高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)及說(shuō)課稿《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式》

1、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式說(shuō)課稿今天我將要為大家講的課題是等比數(shù)列前n項(xiàng)和。對(duì)于這個(gè)課題，我主要從下面六個(gè)方面來(lái)進(jìn)行講解。一、教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析： 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式是高中數(shù)學(xué)二年級(jí)第二學(xué)期第十三章第五節(jié)內(nèi)容。教學(xué)對(duì)象為高二學(xué)生，教學(xué)課時(shí)為2課時(shí)。本節(jié)課為第一課時(shí)。在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義、等比數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)內(nèi)容,這為過(guò)渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用，而本節(jié)內(nèi)容也為后面學(xué)習(xí)數(shù)列求和、數(shù)列極限打下基礎(chǔ)。本節(jié)課既是本章的重點(diǎn)，同時(shí)也是教材的重點(diǎn)。從高中數(shù)學(xué)的整體內(nèi)容來(lái)看，數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法這一章是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域里占據(jù)著重要地位，也起著作用性的作用。首先：

2、數(shù)列有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用。例如產(chǎn)品的規(guī)格設(shè)計(jì)、儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等。 其次：數(shù)列有著承前啟后的作用。數(shù)列是函數(shù)的延續(xù)，它實(shí)質(zhì)上是一種特殊的函數(shù)；學(xué)習(xí)數(shù)列又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容打下基礎(chǔ)。 再次：數(shù)列也是培養(yǎng)提高學(xué)生思維能力的好題材。學(xué)習(xí)數(shù)列要經(jīng)常觀(guān)察、分析、猜想,還要綜合運(yùn)用前面的知識(shí)解決數(shù)列中的一些問(wèn)題，這些都有利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。 本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。二、教學(xué)目標(biāo)分析：作為一名數(shù)學(xué)老師,不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí),更重要的是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)。根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，我

3、制定了如下的教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)目標(biāo)：理解等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及應(yīng)用。 2、能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察問(wèn)題、思考問(wèn)題的能力，并能靈活運(yùn)用基本概念分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,鍛煉數(shù)學(xué)思維能力。 3、情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，鍛煉學(xué)生遇到困難不氣餒的堅(jiān)強(qiáng)意志和勇于創(chuàng)新的精神。三、學(xué)生情況分析：學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)等差、等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式，具備一定的數(shù)學(xué)思想方法，能夠就接下來(lái)的內(nèi)容展開(kāi)思考，而且在情感上也具備了學(xué)習(xí)新知識(shí)的渴求。四、教學(xué)方法分析：教法：數(shù)學(xué)是一門(mén)培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，因此在教學(xué)中不僅要讓學(xué)生“知其然”

4、，還要“知其所以然”，為了體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)循序漸進(jìn)和啟發(fā)式教學(xué)原則，我進(jìn)行這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)：在教師的引導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)情景，通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題的設(shè)置來(lái)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，在思考中體會(huì)數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)方法和思想，使之獲得內(nèi)心感受。本節(jié)課將采用“多媒體優(yōu)化組合激勵(lì)發(fā)現(xiàn)”式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)。該模式能夠?qū)⒔虒W(xué)過(guò)程中的各要素，如教師、學(xué)生、教材、教法等進(jìn)行積極的整合，使其融為一體，創(chuàng)造最佳的教學(xué)氛圍。主要包括啟發(fā)式講解、互動(dòng)式討論、研究式探索、反饋式評(píng)價(jià)。學(xué)法：根據(jù)二期課改的精神，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式也是本次課改的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育的核心學(xué)科之一，轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，

5、變學(xué)生被動(dòng)接受式學(xué)習(xí)為主動(dòng)參與式學(xué)習(xí)，不僅有利于提高學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也有利于促進(jìn)學(xué)生整體學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。在課堂結(jié)構(gòu)上我根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知層次，設(shè)計(jì)了（）創(chuàng)設(shè)情景（）觀(guān)察歸納（）討論研究（）即時(shí)訓(xùn)練（）總結(jié)反思（）任務(wù)延續(xù)，六個(gè)層次的學(xué)法，他們環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學(xué)目的。自主探索、觀(guān)察發(fā)現(xiàn)、類(lèi)比猜想、合作交流。教學(xué)手段，利用多媒體和軟件進(jìn)行輔助教學(xué)。五、教學(xué)程序設(shè)計(jì)：1、創(chuàng)設(shè)情景：引例：某公司，由于資金短缺，決定向銀行進(jìn)行貸款，雙方約定，在3年內(nèi)，公司每月向銀行借款10萬(wàn)元，為了還本付息，公司第一個(gè)月要向銀行還款10元，第二個(gè)月還款20元，第三個(gè)月還款40元，。即每月還款的數(shù)量是前

6、一個(gè)月的2倍，請(qǐng)問(wèn)，假如你是公司經(jīng)理或銀行主管，你會(huì)在這個(gè)合約上簽字嗎？這是一個(gè)懸念式的實(shí)例，后面的“假如”又把學(xué)生帶入了實(shí)例創(chuàng)設(shè)的情境，讓學(xué)生直接參與了“市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)”。根據(jù)心理學(xué)，情境具有暗示作用，在暗示作用下，學(xué)生自覺(jué)不自覺(jué)地參與了情境中的角色，這樣他們的學(xué)習(xí)積極性和思維活動(dòng)就會(huì)極大的調(diào)動(dòng)起來(lái)。這樣引入課題有以下幾個(gè)好處： (1) 利用學(xué)生求知好奇心理，以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題為切入點(diǎn)，便于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的趣味性和積極性。(2) 在實(shí)際情況下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生利用已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，同化和索引出當(dāng)前學(xué)習(xí)的新知識(shí)，這樣獲取的知識(shí)，不但易于保持，而且易于遷移到陌生的問(wèn)題情境中。(3) 問(wèn)題內(nèi)容

7、緊扣本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的主題與重點(diǎn)。 (4) 有利于知識(shí)的遷移，使學(xué)生明確知識(shí)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用性。在教師的誘導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)自己掌握的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，很快建立起兩個(gè)等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型。數(shù)列an是以為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，即常數(shù)列。數(shù)列bn是以10為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。當(dāng)學(xué)生躍躍欲試要求這兩個(gè)數(shù)列的和的時(shí)候，課題的引入已經(jīng)水到渠成。教師再由特殊到一般、具體到抽象的啟示，正式引入課題。2、講授新課：本節(jié)課有兩項(xiàng)主要內(nèi)容，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及應(yīng)用。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的難點(diǎn)。依據(jù)如下： (1) 從認(rèn)知領(lǐng)域上講,它在陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)與策略性知

8、識(shí)的分類(lèi)中，屬于學(xué)生最高需求層次的掌握策略與方法的策略性知識(shí)。(2) 從學(xué)科知識(shí)上講,推導(dǎo)屬于學(xué)科邏輯中的“瓶頸”，突破這一“瓶頸”則后面的問(wèn)題迎刃而解。(3) 從心理學(xué)上講,學(xué)生對(duì)這項(xiàng)學(xué)習(xí)內(nèi)容的“熟悉度”不高，原有知識(shí)薄弱，不易理解。這里我講述的主要是怎樣利用多媒體激勵(lì)、啟發(fā)學(xué)生思維，突破教材難點(diǎn)。等比數(shù)列有兩大類(lèi)：公比q=1和q1兩種情形當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1當(dāng)q1時(shí)，Sn=a1+a1q+a1qn-1=q1時(shí)，Sn的結(jié)果是怎么推導(dǎo)出來(lái)的呢？本節(jié)課的難點(diǎn)就在于此。預(yù)習(xí)過(guò)課本的學(xué)生會(huì)知道這個(gè)結(jié)果以及推導(dǎo)過(guò)程，但是他們知其然而不知其所以然，可以說(shuō)大部分學(xué)生根據(jù)他們掌握的知識(shí)

9、和經(jīng)驗(yàn)是難以推出這個(gè)公式的。這時(shí)候我們可以首先讓學(xué)生們進(jìn)行思考，如果運(yùn)用數(shù)學(xué)中“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，能不能向這個(gè)結(jié)果靠攏呢？我們不難得到下述結(jié)論：S1=a1,S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)Sn=a1+a2+an=a1(1+q+q2+qn-1)不少同學(xué)根據(jù)這個(gè)式子可能會(huì)想到a1(1+q+q2+qn-1)= a1(1+q+q2+qn-1)（1-q）/(1-q)=這時(shí)我要向?qū)W生說(shuō)明，這種從特殊到一般，逐步歸納的思想方法很好，是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)運(yùn)用到的方法。然后又要指出在現(xiàn)階段，我們還無(wú)法對(duì)這個(gè)過(guò)程進(jìn)

10、行證明，因此它的給出是不嚴(yán)密的。這樣不僅讓學(xué)生再一次體會(huì)到數(shù)學(xué)的最基本特點(diǎn)，嚴(yán)密的邏輯性。也為將來(lái)學(xué)習(xí)二項(xiàng)式展開(kāi)的內(nèi)容打下了伏筆。此時(shí)，僅僅從形式上進(jìn)行的歸納在現(xiàn)階段是無(wú)法進(jìn)行系統(tǒng)而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明的，那我們只能在思想的過(guò)程中另辟蹊徑，因此，要通過(guò)復(fù)習(xí)等差數(shù)列的求和公式，借助推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的思想方法，來(lái)找到推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的方法！讓學(xué)生們一起回憶一下等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程。可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)我們是將a1與an， a2與an-1，所有與首末等距兩項(xiàng)交換位置，得到Sn的倒序和的形式。然后兩式相加。這樣2Sn就是一個(gè)有n 項(xiàng)的每一項(xiàng)都是a1+an的常數(shù)列。從而導(dǎo)出了Sn的公式。等差數(shù)列

11、的求和方法是根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)和根據(jù)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知水平產(chǎn)生的，形式上是倒序相加，本質(zhì)上就是消去數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)之間的差異，構(gòu)造一個(gè)新的各項(xiàng)相同的常數(shù)列，然后根據(jù)常數(shù)列的和導(dǎo)出 Sn的公式來(lái)，其本質(zhì)特征是等差數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)多了一個(gè)d。那么等比數(shù)列是不是也可以用類(lèi)似的方法，構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列或者部分常數(shù)列呢？讓學(xué)生親自去試一試，結(jié)果呢？這時(shí)候?qū)W生們很自然的會(huì)用倒序相加的方法來(lái)進(jìn)行思考。結(jié)果顯然是行不通的。此時(shí)教師的主要任務(wù)是要讓學(xué)生的思維迅速發(fā)散從倒序相加的定勢(shì)中解脫出來(lái)。抓住學(xué)生迫切想解決這個(gè)問(wèn)題的心態(tài)，及時(shí)地通過(guò)媒體進(jìn)行啟發(fā)。老師要告訴學(xué)生，構(gòu)造常數(shù)列或者部分常數(shù)列的思路是正

12、確的。既然倒序行不通，那么還有沒(méi)有其它的方式構(gòu)造常數(shù)列呢？接著要引導(dǎo)學(xué)生從等比數(shù)列的定義出發(fā)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等比數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的q倍，也就是說(shuō)將每一項(xiàng)乘以q以后就變成了它的后一項(xiàng)，那么將Sn這個(gè)和式的兩邊同時(shí)乘以q，在q Sn這個(gè)和式中的第一項(xiàng)就是Sn的第二項(xiàng)，也就是Sn和q Sn之間產(chǎn)生了一個(gè)錯(cuò)位。由兩個(gè)和式能否構(gòu)造常數(shù)列或者部分常數(shù)列的和式呢？相加行不行？顯然不行！相減行不行？顯然行。 將Sn和 q Sn相減后，中間就得到了n1項(xiàng)各項(xiàng)都是0的常數(shù)列, 找到了這個(gè)常數(shù)列，難點(diǎn)就突破了， Sn的導(dǎo)出就容易了，導(dǎo)出了Sn就基本上達(dá)到了本節(jié)課的認(rèn)知目標(biāo)。為了加深理解，這時(shí)還應(yīng)該對(duì)等差

13、、等比兩種數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行類(lèi)比和分析：兩種數(shù)列求和的基本思路都是構(gòu)造常數(shù)列，構(gòu)造常數(shù)列的思想也是其他一些數(shù)列求和的基本思想。等比數(shù)列在構(gòu)造常數(shù)列的過(guò)程中，采用“錯(cuò)位相減”，等差數(shù)列采用的是“倒序相加”， 倒序相加本質(zhì)上也是“錯(cuò)位相加”，是一種大幅度的“錯(cuò)位相加”，等比數(shù)列只不過(guò)是步幅為1的小幅度的“錯(cuò)位相加”。說(shuō)明一下，在Sn的和式中，兩邊同時(shí)乘以q是解決問(wèn)題構(gòu)造常數(shù)列的關(guān)鍵所在，是推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的一把鑰匙。所以，這兩種數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)方法，從數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法上來(lái)講是一致的，但是它們也有差異，即錯(cuò)位的方法不同。正是由于這種差異，教師才有了更大的教學(xué)空間。當(dāng)教師把學(xué)生從“

14、倒序相加”的思維定式中引導(dǎo)出來(lái)的時(shí)候，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的深刻性、廣闊性等思維品質(zhì)就得到了提高，思維品質(zhì)提高了，思維能力也就提高了。這樣，這節(jié)課的認(rèn)知目標(biāo)和素質(zhì)目標(biāo)就基本上都達(dá)到了。推導(dǎo)出公式之后，對(duì)公式的特征要加以說(shuō)明，以便學(xué)生記憶。同時(shí)還要對(duì)公式的另一種表示形式和應(yīng)用中的注意事項(xiàng)加以說(shuō)明。幫助學(xué)生弄清其形式和本質(zhì)，明確其內(nèi)涵和外延，為靈活運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)。有了求和公式后，回頭讓學(xué)生親自計(jì)算一下引例中的錢(qián)款數(shù)量，從計(jì)算結(jié)果中讓學(xué)生明確實(shí)際問(wèn)題的解決離不開(kāi)數(shù)學(xué)，在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中必須有敏銳的數(shù)學(xué)頭腦才行。3.例題講解。我們?cè)谥v解例題時(shí)，不僅在于怎樣解，更在于為什么這樣解，而及時(shí)對(duì)解題方法和規(guī)律進(jìn)行概括，

15、有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。本節(jié)課設(shè)置如下兩種類(lèi)型的例題：1） 等比數(shù)列中知三求二的解答題例：求首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列的前8項(xiàng)和以及第5項(xiàng)的值。以及書(shū)上的例42） 實(shí)際應(yīng)用題。例：某制糖廠(chǎng)第1年制糖5萬(wàn)噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%，那么從第1年起，約幾年內(nèi)可使總產(chǎn)量達(dá)到30萬(wàn)噸（保留到個(gè)位）?這樣設(shè)置主要依據(jù)： (1)例題與大綱中規(guī)定的教學(xué)目標(biāo)與任務(wù)及本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)有相對(duì)應(yīng)的匹配關(guān)系。(2)遵循鞏固性原則和傳授反饋再傳授的教學(xué)系統(tǒng)的思想確立這樣的例題。(3)應(yīng)用題比較切合對(duì)智力技能進(jìn)行檢測(cè)，有利于數(shù)學(xué)能力的提高。同時(shí)，它可以使學(xué)生在后半程學(xué)習(xí)中保持興趣的持續(xù)性和學(xué)習(xí)的主動(dòng)性

16、。4形成性練習(xí)：例題處理后，設(shè)置一組形成性練習(xí)，作為對(duì)本節(jié)課的實(shí)時(shí)檢測(cè)。練習(xí)基本上是直接運(yùn)用公式求和，三個(gè)練習(xí)是按由易到難、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)識(shí)規(guī)律和心理特征設(shè)計(jì)的，有利于提高學(xué)生的積極性。學(xué)生練習(xí)時(shí)，教師巡查，觀(guān)察學(xué)情，及時(shí)從中獲取反饋信息。對(duì)學(xué)生練習(xí)中出現(xiàn)的獨(dú)到解法提出表?yè)P(yáng)和鼓勵(lì)，對(duì)其中偶發(fā)性錯(cuò)誤進(jìn)行辨析、指正。通過(guò)形成性練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變和舉一反三的能力，逐步形成技能。5課堂小結(jié)本節(jié)課的小結(jié)從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：(1) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(2) 公式的推導(dǎo)方法錯(cuò)位相減法(3) 求和思路構(gòu)造常數(shù)列或部分常數(shù)列。 通過(guò)師生的共同小結(jié)，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有利于學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，也能培養(yǎng)學(xué)生

17、的歸納和概括能力。進(jìn)一步完成認(rèn)知目標(biāo)和素質(zhì)目標(biāo)。最后用古印度國(guó)王西拉謨與國(guó)際象棋發(fā)明家的故事做為結(jié)尾，發(fā)明者要國(guó)王在他的棋盤(pán)上的64格中的第 1格放入1粒麥粒，第2格放入2粒麥粒，第3格放入4粒麥粒，第4格放入8粒麥粒問(wèn)應(yīng)給發(fā)明家多少粒麥粒？再讓學(xué)生感受一下數(shù)學(xué)的奇妙，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。6.布置作業(yè)針對(duì)學(xué)生素質(zhì)的差異進(jìn)行分層訓(xùn)練，既使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，又使學(xué)有余力的學(xué)生有所提高，從而達(dá)到拔尖和“減負(fù)”的目的。并可布置相應(yīng)的研究作業(yè)，思考如何用其他方法來(lái)推導(dǎo)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，來(lái)加深學(xué)生對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的理解程度。六、教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋：根據(jù)高二學(xué)生心理特點(diǎn)、教材內(nèi)容、遵循因材施教原則和啟發(fā)性教學(xué)思想，本節(jié)課的教學(xué)策略與方法我采用規(guī)則學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決策略，即“案例公式應(yīng)用”，案例為淺層次要求，使學(xué)生有概括印象。 公式為中層次要求，