數(shù)字信號處理第六章

1、第六章第六章 IIR數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器的設(shè)計方法設(shè)計方法第六章學(xué)習(xí)目標(biāo)第六章學(xué)習(xí)目標(biāo)理解數(shù)字濾波器的基本概念掌握沖激響應(yīng)不變法掌握雙線性變換法數(shù)字濾波器：是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。 高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能優(yōu)點：一、數(shù)字濾波器的基本概念濾波器的功能 1、數(shù)字濾波器的分類 經(jīng)典濾波器：現(xiàn)代濾波器：選頻濾波器維納濾波器卡爾曼濾波器自適應(yīng)濾波器等按功能分：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器按實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位抽樣響應(yīng)分：01( )1MkkkNkkkb zH za z10(

2、 )( )NnnH zh n zFIR濾波器（N-1階）IIR濾波器（N階）2、數(shù)字濾波器的設(shè)計過程用一個因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)按設(shè)計任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)利用有限精度算法實現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運算結(jié)構(gòu)、字長的選擇等實際技術(shù)實現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法3、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求選頻濾波器的頻率響應(yīng)：()()()jjjjH eH ee 為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后 各頻率成分的衰減情況()jH e 為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器 后在時間上的延時情況()j：通帶截止頻率c：阻帶截止頻率st：通帶容限1：阻帶容限2st2()jH e阻帶

3、：cst過渡帶：c11()1jH e通帶：理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近通帶最大衰減：1011()20lg20lg()20lg(1)()ccjjjH eH eH e 阻帶最小衰減：2022()20lg20lg()20lg()ststjjjH eH eH e 其中：0()1jH e當(dāng) 時，()2/20.707cjH e稱 為3dB通帶截止頻率13dBc 濾波器的性能指標(biāo)帶寬：當(dāng)幅度降低到0.707時的寬度稱為濾波器的帶寬（3dB帶寬）通帶、阻帶與過渡帶：信號允許通過的頻帶為通帶，完全不允許通過的頻帶為阻帶，通帶與阻帶之間為過渡帶。滾降與滾降率：濾波器幅頻特性在過渡帶的衰減和衰減速度稱為

4、滾降與滾降率。阻帶衰減：輸入信號在阻帶的衰減量帶內(nèi)平坦度：通帶和阻帶內(nèi)的平坦程度4、表征濾波器頻率響應(yīng)的特征參量幅度平方響應(yīng)2*()()()jjjH eH eHe1( )()()()jz ejjHHezHHez 的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的1( )()H z H zRe zIm jz01aa*a*1/aH(z)的極點：單位圓內(nèi)的極點相位響應(yīng)()()()Re()Im()jjjjejjH eH eeH ejH e*()()()jjjjeHeH ee*()1()ln2()jjjH ejHee11( )ln2()jz eH zjH z()jH e2()*()()jjjejH eeHeIm

5、()()arctanRe()jjjH eeH e相位響應(yīng)：()()jjdeed ( )1Re( )jz edH zzdzH z 群延遲響應(yīng)相位對角頻率的導(dǎo)數(shù)的負值()je若濾波器通帶內(nèi) = 常數(shù)，則為線性相位濾波器5、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法先設(shè)計模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器01( )1MkkkNkkkb zH za z用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：, kkab即為求濾波器的各系數(shù)：計算機輔助設(shè)計法 s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數(shù)字濾波器二、用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器設(shè)計思想： s 平面 z 平面模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng)( )( )aHsH zH(z) 的頻率響應(yīng)要

6、能模仿 Ha(s) 的頻率響應(yīng)，即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的單位圓內(nèi) |z| 1設(shè)計方法：- 沖激響應(yīng)不變法- 階躍響應(yīng)不變法- 雙線性變換法三、沖激響應(yīng)不變法( )( )at nTh nh t數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)( )h n( )ah t1、變換原理T抽樣周期)(tya)(tha)()(nTxnxa)()(nTynya)()(nThnha( )ax t12akHsjkTT( )( )sTaz eH zHs( )( )at nTh nh t

7、( )Hz( )aHs從頻率響應(yīng)來看：從頻率響應(yīng)來看：1212()()()jaakkkH eHjjkHjTTTT 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為的周期延拓，周期為2 /T只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限的，且?guī)е挥挟?dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即限于折疊頻率以內(nèi)時，即()0,2saHjT 數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真混迭失真1()jaH eHjTT2、混迭失真,sfTTT T ccTT 2ssfTT混迭 實

8、際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在 處衰減越快，失真越小/2s 當(dāng)濾波器的設(shè)計指標(biāo)以數(shù)字域頻率 給定時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象c折疊頻率范圍和 同倍數(shù)擴大c3、模擬濾波器的數(shù)字化方法1( )NkakkAHsss111kNks TkAez( )( )()( )( )aaaHsh th nTh nH z11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT1( )kNns TkkA eu n)()nnh n zH z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez 系數(shù)相同：kA1( )Nkak

9、kAHsss11 ( )1kNks TkAH zez極點：s 平面 z 平面kssks Tze穩(wěn)定性不變：s 平面 z 平面Re0ks1ks Te1()jaH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez當(dāng)T 很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正( )()ah nTh nT令：2()jakkH eHjT則：aHjT總結(jié)：利用沖激響應(yīng)不變法由 得到1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez( )aHs( )H z2211( )4313aHsssss試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：131(

10、 )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz設(shè)T = 1s，則1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模擬濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：20.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj 4、沖激響應(yīng)不變法優(yōu)缺點優(yōu)點：缺點：T 保持線性關(guān)系：線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器 頻率響應(yīng)混迭只適用于限帶的低通、帶通濾波器 h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽

11、樣響應(yīng)時域逼近良好( )ah t階躍響應(yīng)不變法變換原理( )( )()at nTag ng tg nT( )g n( )ag t數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng) 模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng)T 抽樣周期( )( )h nH z( )1u nzz ( )( )* ( )( )( )1zG zg nu nnzzhH( )( )aah tHs( )1u ts( )( )*(1( )( )aaaagtu th tG sHss1( )( )aag tLG s( )( )G zZT g n1( )()(aaaGssHsHs( )()ag ngnT1( )( ) zzzHGz1( )( )aaG sHss( )( )1zG

12、 zH zz( )( )()at nTag ng tg nT( )( )sTaz eG zG s12akGsjkTT( )211sTkzaeGsjzH zzkTT212aksjkTTsjkHT階躍響應(yīng)不變法同樣有頻率響應(yīng)的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應(yīng)不變法要小。四、雙線性變換法1、變換原理使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時域模仿逼近缺點是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真:, 1:,T T 12Ttg 11s TzeT 11sin2cos2TT1111s Ts Tee1111zsz 11szs12Ttg 1111222222TTjjTTjjeejee11112

13、222TTjjTTjjeesjee 11112222s Ts Ts Ts Teeee1111zz1s Tzesj 11sj 12s Te為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應(yīng)關(guān)系，引入系數(shù) c12Tc tg 1111zsczcszcs2c tg s平面和z平面單值映射關(guān)系雙線性變換2、變換常數(shù)c的選擇12Tc tg 2cT2）某一特定頻率嚴格相對應(yīng)：cc 122cccTc tgc tg 2cccctg 1 1）低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系：特定頻率處頻率響應(yīng)嚴格相等，可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率位置1 12Tc3、逼近情況2222()()czc01z1111112jjzesccjc tgj

14、ze 1）s平面虛軸z平面單位圓cscjzcscj 2）01z01z左半平面單位圓內(nèi)s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上4、優(yōu)缺點優(yōu)點：2c tg 00 避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象s 平面與 z 平面為單值變換00 缺點： 除了零頻率附近， 與 之間嚴重非線性11/T 1112 tgc2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會產(chǎn)生畸變1）線性相位模擬濾波器 非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點產(chǎn)生畸變預(yù)畸變給定數(shù)字濾波器的截止頻率 ，則1112c tg 按 設(shè)計模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到 為截止頻率的數(shù)字濾波器116、模擬濾波

15、器的數(shù)字化方法1111111( )( )1aazs czzH zHsHcz可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：12( )( )( )( )maaaaHsHs HsHs12( )( )( )( )mH zH z HzHz12( )( )( )( )maaaaHsHsHsHs12( )( )( )( )mH zH zHzHz1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：例 設(shè)有一模擬濾波器抽樣周期 ，試用雙線性變換法將它轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字系統(tǒng)函數(shù) 211aHsss2T H z解：由變換公式1111zs

16、cz及2cT2T ，可得1111zsz 1111zaszH zHs21111111111zzzz21213zz五、常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器模擬濾波器 巴特沃斯 Butterworth 濾波器 切比雪夫 Chebyshev 濾波器 橢圓 Ellipse 濾波器 貝塞爾 Bessel 濾波器1、Butterworth 低通逼近幅度平方函數(shù)：221()1aNcHj當(dāng)2()1/2acHj時稱 為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬c1( 0)20lg3()aacHjdBHjN為濾波器的階數(shù)c為通帶截止頻率1）幅度函數(shù)

17、特點：221()1aNcHj20()1aHj 21()1/23caHjdB 3dB不變性c 通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小 c 過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小 st 當(dāng) （阻帶截止頻率）時，衰減 為阻帶最小衰減22）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：1( )()NcaNkkHsss1 21221,2,.,kjNkcsekN 1 /crad s 為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)( )anHs去歸一化，得( )( )ScaansHsHsancsH3）濾波器的設(shè)計步驟：120.10.1101101spk根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：12ps確定技術(shù)指標(biāo)：sspp令lglgspspkN 則：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：11( )()

18、anNkkHsss由N，直接查表得( )anHs( )aancsHsH其中技術(shù)指標(biāo) 給出或由下式求出：c110.12101Ncp 去歸一化阻帶指標(biāo)有富裕210.12101Ncs 或通帶指標(biāo)有富裕 例：設(shè)計Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于 rad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率 到 之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。0.20.3/0.2 /ppTrad s /0.3 /ssTrad s 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1、用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：選T

19、 = 1 s/1.5spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.8846spspNkN 取110.121010.7032/Ncprad s a）確定參數(shù)用通帶技術(shù)指標(biāo)，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設(shè)計Butterworth模擬低通濾波器234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsHsHssssssb) 由N = 6，直接查表得c) 去歸一化4）將 展成部分分式形式:( )aHs1( )NkakkAHsss11(

20、 )1kNks TkTAH zez1112120.28710.44662.1428 1.145410.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.630410.99720.2570zzz變換成Butterworth數(shù)字濾波器：2、用雙線性變換法設(shè)計20.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts選1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：/1.568spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.3066sp

21、spNkN 取210.121010.7662/Ncsrad s a）確定參數(shù)用阻帶技術(shù)指標(biāo)，使通帶特性較好，因無混迭問題3）設(shè)計Butterworth模擬低通濾波器234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssssb) 由N = 6，直接查表得c) 去歸一化( )aancsHsH112 11( )( )azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz121(1 0.90440.2155)zz( )aHs4）將 變換成Butterworth數(shù)字濾波器：3、Chebyshev低通逼近 2()1/ 1caHj 1）幅度函數(shù)特點： 通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0c 221()1aNcHjC N為偶數(shù)2( 0)1/ 1aHj N為奇數(shù)( 0)1aHj 通帶內(nèi)：在1和 間等波紋起伏c 21/ 10 2）濾波器的設(shè)計步驟:10.121011