平面與空間直線ppt課件

1、3.1 平面的方程平面的方程3.4 空間直線的方程空間直線的方程3.2 平面與點的相關(guān)位置平面與點的相關(guān)位置3.5 直線與平面的相關(guān)位置直線與平面的相關(guān)位置3.3 兩平面的相關(guān)位置兩平面的相關(guān)位置 3.6 空間兩直線的相關(guān)位置空間兩直線的相關(guān)位置3.7 空間直線與點的相關(guān)位置空間直線與點的相關(guān)位置3.8 平面束平面束一、平面的點位式和參數(shù)式方程一、平面的點位式和參數(shù)式方程二、平面的點法式方程二、平面的點法式方程三、平面的一般方程三、平面的一般方程定義定義0 0把平行于平面的兩不共線矢量把平行于平面的兩不共線矢量 ，叫做平面的一組方位矢量，叫做平面的一組方位矢量. , a b r顯然過定點 且以

2、 為平面的一組方位矢量的平面是唯一的，下面求該平面的方程., a b 0M 在空間建立標架 后，設(shè) 的坐標為 ， 的坐標分別為 ， 為平面上任點 ，記 ，那么 ，由于 與 共面，所以有 = ，即 =或 = + ， （3.1-1 ）123 ; ,O e e e 0M00,0,0()Mx y z111222,aX Y ZbX Y Z, a b ( , , )M x y z00,rOMrOM 00rrM M , a b 0M M 0M M ab00rrM M ab0rab定義定義1 1方程方程3.1-1叫平面的矢量式參數(shù)方程，其中叫平面的矢量式參數(shù)方程，其中 為參數(shù)為參數(shù). , 012012012,

3、.xxXXyyYYzzZZ （3.1-2） 定義定義2 2方程方程3.1-1叫平面的坐標式參數(shù)方程，其中叫平面的坐標式參數(shù)方程，其中 為參數(shù)為參數(shù). , 0001112220 xxyyzzXYZXYZ從3.1-2消去參數(shù)得 （3.1-3） 定義定義3 3方程方程3.1-1）（）（3.1-2），（），（3.1-3叫平面的點位式方程叫平面的點位式方程. 定義定義4 4平面的三點式方程平面的三點式方程. 上一頁假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與

4、向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁例1 已知不共線三點 ，求通過 三點的平面 的方程。 111122223333(,),(,),(,)MxyzMxyzMxyz123,MMM因此平面 的矢量式參數(shù)方程為： 1213,aM MbM M取平面 的方位矢量并設(shè)點 M(x,y,z) 為平面 上的任意一點 ,那么 , iiiiirOMx y z1221212121,aM Mrrxx yy zz1331313131,bM Mrrxx yy zz , , rOMx y z 假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / .

5、 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁12131()()rru rrv rr(3.14) 方程 (3.14)(3.16) 都叫做 平面的三點式方程。 坐標式參數(shù)方程為： 121311213112131()()()()()()xxu xxv xxyyu yyv yyzzu zzv zz(3.15) 12131(,)0;rr rr rr1112121213131310 xxyyzzxxyyzzxxyyzz從 (3.14)

6、與 (3.15) 分別消去參數(shù) u,v 得 (3.16) 上一頁例2設(shè)一平面與x軸，y軸，z軸分別交于三點P(a,0,0) ，Q(0,b,0)，R(0,0,c)求此平面的方程(其中： ).0abc 假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記

7、為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁xyzo0MMn定義定義1 1 如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量該平面的法線向量知),(zyxM法線向量的特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量,CBAn ),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點為必有nMM 000 nMM,0000zzyyxxMM 平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點平面上的點都滿足上方程，不在平

8、面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形面稱為方程的圖形0)()()(000 zzCyyBxxA其中法向量,CBAn 已知點).,(000zyx假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁如果記 D （ A x B y + C z ），那么上式即成為 Ax+By+Cz+D=0 . 如果平面

9、上的點 M 0 特殊地取自原點 O 向平面 所引垂線的垂 足 P ,而 的法矢量取單位法矢量 n ，當平面不過原點時， n的正 向取做與矢量 OP相同；當平面通過原點時， n的正向在垂直于平面的兩個方向中任意取定一個， 設(shè) | OP |=p, 那么點 P 的徑矢 OP =p n ，因此由點 P 和法矢量 n 決定的平面 的方程為： n ( r - p n)=0, r 是平面 上任意點 M的徑矢。因為 n n 1，所以上式可寫成 n r p=0 ， （3.1-7） (3.1-7)叫做平面的矢量式法式方程 假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向

10、量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁 如果設(shè) r x,y,z, n =cos,cos,cos, 那么由3.1-8得 xcos+ycos+zcosp=0. （3.1-9） (3.1-9)叫做平面的坐標式法式方程或簡稱法式方程. 平面的法式方程3.1-9是具有下列兩個特征的一種一 般方程： 1.一次項的系數(shù)是單位法矢量的分量，它們的平方和 等于1； 2.因為 p 是原點 O 到平面 的距離，所以常數(shù)項 p0. 根據(jù)平面的法式方程的兩個特征

11、，我們不難把平面的一般方 程,即 Ax+By+Cz+D=0 化成平面的法式方程。 事實上， n =A,B,C是平面的法矢量，而 r = OM = x, y,z， 所以可寫成： n r +D=0 ， （3.1-15） 假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁2222222222220AxByCzDABCABCABCABC其中 的正負號選取一個，使它滿

12、足 D=p0, 或者說當 D0 時，取 的符號與 D 異好；當 D=0 時， 的符號可以任 意選取正的或負的）。在取定符號后就叫做法式化因子. 把3.1-15與3.1-13比較可知，只要以 = 1 /(| n |) = 1 /( )乘3.1-10就可得法式方程： 222ABC假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁例1 已 知 兩 點 ( 1 ,

13、2 , 3 ) 與 (3,0,1), 求線段 的垂直平分面 的方程。 1M2M12M M例2 把平面 的方程 3x2y+6z+14=0 化為法式方程， 求自原點指向平面 的單位法矢量及其方向余弦，并求原 點到平面的距離。 例3 假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁 因為矢量 M M =2,2,4=21,1,2垂直于平面 ，所以平面 的一個法矢量

14、為 n =1,1,2, 所求平面 又通過 M M 的中點 M (2,1,1), 因此平面 的法 式方程為 (x2)+(y+1)2(z1)=0, 化簡整理的所求平面 的方程為 x+y+2z+1=0. ,1,1,11 n12,2,32 n取法向量21nnn ,5,15,10 所求平面方程為, 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得. 0632 zyx假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為

15、，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD ？即 任一平面表示0 DCzByAx（A,B,C不同時為零）不妨設(shè)0 A，那么 000 zCyBADxA，為一平面.0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量.,CBAn 假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. A

16、B- AB上一頁由此可見，在直角坐標系下，平面 的一般方程3.1-10中一次 項系數(shù) A,B,C 有簡明的幾何意義，它們是平面 的一個法矢量 n 的 分量。 平面一般式方程的幾種特殊情況：平面一般式方程的幾種特殊情況：x0, 0 CBxoy, 0)1( D平面通過坐標原點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過 軸；x平面平行于 軸；類似地可討論 情形., 0)3( BA平面平行于 坐標面；, 0)4( DBA0,.zxoy有即面例例 3 3 設(shè)設(shè)平平面面過過原原點點及及點點)2, 3, 6( ，且且與與平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DC

17、zByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例 5 5 求平行于平面求平行于平面0566 zyx而與三個坐而與三個坐標面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程標面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解,61161cba 化簡得化簡得

18、令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為或或. 666 zyx假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量

19、共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁 空間中平面與點的相關(guān)位置，有且只有兩種情況，就是點在平面上，或點不在平面上.點在平面上就是點的坐標滿足平面的方程.下面就來

20、討論點不在平面上的情況.容易看出，空間的點與平面間的離差，當且僅當點M0位于平面的單位法矢量n0所指向的一側(cè)，離差0；在平面的另一側(cè)，離差0；當且僅當M0在平面上時，離差0 .顯然，離差的絕對值|，就是點M0與平面之間的距離d.定義定義0 0如果自點M0到平面 引垂線，其垂足為Q，那么矢量 在平面 的單位法矢量 上的射影叫做點M0與平面 間的離差，記做 . （3.2-1）. 0QM 0n 00nQM 射影假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與

21、向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁定理定理 1 1點點M0與平面與平面 間的離差為間的離差為 （3.2-2）00nrp xyzOPRQM0根據(jù)定義3.2.1圖3-3得 = = =而Q在平面上，因而 ，所以 .00nQM 射影00()nOMOQ 00()nrq 000nrn q 0n qp 00nrp 假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負

22、向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁點點 與平面與平面 間的離差是間的離差是 . （3.2-3）0000(,)Mxyzpzyxcoscoscos000點點 與平面與平面 間的距離是間的距離是 . （3.2-3）0000(,)Mxyz000222AxByCzDdABC假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁設(shè)平面 的一般方程為 ，

23、那么空間任何一點M(x,y,z)對平面的離差為 ，從而有.0DCzByAx)(DCzByAx1DCzByAx對于平面同側(cè)的點，的符號相同；對于平面異側(cè)的點，的符號不同.故平面：把空間劃分為兩部分，對于某一部分的點0；而對于另一部分的點0；在平面上的點.看看書看看書 想一想想一想假如 n 個向量平行于同一直線，則稱它們共線. 向量 , 共線記為 / . 我們規(guī)定, 零向量與任何向量共線. 假如 n 個向量平行于同一直平面，則稱它們共面. 顯然,任意兩個向量一定共面.與向量 的長度相等，方向相反的向量稱為 的負向量，記為 ，顯然 AB = BA. AB- AB上一頁間間的的距距離離. .求求兩兩平

24、平面面4363, 121zyxyxz 例例, ,解解)363),121(21 ,n,n( (. .先先判判斷斷兩兩平平面面是是否否平平行行./31623121nn 在第一個平面內(nèi)任取一點，比如在第一個平面內(nèi)任取一點，比如0，0，1），），.6373634130603222 )(d下面，我們導出計算兩平面夾角下面，我們導出計算兩平面夾角 的公式的公式.設(shè)平面設(shè)平面 與與 的方程分別是的方程分別是 ： ， （1） ： ， （2） 那么那么 與與 的法線向量分別為的法線向量分別為 ，因兩向量間夾角的余弦為因兩向量間夾角的余弦為 ，所以兩平面的夾角的余弦為所以兩平面的夾角的余弦為 = . (3.3-1

25、)由由(3.3-1)式，立刻可給出如下結(jié)論：式，立刻可給出如下結(jié)論：.121211110AxB yC zD22220A xB yC zD2111112222,nA B CnA B CcosA AB BC CABCABC12121212121222222212cos(,) 121212222222111222A AB BC CABCABC121212120A AB BC C（3.3.2）另一方面，平面 與 是相交還是平行或重合，就決定由方程1與2構(gòu)成的方程組是有解還是無解或無數(shù)個解，從而我們可得下面的定理.12定理定理 1 1 兩平面1與2相交的充要條件是 ， （3.3-3）平行的充要條件是 ，

26、 （3.3-4）重合的充要條件是 . （3.3-5）111222:ABCABC11112222ABCDABCD11112222ABCDABCD例1 一平面過兩點一平面過兩點 和和 且垂直于平面且垂直于平面 ，求它的方，求它的方程程.1(1,1,1)M2(0,1,1)Mxyz 0設(shè)所求平面的法線向量為設(shè)所求平面的法線向量為 ，顯然顯然 ， 在所求平面上，在所求平面上，故故 ， ，即即 . 又又 垂垂 直于平面直于平面 的法線向量，的法線向量，故有故有 ,nA B C120 1,1 1,1 1 1, 0,2M M 12M Mn120M Mn20ACnxyz 00ABC解方程組 得 據(jù)點法式方程有

27、，約去非零因子 得 ，故所求方程為 .20,0,ACABC2 ,ACBC 2 (1)(1)(1)0C xC yC z(0)C 2(1)(1)(1)0 xyz20 xyz哇！哇！例例 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1

28、()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.xyzo1 2 L定義定義0 0空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA（注：兩平面不平行）xyzosL0M M 定義定義0 0 如果一非零向量平行于一條已知直線，如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方向向量這個向量稱為這條直線的方向向量),(0000zyxM,LM ),(

29、zyxMsMM0/),(pnms ,0000zzyyxxMM pzznyymxx000 000m,n,p注: : 當當方方向向向向量量的的某某個個坐坐標標為為零零時時，比比如如時時，方方程程仍仍然然寫寫為為0000 xxyyzznp, ,0000 xxyy理理解解為為交交線線( (考考慮慮其其幾幾何何意意義義) )例1 求過點求過點(1,0,-2)且與平面且與平面3x+4y-z+6=0平行平行,又與直又與直線線 垂直的直線方程垂直的直線方程.14213zyx 解: 設(shè)所求線的方向向量為, s已知平面的法向量),1, 4 , 3( n因而,所求直線方程為 已知直線的方向向量 ,1 ,4 , 11

30、 s取1sns 1411431kjisns 2 , 1,248 ,4,8 三、空間直線的參數(shù)式方程直線的一組方向數(shù)直線的一組方向數(shù)tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000方向向量的余弦稱為直方向向量的余弦稱為直線的方向余弦線的方向余弦.直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程pzznyymxx000 由直線的對稱式方程由直線的對稱式方程直線的坐標方程直線的坐標方程3.43是一般方程的特殊情形。是一般方程的特殊情形。 000 xxyyzzmnp在 中m,n,p不全為零，不妨設(shè) p0, 那么上式可以改寫成0000 xxyymnyyzznp 反過來，直線的一般方程3.411也總可以化為

31、規(guī)范 方程3.43的形式，這是因為3.411中三個系數(shù)行列式111111222222,BCCAABBCCAAB不全為零，不失一般性，設(shè) 11220ABAB11112222111122221111222211112222BCBDBCBDxzABABABABCADACADAyzABABABAB那么由 中的兩式分別消去 y 與 x 得直線的射影式方程為： 0022221111DzCyBxADzCyBxA從而得直線的標準方程為： 0001111112222221111222200011112222xxyyzzBCCAABBCCAABBDDABDDAxyzABABABAB式中 ， ， =0 例例2 2

32、用對稱式方程及參數(shù)方程表示直用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點在直線上任取一點),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點坐標點坐標),2, 0 , 1( 因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ),3, 1, 4( 對稱式方程對稱式方程,321041 zyx得參數(shù)方程得參數(shù)方程.3241 tztytx,321041tzyx 令令例例 3 3 一一直直線線過過點點)4 , 3, 2( A，且且和和y軸軸垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程. 解解因因為為直直線線和和

33、y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點為所以交點為),0, 3, 0( B取取BAs ),4, 0, 2( 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx.44223 zxy或或,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx),(pnms ),(CBAn 2),(ns,2),( ns定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾角 稱為直線與平面的夾角 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的位置關(guān)系：直線與平面的位置關(guān)系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm.2cos 2cossin解解),2, 1, 1(

34、n),2, 1, 2( s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角直線與平面的交點的的交交點點. .與與求求不不平平行行，與與：平平面面, ,：設(shè)設(shè)直直線線0000LLDCzByAxpzznyymxxL ：解解題題步步驟驟點點坐坐標標。的的參參數(shù)數(shù)方方程程，即即可可得得交交入入. .代代Lt03, ,的的值值的的方方程程，求求得得. .代代入入平平面面02tt的的參參數(shù)數(shù)方方程程：. .寫寫出出L1ptzznt,yymt,xx 000分析分析: : 關(guān)鍵是求得直線上另外關(guān)鍵是求得直線上另外一個點一個點 M1.

35、 M1M1. M1在過在過M M且平行且平行于于 平面平面 P P 的一個平面的一個平面P1P1上上, ,待求直線又與已知直線相交待求直線又與已知直線相交, ,交點既在交點既在P1P1上上, ,又在又在 L L上上, ,因此是因此是L L與與P1P1的交點的交點. . 例例2 求過點求過點 M (-1,2,-3), 且平行于平面且平行于平面 ,532131: zyxL, 01326: zyxP又與直線又與直線相交的直線方程相交的直線方程.解解 過過M作平行于作平行于 平面平面 P 的一個平的一個平P1 PMLP1M1 求平面求平面 P1與已知直線與已知直線 L的交點的交點 tzyxzyx532

36、13101326) ), ,( (，31101,Mt 解解得得),6 , 3, 2(1 MMs633221 zyxP1: 0)3(3)2(2)1(6 zyx01326 zyx即即P1: 3.7 空間直線與點的相關(guān)位置空間直線與點的相關(guān)位置xyzoL 0000,zyxP dsP1 ,pnms 0000,zyxP是是L外一點外一點,設(shè)直線設(shè)直線L,求求P0到到L的距離的距離d . 設(shè)設(shè) 為為L上上任一點，如圖任一點，如圖 1111,zyxPS,ds S又又,01sPP 于是于是sPP 01ds .01ssPPd 點到直線的距離公式點到直線的距離公式例例10 10 求點求點(5,4,2)(5,4,2)到直線到直線113321 zyx的距離的距離d.解解 ,1,3 ,2,1 ,3 , 1,2 ,4 ,510 sPP取取 ,1, 1,601 PP則則 ,14132222 s 16, 8, 413211601 kjisPP則則 .6214168422201 ssPPd3.8 平面束平面束 通過定直線通過定直線 L的所有平面的集合稱為該的所有平面的集合稱為該直線直線 L 的平面束的平面