高等數(shù)學(xué)第六版(同濟(jì)版)第七章復(fù)習(xí)資料

1、第七章 微分方程一、微分方程簡介：微分方程是在微積分的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是數(shù)學(xué)分析的重要分支，它是從微觀入手，通過變量與變化率的關(guān)系研究客觀世界物質(zhì)運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型，因而是從局部出發(fā)窺知全局的有效的數(shù)學(xué)工具，是人類探索世界奧妙的有力武器.例如，1864年，德國天文學(xué)家伽勒根據(jù)法國數(shù)學(xué)家勒維烈和英國數(shù)學(xué)家亞當(dāng)斯所提供的微分方程的解答，用天文望遠(yuǎn)鏡按圖索驥發(fā)現(xiàn)了海王星，被傳為顯示微分方程威力的佳話.二、應(yīng)用：微分方程在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、考古學(xué)、心理學(xué)等范圍廣泛的自然科學(xué)和社會科學(xué)中都得到極有價值的應(yīng)用.三、分類 ：常微分方程；偏微分方程數(shù)理方程.這一章主要給大家介紹微分方程的一些

2、基本概念和常用的微分方程的解法.§7.1 微分方程的基本概念一、實(shí)例例1. 一曲線通過點(diǎn)，在該曲線上任意點(diǎn)處的切線斜率為, 求該曲線的方程.解：設(shè)所求曲線方程為,由題可知：，或，兩端積分得 ， 又時，從而，于是所求曲線方程為 .例2. 列車在平直路上以(相當(dāng)于)的速度行駛, 制動時獲得加速度.問開始制動后多少時間列車才能停住以及列車在這段時間里行駛了多少路程？解：設(shè)列車在制動后秒行駛了米，則有函數(shù)，由題可得 ，兩端積分得 ，上式兩端積分得 ，又由于時，有；時，有，從而 ，.又列車制動秒后停止時，從而制動時間，代入，得.以上兩個例題的求解過程中都出現(xiàn)了含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式：；，像

3、這樣的方程就是微分方程，有時也簡稱方程.二、微分方程的基本概念1. 微分方程：一般地，稱表示未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)與自變量之間關(guān)系的方程為微分方程.常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程.偏微分方程：未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程.2. 微分方程的階：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.注：一般地, 階微分方程的形式是，或.例如：為三階微分方程；為四階微分方程.3. 微分方程的解：稱使微分方程成為恒等式的函數(shù)為微分方程的解.微分方程的通解：稱所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同的解為微分方程的通解.注：由于通解中任意常數(shù)的出現(xiàn)，導(dǎo)致微分方程不能完全確定地反映某一客觀事物的規(guī)律性

4、.微分方程的特解：稱不含任意常數(shù)的解為微分方程的特解.如何得到特解呢？有兩種辦法：一是觀察方程直接得到；二是根據(jù)已知條件確定通解中的任意常數(shù)，這要用到下面的定解方法初始條件：4. 初始條件：(1). 階方程的初始條件：.(2). 初始問題：.如：例1 中，微分方程為，通解為：，初始條件為：，特解為：.例2 中，微分方程為，通解為：，初始條件為：，特解為：.注：1°.微分方程的解在圖形上表示一條曲線，稱為微分方程的積分曲線.2°.初值問題的幾何意義就是求微分方程的通過點(diǎn)的那條積分曲線.例3. 驗證函數(shù)(為常數(shù))是微分方程的解，并求滿足初始條件 的特解 . 解：對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，有

5、，由于 ，所以函數(shù)是微分方程的解.利用初始條件得，故所求特解為.§7.2可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程1.一階對稱式微分方程：稱形如的微分方程為一階對稱式微分方程.注：1°若，則有；若，則有.2°.有些一階微分方程可用直接積分法求解，如，轉(zhuǎn)化成，兩端積分得到這個微分方程的通解 .有些一階微分方程不能用直接積分法求解，如.那這樣的一階微分方程又怎樣求解呢？這就要用到可分離變量的微分方程及其解法.2.可分離變量的微分方程：稱形如的微分方程為可分離變量的微分方程.例如：，當(dāng)時就是可分離變量的微分方程，即.二、可分離變量的微分方程的解法1. 命題：若可分離變

6、量的微分方程中的函數(shù)和連續(xù)，且函數(shù)和分別是和的原函數(shù)，則為微分方程的解，稱其為該方程的隱式通解.證明：設(shè)是方程的解，有，兩端積分得，即，因此滿足.反之，設(shè)為關(guān)系式所確定的隱函數(shù)，當(dāng)時，由隱函數(shù)求導(dǎo)法有，即，從而所確定的隱函數(shù)是方程的解.注：若，則方程所確定的隱函數(shù)也是方程的解.2. 可分離變量的微分方程的求解步驟(1). 分離變量，將方程寫成的形式;(2). 兩端積分：，得隱式通解；(3). 將隱函數(shù)顯化.例1. 求微分方程的通解.解：當(dāng)時，此方程為可分離變量的微分方程，分離變量得 ，兩端積分 ，得 ，從而有 .又也是方程的解，故方程的通解為.例2. 解初值問題.解：當(dāng)時，方程為可分離變量的微

7、分方程，分離變量得 ， 兩端積分 ，得 ， 即 .由初始條件得，故所求特解為.例3. 求微分方程的解.解：當(dāng)時，此方程為可分離變量的微分方程，分離變量得 ， 兩端積分得 ，于是為方程的通解.但也是方程的常數(shù)解，但不屬于通解.說明: 通解不一定是方程的全部解，即特解不總包含于通解中.例4. 已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原子的含量成正比, 又已知時鈾的含量為，求在衰變過程中鈾含量隨時間的變化規(guī)律. 解：由題可知 ，為正常數(shù)，稱為衰變系數(shù)，且衰變速度是減小的，此方程為可分離變量的微分方程，分離變量得 ，兩端積分得 ，即 . 又由初始條件,有，故所求鈾的變化規(guī)律為.§7.3齊次方程

8、一、齊次方程：稱形如的一階微分方程為齊次方程.例如：方程是齊次方程，因為.二、齊次方程的解法及步驟(1). 解法：引進(jìn)未知函數(shù)，化齊次方程為可分離變量方程，即用變量替換法求解.(2). 步驟：引進(jìn)新變量，有及；代入原方程得：；分離變量后求解，即解方程；變量還原，即再用代替.例1. 解方程.解：原方程可化為 ，此方程為齊次方程. 令，則，有 ，于是原方程變?yōu)椋?，整理得 ，分離變量得 ，兩端積分 ， 得 ，用代替上式中的，得到所給方程的通解為 ，或.例2. 解方程.解：原方程可化為， 此方程為齊次方程.令，則，有 ，于是原方程變?yōu)椋海淼?，分離變量得 ，兩端積分 ，得 ，或 ，用代替上式中的

9、，得到所給方程的通解為 .§7.4一階線性微分方程一、一階線性微分方程：稱形如的微分方程為一階線性微分方程.注：1°.若，則稱方程為一階齊次線性微分方程；2°.若，則稱方程為一階非齊次線性微分方程.二、一階線性微分方程的解法：1. 一階齊次線性微分方程的解法: 分離變量法.對方程，當(dāng)時分離變量得，兩端積分得, 或，()又也是原方程的解，故原方程的通解為,().(公式)2. 一階非齊次線性微分方程的解法: 常數(shù)變易法.對方程，設(shè)為其通解，其中為未知函數(shù)，從而有 ，代入原方程有 ，整理得 ，兩端積分得 ，再代入通解表達(dá)式，便得到一階非齊次線性微分方程的通解 ，(公式)

10、即非齊次線性方程通解=齊次線性方程通解+非齊次線性方程特解.例1. 求方程的通解.解：此方程為非齊次線性微分方程，先求對應(yīng)的齊次線性方程的通解，由于,分離變量得 ，兩端積分得 ，整理得 .下面用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解. 令為非齊次方程的通解，從而有 ，將這兩式代入非齊次方程得.兩端積分得，代入非齊次方程的通解表達(dá)式得 .例2. 解方程.解：方法1. 取做自變量，有，為關(guān)于及其導(dǎo)數(shù)的一階非齊次線性微分方程.方法2. 作變換 ，則，有 ，代入原方程得 ，即 ，為可分離變量方程.練習(xí)：判別下列方程類型(1). ，可分離變量方程.(2). ，齊次方程.(3). ，線性方程.內(nèi)容小結(jié)：本節(jié)講述

11、了一階線性微分方程的解法: 方法1：先解齊次線性微分方程 , 再用常數(shù)變易法解非齊次線性微分方程.方法2：用通解公式：§7.5可降階的高階微分方程一、型微分方程的解法求解過程：令，則，兩端積分得 ，即 ，再兩端積分得，依次通過次積分, 可得方程的含有個任意常數(shù)的通解.例1.求微分方程的通解.解：原方程兩端積分得 ，兩端積分得 ，兩端積分得原方程的通解：，.二、型微分方程的解法求解過程：設(shè)，則，原方程化為一階微分方程，設(shè)其通解為 ，即 ，兩端積分得型微分方程原方程的通解: .例2. 求微分方程滿足初始條件的特解.解：原方程屬型，設(shè)，則，代入原方程有 ，由于，分離變量得 ，兩端積分，得

12、，即，從而有，又由初始條件，有，從而 ，兩端積分得，又由初始條件，有，于是得所求特解為 .三、 型微分方程的解法求解過程：設(shè)，則由隱函數(shù)求導(dǎo)法則有 ，于是原方程化為一階微分方程，設(shè)其通解為，即,分離變量得，兩端積分得型微分方程的通解：.例3.求微分方程的通解.解：原方程屬型，設(shè)，則有，代入原方程有 ，當(dāng)時分離變量得 ，兩端積分得 ，即，從而，分離變量得 ,兩端積分得 ,即 ，.但也是原方程的特解，故所求通解為.例4.求微分方程滿足初始條件的特解.解：設(shè)，則有，代入原方程有，整理得，兩端積分得 ，由初始條件得，即，從而.于是由，即，又，故，即，分離變量得 ，兩端積分得 ，再由初始條件有，于是所求

13、通解為.內(nèi)容小結(jié)：本節(jié)講述了可降階微分方程的解法：降階法1. 逐次積分.2. 令，有.3.，則，有.§7.6高階線性微分方程一、二階線性微分方程：稱形如的方程為二階線性微分方程.注：1°若，則稱方程為二階齊次線性微分方程；2°. 若，則稱方程為二階非齊次線性微分方程.二、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1.若函數(shù)是二階齊次線性微分方程的兩個解，則也是該方程的解，其中為任意常數(shù). (疊加原理) 注：不一定是所給二階齊次線性微分方程的通解.例如：是某二階齊次線性微分方程的解,則也是該方程的解，但并不是該方程的通解.為解決二階齊次線性微分方程通解的判別問題, 下面引入函

14、數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān).定義:設(shè)為定義在區(qū)間上的個函數(shù)，若存在個不全為的常數(shù)，使得，則稱這個函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān).例如：在任何區(qū)間上都線性相關(guān)，因為取時，；又如： 在任何區(qū)間上都線性無關(guān)，若在某區(qū)間上恒成立，根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點(diǎn)可知，必須全為零.注：兩個函數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)的判別：1°.兩個函數(shù)的比為常數(shù)兩個函數(shù)線性相關(guān)；2°.兩個函數(shù)的比不為常數(shù)兩個函數(shù)線性無關(guān).思考：若中有一個恒為，則必線性相關(guān).有了函數(shù)組線性相關(guān)或線性無關(guān)的概念后，我們可以得到關(guān)于二階齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)的定理.定理 2. 若函數(shù)是二階齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)的

15、特解，則是該方程的通解，其中為任意常數(shù).例如, 二階齊次線性微分方程有特解：，又常數(shù)，則，線性無關(guān)，故原方程的通解為 .三、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 定理 3. 設(shè)是二階非齊次線性微分方程的一個特解，是相應(yīng)的齊次線性微分方程的通解，則是該非齊次線性微分方程的通解.例如, 二階非齊次線性微分方程有特解,對應(yīng)的齊次線性微分方程有通解,因此該方程的通解為.二階非齊次線性微分方程的特解也可由下述定理求出.定理 4. 設(shè)分別是二階非齊次線性微分方程與的特解,則是二階非齊次線性微分方程的特解. (二階非齊次線性微分方程解的疊加原理) 例1. 設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性微分方程的特解，為任意常數(shù)

16、，則該方程的通解是 ( ).()； ()；()； ()解：. 與是對應(yīng)的齊次線性微分方程的特解，且二者線性無關(guān),故是該齊次線性微分方程的通解，再由定理3得是該非齊次線性微分方程的通解.例2. 已知二階線性微分方程有三個解，求此方程滿足初始條件的特解.解：與是對應(yīng)齊次線性微分方程的解,并且常數(shù)，因而與線性無關(guān)，故原方程通解為 ，代入初始條件，得，故所求特解為.§7.7常系數(shù)齊次線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程:稱形如的方程為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中為常數(shù).二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法1.特征方程：稱方程為二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程.推導(dǎo)：當(dāng)為常數(shù)時，

17、根據(jù)指數(shù)函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)都只差一個常數(shù)因子的特性，嘗試選擇適當(dāng)?shù)某?shù)，使得為二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解.對求導(dǎo)得 ，將、及代入二階常系數(shù)齊次線性微分方程，得，由于，從而有，稱之為二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程.容易知道特征方程的解對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)就是上述二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解.2.特征根：特征方程的根稱為微分方程的特征根. 下面根據(jù)特征根的情況研究二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解.3.二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解(1).當(dāng),特征方程有兩個相異實(shí)根，則微分方程有兩個線性無關(guān)的特解: ，因此該方程的通解為.(2).當(dāng),特征方程有兩個相等實(shí)根 ，則微分方程有一個特解: ，設(shè)另一特解

18、為，其中為待定函數(shù).有，代入原方程得 ，整理得 ，由于以及，故不防取，于是，因此該方程的通解為.(3).當(dāng),特征方程有一對共軛復(fù)根，這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:，利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:，因此該方程的通解為.總結(jié)：求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步驟.第一步：寫出微分方程的特征方程：.第二步：求出特征方程的兩個根: ，.第三步：根據(jù)特征方程兩個根的不同情況，寫出二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解：特征根通解例1. 求微分方程的通解.解：該方程的特征方程為，有兩個不等實(shí)根:，故原方程的通解為.例2.求方程滿足初始條件 的特解.解：該方程的特征方程為，有兩個相等實(shí)根:，因此原方

19、程的通解為 ，將初始條件代入上式得，從而有 和將初始條件代入上式得，于是所求特解為 .例3.求微分方程的通解.解：該方程的特征方程為，有兩個共軛復(fù)根，因此原方程的通解為 .§7.8常系數(shù)非齊次線性微分方程一、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程:稱形如的方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其中為常數(shù)，.二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法(一).解的結(jié)構(gòu)：，其中是對應(yīng)的二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特解.下面我們根據(jù)的兩種常見形式來求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解.(二).特解的求法待定系數(shù)法：由的特殊形式,給出特解的待定形式，代入原方程比較兩端表達(dá)式

20、以確定待定系數(shù).1. 型微分方程的特解：若是特征方程的重根，則其特解形式為： ()其中為常數(shù)，、為次多項式.求解步驟：設(shè)特解為，其中為待定多項式，有，代入原方程并消去, 得, (*). 若不是特征方程的根, 即，則取為另一個次多項式：，代入 (*) 式比較兩端同次冪的系數(shù)可以得到的值.從而得到特解形式為. 若是特征方程的單根, 即，則為一個次多項式，可取為，用同(1)中的方法可以得到的值.從而得到特解形式為. 若是特征方程的重根, 即，則為一個次多項式，可取為，用同(1)中的方法可以得到的值.從而得到特解形式為.例1. 求微分方程的一個特解.解：該方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，屬型，其中.原方程對應(yīng)的齊次線性方程為 ，它的特征方程為 .由于不是特征方程的根，故可設(shè)所求特解為，帶入原方程得 ，比較系數(shù), 得，解得.于是所求特解為.例2