第六章自旋與全同粒子

1、（一）（一）Stern-GerlachStern-Gerlach 實驗實驗 ( (二）光譜線精細結(jié)構(gòu)二）光譜線精細結(jié)構(gòu) （三）電子自旋假設(shè)（三）電子自旋假設(shè) （四）回轉(zhuǎn)磁比率（四）回轉(zhuǎn)磁比率 1 電子自旋的實驗證據(jù)電子自旋的實驗證據(jù)第六章第六章 自旋與全同粒子自旋與全同粒子 贛南師范學(xué)院物理系贛南師范學(xué)院物理系（1）實驗描述）實驗描述 Z 處于處于 S S 態(tài)的態(tài)的氫原子氫原子 （2）結(jié)論）結(jié)論 I。氫原子有磁矩。氫原子有磁矩 因而在非均勻磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)因而在非均勻磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn) II。氫原子磁矩只有兩種取向。氫原子磁矩只有兩種取向 即空間量子化的即空間量子化的 基態(tài)的氫原子束流，經(jīng)非基態(tài)的氫

2、原子束流，經(jīng)非均勻磁場發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在感光板均勻磁場發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在感光板上呈現(xiàn)兩條分立線。上呈現(xiàn)兩條分立線。 NS（一）（一）Stern-Gerlach 實驗實驗 （3）討論）討論 中中的的勢勢能能為為：向向外外場場則則原原子子在在，外外磁磁場場為為設(shè)設(shè)原原子子磁磁矩矩為為BZBM coszMBBMU 磁矩與磁磁矩與磁場之夾角場之夾角 原子原子 Z Z 向受力向受力 coszBMzUFzz 分析分析 若原子磁矩可任意取向，則若原子磁矩可任意取向，則 cos 可在可在 （-1，+1）之間連續(xù)變化，感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶之間連續(xù)變化，感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶但是實驗結(jié)果是：出現(xiàn)的兩條分立線對應(yīng)但是實驗結(jié)果是：出現(xiàn)

3、的兩條分立線對應(yīng) cos = -1 和和 +1 ，處于，處于 基態(tài)的氫原子基態(tài)的氫原子 =0，沒有軌，沒有軌道磁矩，所以原子磁矩來自于電子的固有磁矩，即道磁矩，所以原子磁矩來自于電子的固有磁矩，即自旋磁矩。自旋磁矩。3p 3s 5893 3p3/2 3p1/2 3s1/2 D1 D2 5896 5890 鈉原子光譜中的一條亮鈉原子光譜中的一條亮黃線黃線 5893，用高分辨率，用高分辨率的光譜儀觀測，可以看到該的光譜儀觀測，可以看到該譜線其實是由靠的很近的兩譜線其實是由靠的很近的兩條譜線組成。條譜線組成。 其他原子光譜中也可以其他原子光譜中也可以發(fā)現(xiàn)這種譜線由更細的一些發(fā)現(xiàn)這種譜線由更細的一些線

4、組成的現(xiàn)象，稱之為線組成的現(xiàn)象，稱之為光譜光譜線的精細結(jié)構(gòu)線的精細結(jié)構(gòu)。該現(xiàn)象只有。該現(xiàn)象只有考慮了電子的自旋才能得到考慮了電子的自旋才能得到解釋解釋 （二）光譜線精細結(jié)構(gòu)（二）光譜線精細結(jié)構(gòu) 烏倫貝克烏倫貝克 和和 高斯密特高斯密特1925年根據(jù)上述現(xiàn)象提出年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了電子自旋假設(shè)了電子自旋假設(shè) （1 1）每個電子都具有自旋角動量，它在空間任何方）每個電子都具有自旋角動量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：向上的投影只能取兩個數(shù)值： 2 zSS（三）電子自旋假設(shè)（三）電子自旋假設(shè) （2 2）每個電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動量的）每個電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動量的關(guān)系為

5、：關(guān)系為： SeMS自旋磁矩，在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)自旋磁矩，在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：值： 2S zBeMM Bohr 磁子磁子 （1 1）電子自旋回轉(zhuǎn)磁比率）電子自旋回轉(zhuǎn)磁比率 2LeML 我們知道，軌道角動量與軌道磁矩的關(guān)系是：我們知道，軌道角動量與軌道磁矩的關(guān)系是： S zzMeS （2 2）軌道回轉(zhuǎn)磁比率）軌道回轉(zhuǎn)磁比率 則，軌道回轉(zhuǎn)磁比率為：則，軌道回轉(zhuǎn)磁比率為： 2e可見電子自旋回轉(zhuǎn)磁比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的可見電子自旋回轉(zhuǎn)磁比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的二倍二倍 （四）回轉(zhuǎn)磁比率（四）回轉(zhuǎn)磁比率 2 自旋算符和自旋波函數(shù)自旋算符和自旋波函數(shù) （一）含自旋的狀態(tài)波函

6、數(shù)（一）含自旋的狀態(tài)波函數(shù) （二）自旋算符（二）自旋算符 （三）自旋算符的矩陣表示與（三）自旋算符的矩陣表示與 PauliPauli 矩陣矩陣 （四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度（四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度 （五）自旋波函數(shù)（五）自旋波函數(shù) （六）力學(xué)量平均值（六）力學(xué)量平均值因為自旋是電子內(nèi)部運動自由度，所以描寫電子運動因為自旋是電子內(nèi)部運動自由度，所以描寫電子運動除了用除了用 (x, y, z) 三個坐標變量外，還需要一個自旋變?nèi)齻€坐標變量外，還需要一個自旋變量量 (SZ），于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫為：），于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫為： ),(tSzyxz 由于由于 SZ

7、只取只取 /2 兩個值，兩個值， 所以上式可寫為兩個分量：所以上式可寫為兩個分量： ),(),(),(),(2221tzyxtrtzyxtr （一）含自旋的狀態(tài)波函數(shù)（一）含自旋的狀態(tài)波函數(shù) 若已知電子處于若已知電子處于Sz = /2或或Sz = - /2的自旋態(tài)，則波函的自旋態(tài)，則波函數(shù)可分別寫為：數(shù)可分別寫為： ),(00),(212121trtr 寫成列矩陣寫成列矩陣 ),(),(21trtr 規(guī)定列矩陣規(guī)定列矩陣 第一行對應(yīng)于第一行對應(yīng)于Sz = /2， 第二行對應(yīng)于第二行對應(yīng)于Sz = - /2。自旋角動量是純量子概念，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來解釋。 自旋角動量也是一個力學(xué)量，但是它和其

8、他力學(xué)量有著根本的差別通常的力學(xué)量都可以表通常的力學(xué)量都可以表示為坐標和動量的函數(shù)示為坐標和動量的函數(shù): : ),(prFF 而自旋角動量則與電子的坐標和動量無關(guān)，它是電而自旋角動量則與電子的坐標和動量無關(guān)，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是描寫電子狀態(tài)的第四個自由子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是描寫電子狀態(tài)的第四個自由度（第四個變量）。度（第四個變量）。 與其他力學(xué)量一樣，自旋角動量也是用一個算符描與其他力學(xué)量一樣，自旋角動量也是用一個算符描寫，記為寫，記為 S（二）自旋算符（二）自旋算符 自旋角動量自旋角動量 軌道角動量軌道角動量 異同點異同點: : 與坐標、動量無關(guān)與坐標、動量無關(guān) pr 不適用不適用 同是

9、角動量同是角動量 滿足同樣的角動量對易關(guān)系滿足同樣的角動量對易關(guān)系 yxzyxzxzyxzyzyxzyxSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSL, 自旋角動量自旋角動量軌道角動量軌道角動量由于由于自旋角動量自旋角動量在空間任意方向上的投影只能取在空間任意方向上的投影只能取 /2 /2 兩個值兩個值所以所以 zyxSSS的本征值都是的本征值都是 /2/2，其平方，其平方為為 /2/22 2 2S算符的本征值是算符的本征值是 2432222zyxSSSS仿照仿照 22) 1( llL2223142(1)Ss sshh=+=自旋量子數(shù)自旋量子數(shù)s s 只有一個數(shù)值只有一個

10、數(shù)值 （1） SZ的矩陣形式的矩陣形式 電子自旋算符（如電子自旋算符（如SZ）是）是作用于電子自旋波函數(shù)上作用于電子自旋波函數(shù)上的，既然電子波函數(shù)表示的，既然電子波函數(shù)表示成了成了21 的列矩陣，那的列矩陣，那么，電子自旋算符的矩陣么，電子自旋算符的矩陣表示應(yīng)該是表示應(yīng)該是 22 矩陣。矩陣。 2zabScd因為因為1/2 描寫的態(tài)，描寫的態(tài)，SZ有確定值有確定值 /2，所以，所以1/2 是是 SZ 的本征態(tài)，本征值為的本征態(tài)，本征值為 /2，即有：，即有：11222zS 矩陣形式矩陣形式 0),(20),(211trtrdcba （三）自旋算符的矩陣表示與（三）自旋算符的矩陣表示與 Paul

11、i 矩陣矩陣 0111 ca 01ca同理對同理對1/2 處理，有處理，有 ),(02),(0222trtrdcba 2220 db 10db最后得最后得 SZ 的矩陣的矩陣形式形式 10012zSSZ 是對角矩陣，是對角矩陣，對角矩陣元是其本對角矩陣元是其本征值征值 /2。（2）Pauli 算符算符 1. Pauli 算符的引進算符的引進 2 S令令222xxyyzzSSS分分量量形形式式 2iSiSS 對對易易關(guān)關(guān)系系： yzxxzxyzzyzxyyxiii 222分分量量形形式式：因為因為S Sx x, S, Sy y, S, Sz z的本征值都是的本征值都是 /2/2， 所以所以x x

12、,y y,z z的本征值都是的本征值都是1 1； x x2 2,y y2 2,Z Z2 2 的本征值都是的本征值都是 1222zyx2. 2. 反對易關(guān)系反對易關(guān)系 基于基于的對易關(guān)系，可的對易關(guān)系，可 以證明以證明各分量之間滿各分量之間滿 足反對易關(guān)系足反對易關(guān)系: : 000zxxzyzzyxyyx 證：證： 我們從對易關(guān)系我們從對易關(guān)系: xyzzyi2出發(fā)出發(fā) 左乘左乘y xyyzyzyyi 2 xyyzyzyi 22 xyyzyzi 2 右乘右乘y yxyzyzyi 22 yxzyzyi 2 二式相加二式相加 0 xyyx 同理可證同理可證:x, y 分量的反對易關(guān)系亦成立分量的反對

13、易關(guān)系亦成立.證畢證畢 xyyx 或或 y2=1 由對易關(guān)系和由對易關(guān)系和反對易關(guān)系還反對易關(guān)系還可以得到關(guān)于可以得到關(guān)于 Pauli 算符的如算符的如下非常有用性下非常有用性質(zhì)：質(zhì)： yzxxzxyzzyzxyyxiii 3. Pauli算符的矩陣形式算符的矩陣形式 根據(jù)定義根據(jù)定義 2210100101zzzS求求Pauli 算符的其他兩個分量算符的其他兩個分量 令令 dcbax 利用反對利用反對易關(guān)系易關(guān)系 zxxz 10011001dcbadcba得得： dcbadcba 00daX 簡化為：簡化為： 00 xbc*20000 xcccc 22|00|ccI1|2 c令：令：c = e

14、xpi (為實），則為實），則 00ixiee由力學(xué)量算由力學(xué)量算符厄密性符厄密性 000000*cbbccbxx 得：得：b = c* (或或c = b*) *00 xccx2 = I 求求y 的矩陣形式的矩陣形式 出出發(fā)發(fā)由由xzyxzyii 100010iyieie 得得： 00)()( iiee這里有一個相位不定性，習(xí)慣上取這里有一個相位不定性，習(xí)慣上取= 0，于是得到，于是得到 Pauli 算符的矩陣形式為：算符的矩陣形式為： 0101010001xyzii寫成矩陣形式寫成矩陣形式 從自旋算符與從自旋算符與 Pauli 矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣表示

15、：矩陣表示： 0 101010001222xyziSSSi課堂練習(xí)：（1）由對易關(guān)系和反對易關(guān)系得出由對易關(guān)系和反對易關(guān)系得出 yzxxzxyzzyzxyyxiii （2）由自旋算符的矩陣形式得出上式。）由自旋算符的矩陣形式得出上式。（1 1）歸一化）歸一化 電 子 波 函電 子 波 函數(shù)表示成數(shù)表示成 ),(),(21trtr 矩陣形矩陣形式后，式后， 波函數(shù)的歸一化時必須同時對自旋求和和對空間坐標波函數(shù)的歸一化時必須同時對自旋求和和對空間坐標積分，即積分，即 dtrtrd ),(),(21*2*11|2221 d（四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度（四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度 （2

16、）幾率密度）幾率密度 ),(tr 2221| ),(),(21trtr 表示表示 t 時刻在時刻在 r 點附近點附近 單位體積內(nèi)找到電子的幾率單位體積內(nèi)找到電子的幾率 表示表示t時刻時刻r點處點處 單位體積內(nèi)找到自旋單位體積內(nèi)找到自旋 Sz= /2的電子的幾率的電子的幾率表示表示t時刻時刻 r點處單位點處單位 體積內(nèi)找到體積內(nèi)找到 自旋自旋 Sz = /2 的電子的幾率的電子的幾率 dtr),(1 在全空間找到在全空間找到Sz = /2的電子的幾率的電子的幾率 dtr),(2 在全空間找到在全空間找到 Sz = /2 的電子的幾率的電子的幾率波函數(shù)波函數(shù) 21 通常自旋和軌道運動之間是有相互作

17、用的，所以電通常自旋和軌道運動之間是有相互作用的，所以電子的自旋狀態(tài)對軌道運動有影響。但是，當這種相子的自旋狀態(tài)對軌道運動有影響。但是，當這種相互作用很小時，可以將其忽略，此時互作用很小時，可以將其忽略，此時可以寫成如可以寫成如下形式：下形式： ( , )( , ) ()zzr S tr tS（五）自旋波函數(shù)（五）自旋波函數(shù) 其中其中 是是 的本征函數(shù)，稱為的本征函數(shù)，稱為自旋波函數(shù)自旋波函數(shù)z zS Sz z( (S S ) )求：自旋波函數(shù)求：自旋波函數(shù)(Sz) SZ 的本征方程的本征方程 )(2)(zzzSSS 令令 的的自自旋旋波波函函數(shù)數(shù)，即即和和分分別別為為本本征征值值和和22)(

18、)(2121 zzSS )(2)()(2)(21212121zzzzzzSSSSSS 因為因為 Sz 是是 2 2 矩陣，所以在矩陣，所以在 S2, Sz 為對角矩陣的表象為對角矩陣的表象內(nèi)，內(nèi)，1/2, -1/2 都應(yīng)是都應(yīng)是 21 的列矩陣。的列矩陣。 43212121aaaa 代入本征方程得：代入本征方程得： 2121210012aaaa 2121aaaa 0211aaa由歸一化條件確定由歸一化條件確定a1 11|100111*1 aaaa所以所以 0121 二者是屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此應(yīng)該正交二者是屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此應(yīng)該正交 001102121 1021 同同理理引進自旋后，任一自旋