復(fù)變函數(shù)與積分變換第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)ppt課件

1、出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁第第1 1章章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁在一些理論和實(shí)際問題中，有許多幾何量與物理量，如果用復(fù)數(shù)作為變量去刻畫，則在研究過程中比較方便，在18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家J.DAlembert與L.Euler等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，并應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問題.在本章中，首先介紹復(fù)數(shù)的有關(guān)知識，然后再引入復(fù)平面點(diǎn)集、復(fù)變函數(shù)以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)等概念.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁 1.1復(fù)數(shù)1.1.1復(fù)數(shù)域形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中x和y是任意的實(shí)數(shù)，分別稱為復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部，記作x=R

2、e z，y=lm z；而i(也可記為 )稱為純虛數(shù)單位.當(dāng)Im z=0時，z=Re z可視為實(shí)數(shù)；而當(dāng)Re z=0,Im z0時，z稱為純虛數(shù)；特別地，當(dāng)Re z=Im z=0時，記z=0+i0=0.兩個復(fù)數(shù)z1,z2滿足 時，稱這兩個復(fù)數(shù)相等，記為出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁對任意兩個復(fù)數(shù) 其四則運(yùn)算定義如下:容易驗(yàn)證加法與乘法滿足交換律：結(jié)合律：分配律：出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合在引進(jìn)上述加法和乘法運(yùn)算后稱為復(fù)數(shù)域，用符號 表示.與實(shí)數(shù)域不同的是，復(fù)數(shù)域里的數(shù)沒有大小之分，但可以證明在實(shí)數(shù)域內(nèi)成立的一切代數(shù)恒等式在復(fù)數(shù)域內(nèi)仍成立，例如：出版社 理工分社復(fù)

3、變函數(shù)與積分變換頁1.1.2復(fù)平面、復(fù)數(shù)的模與輻角由于一個復(fù)數(shù)z=x+iy可以由有序?qū)崝?shù)對(x,y)唯一確定，而有序?qū)崝?shù)對(x,y)與平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)一一對應(yīng)，因此可以用坐標(biāo)為(x,y)的點(diǎn)P來表示復(fù)數(shù)z=x+iy (圖1.1)，此時x軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)對應(yīng)，稱x軸為實(shí)軸，y軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外與純虛數(shù)對應(yīng)，稱y軸為虛軸.像這樣表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，或按照表示復(fù)數(shù)的字母是z,w,而稱為z平面、w平面，等等. 圖1.1出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁如圖1.1所示，復(fù)數(shù)z=x+iy還可以用向量 來表示，x與y分別是向量 在x軸與y軸上的投影.這樣，復(fù)數(shù)z就與平面上的向量 建立了一一對應(yīng)

4、的關(guān)系.引進(jìn)了復(fù)平面后，為方便起見， “復(fù)數(shù)z”、“點(diǎn)z及“向量 ”三者不再區(qū)分.向量 的長度稱為復(fù)數(shù)z=x+iy的?；蚪^對值，記作|z|，于是顯然z=0的充要條件是z=0.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁當(dāng)點(diǎn)P不是原點(diǎn)，即復(fù)數(shù)z0時，向量 與x軸正向的夾角稱為復(fù)數(shù)z的輻角，記作Arg z.輻角的符號規(guī)定為：由正實(shí)軸依反時針方向轉(zhuǎn)到 為正，依順時針方向轉(zhuǎn)到 為負(fù).顯然一個非零復(fù)數(shù)z的輻角有無窮多個值，它們相差2的整數(shù)倍，但Arg z中只有一個值0滿足條件-0，稱0為復(fù)數(shù)z的主輻角，記為0=arg z以后也把Arg z中任一確定的值記為arg z），于是當(dāng)z=0時，z的輻角沒有意義.出版社

5、理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁由圖1.1易知：復(fù)數(shù)z=x+iy(0)的主輻角arg z與反正切的主值 有以下關(guān)系:出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可知圖1.1），非零有窮復(fù)數(shù)z可以用其模r=|z|與輻角來表示，即利用歐拉公式得出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁 由式1.3及復(fù)數(shù)的運(yùn)算容易證明分別稱式1.2和式1.4為非零復(fù)數(shù)z的三角表示式和指數(shù)表示式，相應(yīng)地稱為式(1.1)復(fù)數(shù)z的代數(shù)表示式. 復(fù)數(shù)z的這三種表示式可以互相轉(zhuǎn)化，以方便討論不同問題時的需要.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例1.1將 化為三角表示式和指數(shù)表示式.解 ,因?yàn)閦在第I象限，所以故z的三

6、角表示式為 ；z的指數(shù)表示式為出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例1.2試將 ，(-)化為三角表示式.解由已知可得故z的三角表示式為出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁利用復(fù)數(shù)z的代數(shù)表示式容易理解復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別為 1， 由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則知復(fù)數(shù)的加減法與向量的加減法一致，于是在平面上以 為鄰邊的平行四邊形的對角線 就表示復(fù)數(shù)z1+z2圖1.2），對角線 就表示復(fù)數(shù)z1-z2. 圖1.2出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁由上述幾何解釋知下面兩個不等式成立： 其中 表示向量 的長度，也就是復(fù)平面上點(diǎn)z1，z2之間的距離.利用復(fù)數(shù)z的指數(shù)表示式作復(fù)數(shù)

7、乘法與除法運(yùn)算很方便.假設(shè) ，則由式1.5可得于是出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁由此可知：兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們各自模的乘積，兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們各自輻角的和；兩個復(fù)數(shù)商的模等于它們各自模的商，兩個復(fù)數(shù)商的輻角等于分子輻角與分母輻角的差.由式(1.6)即得復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，乘積 對應(yīng)的向量是把z1對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)一個角度 后再將其模伸縮|z2|倍而得到的(圖1.3).特別地，當(dāng)|z2|=1時，只需把z1對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)一個角度 即得到 例如 就可由表示z的向量逆時針旋轉(zhuǎn) 而得到.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例1.3已知正三角形的兩個頂點(diǎn)為 求其第三個頂點(diǎn).解如圖1.4將向量

8、z2-z1繞z1旋轉(zhuǎn) 得另一個向量，其終點(diǎn)就是所求的第三個頂點(diǎn)z3或z3），根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可得 圖1.3 圖1.4出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁所以類似可得出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁1.1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根n個相同非零有窮復(fù)數(shù)z的乘積稱為復(fù)數(shù)z的n次冪，記作 假設(shè) ，那么 特別地，當(dāng)r=1時，即z=cos +i sin ，則得De Moivre公式 如果復(fù)數(shù)w和z滿足則稱復(fù)數(shù)w為z的n次方根，記作 ，即出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁下面求 的表達(dá)式.令 ，則由式(1.8)，得于是有 從而故z的n次方根為出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁從式(1.9)可以看出，

9、只有當(dāng)k取0,1,2,，n-1時，所得w之值是不同的，而k取其他整數(shù)時所得w之值將與上述n個值之一重合.因此,一個非零有窮復(fù)數(shù)z的n次方根僅有n個不同的值，在幾何上表現(xiàn)為以原點(diǎn)為中心、以 為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個頂點(diǎn).出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例1.4求z=1的n次方根.解因?yàn)樗蕴貏e地，1的立方根為它們均勻地分布在以原點(diǎn)為中心，以1為半徑的圓周上（圖1.5）. 圖1.5出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例1.5設(shè)n為自然數(shù)，證明等式 證明令 ，那么故由De Moivre公式得出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁1.1.4共軛復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)z=x+iy，稱復(fù)數(shù)x-iy為z的共軛復(fù)

10、數(shù)，記為 顯然z和 是關(guān)于實(shí)軸對稱的圖1.6）.由定義，容易驗(yàn)證下列關(guān)系成立： 圖1.6出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例1.6設(shè) ，試求Re z，lm z和解因?yàn)樗猿霭嫔?理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例1.7求證:假設(shè)|a|=1，那么證由 得出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例1.8設(shè)復(fù)數(shù) 滿足條件求證 是內(nèi)接于單位圓|z|=1的一個正三角形的頂點(diǎn).證由條件，可知 位于|z|=1上；又由條件，可知那么即再結(jié)合條件得故出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁即|z2-z3|=3，同理可得|z1-z3|=3，|z1-z2|=3,因而,z1,z2,z3是內(nèi)接于單位圓|z|=1的一個正三角形的3

11、個頂點(diǎn).下面舉例簡單說明復(fù)數(shù)的應(yīng)用，具體討論兩個問題：如何用含復(fù)數(shù)的方程來表示平面曲線；怎樣從復(fù)數(shù)形式的方程來確定該方程所表示的平面曲線.若平面曲線的實(shí)方程為 ,則的復(fù)方程可表示z=z(t)=x(t)+y(t)i(t).出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例1.91因連接 與 兩點(diǎn)的實(shí)方程為故該線段的復(fù)數(shù)方程為同理過z1與z2兩點(diǎn)的直線的復(fù)數(shù)方程為于是有三點(diǎn)z1,z2,z3 共線的充分必要條件為 .出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁（2因z平面上以點(diǎn) 為心、r為半徑的圓周的實(shí)方程為故該圓的復(fù)數(shù)方程為若平面曲線的實(shí)方程為F(x,y)=0，則的復(fù)方程可用f(z)=0表示.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)

12、與積分變換頁例1.101z平面上以點(diǎn)z0為心、r為半徑的圓周的復(fù)方程為|z-z0|=r.（2平面直角坐標(biāo)下直線ax+by=c 方程的復(fù)數(shù)方程為事實(shí)上，設(shè)z=x+iy，則由共軛復(fù)數(shù)的定義得出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁將它們代入所給的直線方程ax+bx=c，有化簡得記=a+ib，=2c，便得結(jié)論.（3方程|z-i|=|z+2i|表示到點(diǎn)i和-2i的距離相等的點(diǎn)z的軌跡，即連接復(fù)數(shù)i和-2i的線段的垂直平分線.(4) 方程 表示一個圓周. 出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁1.1.5無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與擴(kuò)充復(fù)平面取一個與 相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O的球面S.過O作與復(fù)平面相垂直的直線，該直線與球面S交于另一點(diǎn)

13、N，O和N分別稱為球面的南極和北極圖1.7）. 圖1.7出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁在復(fù)平面上任取一點(diǎn)z，則連接z和N的直線必交于球面上唯一的異于N的點(diǎn)P；反之，若P為球面上任意一個異于N的點(diǎn)，則連接NP的直線必交復(fù)平面上唯一的一點(diǎn)z.這樣就建立起球面上除去北極N外的點(diǎn)P與復(fù)平面上點(diǎn)z之間的一一對應(yīng)關(guān)系，我們稱P為z在球面上的球極射影，如果z的模愈大，則它的球極射影就愈靠近北極N，因而，北極N可以看作復(fù)平面上一個模為無窮大的理想點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，這個理想點(diǎn)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，并記為，復(fù)平面上加上點(diǎn)后就稱為擴(kuò)充復(fù)平面，通常記為 ，即 與之對應(yīng)的是整個球面，稱為復(fù)球面，換言之，擴(kuò)充復(fù)平面的一個幾何模型

14、就是復(fù)球面.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁最后需要指出的是，擴(kuò)充復(fù)平面 上只有一個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，它是一個確定的復(fù)數(shù)，對來說，其實(shí)部、虛部與輻角均無意義，僅規(guī)定其模|=+.關(guān)于我們規(guī)定其運(yùn)算如下：a為有限復(fù)數(shù)，那么，0, 均無意義.在本書中，今后若無特別聲明，所涉及的復(fù)數(shù)都是指有窮復(fù)數(shù).出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁 1.2復(fù)平面點(diǎn)集1.2.1平面點(diǎn)集定義1.1設(shè)z0 ，為正數(shù)，稱集合z|z-z0|為點(diǎn)z0的鄰域，記為N(z0),稱集合z|0|z-z0|為點(diǎn)z0的去心鄰域，記為N(z0) z0.定義1.2設(shè) 為一點(diǎn)集，且z0E，假設(shè) N(z0)，使得N(z0) E，則稱點(diǎn)z0為E的內(nèi)點(diǎn).

15、若E的點(diǎn)皆為內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集.定義1.3設(shè) 為一點(diǎn)集，且z0E，假設(shè) 0，在N(z0)內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)，也有不屬于E的點(diǎn)，則稱點(diǎn)z0為E的邊界點(diǎn)；E的邊界點(diǎn)的全體組成的集合稱為E的邊界，通常記為E.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁定義1.4設(shè) 為一點(diǎn)集， 如果對 ，點(diǎn)集 是無窮點(diǎn)集，則稱z0為E的聚點(diǎn)或極限點(diǎn)，E的聚點(diǎn)全體通常記為E；假設(shè) ,但 則稱z0為E的孤立點(diǎn)；假設(shè) ，使得 ，則稱z0為E的外點(diǎn).定義1.5若點(diǎn)集E能完全包含在以原點(diǎn)為圓心，以某一個正數(shù)R為半徑的圓域內(nèi)部，則稱E為有界集，否則稱E為無界集.對于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，有:定義1.6在 上以原點(diǎn)為心，以某一個正數(shù)R為半徑的圓外部，稱

16、為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的一個鄰域，記為NR（）=z|z|R.由此，在擴(kuò)充復(fù)平面 上，聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)及邊界點(diǎn)等概念均可推廣到無窮遠(yuǎn)點(diǎn).出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁1.2.2區(qū)域定義1.7復(fù)平面 上具備下列性質(zhì)的非空點(diǎn)集D稱為區(qū)域：D是開集，即D完全由內(nèi)點(diǎn)組成；D是連通的，即D中任何兩點(diǎn)都可以用一條整個屬于D的折線連接起來.由區(qū)域的定義，區(qū)域不包括邊界點(diǎn)，因而一般稱區(qū)域?yàn)殚_區(qū)域.區(qū)域D及邊界C所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域，記作若區(qū)域D可以包含在某個以原點(diǎn)為中心、以某一正數(shù)R為半徑的圓內(nèi).則稱D為有界區(qū)域，否則為無界區(qū)域.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁實(shí)際中，常用含復(fù)數(shù)的不等式來表示復(fù)平面上的區(qū)域.例如：z

17、平面上以原點(diǎn)為心，R為半徑的圓盤即圓形區(qū)域可表示為|z|R.z平面上以實(shí)軸Im z=0為邊界的兩個無界區(qū)域是上半平面與下半平面，分別表為Im z0與Im z0;z平面上以虛軸Re z=0為邊界的兩個無界區(qū)域是左半平面與右半平面，分別表為Re z0與Re z0.圖1.8所示的同心圓環(huán)即圓環(huán)區(qū)域可表示為r|z|R.圖1.9所示的帶形區(qū)域可表示為出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁 圖1.8 圖1.9出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁1.2.3Jordan曲線定義1.8若x(t)與y(t)是兩個定義在閉區(qū)間 ,上的連續(xù)實(shí)值函數(shù)，則稱曲線為 上的一條連續(xù)曲線；z()及z()分別稱為這條曲線的起點(diǎn)與終

18、點(diǎn)；若對區(qū)間 ,上任意不同的兩點(diǎn)t1及t2，且不同為 ,的端點(diǎn)，有z(t1)=z(t2)，則點(diǎn)z(t1)稱為這條曲線的重點(diǎn)；凡無重點(diǎn)的連續(xù)曲線，稱為簡單曲線或Jordan(約當(dāng))曲線；滿足z()=z()的簡單曲線稱為簡單閉曲線.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例如，線段、圓弧和拋物線弧段等都是簡單曲線；圓周和橢圓周等都是簡單閉曲線.一條簡單閉曲線C可把平面分為兩個區(qū)域：一個是有界的，稱為C的內(nèi)部；另一個是無界的，稱為C的外部，而這兩個區(qū)域都以給定的簡單閉曲線作為邊界.例如，圓周|z|=R是一條簡單閉曲線，它把平面 分成兩個沒有公有點(diǎn)的區(qū)域|z|R與|z|R，前者是有界的，后者是無界的，并且

19、它們都以|z|=R為邊界.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁定義1.9設(shè)C z=z(t)=x(t)+iy(t)（t是一條簡單閉曲線.若z=z(t)在t上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且則稱曲線C為光滑閉曲線.由有限條光滑曲線依次相銜接而成的曲線稱為逐段光滑曲線.例如，直線、圓弧周等都是光滑閉曲線；簡單折線是逐段光滑曲線.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁1.2.4單連通區(qū)域與多連通區(qū)域定義1.10如果區(qū)域D內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部中每一點(diǎn)屬于D，則稱區(qū)域D為單連通區(qū)域；否則，就稱為多連通區(qū)域.一般來說，一條簡單閉曲線的內(nèi)部區(qū)域?yàn)閱芜B通區(qū)域；從單連通區(qū)域中挖去幾個彼此無公共點(diǎn)的閉區(qū)域后，得到一個多連通區(qū)域.例

20、1.11集z|-1Re z1為單連通無界區(qū)域，而圓環(huán)z|1|z-i|2為多連通有界區(qū)域.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例1.12求滿足關(guān)系式 的點(diǎn)z=r(cos +i sin )的集合，若該集合為一區(qū)域，則是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域？解設(shè)z=x+iy=r(cos +i sin ),因?yàn)閏os r2cos ，所以 ，即 .從而所求點(diǎn)集為圖1.10中的陰影部分： ，這是一個有界單連通區(qū)域. 圖1.10出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例1.13試問滿足條件z+|z|0的點(diǎn)z組成的點(diǎn)集是否構(gòu)成區(qū)域？是否為單連通的？是否為有界區(qū)域？解首先找出滿足條件z+|z|=0的點(diǎn)，然后從復(fù)平面內(nèi)去掉這些點(diǎn)

21、.由z+|z|=0，有z=|z|，即 于是 ，因而, 這是復(fù)平面上包括原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的全體點(diǎn)的集合.所以，z+|z|0是復(fù)平面上去掉原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的全體點(diǎn)的集合，它是一個無界的單連通域.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁 1.3復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)1.3.1復(fù)變函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)就是定義域和值域均在復(fù)數(shù)集上的函數(shù).它在形式上與微積分中函數(shù)概念是相同的，但因?yàn)樯婕暗膶ο蟛煌?，所以有許多新的特點(diǎn)值得研究.定義1.11設(shè)點(diǎn)集 ，若對于D內(nèi)每一點(diǎn)z，按照某一法則，有確定的復(fù)數(shù)w與之對應(yīng)，則稱在D上確定了一個復(fù)變函數(shù)w=f(z)(zD).假設(shè) zD，有唯一的w值與之對應(yīng)，則稱w=f(z)(zD)為單值函

22、數(shù)；假設(shè) zD，有幾個或無窮多個w值與之對應(yīng)，則稱w=f(z)(zD)為多值函數(shù).D稱為函數(shù)w=f(z)的定義域，而相應(yīng)w值的全體所成之集G稱為函數(shù)w=f(z)的值域.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例如： ，w=|z|都是單值函數(shù)； ，w=Arg z(z0)都是多值函數(shù).注:在今后的討論中，若無特別聲明，所涉及的函數(shù)都是指單值函數(shù).若令z=x+iy，w=u+iv則函數(shù)w=f(z)可表示為 其中u=u(x,y)v=v(x,y)都是二元實(shí)函數(shù).若令 ，則函數(shù)w=f(z)可表示為 例如，函數(shù) 可表示為出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁實(shí)變量的一元函數(shù)與二元實(shí)函數(shù)分別可用平面曲線與空間曲面來表

23、示，自然會問一個復(fù)變函數(shù)能用什么幾何圖形來表示呢？注意到復(fù)變函數(shù)w=f(z)，亦即u+iv=f(x+iy)，涉及x,y,u,v共四個實(shí)變量，這樣就不可能用同一個平面，也不能用一個三維空間中的幾何圖形來表示它.不過，復(fù)變函數(shù)w=f(z)可看成是平面上的點(diǎn)集D到平面上的點(diǎn)集G的一個對應(yīng)關(guān)系圖1.11），或者說是復(fù)平面上的兩個點(diǎn)集之間的映射或變換，因而，我們?nèi)蓮垙?fù)平面來表示一個復(fù)變函數(shù)，一個是點(diǎn)集D所在的平面稱為z平面），一個是點(diǎn)集G所在的平面稱為w平面），把與點(diǎn)zD對應(yīng)的點(diǎn)w=f(z)稱為點(diǎn)z的像點(diǎn)，而點(diǎn)z稱為點(diǎn)w=f(z)的原像.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁 圖1.11出版社 理工分社

24、復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例1.14考察函數(shù) 的映射性質(zhì).解若設(shè) ，則函數(shù) 可表示為 于是可得函數(shù) 的如下映射性質(zhì)：1z平面上從原點(diǎn)出發(fā)的射線 ，被映射成w平面上的射線出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁2z平面上的角形區(qū)域D=z0arg z，被映射成w平面上的角形區(qū)域G=w0arg w2(如圖1.12). 圖1.12出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁若設(shè)z=x+iy，w=u+iv，則函數(shù) 可表示為 ，因而，又可得函數(shù) 的如下映射性質(zhì).3z平面上的兩簇分別以直線y=x和坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線 分別映射成w平面上的兩簇平行直線如圖1.13）. 圖1.13出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁4)下

25、面再進(jìn)一步研究z平面上的兩直線簇x=C1，y=C2在函數(shù) 映射下的圖像.當(dāng)x=C1時，在z平面上表示為平行于虛軸的直線，此直線在映射 下變?yōu)橄得 這是w平面上的一簇拋物線，特別地，當(dāng)C1=0時，直線方程為x=0，此直線在映射 下變?yōu)橛谑强芍?，映?將z平面上的虛軸x=0，映射成w平面的負(fù)實(shí)軸.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁與x=C1的討論一樣，在w=z2的映射下，直線y=C2圖1.14中虛線的像，是w平面上的一簇拋物線 （圖1.14 虛線）；特別地，當(dāng)C2=0時，直線方程為y=0，此時有 這是w平面上的原點(diǎn)和正實(shí)軸. 圖1.14出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁1.3.2復(fù)變函數(shù)的

26、極限定義1.12設(shè)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，若存在一復(fù)數(shù)A，使得 0， 0，當(dāng)0|z-z0|時，有|f(z)-A|，則稱A為f(z)當(dāng)z趨向于z0時的極限，記作此極限定義的幾何意義是：對于w平面上定點(diǎn)A的任意給定的鄰域 ，在z平面上一定能找到z0的某個去心鄰域 ，使得當(dāng)z進(jìn)入這個去心鄰域內(nèi)時，其像點(diǎn)w=f(z)就落在A的給定鄰域N(A)中如圖1.15）.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁 圖1.15出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁復(fù)變函數(shù)極限定義中zz0的方式是任意的，即自變量z不論從任何方向，沿何種曲線趨向于z0時，w=f(z)都有相同的極限A，這種趨向過程較實(shí)軸

27、上變量xx0要復(fù)雜許多，兩者雖然形式類似，本質(zhì)卻有較大差別.例1.15試證 不存在.事實(shí)上，讓z沿直線 趨于零，那么由于極限值隨k而變化，因而 不存在.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁下面的定理揭示了復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部的極限之間的關(guān)系.定理1.1設(shè)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=a+ib， 那么 的充要條件是證由于及根據(jù)定義1.12，由前一個不等式可得定理的充分性，而由后兩個不等式可得定理的必要性.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁下面關(guān)于極限的性質(zhì)和定理與微積分學(xué)中相應(yīng)結(jié)論類似，在此僅列舉.性質(zhì)1如果f(z)在z趨向于z0時的極限存在，則極限唯一.性質(zhì)2如果f(

28、z)在z趨向于z0時的極限存在，則f(z)在z0的某個去心鄰域N(z0) z0內(nèi)有界.定理1.2若 那么出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁1.3.3復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性定義1.13設(shè)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的某鄰域內(nèi)有定義，且滿足則稱f(z)在點(diǎn)z0是連續(xù)的.如果函數(shù)w=f(z)在集合E內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱函數(shù)w=f(z)在E上連續(xù).由此并結(jié)合定理1.1及定理1.2可得：定理1.3函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn) 處連續(xù)的充要條件是u=u(x,y)和v=v(x,y)均在點(diǎn) 處連續(xù).定理1.4連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商分母不為零仍為連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù).出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例1.16多項(xiàng)式 上處處連續(xù)；有理函數(shù) 上除去分母為零的點(diǎn)外處處連續(xù).出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁例1.17討論函數(shù) ，在z=0處的連續(xù)性.解由于 而f(0)=i，故 所以函數(shù)f(z)在z=0處不連續(xù).關(guān)于實(shí)變連續(xù)函數(shù)的幾個重要定理，可推廣到復(fù)變函數(shù)的情形.出版社 理工分社復(fù)變函數(shù)與積分變換頁定理1.5設(shè)函數(shù)f(z)在有界閉區(qū)域E上連續(xù)，則f(z)在E上有界，即 M0，使得 zE，有|f(z)|M.定理1.6設(shè)函數(shù)f(z)在有界閉區(qū)域E上