[數(shù)學(xué)]jsh第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型ppt課件

1、第一章要點(diǎn)回想定性知識(shí)第一章要點(diǎn)回想定性知識(shí)自動(dòng)控制系統(tǒng)的根本概自動(dòng)控制系統(tǒng)的根本概念念反響控制系統(tǒng)的根本組反響控制系統(tǒng)的根本組成、原理方框圖成、原理方框圖自動(dòng)控制系統(tǒng)的根本控自動(dòng)控制系統(tǒng)的根本控制方式制方式自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類自動(dòng)控制系統(tǒng)的根本要自動(dòng)控制系統(tǒng)的根本要求求典型輸入信號(hào)典型輸入信號(hào)第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1 引言引言2.2 時(shí)域數(shù)學(xué)模型時(shí)域數(shù)學(xué)模型2.3 復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型2.4 構(gòu)造圖、信號(hào)流圖與梅遜公式構(gòu)造圖、信號(hào)流圖與梅遜公式2.5 反響控制系統(tǒng)的傳送函數(shù)反響控制系統(tǒng)的傳送函數(shù)千里之行，始于足下。千里之行，始于足下。

2、2.1 引引 言言一一. .數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 1. 1.定義：定義： 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描畫系統(tǒng)輸入、輸出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描畫系統(tǒng)輸入、輸出變量以及系統(tǒng)內(nèi)部各物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)。變量以及系統(tǒng)內(nèi)部各物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)。數(shù)學(xué)模型是分析和設(shè)計(jì)自動(dòng)控制系統(tǒng)的根底。數(shù)學(xué)模型是分析和設(shè)計(jì)自動(dòng)控制系統(tǒng)的根底。 2. 2.為什么要建立數(shù)學(xué)模型：為什么要建立數(shù)學(xué)模型： 我們需求了解系統(tǒng)的詳細(xì)的性能目的，只是我們需求了解系統(tǒng)的詳細(xì)的性能目的，只是定性地了解系統(tǒng)的任務(wù)原理和大致的運(yùn)動(dòng)過程是定性地了解系統(tǒng)的任務(wù)原理和大致的運(yùn)動(dòng)過程是不夠的，希望可以從實(shí)際上對(duì)系統(tǒng)的系統(tǒng)的性能不夠的，希望可以從實(shí)際上對(duì)系統(tǒng)的系

3、統(tǒng)的性能進(jìn)展定量的分析和計(jì)算。要做到這一點(diǎn)，首先要進(jìn)展定量的分析和計(jì)算。要做到這一點(diǎn)，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。它是分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的根建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。它是分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的根據(jù)。據(jù)。 另一個(gè)緣由：許多外表上看來似乎毫無共同另一個(gè)緣由：許多外表上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律能夠完全一樣，可之處的控制系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律能夠完全一樣，可以用一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程來表示，我們可以不單獨(dú)地去以用一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程來表示，我們可以不單獨(dú)地去研討詳細(xì)系統(tǒng)而只分析其數(shù)學(xué)表達(dá)式，即可知其研討詳細(xì)系統(tǒng)而只分析其數(shù)學(xué)表達(dá)式，即可知其變量間的關(guān)系，這種關(guān)系可代表數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣變量間的關(guān)系，這種關(guān)系可代表數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣的

4、任何系統(tǒng)，因此需建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。的任何系統(tǒng)，因此需建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。比如機(jī)械平移系統(tǒng)和比如機(jī)械平移系統(tǒng)和RLCRLC電路就可以用同一個(gè)數(shù)電路就可以用同一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式分析，具有一樣的數(shù)學(xué)模型。學(xué)表達(dá)式分析，具有一樣的數(shù)學(xué)模型。二二. . 物理模型物理模型 任何元件或系統(tǒng)實(shí)踐上都是很復(fù)雜任何元件或系統(tǒng)實(shí)踐上都是很復(fù)雜的，難以對(duì)它作出準(zhǔn)確、全面的描畫，必需的，難以對(duì)它作出準(zhǔn)確、全面的描畫，必需進(jìn)展簡化或理想化。簡化后的元件或系統(tǒng)為進(jìn)展簡化或理想化。簡化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡化是有條件的，該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡化是有條件的，要根據(jù)問題的性質(zhì)和求解的準(zhǔn)確要求，來確要

5、根據(jù)問題的性質(zhì)和求解的準(zhǔn)確要求，來確定出合理的物理模型。電子放大器定出合理的物理模型。電子放大器 看成看成 理想的線性放大環(huán)節(jié)；通訊衛(wèi)星理想的線性放大環(huán)節(jié)；通訊衛(wèi)星 看成看成 質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn) 。三、三、 數(shù)學(xué)模型的幾種表示方式數(shù)學(xué)模型的幾種表示方式數(shù)學(xué)模型時(shí)域模型頻域模型方框圖和信號(hào)流圖狀態(tài)空間模型微分方程 同一個(gè)系統(tǒng)，可以選用不同的數(shù)學(xué)模型，同一個(gè)系統(tǒng)，可以選用不同的數(shù)學(xué)模型，研討時(shí)域呼應(yīng)時(shí)須用時(shí)域模型，研討頻域研討時(shí)域呼應(yīng)時(shí)須用時(shí)域模型，研討頻域呼應(yīng)時(shí)那么要用頻率特性。呼應(yīng)時(shí)那么要用頻率特性。 傳送函數(shù)四、四、 建立數(shù)學(xué)模型的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法 ： 目前工程上采用的方法主要是目前工程上采用的

6、方法主要是 a a、分析計(jì)算法、分析計(jì)算法( (機(jī)理建模，解析機(jī)理建模，解析) )分析計(jì)算分析計(jì)算法是根據(jù)支配系統(tǒng)的內(nèi)在運(yùn)動(dòng)規(guī)律物理規(guī)法是根據(jù)支配系統(tǒng)的內(nèi)在運(yùn)動(dòng)規(guī)律物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律等以及系統(tǒng)的構(gòu)造和參數(shù)，律、化學(xué)規(guī)律等以及系統(tǒng)的構(gòu)造和參數(shù)，推導(dǎo)出輸入量和輸出量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，推導(dǎo)出輸入量和輸出量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而建立數(shù)學(xué)模型從而建立數(shù)學(xué)模型適用于簡單的系統(tǒng)適用于簡單的系統(tǒng) b b、工程實(shí)驗(yàn)法、工程實(shí)驗(yàn)法( (實(shí)驗(yàn)建模、辨識(shí)實(shí)驗(yàn)建模、辨識(shí)) )它是利用它是利用系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸入-輸出信號(hào)來建立數(shù)學(xué)模型的方輸出信號(hào)來建立數(shù)學(xué)模型的方法。通常在對(duì)系一致無所知的法。通常在對(duì)系一致無所知的 情

7、況下，采用情況下，采用這種建模方法。這種建模方法。黑盒灰盒黑盒灰盒輸入輸入輸出輸出 但實(shí)踐上有的系統(tǒng)還是了解一部分的，這時(shí)稱為灰但實(shí)踐上有的系統(tǒng)還是了解一部分的，這時(shí)稱為灰盒，可以分析計(jì)算法與工程實(shí)驗(yàn)法一同用，較準(zhǔn)確而方盒，可以分析計(jì)算法與工程實(shí)驗(yàn)法一同用，較準(zhǔn)確而方便地建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。便地建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 實(shí)際上，沒有一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式可以準(zhǔn)確絕對(duì)準(zhǔn)確實(shí)際上，沒有一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式可以準(zhǔn)確絕對(duì)準(zhǔn)確地描畫一個(gè)系統(tǒng)，由于，實(shí)際上任何一個(gè)系統(tǒng)都是非線地描畫一個(gè)系統(tǒng)，由于，實(shí)際上任何一個(gè)系統(tǒng)都是非線性的、時(shí)變的和分布參數(shù)的，都存在隨機(jī)要素，系統(tǒng)越性的、時(shí)變的和分布參數(shù)的，都存在隨機(jī)要素，系統(tǒng)越復(fù)雜，

8、情況也越復(fù)雜。復(fù)雜，情況也越復(fù)雜。 而實(shí)踐工程中，為了簡化問題，經(jīng)常對(duì)一些對(duì)系統(tǒng)運(yùn)而實(shí)踐工程中，為了簡化問題，經(jīng)常對(duì)一些對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程影響不大的要素忽略，抓住主要問題進(jìn)展建模，動(dòng)過程影響不大的要素忽略，抓住主要問題進(jìn)展建模，進(jìn)展定量分析，也就是說建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該在模進(jìn)展定量分析，也就是說建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該在模型的準(zhǔn)確度和復(fù)雜度上進(jìn)展折中的思索。不能過于簡化，型的準(zhǔn)確度和復(fù)雜度上進(jìn)展折中的思索。不能過于簡化，而使數(shù)學(xué)模型變的不準(zhǔn)確，也不能過分追求準(zhǔn)確性，使而使數(shù)學(xué)模型變的不準(zhǔn)確，也不能過分追求準(zhǔn)確性，使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型過于復(fù)雜。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型過于復(fù)雜。分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的幾個(gè)步驟：

9、建立物理模型。 列寫原始方程。利用適當(dāng)?shù)奈锢怼⒒瘜W(xué)規(guī)律如牛頓定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等 選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及形狀變量僅在建立形狀模型時(shí)要求，消去中間變量，建立適當(dāng)?shù)妮斎胼敵瞿Ｐ突蛐螤羁臻g模型。實(shí)驗(yàn)法基于系統(tǒng)辨識(shí)的建模方法黑黑 匣匣 子子輸輸 入入 （ 已已 知知 ）輸輸 出出 （ 已已 知知 ） 知知識(shí)和辨識(shí)目的 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)-選擇實(shí)驗(yàn)條件 模型階次-適宜于運(yùn)用的適當(dāng)?shù)碾A次 參數(shù)估計(jì)-最小二乘法 模型驗(yàn)證將實(shí)踐輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)展比較，系統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出之間在選定意義上的接近。2.2 2.2 微分方程模型時(shí)域模型微分方程模型時(shí)域模型 2.2.1 2.2.1 建立微分

10、方程模型建立微分方程模型( (最根本數(shù)最根本數(shù)學(xué)模型學(xué)模型) )的的 根本步驟：根本步驟： 在實(shí)踐運(yùn)用中，絕大多數(shù)控制在實(shí)踐運(yùn)用中，絕大多數(shù)控制系統(tǒng)在一定的限制條件下，都可以用系統(tǒng)在一定的限制條件下，都可以用線性微分方程來描畫。線性微分方程來描畫。 1分析系統(tǒng)的任務(wù)原理，確定系統(tǒng)、各元件的分析系統(tǒng)的任務(wù)原理，確定系統(tǒng)、各元件的輸入輸出物理量；輸入輸出物理量； 2根據(jù)物理定律或化學(xué)定律機(jī)理，列出各根據(jù)物理定律或化學(xué)定律機(jī)理，列出各元件或環(huán)節(jié)的原始方程，在條件允許的情況下忽略元件或環(huán)節(jié)的原始方程，在條件允許的情況下忽略次要要素，適當(dāng)簡化；次要要素，適當(dāng)簡化； 3消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微

11、分消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程。方程。 4規(guī)范化。規(guī)范化。2.2.2 2.2.2 例題解析例題解析U U1 1R R1 1R R2 2U U2 2C C1 1C C2 2圖圖 2 2- -1 1 R RC C組組 成成 的的 四四 端端 網(wǎng)網(wǎng) 絡(luò)絡(luò) 圖2-1為由一RC組成的四端無源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以U1t為輸入量，U2(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。例例2-1 2-1 電路網(wǎng)絡(luò)電路網(wǎng)絡(luò) 1111cUiRU dtiiCUc)(12111 2221ccUiRU dtiCUc2221 22cUU 由、得由、得 解： 設(shè)回路電流i1、i2，根據(jù)克希霍夫定律，列寫方程如下：dtdUCdtdUCi

12、c22222由導(dǎo)出 dtdUCdtdUCidtdUCicc22112111將i1、i2代入、，那么得 222111cUiRiRU222222111)(UdtdUCRdtdUCdtdUCRc22222222211)(UdtdUCRdtdUCUiRdtdCR22222212112222211UdtdUCRdtdUCRdtdUCRdtUdCRCR1222221112222121)(UUdtdUCRCRCRdtUdCCRR這就是RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，是一個(gè)二階線性微分方程。留意：留意： 整個(gè)電路雖然是由兩個(gè)整個(gè)電路雖然是由兩個(gè)RC電路所組成，但電路所組成，但不能把它看作是兩個(gè)獨(dú)立的不能把它看作

13、是兩個(gè)獨(dú)立的RC電路的銜接。電路的銜接。由于第二級(jí)電路的由于第二級(jí)電路的i2要影響第一級(jí)電路的要影響第一級(jí)電路的uc1，列寫方程式應(yīng)思索這個(gè)影響。這種后一級(jí)對(duì)前列寫方程式應(yīng)思索這個(gè)影響。這種后一級(jí)對(duì)前一級(jí)的影響叫做負(fù)載效應(yīng)。存在負(fù)載效應(yīng)時(shí)，一級(jí)的影響叫做負(fù)載效應(yīng)。存在負(fù)載效應(yīng)時(shí)，必需把全部元件作為整體來加以思索。本例假必需把全部元件作為整體來加以思索。本例假設(shè)不思索負(fù)載效應(yīng)時(shí)，有：消去中間變量得：設(shè)不思索負(fù)載效應(yīng)時(shí)，有：消去中間變量得：第一級(jí)第一級(jí) 得：得：第二級(jí)第二級(jí) 顯然，與前面顯然，與前面得到的結(jié)果不同。得到的結(jié)果不同。1222211111cccccUUdtdUCRUUdtdUCR122

14、22112222121)(UUdtdUCRCRdtUdCCRR 試證明圖2-2(a)、(b)所示的機(jī)、電系統(tǒng)是類似系統(tǒng)(即兩系統(tǒng)具有一樣的數(shù)學(xué)模型)。 圖圖 2 2 - - 2 2 機(jī)機(jī) 電電 相相 似似 系系 統(tǒng)統(tǒng)B B 1 1B B 2 2K K 1 1K K 2 2X X r rX X c c( ( a a ) ) 機(jī)機(jī) 械械 系系 統(tǒng)統(tǒng)R R 2 2C C 2 2R R 1 1C C 1 1U U r rU U c c( ( b b ) ) 電電 氣氣 系系 統(tǒng)統(tǒng)例例2-2 2-2 機(jī)電系統(tǒng)機(jī)電系統(tǒng)對(duì)電氣網(wǎng)絡(luò)對(duì)電氣網(wǎng)絡(luò)(b)，列寫電路方程如下：，列寫電路方程如下：c2c2cr1cr1X

15、BXK)X-X(B)X-(XKrrcXKBXKKBB1121c21X)(X)(rUidtCiRidtCiR112211 c22c11UCUCc11ciURUrc2c121UUU)i(R R 解： 對(duì)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)a：輸入為Xr，輸出為Xc，根據(jù)力平衡，可列出其運(yùn)動(dòng)方程式 利用、求出 代入將兩邊微分得1)211 (21)211 (RCCRRUcCCUrirrccUCURUCCURR1121211)11()(力力-電類似電類似 機(jī)系統(tǒng)機(jī)系統(tǒng)a a和電系統(tǒng)和電系統(tǒng)b b具有一樣的數(shù)學(xué)模型，故這些物具有一樣的數(shù)學(xué)模型，故這些物理系統(tǒng)為類似系統(tǒng)。即電系統(tǒng)為即系統(tǒng)的等效網(wǎng)絡(luò)理系統(tǒng)為類似系統(tǒng)。即電系統(tǒng)為即系統(tǒng)的等

16、效網(wǎng)絡(luò) 類似系統(tǒng)提示了不同物理景象之間的類似關(guān)系。由此可見利用類似系統(tǒng)提示了不同物理景象之間的類似關(guān)系。由此可見利用數(shù)學(xué)模型研討控制系統(tǒng)的重要性、方便性。另外，用電氣系統(tǒng)模擬機(jī)數(shù)學(xué)模型研討控制系統(tǒng)的重要性、方便性。另外，用電氣系統(tǒng)模擬機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)展實(shí)驗(yàn)研討也是工程中的常用方法，由于普通來說，電的或械系統(tǒng)進(jìn)展實(shí)驗(yàn)研討也是工程中的常用方法，由于普通來說，電的或電子的系統(tǒng)更容易經(jīng)過實(shí)驗(yàn)進(jìn)展研討。電子的系統(tǒng)更容易經(jīng)過實(shí)驗(yàn)進(jìn)展研討。 就系統(tǒng)實(shí)際而言，可以撇開系統(tǒng)的詳細(xì)屬性進(jìn)展普遍意義的分就系統(tǒng)實(shí)際而言，可以撇開系統(tǒng)的詳細(xì)屬性進(jìn)展普遍意義的分析和研討。析和研討。 機(jī)械電阻R1電阻R2彈性系數(shù)K1彈性系數(shù)K2

17、電氣阻尼B1阻尼B21/C11/C2 圖圖2-3 所示為電樞控制直流所示為電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程，要求電動(dòng)機(jī)的微分方程，要求取電樞電壓取電樞電壓Ua(t)v為輸為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速mtrad/s為輸出量，列寫為輸出量，列寫微分方程。圖中微分方程。圖中Ra()、La(H)分別是電樞電路的電分別是電樞電路的電阻和電感，阻和電感，Mc(NM)是折是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)距。激磁磁通為常值。轉(zhuǎn)距。激磁磁通為常值。圖圖 2 2- -3 3 電電 樞樞 控控 制制 直直 流流 電電 動(dòng)動(dòng) 機(jī)機(jī) 原原 理理 圖圖S SM M負(fù)載- - -L La aR Ra

18、aE Ea aW Wm mJ Jm m, ,f fm mU Ua ai if fi ia a例例2-3 電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)解：解： 電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的任務(wù)本質(zhì)是將輸入的電能轉(zhuǎn)電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的任務(wù)本質(zhì)是將輸入的電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，也就是由輸入的電樞電壓換為機(jī)械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流中產(chǎn)生電樞電流ia(t)，再由電流，再由電流iat與激磁磁通相互與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距Mm(t)，從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。因此，從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。因此，直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可由以下三部分組成。直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可由以下三部分組成。 (1)電樞回路

19、電壓平衡方程電樞回路電壓平衡方程 (2)電磁轉(zhuǎn)距方程電磁轉(zhuǎn)距方程 (3)電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程 電樞回路電壓平衡方程：Ea是電樞反電勢，它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢，其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與電樞電壓Ua(t)相反，即 Ea=Cemt Ce反電勢系數(shù)v/rad/saaaaaaEtiRdttdiLtU)()()(電磁轉(zhuǎn)距方程： -電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù) Nm/A是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù)是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù) -是由電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)距是由電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)距Nm 電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程：電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程： Jm轉(zhuǎn)動(dòng)慣量電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

20、量電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的 kgm fm-電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)Nm/rad/s)()(tiCtMammmC)(tMm)()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm 、求出ia(t)，代入同時(shí)亦代入得： )()()()()()()()(2tMRdttdMLtUCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma 在工程運(yùn)用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計(jì)， 因此可簡化為)()()()(21tMKtUKtdttdTcammmemmamamCCfRJRTemmaCCRafRK2 emmamC

21、CfRCK1電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)s 假設(shè)電樞電阻Ra和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm都很小而忽略不計(jì)時(shí) 還可進(jìn)一步簡化為)()(tUtCame)(tUa)(tm 電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速 與電樞電壓 成正比，于是電動(dòng)機(jī)可作為測速發(fā)電機(jī)運(yùn)用。例例2-4：速度控制系統(tǒng)：速度控制系統(tǒng) (復(fù)雜系統(tǒng)復(fù)雜系統(tǒng)) 建立一個(gè)復(fù)雜的控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，重要是分析構(gòu)成系統(tǒng)的建立一個(gè)復(fù)雜的控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，重要是分析構(gòu)成系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)，以及環(huán)節(jié)間的耦合有無負(fù)載效應(yīng)，在無負(fù)載效各個(gè)環(huán)節(jié)，以及環(huán)節(jié)間的耦合有無負(fù)載效應(yīng)，在無負(fù)載效應(yīng)的情況下，先列寫各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型，最后整理得系統(tǒng)得數(shù)應(yīng)的情況下，先列寫各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型，最后整理得系統(tǒng)得數(shù)學(xué)模型

22、，對(duì)于該系統(tǒng)，構(gòu)成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)如上圖所示，各環(huán)節(jié)學(xué)模型，對(duì)于該系統(tǒng)，構(gòu)成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)如上圖所示，各環(huán)節(jié)得數(shù)學(xué)模型為：得數(shù)學(xué)模型為：運(yùn)算放大器運(yùn)算放大器 運(yùn)算放大器運(yùn)算放大器功率放大器功率放大器 直流電動(dòng)機(jī)直流電動(dòng)機(jī)齒輪系齒輪系測速發(fā)電機(jī)測速發(fā)電機(jī) eu1K)tui(u1K1uRCRRKudtduKu1221122)(23uKuaccammmmMKuKwdtdwTmwiw1wKutt 將上述方程消除中間變量將上述方程消除中間變量 整理后便得整理后便得到該控制系統(tǒng)的微分方程：到該控制系統(tǒng)的微分方程：matwuuuu,21);/();/();/();/()(321321321321321321321

23、tmcctmmgtmmgtmtmmmccigigmKKKKKiKKKKKKKiKKKKKKKKKKiKKKKKKKKKKiKKKKKiTTMKuKdtduKwdtdwT2.2.3 2.2.3 線性系統(tǒng)的特性線性系統(tǒng)的特性1.1.定義：定義： 假設(shè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程，假設(shè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程，這樣的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。這樣的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。線性元件：具有迭加性和齊次性的元件稱為線性線性元件：具有迭加性和齊次性的元件稱為線性元件。元件。 非線性元件：不具有迭加性和齊次性非線性元件：不具有迭加性和齊次性的元件稱為非線性元件。的元件稱為非線性元件。 假設(shè)元件輸入為假設(shè)元件輸入為r r

24、t t、r1r1t t、r2r2t t，對(duì)應(yīng)的輸出為對(duì)應(yīng)的輸出為c ct t、c1c1t t、c2c2t t 假設(shè)假設(shè)r rt t=r1=r1t t+r2+r2t t時(shí)，時(shí)，c ct t=c1=c1t t+c2+c2t t 滿足迭加性滿足迭加性 假設(shè)假設(shè)r rt t=ar1=ar1t t時(shí)，時(shí)，c ct t=ac1=ac1t t 滿足齊次性滿足齊次性 滿足迭加性和齊次性的元件才是線性元件。滿足迭加性和齊次性的元件才是線性元件。2.重要特點(diǎn)：重要特點(diǎn)： 對(duì)線性系統(tǒng)可以運(yùn)用迭加性和齊次性，對(duì)對(duì)線性系統(tǒng)可以運(yùn)用迭加性和齊次性，對(duì)研討帶來了極大的方便。研討帶來了極大的方便。 迭加性的運(yùn)用：欲求系統(tǒng)在幾

25、個(gè)輸入信號(hào)和干迭加性的運(yùn)用：欲求系統(tǒng)在幾個(gè)輸入信號(hào)和干擾信號(hào)同時(shí)作用下的總呼應(yīng)，只需對(duì)這幾個(gè)外作擾信號(hào)同時(shí)作用下的總呼應(yīng)，只需對(duì)這幾個(gè)外作用單獨(dú)求呼應(yīng)，然后加起來就是總呼應(yīng)。用單獨(dú)求呼應(yīng)，然后加起來就是總呼應(yīng)。 齊次性闡明：當(dāng)外作用的數(shù)值增大假設(shè)干倍時(shí)，齊次性闡明：當(dāng)外作用的數(shù)值增大假設(shè)干倍時(shí)，其呼應(yīng)的數(shù)值也添加假設(shè)干倍。這樣，我們可以其呼應(yīng)的數(shù)值也添加假設(shè)干倍。這樣，我們可以采用單位典型外作用單位階躍、單位脈沖、單采用單位典型外作用單位階躍、單位脈沖、單位斜坡等對(duì)系統(tǒng)進(jìn)展分析位斜坡等對(duì)系統(tǒng)進(jìn)展分析簡化了問題。簡化了問題。2.2.4 2.2.4 線性微分方程的求解線性微分方程的求解方法兩種方法

26、兩種: :經(jīng)典法和拉氏變換法經(jīng)典法和拉氏變換法 拉氏變換法求解線性定常微分方程的過程為： (1) 思索初始條件，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)展拉氏變換，轉(zhuǎn)換為變量s的代數(shù)方程； (2) 由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式； (3) 對(duì)輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式，即微分方程的解。列列出出方方程程求求解解方方程程求求解解微微分分方方程程初初條條輸輸入入量量2.2.5 2.2.5 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化 嚴(yán)厲地說，實(shí)踐物理元件或系統(tǒng)都是嚴(yán)厲地說，實(shí)踐物理元件或系統(tǒng)都是非線性的。如：彈簧的剛度與其形變有關(guān)，彈非線性的。如：彈簧的剛度與其形變有關(guān)，彈性系數(shù)性系數(shù)K K與

27、位移與位移x x有關(guān)，且非常值；電阻、電容、有關(guān)，且非常值；電阻、電容、電感等值也與周圍環(huán)境及經(jīng)過它們的電流有關(guān)；電感等值也與周圍環(huán)境及經(jīng)過它們的電流有關(guān)； 電動(dòng)機(jī)本身的摩擦、死區(qū)等非線性要素也存在。電動(dòng)機(jī)本身的摩擦、死區(qū)等非線性要素也存在。常用兩種處置方法：忽略非線性常用兩種處置方法：忽略非線性 取常值取常值 切線法切線法或小偏向法或小偏向法 在工程實(shí)際中，控制系統(tǒng)都有一個(gè)額在工程實(shí)際中，控制系統(tǒng)都有一個(gè)額定的任務(wù)形狀和任務(wù)點(diǎn)，當(dāng)變量在任務(wù)點(diǎn)附近定的任務(wù)形狀和任務(wù)點(diǎn)，當(dāng)變量在任務(wù)點(diǎn)附近作小范圍的變化作小范圍的變化, ,且變量在給定的區(qū)域間有各階且變量在給定的區(qū)域間有各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，便可在給定任務(wù)

28、點(diǎn)的鄰域?qū)⒎蔷€性函導(dǎo)數(shù)時(shí)，便可在給定任務(wù)點(diǎn)的鄰域?qū)⒎蔷€性函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)，忽略級(jí)數(shù)中高階無窮小項(xiàng)數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)，忽略級(jí)數(shù)中高階無窮小項(xiàng)后，就可得到只包含偏向的一次項(xiàng)的線性方程。后，就可得到只包含偏向的一次項(xiàng)的線性方程。這種線性化方法稱為小偏向法。這種線性化方法稱為小偏向法。 設(shè)一個(gè)變量的延續(xù)非線性函數(shù)設(shè)一個(gè)變量的延續(xù)非線性函數(shù) y=f(x)y=f(x)，在，在x0 x0處延處延續(xù)可微，那么可將它在該點(diǎn)附件用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開續(xù)可微，那么可將它在該點(diǎn)附件用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開 2 )0)(0(! 21)0)(0()0()(xxxfxxxfxfxfy增量較小時(shí)略去其高次冪項(xiàng)，那么有增量較小時(shí)略去其高次冪項(xiàng)，

29、那么有 )0)(0()0()(0 xxxfxfxfyy0 xxx0yyy令 y=kx k比例系數(shù)，函數(shù)在x0點(diǎn)切線的斜率.兩個(gè)變量的非線性函數(shù)兩個(gè)變量的非線性函數(shù) y=f(x1,x2)y=f(x1,x2)，同樣可在某任務(wù)點(diǎn)，同樣可在某任務(wù)點(diǎn)x10,x20 x10,x20附近用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開為附近用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開為 )(),()(),(2)(),(! 21)(),()(),(),(),(22022220102202101212010210121201022022201010112010201021xxxxxfxxxxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxfxxfy略去二級(jí)以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，并令

30、略去二級(jí)以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，并令yyy-f(x10,x20)y-f(x10,x20) 這種小偏向線性化方法對(duì)于控制系統(tǒng)大多數(shù)任務(wù)形狀是可行的，平衡點(diǎn)附近，偏向普通不會(huì)很大，都是“小偏向點(diǎn)。 在線性化處置時(shí)要留意以下幾點(diǎn)： 1線性化方程中的參數(shù)如上面的 與選擇的任務(wù)點(diǎn)有關(guān)，任務(wù)點(diǎn)不同相應(yīng)的參數(shù)也不同。因此處置時(shí)，首先應(yīng)確定任務(wù)點(diǎn)。 2在線性化過程中，略去了泰勒級(jí)數(shù)中二階以上的無窮小項(xiàng)，假照實(shí)踐系統(tǒng)中輸入量變化范圍較大時(shí)，采用小偏向法建立線性模型必然會(huì)帶來較大的誤差。 3假設(shè)描畫非線性特性的函數(shù)具有延續(xù)點(diǎn)，折斷點(diǎn)或非單值關(guān)系而無法作線性化處置時(shí)，那么控制系統(tǒng)只能運(yùn)用非線性實(shí)際來研討。 4線性化后的微分方程

31、通常是增量方程，在運(yùn)用上為了簡便通常直接采用y和x來表示增量。 20221011xxxxxx2211222010112010),(),(xKxKxxxxfxxxxfy10y12上線性化。求用線性化方程來計(jì)算當(dāng)x=5，y=10時(shí)z值所產(chǎn)生的誤差。解：由于研討的區(qū)域?yàn)?x7、10y12，應(yīng)選擇任務(wù)點(diǎn)x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=611=66.求在點(diǎn)x0=6，y0=11，z0=66附近非線性方程的線性化表達(dá)式。將非線性方程在點(diǎn)x0,y0,z0處展開成泰勒級(jí)數(shù)，并忽略其高階項(xiàng)，那么有)()(000yybxxazz11000yxzayyxx6000 xyzbyyxx因此，線性化方程式為： z

32、-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66當(dāng)x=5,y=10時(shí)，z的準(zhǔn)確值為z=xy=510=50由線性化方程求得的z值為 z=11x+6y=55+60-66=49因此，誤差為50-49=1，表示成百分?jǐn)?shù) %2501例2-5 試把非線性方程 z=xy 在區(qū)域5x7 、 數(shù)學(xué)工具拉普拉斯變換與數(shù)學(xué)工具拉普拉斯變換與反變換反變換1、 拉氏變換定義 設(shè)函數(shù)f(t)滿足 t0時(shí)，f(t)分段延續(xù) 那么f(t)的拉氏變換存在，其表達(dá)式記作f(t)稱為 F(s)的拉氏逆變換。記為： 、拉氏變換根本定理 線性定理 dtetfst0)(dtetftfLsFst0)()()()()(1sFLt

33、f原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。 微分性質(zhì) 假設(shè) ，那么有f(0)為原函數(shù)f(t) 在t=0時(shí)的初始值。)()(sFtfL)0()()(fssFtfL)()()()(22112211sFasFatfatfaL 證：根據(jù)拉氏變換的定義有證：根據(jù)拉氏變換的定義有 原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換依次類推，可以得到原函數(shù)依次類推，可以得到原函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的拉階導(dǎo)數(shù)的拉氏氏變換變換)0()()()()()(000fssFetfdtetfsdtetftfLststst)0()0()()0()0()()0()()(2fsfsFsffssFsftfsLtfL ) 0 () 0

34、 () 0 ()()(121nnnnnffsfssFstfL(3)積分性質(zhì) 假設(shè) 那么 式中 為積分 當(dāng)t=0時(shí)的值。證：設(shè) 那么有 由上述微分定理，有)()(sFtfLsfssFdttfL)0()()(1)0(1fdttf)(dttfth)()()()(tfth)0()()(hthsLthL)0(1)(1)0(1)(1)0(1)(1)(1fssFshstfLshsthLsthL即：同理，對(duì)f(t)的二重積分的拉氏變換為假設(shè)原函數(shù)f(t)及其各重積分的初始值都等于0那么有 即原函數(shù) f(t)的n重積分的拉氏變換等于其象函數(shù)除以 。 sfssFdttfL)0()()(1)0(1)0(1)(1)(

35、)2()1(222fsfssFsdttfL)(1)(sFsdttfLnn ns4終值定理原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值。證：由微分定理，有等式兩邊對(duì)s趨向于0取極限)(lim)(lim0ssFtfst)0()()()(0fssFdtetftfLst)(lim)(lim)0()(lim)0()(lim)0()(lim)()()(lim)(lim000000000ssFtffssFfssFftftfdttfdtetfdtetfstsststssts右邊左邊注：假設(shè) 時(shí)f(t)極限 不存在，那么不能用終值定理。如對(duì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能運(yùn)用終值定理。(5)初值定理：證明方法同上。只是要將 取

36、極限。(6)位移定理：a.實(shí)域中的位移定理，假設(shè)原函數(shù)在時(shí)間上延遲 ，那么其象函數(shù)應(yīng)乘以t)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFetfLs sseb.復(fù)域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲a，原函數(shù)應(yīng)乘以即：(7)時(shí)間比例尺定理 原函數(shù)在時(shí)間上收縮或展寬假設(shè)干倍，那么象函數(shù)及其自變量都添加或減小同樣倍數(shù)。即： 證：ate)()(asFtfeLat)()(asaFatfL)()(,/)()(00asaFadefatdteatfatfLsast則原式令(8)卷積定理 兩個(gè)原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個(gè)象函數(shù)的乘積。即證明：)()()()(21021sFsFdftfLt021

37、02110 021021)()( 1)()()(0)( 1)()()()()(dfttfdftfttftdtedftfdftfLtsttt時(shí)，即得證。則令)()()()()()()()(,)(1)()()()(1)()()(1201020)(10202101020021021sFsFdefdefdefdfdftfLtdtettfdfdtedfttfdftfLssstststt 常用函數(shù)的拉氏變換 (1)例1.求階躍函數(shù)f(t)=A1(t)的拉氏變換。 單位階躍函數(shù)f(t)=1(t)的拉氏變換為 。 (2)例2.求單位脈沖函數(shù)f(t)=(t)的拉氏變換。sAesAdtAesFstst00)(s1

38、1)! 2! 111 (1)1 (111)()(220000000limlimlimlimsssesesdtedtetsFsststst 3例例3.求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù)f(t)= 的拉氏變換的拉氏變換幾個(gè)重要的拉氏變換幾個(gè)重要的拉氏變換aseasdtedteesFtastsastat11)(0)(0)(0f(t)F(s)f(t)F(s)(t)1sinwt1(t)1/scoswt t1/(s+a)(22wsw)(22wss22)(wasw22)(wasaswteatsinwteatcos21 sateate.拉氏反變換 1. 定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變換。記為 。由

39、F(s)可按下式求出 式中 是實(shí)常數(shù)，而且大于F(s)一切極點(diǎn)的實(shí)部。 直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，普通都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必需是一種能直接查到的原函數(shù)的方式。 )(1sFL)0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjjst 假設(shè)F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，那么需求將F(s)展開成假設(shè)干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。例1：例2求 的逆變換。解：abeetfbsasabbsassFbtat)()11(1)(1)(則) 1(1)(2sssFtetsFLtfssssssF1)()(1111) 1(1)(122例3.ttteetfssssFc

40、bacssbssascsbsasFsssF1)()1(1111)(1, 1, 11)1()1()1(1)()1(1)(2222對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得則解：的逆變換2. 拉式反變換拉式反變換部分分式展開式的求法部分分式展開式的求法1情況一情況一:F(s) 有不同極點(diǎn)有不同極點(diǎn),這時(shí)這時(shí),F(s) 總能展開成如總能展開成如下簡單的部分分式之和下簡單的部分分式之和)()()()(1111110nmasasasbsbsbsbsDsMsFnnnnmmmmnnpscpscpscsF2211)()()()(lim,0)(),2, 1(ipsiiipssDsMccsDnipi是常數(shù)的根是式中321)3)(2)(1(

41、1)(:1321scscscssssF例tttssseeetfssssFsssscsssscssssc3233221110115161)(31101211511161)(101)3()3)(2)(1(1151)2()3)(2)(1(161)1()3)(2)(1(1 2情況情況2:F(s)有共軛極點(diǎn)有共軛極點(diǎn) 例例2：求解微分方程：求解微分方程1) 0 () 0 (, 054 yyyyyteteysssssssssssFsFfssFfsfsFsttsin3cos1)2(31)2(21)2(321)2(5545)(0)(5)0(4)(4)0()0()(22222222為零）拉氏變換（初始條件不則微

42、分方程兩邊同時(shí)取 3情況情況3:F(s)有重極點(diǎn)有重極點(diǎn),假假設(shè)假假設(shè)F(s)有有L重極點(diǎn)重極點(diǎn) ,而其而其他極點(diǎn)均不一樣。他極點(diǎn)均不一樣。 那么那么1p11)()()()()()()()()()()(11111111111psllpsllnnllllllpssDsMdsdbpssDsMbpscpscpsbpsbpsbsDsMsF式中仍按以前的方法計(jì)算系數(shù),)()()()!1(1)()()(!1,1111111nlpsllpsliilccpssDsMdsdlbpssDsMdsdib的其余互異極點(diǎn)。是式中0)(), 1()()()(sDnljppssDsMcjpsjjj1)()1() 1() 1

43、(11) 1() 1(11) 1() 1() 1(1)(.0) 0() 0() 0(, 133:3121133213334122333) 3( ssssssdsdsssdsdbsssbscsbsbsbsssFyyyyyyy求微分方程例tttsseteetysssssFssscsb2230313121111) 1(1) 1(11)(1) 1(11)2(! 21 假設(shè)不記公式,可用以下方法求解1, 1, 1, 11)3 ()23 (1) 1() 1() 1(1) 1() 1() 1(1)(32132123233323213322313bbbaasbbbasbbasbasssbssbsbsasbsb

44、sbsasssF也可得解。2.3 2.3 控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型2.3.1 2.3.1 傳送函數(shù)傳送函數(shù)是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過程中引申出來的概念。是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過程中引申出來的概念。微分方程是在時(shí)域中描畫系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作微分方程是在時(shí)域中描畫系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出呼應(yīng)，并可經(jīng)用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出呼應(yīng)，并可經(jīng)過呼應(yīng)曲線直觀地反映出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程。但系統(tǒng)的參數(shù)或構(gòu)造過呼應(yīng)曲線直觀地反映出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程。但系統(tǒng)的參數(shù)或構(gòu)造方式有變化，微分方程及

45、其解都會(huì)同時(shí)變化，不便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)展方式有變化，微分方程及其解都會(huì)同時(shí)變化，不便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)展分析與研討。分析與研討。 用拉氏變化法求解微分方程時(shí)，可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)用拉氏變化法求解微分方程時(shí)，可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型傳送函數(shù)。學(xué)模型傳送函數(shù)。1 1、定義：線性定常系統(tǒng)的傳送函數(shù)，定義為零初使條件下，系統(tǒng)、定義：線性定常系統(tǒng)的傳送函數(shù)，定義為零初使條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。三要素：線性定常系統(tǒng)；零初始條件；輸出與輸入的拉氏變換之三要素：線性定常系統(tǒng)；零初始條件；輸出與輸入的拉氏變換之比復(fù)數(shù)域模型比復(fù)數(shù)域模型NoI

46、mage)()(sRsC零初始條件輸入信號(hào)的拉氏變換輸出信號(hào)的拉氏變換傳遞函數(shù) 式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，和是與系統(tǒng)構(gòu)造和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。 設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，那么對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，并令R(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代數(shù)方程為： 于是，由定義得系統(tǒng)傳送函數(shù)為： )()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn )()(11101110sRasbsbsbsCasasasammmmnnn

47、n 設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描畫： 求例機(jī)械系統(tǒng)與電路網(wǎng)絡(luò)的傳送函數(shù) 和解： -機(jī)械系統(tǒng)傳送函數(shù) -電系統(tǒng)的傳送函數(shù)mmmmbsbsbsbsM 1110)(nnnnasasasasN 1110)()()(sXsXrc)()(sUsUrcrcccXKXBXKKXBB112121)()()()()()()()(112121sXKsSXBsXKKsSXBBrrcc)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm 212111)()()(KKsBBKsBsXsXrcrrccUCURUCCURR1121211)11()()11()(1)(

48、)(212111CCSRRCSRsUsUrc2 2、性質(zhì)、性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 傳送函數(shù)是復(fù)變量傳送函數(shù)是復(fù)變量s s的有理真分式函數(shù)，的有理真分式函數(shù)，mnmn是一切物理系統(tǒng)所固有的，這是由于任何物理系統(tǒng)均是一切物理系統(tǒng)所固有的，這是由于任何物理系統(tǒng)均含有慣性，且所具有復(fù)變量函數(shù)的一切性質(zhì)。含有慣性，且所具有復(fù)變量函數(shù)的一切性質(zhì)。性質(zhì)性質(zhì)2 G(s)2 G(s)取決于系統(tǒng)或元件的構(gòu)造和參數(shù)，與輸入取決于系統(tǒng)或元件的構(gòu)造和參數(shù)，與輸入量的方式幅度與大小和初始條件無關(guān)，可見傳送量的方式幅度與大小和初始條件無關(guān)，可見傳送函數(shù)有效地描畫了系統(tǒng)的固有特性。函數(shù)有效地描畫了系統(tǒng)的固有特性。性質(zhì)性質(zhì)3 3

49、只能描畫線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，只能描畫線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，且內(nèi)部許多中間變量的變化情況無法反映，只能反映且內(nèi)部許多中間變量的變化情況無法反映，只能反映零初始條件下輸入信號(hào)引起的輸出，不能反映非零初零初始條件下輸入信號(hào)引起的輸出，不能反映非零初始條件引起的輸出。始條件引起的輸出。 G G ( ( s s ) )R R ( ( s s ) )C C ( ( s s ) )圖圖 2 2 - - 6 6性質(zhì)4 G(s)雖然描畫了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理構(gòu)造。由于許多不同的物理系統(tǒng)具有完全一樣的傳送函數(shù)性質(zhì)5 假設(shè)G(s)知，那么可以研討系統(tǒng)在各種輸入信號(hào)作

50、用下的輸出呼應(yīng)。性質(zhì)6 假設(shè)系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上知的輸入，研討其輸出，從而得出傳送函數(shù)，一旦建立G(s)可以給出該系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的完好描畫，與其它物理描畫不同。性質(zhì)7 傳送函數(shù)與微分方程之間有關(guān)系。 置換 )()()(sRsCsG假設(shè)將dtdS 微分方程傳遞函數(shù) 性質(zhì)8 傳送函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖呼應(yīng)g(t)，脈沖呼應(yīng)脈沖過渡函數(shù)g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時(shí)的輸出呼應(yīng)。 在例2-1中，設(shè)當(dāng) 輸入為 單位階躍函數(shù),即 時(shí),求零初始條件下的輸出解： 根據(jù)例2-1得到的微分方程。 1)()(tLsRttdgtrdtgtrsRsGLsCLtc0011)()()()()()()()

51、(FCFCKRKR20,1 . 0,3,202121)(1tU)( 1)(1ttU)(2tUSsUsUsSUCRCRCRsUSCCRR1)()()()()(122222111222121 1)(1)(222111221212SCRCRCRSCCRRSsU) 1462. 0102 . 1 (124SSS)85.3847)(166. 2(2 . 1104SSS85.3847166. 2ScSbSa)()()()()(11tgsRsGLsCLtc2.3.2 2.3.2 傳送函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響傳送函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響傳送函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式分解后可寫如下方式：傳送函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式

52、分解后可寫如下方式： 特征多項(xiàng)式，特征多項(xiàng)式，特征方程特征方程n n階系統(tǒng)。階系統(tǒng)。 1)(02sSsUa000043. 1)85.3847(2 . 110166. 24sSSb485.384741063. 5)166. 2(2 . 110sSSctteetU85.38474166. 221063. 500043. 11)()()()()()(11*jnjimiPSZSKsNsMsG), 2 , 1(mi iZjP), 2 , 1(nj 零點(diǎn)距極點(diǎn)的間隔越遠(yuǎn)，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大 零點(diǎn)距極點(diǎn)的間隔越近，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越小 假設(shè)零極點(diǎn)重合該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)為零，由于分子分母

53、相互抵消。 教材47頁- -0 0. .5 5- -1 1. .3 33 3- -1 1- -2 2z z1 1z z2 2圖圖 2 2- -7 7 傳傳 遞遞 函函 數(shù)數(shù) 的的 零零 極極 點(diǎn)點(diǎn) 圖圖2.3.3 2.3.3 典型元部件的傳送函數(shù)典型元部件的傳送函數(shù) 自動(dòng)控制系統(tǒng)是有各種元部件相互銜接組成的，他們普通是機(jī)械的、電子的、液壓的、光學(xué)的或其他類型的安裝。電位器將線位移或角位移變換為電壓量的安裝。 單個(gè)電位器用作為信號(hào)變換安裝。E EU U( (t t) )( (a a) )圖圖2 2- -8 8 電電位位器器- -圖圖 2-8 電位器電位器mmEEK221 單位角位移，輸出電壓(v

54、/rad) E -電位器電源(v) 電位器最大任務(wù)角(rad) 其它元件：測速發(fā)電機(jī)、電動(dòng)機(jī)、無源網(wǎng)絡(luò)、 水槽、電加熱爐等等詳見教材47-54頁。)()(1sKsU1)()()(KssUsGmax2.3.4 2.3.4 典型環(huán)節(jié)及其傳送函數(shù)典型環(huán)節(jié)及其傳送函數(shù) 一個(gè)物理系統(tǒng)是由許多元件組合而成的，雖一個(gè)物理系統(tǒng)是由許多元件組合而成的，雖然元件的構(gòu)造和作用原理多種多樣，但假設(shè)調(diào)查然元件的構(gòu)造和作用原理多種多樣，但假設(shè)調(diào)查其數(shù)學(xué)模型，卻可以劃分成為數(shù)不多的幾種根本其數(shù)學(xué)模型，卻可以劃分成為數(shù)不多的幾種根本類型，稱之為典型環(huán)節(jié)。這些環(huán)節(jié)是比例環(huán)節(jié)、類型，稱之為典型環(huán)節(jié)。這些環(huán)節(jié)是比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、

55、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和滯慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和滯后環(huán)節(jié)。后環(huán)節(jié)。1 比例環(huán)節(jié)KsG)(式中 K-增益特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無失真和時(shí)間延遲。實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應(yīng)式變送器等。11)(TSsG2 慣性環(huán)節(jié)式中 T-時(shí)間常數(shù)特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入,其輸出不能立刻復(fù)現(xiàn)，輸出無振蕩。實(shí)例：圖2-4所示的RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動(dòng)機(jī)的傳送函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。3 微分環(huán)節(jié)理想微分一階微分二階微分1)( SsG12)(22SSsGKSsG)(特點(diǎn)： 輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入 信號(hào)的變化趨勢。實(shí)例： 測速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳送函

56、數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。SsG1)(1212)(22222TSSTSSsGnnn) 10(nT14 積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)： 輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消逝，輸出具有記憶功能。實(shí)例： 電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳送函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。5 振蕩環(huán)節(jié)式中 阻尼比 -自然振蕩角頻率無阻尼振蕩角頻率特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)展能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳送函數(shù)。n)()(trtcsesG)(6 純時(shí)間延時(shí)環(huán)節(jié)式中 延遲時(shí)間特點(diǎn)： 輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時(shí)間間隔。實(shí)例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。 上述各典型

57、環(huán)節(jié)，是從數(shù)學(xué)模型的角度來劃分的。 它們是系統(tǒng)傳送函數(shù)的最根本的構(gòu)成因子，在和實(shí)踐元件相聯(lián)絡(luò)時(shí)，應(yīng)留意以下幾點(diǎn)： 系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是按數(shù)學(xué)模型的共性來劃分的，他與系統(tǒng)中運(yùn)用的元件并非都是一一對(duì)應(yīng)的，一 個(gè)元件的數(shù)學(xué)模型能夠是假設(shè)干個(gè)典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型的組合。而假設(shè)干個(gè)元件的數(shù)學(xué)模型的組合也能夠就是 一個(gè)典型的數(shù)學(xué)模型。 同一安裝元件，假設(shè)選取的輸入、輸出量不同，它可以成為不同的典型環(huán)節(jié)。如直流電動(dòng)機(jī) 量不同，以電樞電壓為輸入、轉(zhuǎn)速為輸出時(shí)，它是一個(gè)二階振 蕩環(huán)節(jié)。但假設(shè)以電樞電流為輸入、轉(zhuǎn)速為輸出時(shí)，它 卻是一個(gè)積分環(huán)節(jié)。在分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，將被控對(duì)象或系統(tǒng)在分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，將被控對(duì)象或系統(tǒng)

58、的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)展分解，就可以了解它是由哪些典型環(huán)節(jié)組成的，模型進(jìn)展分解，就可以了解它是由哪些典型環(huán)節(jié)組成的，因此，掌握典型環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性將有助于對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特因此，掌握典型環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性將有助于對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的分析研討。性的分析研討。 典型環(huán)節(jié)的概念只適用于可以用線性定常數(shù)學(xué)模型描典型環(huán)節(jié)的概念只適用于可以用線性定常數(shù)學(xué)模型描畫的系統(tǒng)。畫的系統(tǒng)。 既然可以把組成控制系統(tǒng)的元件劃分為假設(shè)干典型，既然可以把組成控制系統(tǒng)的元件劃分為假設(shè)干典型，那么控制系統(tǒng)的傳送函數(shù)也可以寫成如下普通方式：那么控制系統(tǒng)的傳送函數(shù)也可以寫成如下普通方式：NoImage) 1).(12)(1() 1).(12)(1()

59、(2222122221sTsTsTsTssssKsGji一對(duì)電位器可組成誤差檢測器圖圖2 2- -9 9 電電位位器器1 12 2U U( (t t) )21K11K)()()()(1211tKttKtuK1是單個(gè)電位器的傳送系統(tǒng)，)()()(21ttt是兩個(gè)電位器電刷角位移之差，稱誤差角。 電位器的負(fù)載效應(yīng)，普通要求1)()(KssUplRR10測速發(fā)電機(jī)丈量角速度并將它轉(zhuǎn)換成電壓量的安裝dttdKtKtUt)()()(t)(t轉(zhuǎn)子角速度rad/stK輸出斜率v/rad/s直流測速發(fā)電機(jī)交流測速發(fā)電機(jī)圖圖2 2- -1 10 0 測測速速發(fā)發(fā)電電機(jī)機(jī)TGU U( (t t) )永永磁磁鐵鐵T

60、G激激磁磁繞繞組組U U( (t t) )( (a a) )（b b) )輸輸出出繞繞組組、相相互互垂垂直直K Kt t( (s s) )U U( (s s) )S SK Kt tU U( (s s) )圖圖2 2- -1 11 1( (s s) )H HtKssUsG)()()(SKssUsGt)()()()()()()(21tMKtUKtdttdTcammm)(tMc可視為負(fù)載擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩。根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，分別求)(tUa到)(tm和)(tMc到)(tm的傳送函數(shù)。 )(tMc0)()()(1sUKssSTammm)()() 1(1sUKsSTamm由傳送函數(shù)定義 1)()()(1ST