相場(chǎng)法數(shù)值模擬

1、相相 場(chǎng)場(chǎng) 法法 數(shù)數(shù) 值值 模模 擬擬phase-field modeling內(nèi)容相場(chǎng)法數(shù)值模擬相場(chǎng)法數(shù)值模擬介紹介紹 (Introduction)相場(chǎng)變量相場(chǎng)變量(Phase-field variables)熱力學(xué)勢(shì)函數(shù)熱力學(xué)勢(shì)函數(shù)(thermodynamic energy functional)相場(chǎng)方程相場(chǎng)方程(Phase field equations)一、介紹一、介紹 相場(chǎng)模型是一種建立在熱力學(xué)基礎(chǔ)上，考相場(chǎng)模型是一種建立在熱力學(xué)基礎(chǔ)上，考慮有序化勢(shì)與熱力學(xué)驅(qū)動(dòng)力的綜合作用來慮有序化勢(shì)與熱力學(xué)驅(qū)動(dòng)力的綜合作用來建立相場(chǎng)方程描述系統(tǒng)演化動(dòng)力學(xué)的模型。建立相場(chǎng)方程描述系統(tǒng)演化動(dòng)力學(xué)的模型

2、。核心思想核心思想引入一個(gè)或多個(gè)連續(xù)變化的序參量，用彌散引入一個(gè)或多個(gè)連續(xù)變化的序參量，用彌散界面模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)的尖銳界面來描述界面界面模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)的尖銳界面來描述界面尖銳界面與彌散界面尖銳界面與彌散界面sharp-interface versus diffuse-interface圖圖1（a）性能不連續(xù)）性能不連續(xù) （b）性能連續(xù)）性能連續(xù)N. Moelans, B. Blanpain , P. Wollants, An introduction to phase-field modeling of microstructure evolution, CALPHAD - Computer Co

3、upling of Phase Diagrams and Thermochemistry, 32, 268-294, 2008 尖銳界面尖銳界面cDtc2)()(int,int,cccDtc2相擴(kuò)散到相擴(kuò)散到相的溶質(zhì)相的溶質(zhì)擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程cDtc2cDtc211int,int,)(rcDrcDcc)()(int,int,cc 相場(chǎng)法是以相場(chǎng)法是以Ginzburg-Landau理論為基礎(chǔ)理論為基礎(chǔ), , 用微用微分方程來體現(xiàn)擴(kuò)散、有序分方程來體現(xiàn)擴(kuò)散、有序化勢(shì)和熱力學(xué)驅(qū)動(dòng)的綜合化勢(shì)和熱力學(xué)驅(qū)動(dòng)的綜合作用作用, , 它是建立在它是建立在Ginzburg-Landau 唯象理論之上的唯象理論之上的

4、一種近代方法。一種近代方法。基本類型基本類型1.1.連續(xù)相場(chǎng)法：連續(xù)相場(chǎng)法：擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程 馳豫方程馳豫方程2.2.微觀相場(chǎng)法微觀相場(chǎng)法：實(shí)際是實(shí)際是 Cahn-Hilliard 方程的微方程的微 觀離散格點(diǎn)形式。觀離散格點(diǎn)形式。Kha- chatuyran 引入微觀場(chǎng)引入微觀場(chǎng), 用于描述由原子占據(jù)晶用于描述由原子占據(jù)晶 格位置的幾率作為場(chǎng)變格位置的幾率作為場(chǎng)變 量來描述微結(jié)構(gòu)變化量來描述微結(jié)構(gòu)變化于志生, 劉平, 龍永強(qiáng).基于Ginzburg-Landau 理論的相場(chǎng)法研究進(jìn)展J.材料熱處理技術(shù),2008,37(16):9498相場(chǎng)法原理相場(chǎng)法原理1.1.計(jì)算量巨大，可模擬的計(jì)算量巨大，

5、可模擬的尺度較?。ㄗ畲罂蛇_(dá)幾十尺度較?。ㄗ畲罂蛇_(dá)幾十個(gè)微米）。個(gè)微米）。2.2.相場(chǎng)參數(shù)不容易確定。相場(chǎng)參數(shù)不容易確定。1.1.通過相場(chǎng)與溫度場(chǎng)、溶質(zhì)通過相場(chǎng)與溫度場(chǎng)、溶質(zhì)場(chǎng)及其它外部場(chǎng)的耦合，能場(chǎng)及其它外部場(chǎng)的耦合，能有效地將微觀與宏觀尺度結(jié)有效地將微觀與宏觀尺度結(jié)合起來。合起來。2.2.由于不需要追蹤晶界位置由于不需要追蹤晶界位置能方便處理晶界上溶質(zhì)聚集能方便處理晶界上溶質(zhì)聚集和第二相析出問題，并能將和第二相析出問題，并能將晶界能和晶界遷移率的各向晶界能和晶界遷移率的各向異性方便地考慮進(jìn)去，還能異性方便地考慮進(jìn)去，還能夠較大程度避免點(diǎn)陣的各向夠較大程度避免點(diǎn)陣的各向異性。異性。相場(chǎng)模型相場(chǎng)

6、模型優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn)該方法自提出該方法自提出后，迅速成為后，迅速成為微觀組織模擬微觀組織模擬的熱點(diǎn)的熱點(diǎn)二、相場(chǎng)變量二、相場(chǎng)變量(phase-field variables)指那些滿足局域守恒條件的場(chǎng)變量指那些滿足局域守恒條件的場(chǎng)變量如人們最熟悉的濃度序參量如人們最熟悉的濃度序參量c c指那些不滿足局域守恒條件的場(chǎng)變量指那些不滿足局域守恒條件的場(chǎng)變量如長(zhǎng)程序參量如長(zhǎng)程序參量保守場(chǎng)保守場(chǎng)(conserved variables)假設(shè)假設(shè)C組分體系組分體系摩爾濃度ic摩爾分?jǐn)?shù)ixiVimVinrdxVrdc1mtotCiiCiiVVncx1, 111nntotiix miiiVxVcn成分變量成分變量

7、圖圖2 2 兩種不同組成區(qū)域兩種不同組成區(qū)域非保守場(chǎng)非保守場(chǎng)(non-conserved variables)表示無序域表示有序域或011序參量序參量(order parameters)圖圖3 3 反相位結(jié)構(gòu)反相位結(jié)構(gòu)非保守場(chǎng)非保守場(chǎng)(non-conserved variables)圖圖4 4 立方結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成四方結(jié)構(gòu)有三個(gè)等同取向立方結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成四方結(jié)構(gòu)有三個(gè)等同取向非保守場(chǎng)非保守場(chǎng)(non-conserved variables)在固液界面表示在液相中表示在固相中1001相場(chǎng)量相場(chǎng)量(phase-fields)兩相兩相多相多相kppk, 01rk1kk，在系統(tǒng)中任一點(diǎn)相，相應(yīng)的變量三、熱力學(xué)勢(shì)

8、函數(shù)三、熱力學(xué)勢(shì)函數(shù)(thermodynamic energy functional)經(jīng)典熱力學(xué)經(jīng)典熱力學(xué)fyselbulkFFFFFint 體積自由能體積自由能 界面能界面能 彈性應(yīng)變能彈性應(yīng)變能 電磁相互作用能電磁相互作用能(bulk free energy) (interfacial energy) (elastic strain energy) 相場(chǎng)法相場(chǎng)法-熱力學(xué)熱力學(xué)rdxxfxxfxFVkkkBkBVkBkBkB220)(2)(2),(),(),(? 和和 梯度能量系數(shù)梯度能量系數(shù)krdxxfxFVkkkBkBkB220int)(2)(2),(),(?均質(zhì)與非均質(zhì)體系均質(zhì)與非均質(zhì)

9、體系Homogeneous versus heterogeneous systemsNele Moelans.Phase field method to simulate microstructural evolution (June 2004) 圖圖5 5 自由能與濃度的關(guān)系自由能與濃度的關(guān)系固相固相轉(zhuǎn)變轉(zhuǎn)變 反相位結(jié)構(gòu)反相位結(jié)構(gòu) (anti-phase domain structure) 立方轉(zhuǎn)變?yōu)樗姆较嗔⒎睫D(zhuǎn)變?yōu)樗姆较?(cubic to tetragonal transformation)42max0043204121)(4)()(ffDCBAffdis3312314312321614

10、121),(kikikiCBAf1 1、固態(tài)相變、固態(tài)相變- -對(duì)稱性降低對(duì)稱性降低各向異性各向異性界面能各向異性通過序參量的梯度項(xiàng)引入到自界面能各向異性通過序參量的梯度項(xiàng)引入到自由能表達(dá)式中，如：由能表達(dá)式中，如：rdrrrxrxxfFVjiplkjiilikijkljBiBijkB31,1,31,02121),(?AnisotropyElastic misfit energy彈性失配能彈性失配能Nele Moelans.Phase field method: from fundamental theories to a phenomenological simulation method

11、(June 2003) 000ijelijijelijijelijtotij圖圖6 多相結(jié)構(gòu)應(yīng)變理論多相結(jié)構(gòu)應(yīng)變理論bcd彈性失配能彈性失配能有了彈性應(yīng)變，就可以求得體系總的彈性形變能：有了彈性應(yīng)變，就可以求得體系總的彈性形變能：rdrrrCFrrrCrrCrelklelijvijklelkltotklijklelklijklij)()()(21)()()()()()(0ijBxijBBBkkijBxijdxdaarxtrxtrxrrxrBkB1)(),(),()()()(0,0ij根據(jù)胡克定律可得：根據(jù)胡克定律可得：3111311130000000000000000003212 2、凝固、凝

12、固- -單相場(chǎng)變量單相場(chǎng)變量rdxTxfFVBB22*0)(2)(2),(?均質(zhì)自由能密度均質(zhì)自由能密度等溫凝固，假設(shè)摩爾體積不變，即組成梯度項(xiàng)不考慮等溫凝固，假設(shè)摩爾體積不變，即組成梯度項(xiàng)不考慮則則=0=0?)10156()()(30)(),()(),()(1(),(11)()(),(),(23*22*0pgpTxfpTxfpTxfxxggTxfTxfBBBpABABBpB）（）（雙阱勢(shì)函數(shù)圖圖7 7 組成自由能曲線組成自由能曲線圖圖8 8 雙阱勢(shì)函數(shù)與插值函數(shù)雙阱勢(shì)函數(shù)與插值函數(shù)圖圖9 9 兩相體系均質(zhì)自由能三維圖兩相體系均質(zhì)自由能三維圖非等溫凝固非等溫凝固非等溫凝固用熵函數(shù)來表示，避免表

13、達(dá)式中出非等溫凝固用熵函數(shù)來表示，避免表達(dá)式中出現(xiàn)溫度現(xiàn)溫度亥姆霍茲能內(nèi)能000002200)(2)(2),(feTsferdxxesSVBB?四、相場(chǎng)方程四、相場(chǎng)方程(phase-field equations)kkkkkkkfLtrFLttr0),(),(),(),(),(),(),(10trxxxfMtrxxFMttrxVBBkBBkBBmCahn-Hilliard 方程方程Ginzburg-Landau 方程方程數(shù)值解數(shù)值解(Numerical solution)圖圖10 10 相場(chǎng)變量在空間和時(shí)間離散化相場(chǎng)變量在空間和時(shí)間離散化1、有限差分方法、有限差分方法finite differences2、自適應(yīng)有限元法、自適應(yīng)有限元法finite elements based on adaptive3、譜方法、譜方法spectral methods代入代入總結(jié)總結(jié)將系統(tǒng)總能量寫成所有取向?qū)⑾到y(tǒng)總能量寫成所有取向場(chǎng)變量及其它們梯度的函數(shù)場(chǎng)變量及其它們梯度的函數(shù)相場(chǎng)方程相場(chǎng)方程構(gòu)造局域自構(gòu)造局域自由能密度由能密度數(shù)值模擬數(shù)值模擬結(jié)束語(yǔ)結(jié)束語(yǔ)相場(chǎng)模擬通過微積分放映擴(kuò)散、有序化相場(chǎng)模擬通過微積分放映擴(kuò)散、有序化以及熱力學(xué)驅(qū)動(dòng)力的綜合作用。相場(chǎng)方程的以及熱力學(xué)驅(qū)動(dòng)力