微積分第八章

1、8.4 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)、絕對(duì)收斂 與條件收斂微積分II（Calculus ）第八章 無(wú)窮級(jí)數(shù)8.4 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)、絕對(duì)收斂與條件收斂一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、絕對(duì)收斂與條件收斂教學(xué)目的：1.會(huì)用交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibniz(萊布尼茲)審斂法;2.了解無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念;3.了解絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系.一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義:正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù). )1()1(111nnnnnnuu 或或)0( nu其中其中2. 判別法(定理 1)：萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件: ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, , 則

2、則級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂, ,其和其和1us , ,且且其余項(xiàng)其余項(xiàng) nr滿足滿足1 nnur. . 341P教材Proof.nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列ns,2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且級(jí)數(shù)收斂于和級(jí)數(shù)收斂于和),(21 nnnuur余項(xiàng)余項(xiàng),21 nnnuur仍滿足交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的兩個(gè)條件,.1 nnur解），21(1111 nunnunn0li

3、m nnu又又故級(jí)數(shù)收斂.41312111的斂散性判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)例Solution.2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單調(diào)遞減單調(diào)遞減故函數(shù)故函數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級(jí)數(shù)收斂.二、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂1.定義:正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).即級(jí)數(shù)中含有無(wú)窮多個(gè)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)，且排列是任意的.定理 2.若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. . 絕對(duì)收斂定理Proof.), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令,0 00 1為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)即即顯然顯然 nnnnnnvuuuv,nnuv 且且,1收斂收斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又.1收斂收斂 nnu絕對(duì)收斂定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)例 3.判別級(jí)數(shù)的斂散性：.sin)3( );( !)2( ;!)1()1(12111 nnnnnnnnRnnn Solution.,!)1(1 nnnn考考慮慮加加絕絕對(duì)對(duì)值值后后的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)!)1()!1(l