命令 Dfx,x,n例 求函數(shù) 的三、七、八階

7、導(dǎo)數(shù)。輸入 DExpxSin2x,x,3 DExpxSin2x,x,7 DExpxSin2x,x,8sin2xyex 求函數(shù)微分的命令是Dt，其基本形式是 Dtfx 例：求函數(shù) 的微分。 輸入 DtxLogx 輸出 lnxyx1 2 Log xxDt x Log x 5 5隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在Mathematica軟件中求方程的解的命令是Solve。其格式是 Solvefx= =0,x （方程中的等號(hào)要用雙等號(hào)來表示。其輸出形式形如 ，其中a就是x的解。） ax 例：求由方程 確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中 為自變量。解 首先方程左右兩側(cè)同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)，并將求導(dǎo)后的方程命名。輸入 a1 = D

8、2x2 - 2x*yx + yx2 + x + 2yx + 1 = 0, x然后在此方程中以 為自變量求方程的解。輸入 Solvea1,yx(注意：在輸入方程表達(dá)式時(shí)，要把函數(shù) 寫做 ，表示 是 的函數(shù)。)2222210 xxyyxy xxx y xyy y x如求二階導(dǎo)數(shù)，則只需 a2 = D2x2 - 2x*yx + yx2 + x + 2yx + 1 = 0, x,2 Solvea2,yx/.%（后一條語句表示求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)把一階導(dǎo)數(shù)值代入）。6 6求函數(shù)的極值（求函數(shù)的極值（i i）例 求一元函數(shù) 的極值。解 定義函數(shù)：fx_=2x3-6x2-18x+7； 求導(dǎo)：diff=Dfx,x；

9、求駐點(diǎn)：Solvediff= =0,x，求得其兩根為-1和3； 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：diff2x_=Dfx,x,2； 計(jì)算駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值：diff2-1,diff23； 根據(jù)駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值判斷其極大、極小值點(diǎn)； 計(jì)算極值：f-1,f3。3226187yxxx6 6求函數(shù)的極值（求函數(shù)的極值（ii ii） Mathematica中求極值的命令格式為： FindMinimumfx,x,a（求極小值） FindMaximumfx,x,a（求極大值）（本命令能夠確定函數(shù)在初值a附近的極值的一個(gè)近似值。） 例 求函數(shù) 的位于區(qū)間 內(nèi)的極值的近似值 。解 首先畫出函數(shù)的圖形，以確定初值的大概位置 Plot2(Sin2x)2+5/2x*(Cosx/2)2,x,0,Pi 輸出2252sin (2 )cos ( )22xyxx0,0.511.522.530.511.522.533.5 觀察函數(shù)圖形，發(fā)現(xiàn)在x=1.5附近有極小值，在x=0.6和x=2.5附近有極大值，所以輸入：FindMinimum2(Sin2x)2+5/2x*(Cosx/2)2,x,1.5 輸出為1.94461, x - 1.62391 即極小值點(diǎn)為x=1.62391， 極小值為1.94461。再輸入FindMaxim