第9章-壓桿穩(wěn)定問題

1、單輝祖:材料力學(xué)教程1第 9 章 壓桿穩(wěn)定問題本章主要研究： 壓桿穩(wěn)定概念 壓桿臨界載荷的確定 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計單輝祖:材料力學(xué)教程2 1 穩(wěn)定性概念 2 兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷3 兩端非鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷4 中、小柔度桿的臨界應(yīng)力5 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計單輝祖:材料力學(xué)教程31 穩(wěn)定性概念 引言引言 穩(wěn)定與不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定與不穩(wěn)定平衡 壓桿穩(wěn)定概念壓桿穩(wěn)定概念 其他形式的穩(wěn)定問題其他形式的穩(wěn)定問題單輝祖:材料力學(xué)教程4 引引 言言 軸向受壓細(xì)長桿，當(dāng)所受壓力軸向受壓細(xì)長桿，當(dāng)所受壓力 F 達(dá)到或超過一定數(shù)達(dá)到或超過一定數(shù)值時，桿將突然變彎，即產(chǎn)生值時，桿將突然變彎，即產(chǎn)生失穩(wěn)失

2、穩(wěn)現(xiàn)象現(xiàn)象 桿件失穩(wěn)往往產(chǎn)生顯著彎曲變形，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)局桿件失穩(wěn)往往產(chǎn)生顯著彎曲變形，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)局部或整體破壞。部或整體破壞。單輝祖:材料力學(xué)教程5 穩(wěn)定與不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定與不穩(wěn)定平衡 系統(tǒng)微偏狀態(tài)的受力分析 Fd dkd dl 即即 F kl 系統(tǒng)系統(tǒng)可在任意微偏狀態(tài)保持平衡可在任意微偏狀態(tài)保持平衡Fd d驅(qū)動力矩驅(qū)動力矩 kd dl恢復(fù)力矩恢復(fù)力矩剛桿彈簧系統(tǒng)分析 Fd d 使使豎桿更偏斜豎桿更偏斜 kd dl 使使豎桿回復(fù)初始位置豎桿回復(fù)初始位置Fcr kl考察系統(tǒng)微偏離時的力學(xué)行為考察系統(tǒng)微偏離時的力學(xué)行為 Fd d kd dl 即即 F kd dl 即即 F kl 系統(tǒng)更加偏離系統(tǒng)更

3、加偏離初始平衡狀態(tài)初始平衡狀態(tài) 穩(wěn)定與不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)單輝祖:材料力學(xué)教程6 壓桿穩(wěn)定概念壓桿穩(wěn)定概念壓桿穩(wěn)定性演示點擊畫面（細(xì)長理想直桿軸向受壓）（細(xì)長理想直桿軸向受壓）播放狀態(tài)下按此鍵可見動畫使用說明單輝祖:材料力學(xué)教程7壓桿穩(wěn)定性概念F Fcr 不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡F Fcr 臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)臨界載荷使壓桿直線形式的平衡，開始由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的軸向壓力值臨界狀態(tài)特點壓桿可在任意微彎狀態(tài)保持平衡F Fcr 壓桿微彎位置不能平衡壓桿微彎位置不能平衡, ,要繼續(xù)彎曲要繼續(xù)彎曲F Fcr 壓桿在任意微彎位置均可保持平衡壓桿在任意微彎位置均可保持平衡

4、單輝祖:材料力學(xué)教程8 其他形式的穩(wěn)定問題其他形式的穩(wěn)定問題crFF 單輝祖:材料力學(xué)教程92 兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷 臨界載荷的臨界載荷的歐拉公式歐拉公式 小撓度理論與理想壓桿小撓度理論與理想壓桿 模型的實際意義模型的實際意義 例題例題單輝祖:材料力學(xué)教程10 臨界載荷的歐拉公式臨界載荷的歐拉公式待定待定 FBA,EIxMxw)(dd22 (a) cossinxEIFBxEIFAw 0dd22 wEIFxw時時且微彎微彎 ,pmax 注意：注意：M(x) , w 設(shè)正法設(shè)正法Fcr使壓桿在微彎條件下保持平衡的最小軸向壓力方法：使壓桿方法：使壓桿微彎微彎, , 再求能再求能保持其保持其平衡

5、平衡的最小軸向壓力的最小軸向壓力求解思路臨界載荷公式FwxM )(單輝祖:材料力學(xué)教程11)1()a(與與由由0 B(b) sinxEIFAw )2()b(與與由由0sin lEIFA(2) 0 (1) 0 0 wlxwx處，處，處，處，位移邊界條件位移邊界條件:0 A), 2 , 1( , nnlEIF0sin lEIF222 lEInF 得得取取n=1于是得于是得歐拉公式(a) cossinxEIFBxEIFAw Fcr使壓桿在微彎條件下保持平衡的最小軸向壓力單輝祖:材料力學(xué)教程12xEIFAwsin 歐拉臨界載荷 , 1 , lEIFnnlEIF結(jié)論 壓桿臨界狀態(tài)時的撓曲軸壓桿臨界狀態(tài)時

6、的撓曲軸 一一 正弦曲線 壓桿臨界狀態(tài)時的平衡，是有條件的隨遇平壓桿臨界狀態(tài)時的平衡，是有條件的隨遇平衡衡微彎程度可任意微彎程度可任意, 但軸線形狀必為但軸線形狀必為正弦曲線正弦曲線22cr/lEIF 2crcr/1 ,lFEIF 臨界狀態(tài)撓曲軸方程單輝祖:材料力學(xué)教程13 小撓度理論與理想壓桿模型的實際意義小撓度理論與理想壓桿模型的實際意義小撓度小撓度理論理論大撓度大撓度理論理論 按大撓度理論按大撓度理論, 不存在隨遇平衡不存在隨遇平衡 , 但但曲線曲線 AB 在在 A 點附近極平坦點附近極平坦, , 可可用水平短直線代替用水平短直線代替 微彎平衡微彎平衡 兩種理論的兩種理論的 Fcr 解相

7、同解相同, 說明說明以以微彎平衡為特征并用撓曲軸近似微微彎平衡為特征并用撓曲軸近似微分方程求解分方程求解, 既正確既正確, 又簡單實用又簡單實用 當(dāng)當(dāng) FFcr , 實際壓桿的實際壓桿的 wmax 急劇急劇增大增大, 說明說明Fcr同樣導(dǎo)致同樣導(dǎo)致實際實際壓桿失壓桿失效效, 說明說明采用理想壓桿作為分析模型采用理想壓桿作為分析模型確定確定Fcr , 具有實際意義具有實際意義 曲線曲線 AB 在在A 點附近極平坦點附近極平坦, 當(dāng)當(dāng)F 略超過略超過 Fcr 時時, 壓桿變形急劇增大壓桿變形急劇增大, 說明失穩(wěn)極危險說明失穩(wěn)極危險實際壓桿實際壓桿EIxMx)()(1 xdd EIxMxw)(dd2

8、2 單輝祖:材料力學(xué)教程14 例例 題題例 2-1 圖示細(xì)長壓桿，圖示細(xì)長壓桿，l = 0.8 m, d =20 mm, E = 200 GPa, s = 235 MPa，求，求Fcr = ?解：kN 2 .2464422cr dlEFkN 8 .7342ss dF 細(xì)長桿的承壓能力，是由穩(wěn)定性要求確定的細(xì)長桿的承壓能力，是由穩(wěn)定性要求確定的22crlEIF 單輝祖:材料力學(xué)教程153 兩端非鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷 類比法確定臨界載荷類比法確定臨界載荷 相當(dāng)長度與長度因數(shù)相當(dāng)長度與長度因數(shù) 例題例題單輝祖:材料力學(xué)教程16 類比法確定臨界載荷類比法確定臨界載荷2cr)2(lEIF 2cr2 l

9、EIF單輝祖:材料力學(xué)教程17 相當(dāng)長度與長度因數(shù)相當(dāng)長度與長度因數(shù)2crlEIF 2cr2/ lEIF 2cr)7 . 0(lEIF 2cr)2( lEIF m m l - 相當(dāng)長度相當(dāng)長度相當(dāng)?shù)膬上喈?dāng)?shù)膬啥算q支細(xì)長壓桿的長度端鉸支細(xì)長壓桿的長度（歐拉公式一般表達(dá)式）（歐拉公式一般表達(dá)式）m m - 長度因數(shù)長度因數(shù)代表支持代表支持方式對臨界載荷的影響方式對臨界載荷的影響1 m m2 m m21 m m7 . 0 m m單輝祖:材料力學(xué)教程18 例例 題題例3-1 等截面細(xì)長桿，用類比法求等截面細(xì)長桿，用類比法求 Fcr解：1. 失穩(wěn)形式判斷失穩(wěn)形式判斷存在對稱與反對稱兩類微彎平衡形式存在對

10、稱與反對稱兩類微彎平衡形式2. 臨界載荷計算臨界載荷計算ll7 . 0eq,1 22cr,1)7 . 0(lEIF 22cr,2lEIF ll eq,222cr,2cr lEIFF 單輝祖:材料力學(xué)教程19)()(RxlFFwxM )(ddR22xlFFwxwEI )(ddR22xlEIFwEIFxw )(cossin2RxlEIkFkxBkxAw ) / (2EIFk 0 ,0 0,0 , 0 wlxwxwx0cossin002R2R klBklAEIkFAkEIklFB關(guān)于關(guān)于 A, B, FR 的的線性齊次方程組線性齊次方程組例 3-2 試確定圖示試確定圖示細(xì)細(xì)長壓桿的臨界載荷長壓桿的臨

11、界載荷)(dd22xMxwEI 解：微彎平衡, 最小軸向壓力單輝祖:材料力學(xué)教程20非零解的條件：非零解的條件：0 0cossin1010 22 klklEIkkEIklklkl tan493. 4) ( akl493. 4 lEIFkly 2klytan1 ) / (2EIFk 0cossin002R2R klBklAEIkFAkEIklFB單輝祖:材料力學(xué)教程214 中、小柔度桿的臨界應(yīng)力 臨界應(yīng)力與柔度臨界應(yīng)力與柔度 歐拉公式適用范圍歐拉公式適用范圍 臨界應(yīng)力經(jīng)驗公式臨界應(yīng)力經(jīng)驗公式 例題例題單輝祖:材料力學(xué)教程22 臨界應(yīng)力與柔度臨界應(yīng)力與柔度AIlEAlEI 2222cr)()(m

12、mm m AIi 截面慣性半徑截面慣性半徑22cr ilEm m ilm m 柔度柔度或或細(xì)長比細(xì)長比AFcrcr 臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力壓桿處于臨界狀態(tài)時壓桿處于臨界狀態(tài)時橫截面上的平均應(yīng)力橫截面上的平均應(yīng)力22cr)(lEIFm m 歐拉公式歐拉公式綜合反映桿長、支持綜合反映桿長、支持方式與截面幾何性質(zhì)方式與截面幾何性質(zhì)對臨界應(yīng)力的影響對臨界應(yīng)力的影響細(xì)長壓桿的臨界應(yīng)力細(xì)長壓桿的臨界應(yīng)力, 與柔度的平與柔度的平方成反比方成反比, 柔度愈大柔度愈大, 臨界應(yīng)力愈低臨界應(yīng)力愈低單輝祖:材料力學(xué)教程23 歐拉公式適用范圍歐拉公式適用范圍歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍：p22crE pE pp E

13、 令令p 的壓桿的壓桿大柔度桿大柔度桿或或細(xì)長桿細(xì)長桿例如，例如，Q235鋼，鋼，E200 GPa, p=196 MPa100p 單輝祖:材料力學(xué)教程24 臨界應(yīng)力經(jīng)臉公式臨界應(yīng)力經(jīng)臉公式 適用于合金鋼、鋁適用于合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等合金、鑄鐵與松木等p 的壓桿的壓桿非細(xì)長桿，非細(xì)長桿，屬于非彈性穩(wěn)定問題屬于非彈性穩(wěn)定問題1. 直線型經(jīng)驗公式直線型經(jīng)驗公式)( p0cr ba a, b 值與材料有關(guān)值與材料有關(guān)bacu0 得得 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖0cu ba 根據(jù) 小柔度桿小柔度桿 中柔度桿中柔度桿大柔度桿大柔度桿單輝祖:材料力學(xué)教程25 適用于結(jié)構(gòu)鋼與低合金結(jié)構(gòu)鋼等適用于結(jié)構(gòu)鋼與

14、低合金結(jié)構(gòu)鋼等2. 拋物線型經(jīng)驗公式拋物線型經(jīng)驗公式)0( p211cr 22cr)(lEIFm m 大柔度桿大柔度桿446424ddd m 100 . 12 64)(422dlE m mkN 1 .65 單輝祖:材料力學(xué)教程27例 4-2 求圖示鉻鉬鋼連桿求圖示鉻鉬鋼連桿Fcr。 A = 70 mm2, , Iz = 6.5104 mm4, , Iy = 3.8104 mm4, , 中柔度壓桿的臨界應(yīng)力為中柔度壓桿的臨界應(yīng)力為)550( )MPa 29. 5(MPa 980cr 解： 在在x-y平面失穩(wěn)平面失穩(wěn)1 zm m6 .52)( AIlzzzm m zyyyAIl m m 2 .48

15、)(7 . 0 ym m在在x-z平面失穩(wěn)平面失穩(wěn)kN 505 6 .52)MPa 29. 5(MPa 980cr AF z55, 中柔度壓桿中柔度壓桿, 并在并在x-y平面失穩(wěn)平面失穩(wěn)單輝祖:材料力學(xué)教程285 壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計 壓桿穩(wěn)定條件壓桿穩(wěn)定條件 折減系數(shù)法折減系數(shù)法 壓桿合理設(shè)計壓桿合理設(shè)計 例題例題單輝祖:材料力學(xué)教程29 壓桿壓桿穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件ststcrFnFF 用載荷表示的穩(wěn)定條件用載荷表示的穩(wěn)定條件 用應(yīng)力表示的穩(wěn)定條件用應(yīng)力表示的穩(wěn)定條件nst穩(wěn)定安全因數(shù)穩(wěn)定安全因數(shù)Fst穩(wěn)定許用壓力穩(wěn)定許用壓力 ststcr n st穩(wěn)定許用應(yīng)力穩(wěn)定許用應(yīng)力 計算計算Fcr與

16、與 cr時時, 不必考慮壓桿局部削弱的影響不必考慮壓桿局部削弱的影響單輝祖:材料力學(xué)教程30 折減系數(shù)法折減系數(shù)法 st),(材料材料 折減系數(shù)折減系數(shù)或或穩(wěn)定系數(shù)穩(wěn)定系數(shù) 許用壓應(yīng)力許用壓應(yīng)力 壓桿穩(wěn)定條件壓桿穩(wěn)定條件 穩(wěn)定許用應(yīng)力穩(wěn)定許用應(yīng)力單輝祖:材料力學(xué)教程31 壓桿合理設(shè)計壓桿合理設(shè)計 合理選用材料合理選用材料對于大柔度壓桿對于大柔度壓桿 E 較高的材料，較高的材料， cr 也高也高GPa 220)(200 E鋼鋼與與合合金金鋼鋼：注意：注意：各種鋼材（或各種鋁合金）的各種鋼材（或各種鋁合金）的 E 基本相同基本相同GPa 72)(70 E金金：合合鋁鋁對于中柔度壓桿對于中柔度壓桿

17、強(qiáng)度強(qiáng)度 較高的材料，較高的材料， cr 也高也高對于小柔度壓桿對于小柔度壓桿 按強(qiáng)度按強(qiáng)度 要求選擇材料要求選擇材料單輝祖:材料力學(xué)教程32 合理選擇截面合理選擇截面IAlilm mm m 對于細(xì)長與中柔度壓桿對于細(xì)長與中柔度壓桿, 愈小愈小, cr 愈高愈高 選擇慣性矩較大的橫截面形狀選擇慣性矩較大的橫截面形狀 計及失穩(wěn)的方向性計及失穩(wěn)的方向性 yyyIAlm m zzzIAlm m 單輝祖:材料力學(xué)教程33 合理安排壓桿約束與桿長合理安排壓桿約束與桿長22crilE 22cr)(lEIF 2cr,1lEIF cr,12cr,244FlEIF 單輝祖:材料力學(xué)教程34 例例 題題例 5-1 校核斜撐桿的穩(wěn)定性。校核斜撐桿的穩(wěn)定性。F = 12 kN, , 桿外經(jīng)桿外經(jīng)D = 45 mm, , 桿內(nèi)徑桿內(nèi)徑d = 36 mm,