信號(hào)系統(tǒng)復(fù)習(xí)大綱

1、信號(hào)與系統(tǒng)復(fù)習(xí)大綱（2015）第一章 信號(hào)與系統(tǒng)一、周期信號(hào)和非周期信號(hào)周期信號(hào)是定義在(-，)區(qū)間，每隔一定時(shí)間T (或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。其特點(diǎn)是：周而復(fù)始且無始無終。連續(xù)周期信號(hào)f(t)滿足：離散周期信號(hào)f(k)滿足：滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號(hào)的周期。不具有周期性的信號(hào)稱為非周期信號(hào)。例1.2.2：判斷下列各序列是否為周期性的，如果是周期性的，確定其周期。（1） （2） （3）解：（1），是周期序列，周期。（2），即：為有理分?jǐn)?shù)，所以是周期序列，周期，當(dāng)M5時(shí)，N取最小整數(shù)12，所以，其周期。（3），而為無理數(shù)，所以，是非周期序列。例1.2.3：判斷下列信

2、號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1） （2）解：兩個(gè)周期信號(hào)，的周期分別為和，若其周期之比為有理數(shù)，則其和信號(hào)仍然是周期信號(hào)，其周期為和的最小公倍數(shù)。（1）是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為，是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為，。由于為有理數(shù)，故為周期信號(hào)，其周期為和的最小公倍數(shù)。（2）和的周期分別為，由于為無理數(shù)，故為非周期信號(hào)。例1.2.4：判斷下列序列是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1） （2）解：（1）sin(3k/4) 和cos(0.5k)的數(shù)字角頻率分別為：，由于，為有理數(shù)，故它們的周期分別為，故為周期序列，周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8。（2）sin(2k)的數(shù)字角頻率為，

3、由于為無理數(shù)，故為非周期序列。由上面幾例可看出：連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)，而正弦序列不一定是周期序列。兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào)，而兩周期序列之和一定是周期序列。二、能量信號(hào)與功率信號(hào)將信號(hào)f (t)施加于1電阻上，它所消耗的瞬時(shí)功率為，在區(qū)間(,)的能量和平均功率定義為：（1）信號(hào)的能量E：（2）信號(hào)的平均功率P： 若信號(hào)f (t)的能量有界，即0E ，則稱其為能量有限信號(hào)，簡稱能量信號(hào)，此時(shí)P=0。 若信號(hào)f (t)的功率有界，即P 0，則將f()右移；否則左移。結(jié)論：1、連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)均可進(jìn)行反轉(zhuǎn)、平移操作。2、平移方向的確定：法一：若t0 (或k0) 0，則將f ()右移

4、；否則左移；法二：自變量整體置零。f(t)12Ot例1.3.3：已知：求：f（2-t）解：法一： 先平移f (t)f (t +2) 再反轉(zhuǎn)f (t +2)f (-t +2)t-21f(t+2)0t021f(2-t)f(t)12Ot左移2單位反轉(zhuǎn)0法二： 先反轉(zhuǎn)再平移：故意直接對(duì)-t 進(jìn)行平移（因?yàn)?t+2-t-（-2），t0-20，所以，左移兩個(gè)單位）f(t)12Otf(-t)tO-21反轉(zhuǎn)tf(-t)O-21-4因?yàn)?t+2-t-（-2），t0-21，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮到原來的1/a；若0 a 0，式（2）可寫為，不難求得齊次解為，特解為3（2P=6）。于是有 （6）將初始值代入上式及其導(dǎo)數(shù)

5、，得：，將其代入式（6），得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 (a2)（3）全響應(yīng)y(t)由式(a1)、(a2)可得系統(tǒng)的全響應(yīng)為 其中，為自由響應(yīng)，3為強(qiáng)迫響應(yīng)（即特解）。例2.1-8描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為若已知y(0+)=3，y(0+)=1，求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。解：本例中已知的是0+時(shí)刻的初始值，即 （1） 按上式無法區(qū)分零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)在t=0+時(shí)的值。此時(shí)，可先求零狀態(tài)響應(yīng)。由于零狀態(tài)響應(yīng)是指y(j)zs(0-)0時(shí)方程的解，因此本例中的零狀態(tài)響應(yīng)的求法和結(jié)果與例2.1-7相同，即由上式及其導(dǎo)數(shù)可求得，將它們代入到式（1）得：。本例中，零輸入響應(yīng)的形式也和例2.1-7相同，

6、即：將初始值代入，有由上式解得，于是得該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為：二、卷積積分1、定義一般地，已知定義在區(qū)間（-，）上的兩個(gè)函數(shù)f1(t)和f2(t)，則定義積分為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積。記為LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)與沖激響應(yīng)的卷積積分，即：例2.3-2 設(shè)。求卷積積分 （1） （2） 解：（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)為零，故其積分下限可寫為：0；對(duì)于，當(dāng)，即：時(shí)為零，故其積分上限可寫為：t；同時(shí)，考慮到時(shí)，故有：由于積分上限應(yīng)該大于積分下限，故上式在t0時(shí)成立，故應(yīng)寫為：（2）對(duì)于，當(dāng)時(shí)為零，故其積分下限可寫為：0；對(duì)于，當(dāng)，即：時(shí)為零，故其積分上限可寫為：t-2；故有：由于積分上限應(yīng)

7、該大于積分下限，故上式在t-20時(shí)成立，故應(yīng)寫為：2、圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元： t換為得f1()， f2()（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2()反轉(zhuǎn) f2()右移t f2(t-)（3）乘積： f1() f2(t-)（4）積分： 從到對(duì)乘積項(xiàng)積分，即：計(jì)算積分注意：t為參變量。3、卷積積分的性質(zhì)交換律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)（2.4-1）分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) （2.4-2）結(jié)合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t) （2.4-

8、3）（2.4-4）（2.4-5）（2.4-6）（2.4-7）若則（2.4-8）若：則：（2.4-14）若：則：（2.4-15）f1()=f2()=0時(shí)，（2.4-16a）（2.4-17）2.24某LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，當(dāng)輸入為時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)，求輸入信號(hào)。解：法一：時(shí)域法（卷積法） 特征根為=-2，激勵(lì)，其指數(shù)為-1-2 設(shè)特解為P代入微分方程有：P=1，即特解為：齊次解設(shè)為：，則全解為：=0（因?yàn)榇藭r(shí)f(t)未接入系統(tǒng)） =0=C+1 C=-1 法二：復(fù)頻域法，時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)于復(fù)頻域乘積，故有：，解得：，求得其逆變換為：第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析一、（周期信號(hào)的）傅里葉級(jí)數(shù)1、三角形是

9、傅里葉級(jí)數(shù)： 1）f(t)為偶函數(shù)縱坐標(biāo)對(duì)稱，(bn=0，展開為余弦級(jí)數(shù)，包含直流分量)2）f(t)為奇函數(shù)對(duì)稱于原點(diǎn)，（an =0，展開為正弦級(jí)數(shù)，不含直流分量）3）f(t)為奇諧函數(shù)f(t) =-f(tT/2)（即：f(t)前半周期平移T/2后，與后半周期波形相對(duì)于橫坐標(biāo)對(duì)稱）。只含奇次諧波分量，不含偶次諧波分量。4）f(t)為偶諧函數(shù)f(t) = f(tT/2)（f(t)前半周期平移T/2后與后半周期重合）。只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量。2、指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)：3、周期信號(hào)的頻譜將An和的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為幅度（振幅）頻譜圖（簡稱幅度譜）和相位頻譜

10、圖（簡稱相位譜）如圖4.3-1（a）、（c）所示。在頻譜圖中代表各諧波分量振幅和相位的垂線稱之為譜線，每一根譜線所在位置的n值即為該次諧波的角頻率。連接各譜線頂點(diǎn)的曲線（如圖中虛線所示）稱為包絡(luò)線，它反映了各分量幅度隨頻率變化的情況。因?yàn)槿切问降母盗⑷~級(jí)數(shù)展開式中n0，故其振幅及相位譜僅在頻譜圖的右半平面，所以稱這種頻譜為單邊譜。而指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)的展開式中n可以取任何整數(shù)，因此頻譜圖兩側(cè)都有譜線存在，故稱之為雙邊幅度譜，即畫出|Fn|和的關(guān)系，如圖4.3-1（b）、（d）所示。（其中|Fn|=|F-n|=An/2）。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫Fn（此時(shí)用Fn的正負(fù)來表示相位為0或），此時(shí)常

11、將幅度譜和相位譜畫在一張圖上（參看圖4.3-3）。由圖可見，周期信號(hào)的譜線只出現(xiàn)在頻率為等離散頻率上，即周期信號(hào)的頻譜是離散譜。周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性，譜線位置是基頻的整數(shù)倍；2)一般具有收斂性，總趨勢(shì)減??；3）譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a) T一定，變小，此時(shí)（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。(b) 一定，T增大，間隔減小，頻譜變密，幅度減小。如果周期T無限增長（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。二、非周期信號(hào)的頻

12、譜傅里葉變換1、傅里葉變換定義式（4.4-4）稱為函數(shù)f (t)的傅里葉變換（積分），式（4.4-5）稱為函數(shù)F(j)的傅里葉逆變換（或反變換）。F(j)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜，而f(t)稱為F(j)的傅里葉反變換或原函數(shù)。也可簡記為或F(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫為式中|F(j)|和分別是頻譜函數(shù)F(j）的模和相位。R()和X()分別是它的實(shí)部和虛部。說明：(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的充分條件但非必要條件是在無窮區(qū)間內(nèi)f(t)絕對(duì)可積，即：(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分2、常用函數(shù)的傅里葉變換3、傅里葉變換的性質(zhì)表4-

13、2 傅立葉變換的性質(zhì)名稱時(shí)域頻域定義線性奇偶性f(t)為實(shí)函數(shù)f(t)為虛函數(shù)反轉(zhuǎn)對(duì)稱性尺度變換時(shí)移特性頻移特性卷積定理時(shí)域頻域時(shí)域微分時(shí)域積分頻域微分頻域積分相關(guān)定理R12()R21()F R12() = F1(j) F2*(j) F R21() =F1*(j) F2(j)4、周期信號(hào)的傅里葉變換 （4.7-8）周期信號(hào)fT(t)的傅立葉系數(shù)Fn與其第一個(gè)周期的單脈沖信號(hào)頻譜F0(j)關(guān)系為：三、LTI系統(tǒng)的頻域分析1、頻率響應(yīng)Y(j)=H(j)F(j) （4.8-3） （4.8-4） （4.8-5）2、無失真?zhèn)鬏斔^信號(hào)無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的

14、先后不同，而沒有波形上的變化。即輸入信號(hào)為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信?hào)應(yīng)為即輸出信號(hào)的幅度是輸入信號(hào)的K倍，而且比輸入信號(hào)延時(shí)了td秒。其頻譜關(guān)系為： 系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敚瑢?duì)系統(tǒng)h(t)，H(j)的要求是：(a) 對(duì)h(t)的要求：(b) 對(duì)H(j)的要求：，即四、取樣定理所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。這樣得到的離散信號(hào)稱為取樣信號(hào)，記為fs(t)： 沖激取樣：現(xiàn)在以沖激取樣為例，研究如何從取樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)并引出取樣定理。設(shè)有沖激取樣信號(hào)，其取樣角頻率（為原信號(hào)的最高角頻率）。及其頻譜如圖4.9-5(d)和(a)所示。為

15、了從中無失真地恢復(fù)，選擇一個(gè)理想低通濾波器，其頻率響應(yīng)為幅度為，截止角頻率為，即：如圖4.9-5(b)所示。由圖4.9-5(a)、(b)、(c)可見即恢復(fù)了原信號(hào)的頻譜函數(shù)。時(shí)域取樣定理：一個(gè)頻譜在區(qū)間（-wm，wm)以外為0的帶限信號(hào)f(t)，可唯一地由其在均勻間隔Ts Ts1/(2fm) 上的樣點(diǎn)值f(nTs)確定。 注意：為恢復(fù)原信號(hào)，必須滿足兩個(gè)條件：（1）f(t)必須是帶限信號(hào)，其頻譜函數(shù)在處處為零；（2）取樣頻率不能太低，必須fs2fm，或者說，取樣間隔不能太大，必須Ts1/(2fm)，否則將發(fā)生混疊。通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特（Nyquist)頻率；把最大允

16、許的取樣間隔Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔。例：若對(duì)f(t)進(jìn)行理想取樣，其奈奎斯特取樣頻率為fs，則對(duì)進(jìn)行取樣，其奈奎斯特取樣頻率為多少？解：奈奎斯特取樣頻率fs=2fm，為解決本題，需先求的最大頻率fm。根據(jù)傅里葉變換性質(zhì)：尺度變換時(shí)移特性得到：若原信號(hào)的最大頻率為fm，則，即頻域發(fā)生了展寬，展寬倍數(shù)為2，故其最大頻率為：2fm，因此，其奈奎斯特頻率為2fs例：已知信號(hào)f(t)=Sa(2t)，如圖(a)所示，用對(duì)其進(jìn)行取樣。 (1)確定奈奎斯特取樣角頻率； (2)若取ws=6wm，求取樣信號(hào)fs(t)=f(t)T(t),并畫出波形圖； (3)求Fs(j)=Ffs(t)，并畫出頻譜；

17、(4)確定低通濾波器的截止頻率。（中科院2003年考研題）解:(1)確定奈奎斯特取樣角頻率；故，奈奎斯特取樣角頻率為wsmin=2wm=22=4(rad/s) (2) 取ws=6wm ,求取樣信號(hào)fs(t)=f(t)T(t),并畫出波形圖；而ws=6wm=62=12rad/s，故:所以，(3) 求Fs(j)=Ffs(t)，并畫出頻譜；法一：直接對(duì)取樣信號(hào)fs(t)進(jìn)行傅氏變換；法二：對(duì)f(t)和T(t)進(jìn)行傅氏變換，根據(jù)頻域卷積定理求解。(采用此法)(4) 確定低通濾波器的截止頻率。 截止頻率應(yīng)滿足：wmwcws- wm，即：2rad/swc10rad/s。 第五章 連續(xù)系統(tǒng)的S域分析一、拉普

18、拉斯變換1、雙邊拉普拉斯變換結(jié)論：（雙邊拉普拉斯變換）1）對(duì)于雙邊拉普拉斯變換而言，F(xiàn)b(S)和收斂域一起，可以唯一地確定f(t)。即：2）不同的信號(hào)可以有相同的Fb (S)，但他們的收斂域不同；不同信號(hào)如果有相同的收斂域，則他們的Fb (S)必然不同！2、單邊拉氏變換1）定義：單邊拉普拉斯變換對(duì)可寫為：2）典型變換對(duì)；常用的單元信號(hào)的拉氏變換如下表所示。f(t)F(s)f(t)F(s)f(t)F(s)13、拉普拉斯變換的性質(zhì)表5-1 單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)注：（0為收斂坐標(biāo)）名稱時(shí)域 f(t)F(s) s域定義線性a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)，=Resmax(

19、1,2)尺度變換f(at) (1/a)F(s/a)，=Resa0時(shí)移f(t-t0)(t-t0)e-st 0F(s) , =Res0復(fù)頻移，=Res0+a時(shí)域微分f (t) sF(s) f(0-)，=Res0時(shí)域積分，=Resmax(0,0)時(shí)域卷積f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s)，=Resmax(1,2)時(shí)域相乘s域微分，=Res 0s域積分，=Res 0初值定理，F(xiàn)(s)為真分式終值定理，s=0在sF(s)的收斂域內(nèi)例1：已知：，求和。解：由于F(s)為真分式，故有：由于sF(s)的極點(diǎn)坐標(biāo)為，故其收斂域?yàn)镽es0=-1，s=0點(diǎn)在其收斂域內(nèi)，所以有：例2：已知：，求和。解：由于

20、F(s)為假分式，故將其化為真分式：，求取初值時(shí)，利用真分式即可：。由例1可知：s=0點(diǎn)在其收斂域內(nèi)，故有：4、拉普拉斯逆變換若F(s)是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（m0時(shí)輸入為零（因?yàn)閗=2時(shí)，(k2)=1）。所以，需要利用線性性質(zhì)和移位不變性質(zhì)（時(shí)不變性）求得系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。令只有(k)作用時(shí)，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h1(k)，它滿足h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)=(k) （2）且初始狀態(tài)：h1(1) = h1(2) = 0令只有(k-2)作用時(shí)，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h2(k)，它滿足h2(k) h2(k 1) 2h2(k 2)=(k-2) （3）且初始狀態(tài)：h2(1) = h2(2

21、) = 0。根據(jù)線性性質(zhì)，h(k) = h1(k)+h2(k)比較式（2）（3），根據(jù)移位不變性質(zhì)（時(shí)不變性）得：h2(k) h1(k 2)所以，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為：（因?yàn)閔1(k)上例已經(jīng)求得）2）階躍響應(yīng)定義：由單位階躍序列(k)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)或階躍響應(yīng)，記為g(k)。g(k)=T0,(k)。表3-3 幾種數(shù)列的求和公式序號(hào)公式說明12可為正或負(fù)整數(shù)，但34可為正或負(fù)整數(shù)56可為正或負(fù)整數(shù)，但7三、卷積和1、卷積和的定義已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個(gè)函數(shù)f1(k)和f2(k)，則定義為f1(t)與f2(t)的卷積和，簡稱卷積；記為注意：求和是在虛設(shè)的變量i下進(jìn)行的，i

22、為求和變量，k為參變量。結(jié)果仍為k的函數(shù)。1） f1(k)為因果序列。即k0時(shí)，f1(k)=0，所以求和下限可改寫為0：2） f2(k)為因果序列。即k-ik時(shí)，f2(k-i)=0，所以求和上限可改寫為k：3） f1(k)、f2(k)均為因果序列，則：例3.3-11），求零狀態(tài)響應(yīng)。2）求。3）求4）求5）求解：1）因?yàn)閮蓚€(gè)信號(hào)均為因果信號(hào)，所以求和上下限分別為k和0，即2）3）4） 由于上式中對(duì)k沒有限制，所以可寫為： 5）2、卷積和的圖示卷積過程可分解為四步：（1）換元： k換為i得f1(i)，f2(i)；（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)f2(i)右移kf2(k i)；（3）乘積： f1(i) f2(k i)；（4）求和： i從到對(duì)乘積項(xiàng)求和。注意：k為參變量。3、列表法求