第1章 矢量分析090216

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 1第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 2本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第第1 1章章 矢量分析

2、矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 31. 1. 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：標(biāo)量標(biāo)量：一個只用大小描述的物理量。一個只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：AeAeAAA1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意注意：單位矢量不一定

3、是常矢量。單位矢量不一定是常矢量。 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 4zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 5（1）矢量的加減法）矢量的加減法)()

4、()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線鄰邊的平行四邊形的對角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2. 矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律結(jié)合律()()ABCABCABBA交換律交換律第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 6（2 2）標(biāo)量乘矢

5、量）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點積）矢量的標(biāo)積（點積）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的標(biāo)積符合交換律矢量的標(biāo)積符合交換律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角AB A B A B0BA/ A BAB第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 7（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeee

6、BAABBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標(biāo)分量表示為用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為BAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 8（5 5）矢量的混合運算）矢量的混合運算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積 矢量三重積矢量三重積第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電

7、子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 91.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系：三種常用的正交曲線坐標(biāo)系：坐標(biāo)變量：坐標(biāo)變量：描述坐標(biāo)軸的量描述坐標(biāo)軸的量正交曲線坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系：三條正交曲線組成的確定三維空間任三條正交曲線組成的確定三維空間任 意點位置的體系意點位置的體系坐標(biāo)軸：坐標(biāo)軸：三條正交曲線三條正交曲線直角直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 101. 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量坐標(biāo)變量坐標(biāo)

8、變量zyx,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zyxeee, 點點P(x0,y0,z0)（平面）（平面）oxy（平面）（平面）（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeye0z z0 x x0yyz第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 11zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd體積元體積元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd x yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長

9、度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 122. 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系z,坐標(biāo)變量：坐標(biāo)變量：zeee,坐標(biāo)單位矢量：坐標(biāo)單位矢量：圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系0 02z 變化范圍：變化范圍：變換關(guān)系：變換關(guān)系：22xyarctan()y xzzcosxsinyzz第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 13圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系與與直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)之間單位矢

10、量的變換關(guān)系之間單位矢量的變換關(guān)系 cossin0sincos0001xyzzeeeeee oxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系xeyeeeeeee cossin0sincos0001xyzzeeeeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 14dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSzeeelzdddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量zeerz位置矢量位置矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積

11、元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 153. 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系, r坐標(biāo)變量：坐標(biāo)變量：eeer,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量0r 002變化范圍：變化范圍：球球坐坐標(biāo)標(biāo)系系0（半半平平面面）0（圓圓錐錐面面）0rr （球球面面）),(000rP球球坐坐標(biāo)標(biāo)系系球球坐坐標(biāo)標(biāo)系系0（半半平平面面）0（圓圓錐錐面面）0rr （球球面面）),(000rP變換關(guān)系：變換關(guān)系：sincosxrsinsinyrcoszrarctan()y x222rxyz222arccos()zxyz第第1 1

12、章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 16坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系與與圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo) 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系與與直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)oz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系zeereesin0coscos0sin010rzeeeeeesincossinsincoscoscoscos sinsinsincos0rxyzeeeeee ,sinrreeee,cosreeee 0,sincosreeee 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢

13、量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 17ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSrdsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元rerr位置矢量位置矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 181.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場和矢量場、),(zyxuq 標(biāo)量場標(biāo)量場：物理量是為標(biāo)量物理量是為標(biāo)

14、量),(zyxFq 矢量場矢量場：物理量是矢量物理量是矢量、),(tzyxu),(tzyxFq 時變場：時變場： q 場的概念：場的概念：物理量在空間區(qū)域上的一個確定分布物理量在空間區(qū)域上的一個確定分布q 靜態(tài)場靜態(tài)場：( , , )u x y z 、( , , )F x y z 例如：例如：流速場流速場、重力場重力場、電場、磁場等、電場、磁場等 例如：例如：溫度場、電位場、高度場等。溫度場、電位場、高度場等。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 191.1. 標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值面等值面等值面: : 標(biāo)量場

15、取得同一數(shù)值的點在空標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點在空 間形成的曲面。間形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。標(biāo)量場的等值面互不相交。 等值面的特點等值面的特點：意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。標(biāo)量場的等值線標(biāo)量場的等值線( (面面) )第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁

16、場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 202. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)意義意義：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。00limcoscoscos|Mluuuuullxyz 概念概念： l u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l u(M)沿沿 方向減??；方向減??； l u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。 M0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 l特點特點：方向?qū)?shù)既與點方向?qū)?shù)既與點M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)方向有關(guān)。問題問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。的方向余弦。

17、 l式中式中： coscoscos、0ul0ul0ul第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 21梯度的表達式梯度的表達式：zueueueuz1圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 ureurerueursin11球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zueyuexueuzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 3. 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度（ 或或 ）graduu意義意義：描述標(biāo)量描述標(biāo)量場在某點的最大變化率及場在某點的最大變化率及 其變化最大的方向其變化最大的方向概念概念：max|luuel luel 其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向M0梯度的概念梯度的

18、概念 u第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 22標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增加）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場變化最大（增加）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。的空間變化率。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）等值面（或切平面）lueul標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影，即影，即第第1

19、 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 23梯度運算的基本公式梯度運算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 24 解解 (1)PzyxPzyxzeyexe)(22zyxzyxeeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.3.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)設(shè)一標(biāo)量函數(shù) ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量描述了空間標(biāo)量場。試求：場。試求： (1) 該函數(shù)該

20、函數(shù) 在點在點 P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該梯度方向處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。的單位矢量。 (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點方向的方向?qū)?shù)，并以點 P(1,1,1) 處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。ooo60cos45cos60coszyxleeee222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)

21、 25 (2)(1,1,1)1221222Pxyl)212221()22(zyxzyxleeeeyexeel212 yx而該點的梯度值為而該點的梯度值為 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 顯然，梯度顯然，梯度 描述了描述了P P點處標(biāo)量函數(shù)點處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立恒成立。PPPl 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 261.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 1. 矢量線矢量線 意義意義：形象直觀地描述了矢量場的空間形象直

22、觀地描述了矢量場的空間 分布狀態(tài)。分布狀態(tài)。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量線方程矢量線方程：概念概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一矢量線是這樣的曲線，其上每一 點的切線方向代表了該點矢量場點的切線方向代表了該點矢量場 的方向。的方向。矢量線矢量線OM Fdrrrdr第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 272. 矢量場的通量矢量場的通量 問題問題：如何定量描述矢量場的大小？如何定量描述矢量場的大??？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 ndddSSFSF eS通量的概念通量的概念nd

23、dSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；nddF eS穿過面積元穿過面積元 的通量。的通量。如果如果 S 是閉合曲面，則是閉合曲面，則),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量SSSeFSFddnne外法向單位矢量外法向單位矢量dS第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 280通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出0有凈的矢有凈的矢量線進入量線進入0進入與穿出閉合曲進入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等三種可能結(jié)果三種可能結(jié)果通量的物理意義

24、通量的物理意義第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 293. 矢量場的散度矢量場的散度散度的概念散度的概念：FVSzyxFzyxFSVd),(lim),(0散度的意義散度的意義：通量源密度通量源密度 散度表征矢量場的通量源的分布特性散度表征矢量場的通量源的分布特性 ( (正源正源) )0F ( (負(fù)負(fù)源源) )0F ( (無源）無源）0F第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 30圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系)(sin1)(sinsin1)(12

25、2FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zFyFxFFzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達式散度的表達式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(為常量)()()()為常矢量(0第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 31直角坐標(biāo)系下散度表達式的推導(dǎo)直角坐標(biāo)系下散度表達式的推導(dǎo) 000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000(,)(,

26、)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為包圍包圍P點的微體積點的微體積 V 為一直平行六面體，如圖所示。則為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計算在直角坐標(biāo)系中計算zzxyPF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 32根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達式為表達式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點P 穿出該六面體的凈通

27、量為穿出該六面體的凈通量為zFyFxFVSFFzyxSVdlim0zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSd第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 334. 散度定理散度定理VSVFSFdd體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S 矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即體積中矢量場的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣關(guān)系，在電

28、磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 34xyzO第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 351.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度 1. 矢量場的環(huán)流矢量場的環(huán)流磁感應(yīng)線要磁感應(yīng)線要么穿過曲面么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時磁感應(yīng)線要么同時穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線磁感應(yīng)線流速場。流速場。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電

29、子科技大學(xué) 36( , ) dCF x y zl（1）環(huán)流的概念環(huán)流的概念 矢量場沿閉合曲線矢量場沿閉合曲線C 的環(huán)流定義的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即（2）環(huán)流面密度環(huán)流面密度SCMFnCSlFSFd1limrot0n稱為矢量場在點稱為矢量場在點M 處沿方向處沿方向 的的環(huán)流面密度環(huán)流面密度。n特點特點：其值與點其值與點M 處的方向處的方向 有關(guān)。有關(guān)。矢量場矢量場的環(huán)流的環(huán)流n第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 37而而 推導(dǎo)推導(dǎo) 的示意圖如圖所示的示意圖如圖所示。

30、rotxFoyz yCMzx1234計算計算 的示意圖的示意圖 rotxF 直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中 、 、 的表達式的表達式rotxFrotyFrotzF41321dddddllllClFlFlFlFlF)()(4321zFyFzFyFzyzy2)(2yyFMFFMzzz2)(3zzFMFFMyyy2)(1zzFMFFMyyy2)(4yyFMFFMzzz第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 38于是于是 同理可得同理可得故得故得概念概念：矢量場在矢量場在 M 點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為點處的旋度為一矢量，其數(shù)值

31、為M 點的環(huán)點的環(huán) 流面密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積流面密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積 元的法線方向，即元的法線方向，即物理意義物理意義：旋渦源密度矢量。旋渦源密度矢量。性質(zhì)性質(zhì)：（3）矢量場的旋度矢量場的旋度zyzFyFlFyzC)(dzFyFSlFFyzCSxdlimrot0maxnnrotFeFFeFnnrotxFzFFzxyrotyFxFFxyzrot第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 39yFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzx旋度的計算公式旋度的計算公式: :1

32、zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zyxzyxFFFzyxeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 40旋度的有關(guān)公式旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度矢量場的旋度的散度恒為零的散度恒為零標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技

33、大學(xué) 41SCSFlFdd3. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是閉合曲線定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。廣泛的應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結(jié)果抵消相等結(jié)果抵消 矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即曲線所圍的曲面的通量，即第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 42C111yxO2112C222

34、C322第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 434. 散度和旋度的區(qū)別散度和旋度的區(qū)別 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 441. 無旋場無旋場1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場0dClF性質(zhì)性質(zhì)： ，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，僅有散度源而無旋度源的矢量場，0F無旋場無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為可以用標(biāo)量場的梯度表示為例如：靜

35、電場例如：靜電場0EE uF()0Fu 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 45dddddluFlulu e llul uF( )ddQQPPu PFlCulC dd( )( )QQPPFluu Pu Q 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 462. 無散場無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即，即性質(zhì)性質(zhì)：0dSSF0 F無散場可以表示為另一個矢量場的旋度無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁

36、場例如，恒定磁場BA 0BAF0)(AF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 471.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理 1. 拉普拉斯運算拉普拉斯運算 標(biāo)量拉普拉斯運算標(biāo)量拉普拉斯運算2u概念概念：2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系計算公式計算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系uu2)(第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電

37、磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 48 矢量拉普拉斯運算矢量拉普拉斯運算2F概念概念：2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF注意注意：對于非直角分量，對于非直角分量，22()iiFF直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：如：如：22()FF(, , )ix y z)()(2FFF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 492. 格林定理格林定理 2 ()ddVSVSn 或或以上兩式稱為以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理標(biāo)量第一格林定理。2 ()d() dVSVS ddnVSF VF eSF 設(shè)任意兩個標(biāo)量場設(shè)任意兩個標(biāo)量場 及及 在區(qū)域在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則由中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則由2() nF en利用利用令令SVne第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 50基于上式還可獲得下列兩式：基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理