數(shù)字信號(hào)處理第六章

1、第六章第六章 IIR數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法第六章學(xué)習(xí)目標(biāo)第六章學(xué)習(xí)目標(biāo)理解數(shù)字濾波器的基本概念掌握沖激響應(yīng)不變法掌握雙線性變換法數(shù)字濾波器：是指輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過(guò)一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的器件。 高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實(shí)現(xiàn)特殊濾波功能優(yōu)點(diǎn)：一、數(shù)字濾波器的基本概念濾波器的功能 1、數(shù)字濾波器的分類 經(jīng)典濾波器：現(xiàn)代濾波器：選頻濾波器維納濾波器卡爾曼濾波器自適應(yīng)濾波器等按功能分：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器按實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位抽樣響應(yīng)分：01( )1MkkkNkkkb zH za z10(

2、 )( )NnnH zh n zFIR濾波器（N-1階）IIR濾波器（N階）2、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長(zhǎng)的選擇等實(shí)際技術(shù)實(shí)現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法3、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求選頻濾波器的頻率響應(yīng)：()()()jjjjH eH ee 為幅頻特性：表示信號(hào)通過(guò)該濾波器后 各頻率成分的衰減情況()jH e 為相頻特性：反映各頻率成分通過(guò)濾波器 后在時(shí)間上的延時(shí)情況()j：通帶截止頻率c：阻帶截止頻率st：通帶容限1：阻帶容限2st2()jH e阻帶

3、：cst過(guò)渡帶：c11()1jH e通帶：理想濾波器不可實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近通帶最大衰減：1011()20lg20lg()20lg(1)()ccjjjH eH eH e 阻帶最小衰減：2022()20lg20lg()20lg()ststjjjH eH eH e 其中：0()1jH e當(dāng) 時(shí)，()2/20.707cjH e稱 為3dB通帶截止頻率13dBc 濾波器的性能指標(biāo)帶寬：當(dāng)幅度降低到0.707時(shí)的寬度稱為濾波器的帶寬（3dB帶寬）通帶、阻帶與過(guò)渡帶：信號(hào)允許通過(guò)的頻帶為通帶，完全不允許通過(guò)的頻帶為阻帶，通帶與阻帶之間為過(guò)渡帶。滾降與滾降率：濾波器幅頻特性在過(guò)渡帶的衰減和衰減速度稱為

4、滾降與滾降率。阻帶衰減：輸入信號(hào)在阻帶的衰減量帶內(nèi)平坦度：通帶和阻帶內(nèi)的平坦程度4、表征濾波器頻率響應(yīng)的特征參量幅度平方響應(yīng)2*()()()jjjH eH eHe1( )()()()jz ejjHHezHHez 的極點(diǎn)既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對(duì)稱的1( )()H z H zRe zIm jz01aa*a*1/aH(z)的極點(diǎn)：?jiǎn)挝粓A內(nèi)的極點(diǎn)相位響應(yīng)()()()Re()Im()jjjjejjH eH eeH ejH e*()()()jjjjeHeH ee*()1()ln2()jjjH ejHee11( )ln2()jz eH zjH z()jH e2()*()()jjjejH eeHeIm

5、()()arctanRe()jjjH eeH e相位響應(yīng)：()()jjdeed ( )1Re( )jz edH zzdzH z 群延遲響應(yīng)相位對(duì)角頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值()je若濾波器通帶內(nèi) = 常數(shù)，則為線性相位濾波器5、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器01( )1MkkkNkkkb zH za z用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：, kkab即為求濾波器的各系數(shù)：計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法 s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數(shù)字濾波器二、用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)思想： s 平面 z 平面模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng)( )( )aHsH zH(z) 的頻率響應(yīng)要

6、能模仿 Ha(s) 的頻率響應(yīng)，即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的單位圓內(nèi) |z| 1設(shè)計(jì)方法：- 沖激響應(yīng)不變法- 階躍響應(yīng)不變法- 雙線性變換法三、沖激響應(yīng)不變法( )( )at nTh nh t數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)( )h n( )ah t1、變換原理T抽樣周期)(tya)(tha)()(nTxnxa)()(nTynya)()(nThnha( )ax t12akHsjkTT( )( )sTaz eH zHs( )( )at nTh nh t

7、( )Hz( )aHs從頻率響應(yīng)來(lái)看：從頻率響應(yīng)來(lái)看：1212()()()jaakkkH eHjjkHjTTTT 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為的周期延拓，周期為2 /T只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限的，且?guī)е挥挟?dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即限于折疊頻率以內(nèi)時(shí)，即()0,2saHjT 數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真混迭失真1()jaH eHjTT2、混迭失真,sfTTT T ccTT 2ssfTT混迭 實(shí)

8、際系統(tǒng)不可能嚴(yán)格限帶，都會(huì)混迭失真，在 處衰減越快，失真越小/2s 當(dāng)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以數(shù)字域頻率 給定時(shí)，不能通過(guò)提高抽樣頻率來(lái)改善混迭現(xiàn)象c折疊頻率范圍和 同倍數(shù)擴(kuò)大c3、模擬濾波器的數(shù)字化方法1( )NkakkAHsss111kNks TkAez( )( )()( )( )aaaHsh th nTh nH z11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT1( )kNns TkkA eu n)()nnh n zH z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez 系數(shù)相同：kA1( )Nkak

9、kAHsss11 ( )1kNks TkAH zez極點(diǎn)：s 平面 z 平面kssks Tze穩(wěn)定性不變：s 平面 z 平面Re0ks1ks Te1()jaH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez當(dāng)T 很小時(shí)，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正( )()ah nTh nT令：2()jakkH eHjT則：aHjT總結(jié)：利用沖激響應(yīng)不變法由 得到1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez( )aHs( )H z2211( )4313aHsssss試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：131(

10、 )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz設(shè)T = 1s，則1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模擬濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：20.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj 4、沖激響應(yīng)不變法優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：T 保持線性關(guān)系：線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器 頻率響應(yīng)混迭只適用于限帶的低通、帶通濾波器 h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽

11、樣響應(yīng)時(shí)域逼近良好( )ah t階躍響應(yīng)不變法變換原理( )( )()at nTag ng tg nT( )g n( )ag t數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng) 模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng)T 抽樣周期( )( )h nH z( )1u nzz ( )( )* ( )( )( )1zG zg nu nnzzhH( )( )aah tHs( )1u ts( )( )*(1( )( )aaaagtu th tG sHss1( )( )aag tLG s( )( )G zZT g n1( )()(aaaGssHsHs( )()ag ngnT1( )( ) zzzHGz1( )( )aaG sHss( )( )1zG

12、 zH zz( )( )()at nTag ng tg nT( )( )sTaz eG zG s12akGsjkTT( )211sTkzaeGsjzH zzkTT212aksjkTTsjkHT階躍響應(yīng)不變法同樣有頻率響應(yīng)的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應(yīng)不變法要小。四、雙線性變換法1、變換原理使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時(shí)域模仿逼近缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真:, 1:,T T 12Ttg 11s TzeT 11sin2cos2TT1111s Ts Tee1111zsz 11szs12Ttg 1111222222TTjjTTjjeejee11112

13、222TTjjTTjjeesjee 11112222s Ts Ts Ts Teeee1111zz1s Tzesj 11sj 12s Te為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，引入系數(shù) c12Tc tg 1111zsczcszcs2c tg s平面和z平面單值映射關(guān)系雙線性變換2、變換常數(shù)c的選擇12Tc tg 2cT2）某一特定頻率嚴(yán)格相對(duì)應(yīng)：cc 122cccTc tgc tg 2cccctg 1 1）低頻處有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系：特定頻率處頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等，可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率位置1 12Tc3、逼近情況2222()()czc01z1111112jjzesccjc tgj

14、ze 1）s平面虛軸z平面單位圓cscjzcscj 2）01z01z左半平面單位圓內(nèi)s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上4、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：2c tg 00 避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象s 平面與 z 平面為單值變換00 缺點(diǎn)： 除了零頻率附近， 與 之間嚴(yán)重非線性11/T 1112 tgc2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會(huì)產(chǎn)生畸變1）線性相位模擬濾波器 非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變預(yù)畸變給定數(shù)字濾波器的截止頻率 ，則1112c tg 按 設(shè)計(jì)模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到 為截止頻率的數(shù)字濾波器116、模擬濾波

15、器的數(shù)字化方法1111111( )( )1aazs czzH zHsHcz可分解成級(jí)聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：12( )( )( )( )maaaaHsHs HsHs12( )( )( )( )mH zH z HzHz12( )( )( )( )maaaaHsHsHsHs12( )( )( )( )mH zH zHzHz1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：例 設(shè)有一模擬濾波器抽樣周期 ，試用雙線性變換法將它轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字系統(tǒng)函數(shù) 211aHsss2T H z解：由變換公式1111zs

16、cz及2cT2T ，可得1111zsz 1111zaszH zHs21111111111zzzz21213zz五、常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器模擬濾波器 巴特沃斯 Butterworth 濾波器 切比雪夫 Chebyshev 濾波器 橢圓 Ellipse 濾波器 貝塞爾 Bessel 濾波器1、Butterworth 低通逼近幅度平方函數(shù)：221()1aNcHj當(dāng)2()1/2acHj時(shí)稱 為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬c1( 0)20lg3()aacHjdBHjN為濾波器的階數(shù)c為通帶截止頻率1）幅度函數(shù)

17、特點(diǎn)：221()1aNcHj20()1aHj 21()1/23caHjdB 3dB不變性c 通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小 c 過(guò)渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小 st 當(dāng) （阻帶截止頻率）時(shí)，衰減 為阻帶最小衰減22）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：1( )()NcaNkkHsss1 21221,2,.,kjNkcsekN 1 /crad s 為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)( )anHs去歸一化，得( )( )ScaansHsHsancsH3）濾波器的設(shè)計(jì)步驟：120.10.1101101spk根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：12ps確定技術(shù)指標(biāo)：sspp令lglgspspkN 則：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：11( )()

18、anNkkHsss由N，直接查表得( )anHs( )aancsHsH其中技術(shù)指標(biāo) 給出或由下式求出：c110.12101Ncp 去歸一化阻帶指標(biāo)有富裕210.12101Ncs 或通帶指標(biāo)有富裕 例：設(shè)計(jì)Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于 rad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率 到 之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。0.20.3/0.2 /ppTrad s /0.3 /ssTrad s 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1、用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：選T

19、 = 1 s/1.5spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.8846spspNkN 取110.121010.7032/Ncprad s a）確定參數(shù)用通帶技術(shù)指標(biāo)，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsHsHssssssb) 由N = 6，直接查表得c) 去歸一化4）將 展成部分分式形式:( )aHs1( )NkakkAHsss11(

20、 )1kNks TkTAH zez1112120.28710.44662.1428 1.145410.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.630410.99720.2570zzz變換成Butterworth數(shù)字濾波器：2、用雙線性變換法設(shè)計(jì)20.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts選1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：/1.568spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.3066sp

21、spNkN 取210.121010.7662/Ncsrad s a）確定參數(shù)用阻帶技術(shù)指標(biāo)，使通帶特性較好，因無(wú)混迭問(wèn)題3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssssb) 由N = 6，直接查表得c) 去歸一化( )aancsHsH112 11( )( )azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz121(1 0.90440.2155)zz( )aHs4）將 變換成Butterworth數(shù)字濾波器：3、Chebyshev低通逼近 2()1/ 1caHj 1）幅度函數(shù)特點(diǎn)： 通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0c 221()1aNcHjC N為偶數(shù)2( 0)1/ 1aHj N為奇數(shù)( 0)1aHj 通帶內(nèi)：在1和 間等波紋起伏c(diǎn) 21/ 10 2）濾波器的設(shè)計(jì)步驟:10.121011