第九講(1)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)拉格朗日方程

1、21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實(shí)例 例2：如圖所示為兩桿平面機(jī)器人，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假設(shè)每個(gè)桿件的質(zhì)量集中于桿件的前尾部，其大小為m1和m2。222111,XlPXlPcc解：每個(gè)桿件的質(zhì)量中心矢量為： 由于點(diǎn)質(zhì)量假設(shè)，每個(gè)桿件相對(duì)質(zhì)心的慣性張量為零，即：0, 021ccII21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r

2、 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實(shí)例末端執(zhí)行器上無(wú)作用力，所以：0, 000基座靜止，因此：考慮到引力，我們使用：21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實(shí)例應(yīng)用遞推公式有：向前：1桿件：21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉

3、方程實(shí)例2桿件：慣性力慣性力矩21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實(shí)例21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實(shí)例向后遞推：2桿件：1桿件：21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv

4、vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實(shí)例取力矩的Z分量，得到關(guān)節(jié)力矩：21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實(shí)例11212122222212212212222122221221222221211cos)cos(sinsin2coscos2)(glmmglml lml lml lmlml lmlmlmm）（ )cos(sincos21222122122222122121

5、2222glmllmlmllmlm ）（整理得：21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實(shí)例 通常，機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程常寫(xiě)為抽象的形式，令：離心力科氏力2121111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02稱 為慣量陣， 是離心力、科氏力等相關(guān)部分， 為重力部分。 因?yàn)?中僅有速度

6、和位形，上述方程也稱狀態(tài)空間方程。特點(diǎn)： 多變量、時(shí)變、非線性、強(qiáng)耦合。機(jī)器人機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程有：QGVM)(),()( 其中： 為廣義坐標(biāo)向量， 為廣義力向量。 )(M)(G),(VQ),(V21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/024.3 機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)介機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)介 拉格朗日方程是基于能量項(xiàng)（動(dòng)能T、勢(shì)能V）對(duì)系統(tǒng)變量及時(shí)間的微分而建立的。 對(duì)于簡(jiǎn)單系統(tǒng)拉格朗日方程法相較于牛頓歐拉方程法更顯復(fù)雜，然而隨著系統(tǒng)

7、復(fù)雜程度的增加，拉格朗日方程法建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程變得相對(duì)簡(jiǎn)單。 21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02系統(tǒng)的動(dòng)能 和位能 之差，稱為拉格朗日函數(shù)，即：4.3 機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)介系統(tǒng)拉格朗日方程為： iiidLLQdtqq1, 2,.in式中： niQLkEpEkpLEE 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)數(shù)作用在第i個(gè)廣義坐標(biāo)上的廣義 力或廣義力矩第i個(gè)廣義坐標(biāo)第i個(gè)廣義速度iq iq21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkj

8、kTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/024.3 機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)介 例3：對(duì)例2所示兩桿平面機(jī)器人用拉格朗日方法建立動(dòng)力學(xué)方程。解：1、動(dòng)能和勢(shì)能 連桿1的動(dòng)能為： 設(shè)Y0=0為零勢(shì)面，則連桿1的勢(shì)能為：21111)(21lmT1111singlmV 21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/024.3 機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)介 質(zhì)量

9、m2的位置表示為：)sin(sin)cos(cos212112212112llyllx)(coscos)(insin212121112212121112llysllx則質(zhì)量M2的速度平方為：)cos(2)2()(coscos)(insin2121212221212221212212121112212121112222llllllsllyx）（）（)(cos2)2(21212122122212122212122l lllmT所以，M2動(dòng)能為：速度分量為：勢(shì)能為：)sin(sin21221122glmglmV21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqq

10、Traceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/024.3 機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)介2、拉格朗日函數(shù))sin(sin)()(cos)(21)(2121221121212122122212222121212211glmglmml lmlmlmmVTVTL3、動(dòng)力學(xué)方程)2(cos)()(21221221222121211l lmlmlmmL)cos(cos)(212211211glmglmmL222212212212222122221221222221211sinsin2coscos2)( l lml lml lmlml lmlmlmm

11、Ldtd21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/024.3 機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)介12212212222cos)(l lmlmL21和21和 廣義坐標(biāo)為 對(duì)應(yīng)的廣義外力為作用于的關(guān)節(jié)上的驅(qū)動(dòng)力距 。)cos()(in212221122122glmslglmL21221212212222212222sincos l lml lmlmlmLdtd222111-LLdtdLLdtd21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjk

12、TraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/024.3 機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)介代入： 比較例2與例3可知，用牛頓-歐拉法與拉格朗日法得到的結(jié)果是相同的。)cos(cossinsin2coscos2)(21221121222212212212222122221221222221211glmglmml lml lml lmlml lmlmlmm）（ )cos(sincos212221221222221221212222glml lmlml lmlm ）（21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij

13、kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/024.3 機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)介步驟總結(jié)： 1、機(jī)械臂上一點(diǎn)速度 設(shè)桿件i上一點(diǎn)ri，它在基坐標(biāo)系中的位置為：iirTr其中，Ti是i坐標(biāo)系相對(duì)基礎(chǔ)坐標(biāo)系的齊次變換矩陣。 那么，該點(diǎn)的速度為：iijjjiirqqTdtdrv121111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/024.3 機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力

14、學(xué)方程簡(jiǎn)介求出速度的平方：21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/024.3 機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)介 2、求系統(tǒng)動(dòng)能3、求系統(tǒng)位能1112111212k tpTniiiiijkijkjknnTaiiiiiiiLEET r a c eqqqqqmTTHIgTr21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/024.3 機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)介4、計(jì)算拉格朗日函數(shù)21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/024.3 機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)介5、代入拉格朗日方程21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/024.3 機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)介,m a x (,