概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率4-1

1、概率論概率論 第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)小結(jié)小結(jié) 布置作業(yè)布置作業(yè)概率論概率論 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的確定的. 而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知而在一些實(shí)

2、際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了數(shù)字特征就夠了.概率論概率論 因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的字特征是重要的 .在這些數(shù)字特征中，最常用的是在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)概率論概率論 一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 1、概念的引入：、概念的引入：我們來(lái)看一個(gè)引例我們來(lái)看一個(gè)引例. 例例1 某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察. 車工車工小張

3、每天生產(chǎn)的廢品數(shù)小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量. 如何定如何定義義X的平均值呢？的平均值呢？我們先觀察小張我們先觀察小張100天的生產(chǎn)情況天的生產(chǎn)情況概率論概率論 若統(tǒng)計(jì)若統(tǒng)計(jì)100天天, 32天沒(méi)有出廢品天沒(méi)有出廢品;30天每天出一件廢品天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品天每天出三件廢品;27. 1100213100172100301100320可以得到這可以得到這100天中天中 每天的平均廢品數(shù)為每天的平均廢品數(shù)為這個(gè)數(shù)能否作為這個(gè)數(shù)能否作為X的平均值呢？的平均值呢？（假定小張每天至多出（假定小張每天至多出現(xiàn)三件廢品現(xiàn)三件廢品

4、）概率論概率論 可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)100天，車工小張不出廢品，天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般天一般不會(huì)完全相同，這另外不會(huì)完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不天每天的平均廢品數(shù)也不一定是一定是1.27.n0天沒(méi)有出廢品天沒(méi)有出廢品;n1天每天出一件廢品天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品天每天出三件廢品.nnnnnnnn32103210可以得到可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為天中每天的平均廢品數(shù)為(假定小張每天至多出假定小張每天至多出三件廢品三件廢品

5、) 一般來(lái)說(shuō)一般來(lái)說(shuō), 若統(tǒng)計(jì)若統(tǒng)計(jì)n天天 ,概率論概率論 這是這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均以頻率為權(quán)的加權(quán)平均nnnnnnnn32103210 當(dāng)當(dāng)N很大時(shí)，頻率接近于概率，很大時(shí)，頻率接近于概率，所以我們?cè)谇髲U品數(shù)所以我們?cè)谇髲U品數(shù)X的平均值時(shí)，用的平均值時(shí)，用概率代替概率代替頻率頻率，得平均值為，得平均值為32103210pppp這是這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個(gè)確定的數(shù)這樣得到一個(gè)確定的數(shù). 我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量量X 的平均值的平均值 .概率論概率論 定義定義1 設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是: P

6、X=xk=pk , k=1,2,請(qǐng)注意請(qǐng)注意 :離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和斂的級(jí)數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱為均值。數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱為均值。1)(kkkpxXE若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 1kkkpx絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù) 1kkkpx)(XE即的和為的和為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望，記為，記為 ,概率論概率論 例例1,21XX所得分?jǐn)?shù)分別記為所得分?jǐn)?shù)分別記為甲、乙二人進(jìn)行打靶，甲、乙二人進(jìn)行打靶，它們的分布率分別為它們的分布率分別為 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.11Xkp2Xkp的的數(shù)

7、數(shù)學(xué)學(xué)期期望望，和和解解：我我們們先先來(lái)來(lái)算算21XX分）分）分）分）(5 . 01 . 023 . 016 . 00)(8 . 18 . 022 . 0100)(21 XEXE概率論概率論 ).(),(XEX求求設(shè)設(shè) 例例20, 2 , 1 , 0,! kkekXPXk的的分分布布率率為為解解 )()!1(!)(110XEeekekekXEXkkkk即即的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望為為概率論概率論 到站時(shí)刻到站時(shí)刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到車站到車站,求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望. 例例3 按規(guī)

8、定按規(guī)定,某車站每天某車站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一輛客車到站都恰有一輛客車到站,但到站時(shí)刻是隨機(jī)的但到站時(shí)刻是隨機(jī)的,且兩者且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。其規(guī)律為：到站的時(shí)間相互獨(dú)立。其規(guī)律為： 概率論概率論 其分布率為其分布率為以分計(jì)以分計(jì)為為解：設(shè)旅客的候車時(shí)間解：設(shè)旅客的候車時(shí)間),(X X 10 30 50 70 90 kp63626161636162616361)()()(70 BPAPABPXP上表中例如上表中例如的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望為為候候車車時(shí)時(shí)間間到到站站第第二二班班車車為為事事件件到到站站第第一一班班車車為為事事件件其其中中XBA.30:9,10:8分分

9、22.2736290363703615062306310)( XE概率論概率論 二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f (x),在在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0 x1x2 ,則則X落在小區(qū)落在小區(qū)間間xi, xi+1)的概率是的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(小區(qū)間小區(qū)間xi, xi+1)陰影面積近似為陰影面積近似為iixxf)()(1iiixxxf概率論概率論 由于由于xi與與xi+1很接近很接近, 所以區(qū)間所以區(qū)間xi, xi+1)中的值中的值可以用可以用xi來(lái)近似代替來(lái)近似代替.

10、iiiixxfx)(這正是這正是dxxfx)(的漸近和式的漸近和式. 近似近似,iixxf )(因此因此X與以概率與以概率取值取值xi的離散型的離散型r.v 該離散型該離散型r.v 的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)期望是期望是小區(qū)間小區(qū)間xi, xi+1)陰影面積近似為陰影面積近似為iixxf)(概率論概率論 由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義.定義定義2 設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f (x),如果積分如果積分dxxxf)(絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂,則稱此積分值為則稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望, 即即dxxfxXE)()(請(qǐng)注意請(qǐng)注意 : 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)

11、期望是一個(gè)絕對(duì)收斂連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分的積分.概率論概率論 ).(),(XEbaUX求求設(shè)設(shè)例例4 其它其它的概率密度為的概率密度為解解01)(bxaabxfX babadxabxdxxxfXEX2)()(的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為.),(的中點(diǎn)的中點(diǎn)即數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間即數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間ba概率論概率論 例例5其其概概率率密密度度為為服服從從同同一一指指數(shù)數(shù)分分布布它它們們的的壽壽命命裝裝置置個(gè)個(gè)相相互互獨(dú)獨(dú)立立工工作作的的電電子子有有,)2 , 1(,2 kXk0, 00, 01)( xxexfx若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī)若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī),求整

12、機(jī)求整機(jī)壽命壽命(以小時(shí)計(jì)以小時(shí)計(jì)) N 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. 0001)()2 , 1(xxexFkXxk 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解概率論概率論 12min(,)NXX 0001)(11)(22minxxexFxFx 0002)(2minxxexfNx 的的概概率率密密度度為為于于是是22)()(02min dxexdxxxfNEx的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為概率論概率論 三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1. 問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 設(shè)已知隨機(jī)變量設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)

13、的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)g(X)的期望的期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？ 一種方法是，因?yàn)橐环N方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái)的分布求出來(lái). 一旦一旦我們知道了我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計(jì)算出來(lái)計(jì)算出來(lái).概率論概率論 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)的分布而只根據(jù)X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量

14、函數(shù)使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的的分布，一般是比較復(fù)雜的分布，一般是比較復(fù)雜的 .概率論概率論 (1) 當(dāng)當(dāng)X為離散型時(shí)為離散型時(shí),它的分布率為它的分布率為P(X= xk)=pk ;絕對(duì)收斂，則有絕對(duì)收斂，則有若若 1)(), 2 , 1(kkkpxgk 1)()()(kkkpxgXgEYE(2) 當(dāng)當(dāng)X為連續(xù)型時(shí)為連續(xù)型時(shí),它它的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為f(x).若若絕對(duì)收斂，則有絕對(duì)收斂，則有 dxxfxg)()( dxxfxgXgEYE)()()()(定理定理 設(shè)設(shè)Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù):Y=g (X) (g是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))概率論概率論 連續(xù)型離散型Xd

15、xxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 該公式的重要性在于該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求當(dāng)我們求Eg(X)時(shí)時(shí), 不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.概率論概率論 )(,(,是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量設(shè)設(shè)gYXgZYXZ 則則是一維隨機(jī)變量是一維隨機(jī)變量,Z則則有有概概率率密密度度為為是是二二維維連連續(xù)續(xù)型型若若),(,),()1(yxfYX dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(概率論概率論 .積分

16、或級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂積分或級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂這里假定上兩式右邊的這里假定上兩式右邊的則則有有概概率率分分布布為為是是二二維維離離散散型型若若)2 , 1,(,),()2( jipyYxXPYXijji 11),(),()(jikjipyxgYXgEZE概率論概率論 密密度度即即具具有有概概率率上上服服從從均均勻勻分分布布在在設(shè)設(shè)風(fēng)風(fēng)速速,), 0(aV 其它其它001)(avavf.), 0(:2的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望求求常數(shù)常數(shù)的函數(shù)的函數(shù)是是壓力壓力又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正WkkVWVW 2022311)()(kadvakvdvvfkvWEa 解：由上面的公式解：由上面的公式概率論概

17、率論 其它其它）的概率密度為）的概率密度為（設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量020)sin(),(, xyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系數(shù)求系數(shù)211)sin(),(2/02/0 AdxyxAdydxdyyxf，得，得 ）由于）由于解：（解：（1概率論概率論 其它其它）的概率密度為）的概率密度為（設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量020)sin(),(, xyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系數(shù)求系數(shù)4)sin(2122/02/0 dxdyyxxXE）（）解解（12)sin(21),()(2/02/0 dxdyyxxydxd

18、yyxxyfXYE概率論概率論 四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1. 設(shè)設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(C)=C; 4. 設(shè)設(shè)X、Y 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推廣niiniiXEXE11)(:推廣（諸（諸Xi相互獨(dú)立時(shí)）相互獨(dú)立時(shí)）請(qǐng)注意請(qǐng)注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 獨(dú)立獨(dú)立概率論概率論 。和和來(lái)證性質(zhì)來(lái)證性質(zhì)請(qǐng)同學(xué)自己證明，我們請(qǐng)同學(xué)自己證明，我們，性質(zhì)性質(zhì)4321于是有于是有概率密度

19、為概率密度為其邊緣其邊緣）的概率密度）的概率密度設(shè)二維隨機(jī)變量（設(shè)二維隨機(jī)變量（證證),(),().,(,yfxfyxfYXYX得得證證。性性質(zhì)質(zhì)3)()(),(),(),()()(YEXEdxdyyxyfdxdyyxxfdxdyyxfyxYXE 概率論概率論 , 相互獨(dú)立相互獨(dú)立又若又若YX.4)()()()(),()(得證得證性質(zhì)性質(zhì)YEXEdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEyX 概率論概率論 五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用例例8 求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望若若 XB(n,p)，則則X表示表示n重貝努里試驗(yàn)中的重貝努里試驗(yàn)中的“成功成功” 次數(shù)次數(shù).現(xiàn)

20、在我們來(lái)求現(xiàn)在我們來(lái)求X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 .概率論概率論 可見(jiàn)，服從參數(shù)為可見(jiàn)，服從參數(shù)為n和和p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是的數(shù)學(xué)期望是 n p. XB(n,p), 若設(shè)若設(shè)則則 X= X1+X2+Xn= np次試驗(yàn)失敗如第次試驗(yàn)成功如第iiXi01i=1,2，n因?yàn)橐驗(yàn)?P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-pniiXE1)(所以所以 E(X)=則則X表示表示n重貝努里試驗(yàn)中的重貝努里試驗(yàn)中的“成功成功” 次數(shù)次數(shù).E(Xi)= )1 (01pp= p概率論概率論 例例9 把數(shù)字把數(shù)字1,2,n任意地排成一列，如果數(shù)字任意地排成一列，如果數(shù)字k恰恰好

21、出現(xiàn)在第好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱為一個(gè)巧合，求巧合個(gè)位置上，則稱為一個(gè)巧合，求巧合個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.由于由于 E(Xk)=P(Xk =1) 解解: 設(shè)巧合個(gè)數(shù)為設(shè)巧合個(gè)數(shù)為X,否則，個(gè)位置上恰好出現(xiàn)在第數(shù)字0, 1kkXk k=1,2, ,nnkkXX1則則!)!1(nnn1nkkXEXE1)()(故故11nn引入引入概率論概率論 例例10 一民航送客車載有一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出,旅客旅客有有10個(gè)車站可以下車個(gè)車站可以下車,如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車就不停車.以以X表示停車的次數(shù)，求表示停車的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每位旅設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立相互獨(dú)立)10, 2 , 110 iiiXi站有人下車站有人下車在第在第站沒(méi)