隨機(jī)過程(3.3)

1、復(fù)合泊松過程復(fù)合泊松過程本節(jié)主要講述復(fù)合泊松過程的有關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用本節(jié)主要講述復(fù)合泊松過程的有關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用非齊次泊松過程的定義及性質(zhì)非齊次泊松過程的定義及性質(zhì)本章復(fù)習(xí)及作業(yè)本章復(fù)習(xí)及作業(yè)3 泊松過程推廣泊松過程推廣一一.復(fù)合泊松過程的有關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用復(fù)合泊松過程的有關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用定義定義 設(shè)設(shè) N(t),t0 是參數(shù)為是參數(shù)為 的的Poisson過程過程, Yk.k=1,2,是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,且與且與N(t),t0獨(dú)立獨(dú)立0,)()(1tYtXtNkk令稱稱 X(t),t0為復(fù)合為復(fù)合Poisson過程過程.若將N(t)表示0,t)內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)數(shù), Yk表示第k個(gè)隨

2、機(jī)點(diǎn)所攜帶的某種(能)量,則總量為)(1)(tNkkYtX即 X(t),t0為復(fù)合Poisson過程定理1 設(shè) X(t),t0為復(fù)合Poisson過程.則 X(t),t0的一維特征函數(shù)為)1)();(ufteut其中f(u)是Yn(n=1,2,)的特征函數(shù) 若22E)(,E)(,EnXnXnYttDYttmY則101,10002000( )10000,1( ),( ),( )tXtnnttYYtxf xE YD Yu：（）n n例例：考考慮慮復(fù)復(fù)合合泊泊松松過過程程假假定定= 5= 5，服服從從如如下下的的分分布布密密度度其其他他求求 11()()bjuxjbujuaauedxeebaju b

3、a定理定理2：設(shè)：設(shè)X(t)，t0是復(fù)合泊松過程，則是復(fù)合泊松過程，則X(t)，t0是平穩(wěn)的獨(dú)立增量過程是平穩(wěn)的獨(dú)立增量過程.證明分兩步，一證其獨(dú)立增量性，二證其平穩(wěn)增證明分兩步，一證其獨(dú)立增量性，二證其平穩(wěn)增量性量性證明：獨(dú)立增量性證明：獨(dú)立增量性012120 ,tttx xR 0121012120011220101212( ( )- ( ), ( )- ( )= ( ( )= , ( )= , ( )= ),( )- ( ), ( )- ( )iiiP X tX tx X tX txPN ti N ti N tiX tX tx X tX tx 120120100111112220= +1=

4、 +1=( ( )= , ( )= , ( )= , ( )= ,)iinniiin in iPN ti N tiYx N ti N tiYx 120120110101212120= +1= +1=( ( )- ( )= - , ( )- ( )= - ,)iinniiin in iPN tN ti iYx N tN ti iYx 120120110101212120= +1= +1=( ( )- ( )= - ,) ( ( )- ( )= - ,)iinniiin in iPN tN ti iYx P N tN ti iYx 1201012110101212120= +10= +1=( (

5、)- ( )= - ,)( ( )- ( )= - ,)iinniin iiin iP N tN ti iYxP N tN ti iYx 101212= ( ( )- ( ) ( ( )- ( )P X tX tx P X tX tx平穩(wěn)增量性平穩(wěn)增量性0 , ( )- ( )s t X t X s 的特征函數(shù)是的特征函數(shù)是t-s的函數(shù)的函數(shù).( )-( )( )-( )( )= = ( )- ( )ju X t X sju X t X suE eE E eN t N s( )=( )+1=0=( )- ( )= ) ( ( )- ( )= )N tll N sjuYkE eN t N sk

6、P N t N sk=1=0=() ( ( )- ( )= )kiijuYkE eP N t N sk- ( - )( - )( ( )-1)=0( ( - )=( )=!kkt st s f ukt sfueek例例1：求復(fù)合泊松過程的相關(guān)函數(shù)：求復(fù)合泊松過程的相關(guān)函數(shù)( ) ( )=( )( ( )- ( )+ ( )EX s X tEX s X t X sX s=( )( ( )- ( )+E ( ) ( )EX s X t X sX s X s22111122211=( ) ( ( )- ( )+( ) ( )=( - )+()=() +EX s E X t X sEX s X ssE

7、Yt s EYsEYsEYst EYsEY應(yīng)用復(fù)合泊松過程的簡(jiǎn)單應(yīng)用應(yīng)用復(fù)合泊松過程的簡(jiǎn)單應(yīng)用例：某人負(fù)責(zé)訂閱雜志，設(shè)前來訂閱的顧客是一天例：某人負(fù)責(zé)訂閱雜志，設(shè)前來訂閱的顧客是一天內(nèi)平均到達(dá)率為內(nèi)平均到達(dá)率為8的泊松過程的泊松過程.他們分別以概率他們分別以概率1/2,1/3,和和1/6訂閱訂閱1季度、季度、2季度和季度和3季度的雜志，季度的雜志，其選擇是相互獨(dú)立的其選擇是相互獨(dú)立的.每次訂閱每次訂閱1季度時(shí)，該負(fù)責(zé)人季度時(shí)，該負(fù)責(zé)人可得可得1元手續(xù)費(fèi)元手續(xù)費(fèi).令令X(t)表示在表示在0,t)內(nèi)此人所得的手內(nèi)此人所得的手續(xù)費(fèi)，試求續(xù)費(fèi)，試求EX(t),DX(t),以及相應(yīng)的特征函數(shù)以及相應(yīng)的特

8、征函數(shù).例：考慮保險(xiǎn)公司的全部賠償例：考慮保險(xiǎn)公司的全部賠償.假設(shè)參加人壽保險(xiǎn)者不假設(shè)參加人壽保險(xiǎn)者不幸死亡的人數(shù)幸死亡的人數(shù)N(t)是具有強(qiáng)度為是具有強(qiáng)度為的泊松過程的泊松過程.用用Yn描描述第述第n個(gè)死亡者（即保險(xiǎn)值個(gè)死亡者（即保險(xiǎn)值Yn是獨(dú)立同分布的）是獨(dú)立同分布的）.令令X(t)表示表示0,t)內(nèi)，保險(xiǎn)公司必須付出的全部賠償內(nèi)，保險(xiǎn)公司必須付出的全部賠償.令令YnE(a),試求試求0,t)內(nèi)保險(xiǎn)公司的平均賠償額，方差和內(nèi)保險(xiǎn)公司的平均賠償額，方差和特征函數(shù)特征函數(shù).( )af uaju定義定義 假設(shè)隨機(jī)過程假設(shè)隨機(jī)過程N(yùn)=N(t)：t0是一獨(dú)立增量過是一獨(dú)立增量過程程.設(shè)設(shè)(t)：0,

9、+)(0,+)是一個(gè)取正值的確定性是一個(gè)取正值的確定性(可可測(cè)測(cè))函數(shù)，如果函數(shù)，如果( )( )( ( )( )( )( ),0,!km tm sm tm sP N tN sketskNk這里函數(shù)0( )( ),tm td 則稱則稱N=N(t)：t0是一個(gè)強(qiáng)度為是一個(gè)強(qiáng)度為(t)的的非齊次泊松過非齊次泊松過程程.( )=( )= ( )XXmtDtm t研究非齊次泊松過程的數(shù)字特征，研究非齊次泊松過程的數(shù)字特征，可以證明可以證明二二.非齊次泊松過程非齊次泊松過程 稱計(jì)數(shù)過程稱計(jì)數(shù)過程 N N( (t t), ), t t 00為具有跳躍強(qiáng)度函為具有跳躍強(qiáng)度函數(shù)數(shù) ( (t t) )的的非齊次

10、泊松過程非齊次泊松過程，如果滿足，如果滿足(1)(1)N N(0)=0;(0)=0;(2)(2)N N( (t t) )是獨(dú)立增量過程是獨(dú)立增量過程; ;(3)(3)(2)()()()(1)()(hotXhtXPhohttXhtXP 例例設(shè)非齊次泊松過程設(shè)非齊次泊松過程N(yùn)(t)的跳躍強(qiáng)度的跳躍強(qiáng)度( )=0.5(1+cos)tt求求N(t)的均值和方差函數(shù)的均值和方差函數(shù).1( )= ( )=0.5( +sin)m tD ttt 某路公共汽車從早晨某路公共汽車從早晨5 5時(shí)到晚上時(shí)到晚上9 9時(shí)時(shí)有車發(fā)出，乘客流量為有車發(fā)出，乘客流量為 ( (t t)()(t t=0=0為早晨為早晨5 5時(shí)，

11、時(shí)，t t=16=16為晚上為晚上9 9時(shí)時(shí)) ) 假設(shè)乘客數(shù)在不相重疊時(shí)間間隔內(nèi)是相假設(shè)乘客數(shù)在不相重疊時(shí)間間隔內(nèi)是相互獨(dú)立的，求互獨(dú)立的，求1212時(shí)至?xí)r至1414時(shí)有時(shí)有20002000人來站人來站乘車的概率，并求這兩小時(shí)內(nèi)來站乘車乘車的概率，并求這兩小時(shí)內(nèi)來站乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。1613),13(4001400133,140030 ,400200)(tttttt 解解 12 12時(shí)至?xí)r至1414時(shí)為時(shí)為t t 7,97,9在在0,0,t t 內(nèi)到達(dá)的乘車人數(shù)內(nèi)到達(dá)的乘車人數(shù)N N( (t t) )服從參數(shù)服從參數(shù)為為 ( (t t) )的的非齊次泊松過程非齊次泊松過程1

12、212時(shí)至?xí)r至1414時(shí)乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為時(shí)乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1212時(shí)至?xí)r至1414時(shí)有時(shí)有20002000人來站乘車的概率為人來站乘車的概率為9977(9)(7)(9)(7)( )14002800XXE NNmms dsds20002800(2800)(9)(7)20002000!P NNe例例：設(shè)某設(shè)備的使用年限為設(shè)某設(shè)備的使用年限為10年，在前年，在前5年內(nèi)平均年內(nèi)平均2.5年需要維修一次，后年需要維修一次，后5年平均年平均2年需維修一次，求年需維修一次，求在使用期限內(nèi)只維修過在使用期限內(nèi)只維修過1次的概率。次的概率。解解：因?yàn)榫S修次數(shù)與使用時(shí)間有關(guān)，所以該過程：因?yàn)榫S修次數(shù)與使用

13、時(shí)間有關(guān)，所以該過程是非齊次泊松過程，強(qiáng)度函數(shù)為是非齊次泊松過程，強(qiáng)度函數(shù)為1,052.5( )1,5102ttt 則1051000011(10)( )4.52.52mt dtdtdt94.524.59(10)(0)1!2P NNee例例： 兩個(gè)獨(dú)立泊松過程的和是非為泊松過兩個(gè)獨(dú)立泊松過程的和是非為泊松過程？?jī)蓚€(gè)獨(dú)立泊松過程的差是非為泊松過程？?jī)蓚€(gè)獨(dú)立泊松過程的差是非為泊松過程？是否是復(fù)合泊松過程？程？是否是復(fù)合泊松過程？1212121212,(1), (1),1,2,1,2,3( ),0( ),0nnnnY YYP YP YnY nN t tN t t ：設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且且與和

14、解相互獨(dú)立，12( )0, 1( )0, 1nnN ttYN ttY若表示(內(nèi)取 的個(gè)數(shù)，表示(內(nèi)取- 的個(gè)數(shù),12( )( )121( )( )( )PoissonNtNtnnX tN tN tY則是一復(fù)合過程.例例： 設(shè)設(shè)0,t內(nèi)進(jìn)入某一計(jì)數(shù)器的質(zhì)點(diǎn)數(shù)為內(nèi)進(jìn)入某一計(jì)數(shù)器的質(zhì)點(diǎn)數(shù)為N(t)，N(t),t0是一強(qiáng)度為是一強(qiáng)度為的泊松過程，的泊松過程，再設(shè)到達(dá)計(jì)數(shù)器的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)被記錄下來的再設(shè)到達(dá)計(jì)數(shù)器的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)被記錄下來的概率為概率為p p, ,Y Y( (t t) )是是0,0,t t 內(nèi)記錄下來的質(zhì)點(diǎn)數(shù)內(nèi)記錄下來的質(zhì)點(diǎn)數(shù). .試證試證Y(t),t0是一復(fù)合泊松過程，并求其均是一復(fù)合泊松過

15、程，并求其均值函數(shù)和方差函數(shù)及值函數(shù)和方差函數(shù)及 P(Y(t)=0)1,0nnXn第 個(gè)質(zhì)點(diǎn)被記錄下來解：設(shè)，n=1,2,，第 個(gè)質(zhì)點(diǎn)未被記錄下來123,0-1XXXp則相互獨(dú)立同服從參數(shù)為 的分布，( )21,1,2,( ),N tnnnnEXp EXp nY tX 且 ( )0PoissonY tt 從而，是一復(fù)合過程.( )1( ( )0)(0)N tnnP Y tPX( ),( )YYm tpt D tpt( )0101( ) (0( )( ) (0)N tnknkptnknP N tk PXN tkP N tk PXe先求條件分布,再對(duì) 求導(dǎo)。|( )kP hWsh X tns 設(shè)在

16、設(shè)在0, t內(nèi)事件內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生n次，次，求第求第k次次(kn) 事件事件A發(fā)生的時(shí)間發(fā)生的時(shí)間Tk的條的條件概率密度函數(shù)件概率密度函數(shù).解解tTk0sTns+h()kkksTshTshTshX shk當(dāng) 充分小時(shí)，有|( ),( )( ),(),( )( ),( )()( ) ( )()( )kkkkkP sTsh X tnP sTsh X tnP X tnP sTsh X shk X tnP X tnP sTsh X tX shnkP X tnP sTsh P X tX shnkP X tn 令令h0，則有則有|( ) ( )() ( ) ( )() ( )()( ) ( )()

17、 ( )kkkkP s Ts h X tnhP s Ts h P X tX s hn khP X tnP Ts hP Ts P X tX s hn khP X tnF s hF s P X tX s hn khP X tn |( )()11( )( )( | )( )( ) ()()()!()(1)!1(1)!()!kkT X tTn kt sksntn kkkP X tX snkfs nfsP X tntsesnketkennssknktt（Bata分布）分布） 設(shè)設(shè)X1(t), t 0和和X2(t), t 0是兩個(gè)相互是兩個(gè)相互獨(dú)立的泊松過程，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)平均獨(dú)立的泊松過程，它們?cè)趩挝?/p>

18、時(shí)間內(nèi)平均出現(xiàn)的事件數(shù)分別為出現(xiàn)的事件數(shù)分別為 1和和 2。記。記 為過程為過程X1(t)的第的第k次事件到達(dá)時(shí)間次事件到達(dá)時(shí)間,記記 為過程為過程X2(t)的第的第1次事件到達(dá)時(shí)間，求次事件到達(dá)時(shí)間，求 即第一個(gè)泊松過程第即第一個(gè)泊松過程第k次事次事件發(fā)生比第二個(gè)泊松過程第件發(fā)生比第二個(gè)泊松過程第1次事件發(fā)生次事件發(fā)生早的概率。早的概率。(1)kT(2)1T(1)(2)1kP TT解解 設(shè)設(shè) 的取值為的取值為x， 的取值為的取值為y， (2)1T(1)kT1(1)2(2)11112(),0( )(1)!0,0,0( )0,0kkxTyTxexfxkxeyfyy則則f(x, y)為為 與與 的

19、聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度由于由于X1(t)與與X2(t)獨(dú)立，故獨(dú)立，故(1)(2)1( , )kDP TTf x y dxdy(1)kT(2)1T(1)(2)1( , )( )( )kTTf x yfx fyyxy=xD 1212(1)(2)111120()110112()(1)!(1)!kkxyxkxkkP TTxeedydxkxedxk 例例 假設(shè)乘客按照參數(shù)為假設(shè)乘客按照參數(shù)為的的Poisson過程來到一個(gè)火車站乘坐某次火車，過程來到一個(gè)火車站乘坐某次火車，若火車在時(shí)刻若火車在時(shí)刻t啟動(dòng)，試求在啟動(dòng)，試求在0,t內(nèi)到內(nèi)到達(dá)火車站的乘客等待時(shí)間總和的數(shù)學(xué)達(dá)火車站的乘客等待時(shí)間總和的數(shù)學(xué)

20、期望期望TktTkk設(shè)是第 個(gè)乘客到達(dá)火車站的時(shí)刻，則其等待時(shí)間為解0N(t)t在 ， 內(nèi)到達(dá)火車站的乘客數(shù)為( )()N tktTk=1等待時(shí)間總和為EEY XEY利用全期望公式( )( )E()EE()( )N tN tkktTtTN tk=1k=10E()( )( )nkntTN tnP N tn k=1011E()( )( )nnknkktTN tnP N tn 01E()( )( )nknkntTN tnP N tn( )01E()( )nknkntUP N tn01E( )nknkntUP N tn01()2!ntntntnten211()2(1)!ntntten22t例例：甲乙兩

21、路公共汽車都通過某一車站：甲乙兩路公共汽車都通過某一車站.兩路公共汽兩路公共汽車的到達(dá)分別獨(dú)立地服從車的到達(dá)分別獨(dú)立地服從10分鐘一輛（甲），分鐘一輛（甲），15分分鐘一輛（乙）的泊松分布鐘一輛（乙）的泊松分布.假定車總不會(huì)滿員，試問：假定車總不會(huì)滿員，試問：(1)可乘坐甲或乙兩路公共汽車的乘客在此車站所需可乘坐甲或乙兩路公共汽車的乘客在此車站所需等待時(shí)間的概率分布及其均值等待時(shí)間的概率分布及其均值.(2)只可乘坐乙路公共汽車的乘客在此車站等車的時(shí)只可乘坐乙路公共汽車的乘客在此車站等車的時(shí)候，恰好有兩輛甲路公共汽車通過的概率候，恰好有兩輛甲路公共汽車通過的概率.例例（設(shè)備的故障率）假定某一設(shè)備發(fā)生故障的次數(shù)服（設(shè)備的故障率）假定某一設(shè)備發(fā)生故障的次數(shù)服從非齊次泊松過程，下圖給出了自購入這個(gè)設(shè)備從非齊次泊松過程，下圖給出了