函數(shù)極限的定義

1、 在上節(jié)中，我們討論了數(shù)列的極限在上節(jié)中，我們討論了數(shù)列的極限. 而我們又知道數(shù)而我們又知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)列是一種特殊的函數(shù)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)定義在正整數(shù)集上的函數(shù). 那那么一般函數(shù)的極限又應該如何定義呢？這一節(jié)我們將全么一般函數(shù)的極限又應該如何定義呢？這一節(jié)我們將全面引入函數(shù)極限的定義面引入函數(shù)極限的定義.引例引例 設函數(shù)設函數(shù)21( )1,1.1xf xxxx盡管函數(shù)在點盡管函數(shù)在點 處沒有定義，處沒有定義，1x 但當?shù)?無限趨近于無限趨近于1而不等于而不等于1時，時，x相應相應 無限趨近于無限趨近于2.y( ),f xA0lim( ).xxf xA或或0( ) .f xAxx

2、定義定義 設函數(shù)設函數(shù) 在點在點 的某個空心鄰域中有定義，的某個空心鄰域中有定義，如果存在常數(shù)如果存在常數(shù) ，使得對于任意給定的正數(shù)，使得對于任意給定的正數(shù) ，總存在，總存在正數(shù)正數(shù) ， 對于滿足對于滿足 的一切的一切 ，都有，都有 f x0 xA00 xxx那么常數(shù)那么常數(shù) 就稱作函數(shù)就稱作函數(shù) 當當 時的時的，記，記為為A f x0 xxOxy0 x( )yf xAAA0 x0 x0lim( )xxf xA函數(shù)極限函數(shù)極限 的幾何意義的幾何意義 對于任意對于任意 ，0對滿足對滿足 的一切的一切 ，00 xxx都有都有( ).f xA總存在正數(shù)總存在正數(shù) ， 例例 函數(shù)函數(shù)21 1( ).1

3、 0 1xxf xxx 注注1：函數(shù)：函數(shù) 在點在點 處的極限與函數(shù)在這一點是否有處的極限與函數(shù)在這一點是否有 f x0 x定義、或定義、或 為多少毫無關(guān)系，它所反映的是為多少毫無關(guān)系，它所反映的是 在在0f x f x則有則有 1lim2,xf x該點附近該點附近的變化趨勢的變化趨勢.( ),f xA經(jīng)過不等式的變形，得到關(guān)系經(jīng)過不等式的變形，得到關(guān)系0( ),f xAM xx0( ),f xAM xx 注注2: 函數(shù)函數(shù) 在點在點 的極限的定義說明了如何去證明的極限的定義說明了如何去證明 f x0 x其中其中 是一個與是一個與 無關(guān)的常量無關(guān)的常量. 再取再取 ，則當，則當MMx f x0

4、 xA0, 函數(shù)函數(shù) 在點在點 的極限為的極限為 的方法：對于的方法：對于 考慮考慮00 xx 時，有：時，有：此即說明此即說明0lim( ).xxf xA例例1 證明下列極限證明下列極限 2lim(21)5;xx證證 因因( )21 52422f xAxxx 0limsin0.xx所以所以, , 取取 ，當，當 時，可使時，可使 0 202x( )21 522,f xAxx 故故2lim(21)5.xx因因( )sin0sinf xAxx欲使欲使 即即sin,xsin,x 所以所以 不妨取不妨取 此時令此時令0, 01,arcsin ,( )sin0,f xAx0 x則當則當 時，有時，有因

5、而因而0limsin0.xx例例2 證明證明 1221 4lim2.21xxx證證 因因221 4(21)1( )22,21212xxf xAxxx21 41( )22,212xf xAxx所以所以, , 取取 ，當，當 ，可使，可使 0 210()2x 所以所以1221 4lim2.21xxx例例3 證明證明 22lim4.xx證證 因因2( )422 ,f xAxxx為能解出不等式為能解出不等式 ，要對，要對 進行適當?shù)目刂?，進行適當?shù)目刂?，x2M xx13x為此限定為此限定 的變化范圍為的變化范圍為 ，此時有，此時有25,x所以所以, , 取取 ，當，當 時時 ，0 min1, 502x

6、可使可使2( )42252,f xAxxxx所以所以22lim4.xx證證 因因例例4 證明證明 2123lim.12xxx222123231( )1,12212(1)xxxxf xAxxxx取取 即即 所以所以11,x02,x21311,2222xxx所以所以, , 取取 ，當，當 時時 ，0 min1, 01x223( )1,12xf xAxx所以所以2123lim.12xxx證證 因因例例5 設設 ，證明，證明 00 x 00lim.xxxx000001( ),xxf xAxxxxxxx所以所以, , 取取 ，當，當 時時 ，0 0 x00 xx可使可使0001( ),f xAxxxxx

7、所以所以00lim.xxxx1yx1yx1 0( ) 0 0,1 0 xxf xxxx考慮函數(shù)考慮函數(shù):x0 x是當是當 在該點兩側(cè)趨近于在該點兩側(cè)趨近于 時，函數(shù)有一個確定的變化時，函數(shù)有一個確定的變化趨勢趨勢. 但某種情況下，函數(shù)在兩側(cè)的趨勢是不同的，但某種情況下，函數(shù)在兩側(cè)的趨勢是不同的，這就需要分別加以討論這就需要分別加以討論. 前面討論的是函數(shù)前面討論的是函數(shù) 在某一點在某一點 的極限，它反映的的極限，它反映的 f x0 xOxy111yx1yxOxy11該函數(shù)在點該函數(shù)在點 兩側(cè)的變化趨勢是不同的兩側(cè)的變化趨勢是不同的:0 x 當當 在在 0 的右側(cè)趨近于的右側(cè)趨近于 0 時，時，

8、x 1;f x 當當 在在 0 的左側(cè)趨近于的左側(cè)趨近于 0 時，時，x 1.f x 這就導出左右極限的概念這就導出左右極限的概念.那么那么 稱作稱作 在在 處的處的左極限左極限，記為，記為A f x0 x0,0, 左極限定義：若左極限定義：若 當當 時，時，00 xx ( ),f xA使得使得那么那么 稱作稱作 在在 處的處的右極限右極限，記為，記為A f x0 x0,0, 右極限定義：若右極限定義：若 當當 時，時，00 xx( ),f xA使得使得0lim( )xxf x0()f x或或0lim( )xxf x0()f x或或容易證明：容易證明：01lim,xx 例如：例如：01lim,

9、xx 10lim e0,xx10lim e,xx 定理定理 極限極限 存在的充分必要條件是存在的充分必要條件是 在點在點0lim( )xxf x( )f x0 x 處的左右極限存在并且相等處的左右極限存在并且相等. 即即 存在存在 均存在，且均存在，且0lim( )xxf x00lim( ), lim( )xxxxf xf x00lim( )lim( ).xxxxf xf x解解 因因例例6 說明極限說明極限 不存在不存在. 1/01lim1 exx1/01lim0,1 exx1/01lim1,1 exx所以極限所以極限 不存在不存在.1/01lim1 exx二、函數(shù)在無窮遠處的極限二、函數(shù)在

10、無窮遠處的極限定義定義 設函數(shù)設函數(shù) 在在 時有定義，時有定義， 為常數(shù)為常數(shù). f xxMA( ),f xA0 0XxX若若 ， ，當，當 時，使得時，使得則則 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 在在 時的極限，記為時的極限，記為Ax f xlim( )xf xA( ).f xA x或或( ),f xA0 0XxX若若 ， ，當，當 時，使得時，使得則則 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 在在 時的極限，記為時的極限，記為Ax f xlim( )xf xA( ).f xA x或或( ),f xA0 0XxX 若若 ， ，當，當 時，使得時，使得則則 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 在在 時的極限，記為時的極限，記為Ax f xlim(

11、)xf xA( ).f xA x或或例例7 證明證明 1lim0.xx證證 因因11( )0f xAxx所以所以, , 取取 ，當，當 時時 ，使得，使得0 1XxX1( ),f xAx1lim0.xx所以所以例例8 證明證明 lim arctan.2xx證證 因因( )arctanarctan22f xAxx( )arctan,2f xAx只要只要 ，即，即arctan2xtan2x所以所以, , 取取 ，當，當 時時 ，使得，使得0 xXtan2Xlim arctan.2xx所以所以類似可證類似可證 lim arctan.2xx 證證 因因222222( )1111,f xAxxxxx 2

12、2( )11,f xAxx例例9 證明證明 22lim110.xxx 所以所以, , 取取 ，當，當 時時 ，使得，使得0 2XxX所以所以22lim110.xxx 例例10 證明證明 11lim.212xxx所以所以, , 取取 ，當，當 時時 ，使得，使得0 1max1,2XxX證證 因因 111,2122 21xf xAxx當當 時，則有不等式時，則有不等式1x 2121xxx 11,2 212xx 11,2 212f xAxx所以所以11lim.212xxx三、極限的性質(zhì)三、極限的性質(zhì)即：即： 在在 的某個空心鄰域內(nèi)有界的某個空心鄰域內(nèi)有界. f x0 x定理定理1 (局部有界性局部有

13、界性)如果極限如果極限 存在存在 ，0lim( )xxf x證證 設設 ，由定義，對，由定義，對 存在存在0lim( )xxf xA1,0,當當 ，即，即 有有00 x x0(, ),xU x( )1,f xA0 x f x那么在那么在 的某個空心鄰域內(nèi)，函數(shù)的某個空心鄰域內(nèi)，函數(shù) 有界有界.( )( )f xf xAA( )1,f xAAA 證證 設設 ，由定義，對，由定義，對 存在存在limnnxa1,0,N 1,nxa當當 時，有時，有 從而從而nN定理定理 (有界性有界性)如果極限如果極限 存在存在 ，那么存在，那么存在10,M limnnx1,nnxxaaa 取取 ，則對所有的，則對

14、所有的 ，有，有n12max,1NMxxxa.nxMn.nxM使得對所有的使得對所有的 ，有，有)如果如果 ，則存在點，則存在點0lim( )0 xxf xA0 x的某個空心鄰域內(nèi)，使得在該鄰域中有：的某個空心鄰域內(nèi)，使得在該鄰域中有： 0.f x 證證 設設 ，由定義，對，由定義，對 存在存在0lim( )xxf xA,2A0,當當 時，有時，有0(, )xU x( )2Af xA 0.2Af xA0 x0 x0 x yf xxOy2AA32A)如果如果 ，則存在正整數(shù)，則存在正整數(shù)lim0nnxaN當當 時，有：時，有：0.nx nN0lim0.xx推論推論 在在 的某個空心領(lǐng)域中，有的某

15、個空心領(lǐng)域中，有 且且0 x 0,f x 0lim( ),xxf xA則則0.A注意：如果推論的條件改成注意：如果推論的條件改成 （嚴格大于），則（嚴格大于），則 0f x 0,f x 0,A不能推出不能推出 例如例如 時時 但但( ),0f xx x證證 設設 ，則，則 當當 時，時，0lim( )xxf xA0,0, 0( , )x U x( ),f xA定理定理3()則此數(shù)列相應的函數(shù)值數(shù)列則此數(shù)列相應的函數(shù)值數(shù)列 收斂，且收斂，且1nnf x0lim()lim( ).nnxxf xf x f x0lim( )xxf x1nnx設設 存在，又設存在，又設 是函數(shù)是函數(shù) 定義域中的定義域中

16、的0,nxx0,limnnxx一個任意數(shù)列，一個任意數(shù)列， 且且由條件由條件 故對故對 ，當，當 時，有時，有 0lim,nnxx0,0NnN00,nxx即即0(, ),nxU x因而因而(),nf xA即即0lim()lim( ).nnxxf xAf x0lim( )xxf xAxyO yf xA1x1( )f x2()f x3()f x4()f x()nf x2x3x4x0 xnx0,limnnxx0lim()lim( ).nnxxf xAf x此定理的一個實際意義是：此定理的一個實際意義是：使其函數(shù)值數(shù)列收斂到兩個不同的值，即使其函數(shù)值數(shù)列收斂到兩個不同的值，即如果能夠找到自變量的兩個不同子列如果能夠找到自變量的兩個不同子列00,nnxx xx則說明函數(shù)在這一點無極限則說明函數(shù)在這一點無極限.00lim()lim()nnxxxxf xf x所以所以 不存在不存