高數(shù)最大值與最小值

1、1主講教師主講教師: 王升瑞王升瑞高等數(shù)學(xué) 第二十講2二、實(shí)際問(wèn)題中的最大值與最小值實(shí)際問(wèn)題中的最大值與最小值一、函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值最小值 第十節(jié)函數(shù)的極值與 最大值最小值 第二二章 3一一 、函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值、函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值,)(上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù)baxf則其最值只能在極值點(diǎn)極值點(diǎn)或端點(diǎn)端點(diǎn)處達(dá)到 .求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法: :(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn))(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2

2、xf, )(,mxf, )(af)(bf4特別特別: 當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),)(xf,ba 當(dāng) 在 上單調(diào)單調(diào)時(shí),)(xf,ba最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大 值 , 則也是最大 值 . (小) 對(duì)應(yīng)用問(wèn)題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .(小)5例例4：用極值、最值證明不等式ln 1(1)xxx 證：證：令 ln 1(1)F xxxx xxxF10令令得駐點(diǎn)0 x時(shí)當(dāng)01 x 0;Fx時(shí)當(dāng)0 x 0.Fx 的一個(gè)極大點(diǎn)，是xFx0極大值為0。內(nèi)只有一個(gè)極值，在1則 F ( 0 ) = 0 是函數(shù)的一個(gè)最大值，當(dāng) x 1 時(shí) 00FxF) 1(

3、1lnxxx6例例5 5 求證22 arctanln(1),.xxxx 證法三：證法三：設(shè))1ln(arctan2)(2xxxxfxxxxxxxfarctan21212arctan2)(220令( )00fxx，)(xf0)0()( fxf無(wú)論x為什么值，總有)1ln(arctan22xxx則不等式成立。22(0)201fxx因?yàn)?清楚(視角 最大) ? 觀察者的眼睛1.8 m ,例例6. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上 , 它的底邊高于x4 . 18 . 1解解: 設(shè)觀察者與墻的距離為 x m , 則x8 . 14 . 1arctan,8 . 1arctanx),0(x222 . 32

4、. 3x228 . 18 . 1x)8 . 1)(2 . 3()76. 5(4 . 122222xxx令,0得駐點(diǎn)),0(4 . 2x根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義, 觀察者最佳站位存在 ,唯一,駐點(diǎn)又因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚 .問(wèn)觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最二、實(shí)際問(wèn)題中的最大值與最小值二、實(shí)際問(wèn)題中的最大值與最小值8( k 為某一常數(shù) )例例7 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20AC AB , 要在 AB 線上選定一點(diǎn) D 向工廠修一條 已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為 3:5 , 為使貨D 點(diǎn)應(yīng)如何選取? 20AB100C解解: 設(shè),(km)xAD x則,2022xCD)100(320522xkxky)1000( x, ) 34005(2xxky令,0 y得 ,15x所以 為唯一的15x極小點(diǎn) ,故 AD =15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)最省 .總運(yùn)費(fèi)物從B 運(yùn)到工廠C 的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn) ,問(wèn)DKm ,公路, 9內(nèi)