隨機過程(3.3)

1、復合泊松過程復合泊松過程本節(jié)主要講述復合泊松過程的有關性質及應用本節(jié)主要講述復合泊松過程的有關性質及應用非齊次泊松過程的定義及性質非齊次泊松過程的定義及性質本章復習及作業(yè)本章復習及作業(yè)3 泊松過程推廣泊松過程推廣一一.復合泊松過程的有關性質及應用復合泊松過程的有關性質及應用定義定義 設設 N(t),t0 是參數(shù)為是參數(shù)為 的的Poisson過程過程, Yk.k=1,2,是一列獨立同分布的隨機變量是一列獨立同分布的隨機變量,且與且與N(t),t0獨立獨立0,)()(1tYtXtNkk令稱稱 X(t),t0為復合為復合Poisson過程過程.若將N(t)表示0,t)內(nèi)的隨機點數(shù), Yk表示第k個隨

2、機點所攜帶的某種(能)量,則總量為)(1)(tNkkYtX即 X(t),t0為復合Poisson過程定理1 設 X(t),t0為復合Poisson過程.則 X(t),t0的一維特征函數(shù)為)1)();(ufteut其中f(u)是Yn(n=1,2,)的特征函數(shù) 若22E)(,E)(,EnXnXnYttDYttmY則101,10002000( )10000,1( ),( ),( )tXtnnttYYtxf xE YD Yu：（）n n例例：考考慮慮復復合合泊泊松松過過程程假假定定= 5= 5，服服從從如如下下的的分分布布密密度度其其他他求求 11()()bjuxjbujuaauedxeebaju b

3、a定理定理2：設：設X(t)，t0是復合泊松過程，則是復合泊松過程，則X(t)，t0是平穩(wěn)的獨立增量過程是平穩(wěn)的獨立增量過程.證明分兩步，一證其獨立增量性，二證其平穩(wěn)增證明分兩步，一證其獨立增量性，二證其平穩(wěn)增量性量性證明：獨立增量性證明：獨立增量性012120 ,tttx xR 0121012120011220101212( ( )- ( ), ( )- ( )= ( ( )= , ( )= , ( )= ),( )- ( ), ( )- ( )iiiP X tX tx X tX txPN ti N ti N tiX tX tx X tX tx 120120100111112220= +1=

4、 +1=( ( )= , ( )= , ( )= , ( )= ,)iinniiin in iPN ti N tiYx N ti N tiYx 120120110101212120= +1= +1=( ( )- ( )= - , ( )- ( )= - ,)iinniiin in iPN tN ti iYx N tN ti iYx 120120110101212120= +1= +1=( ( )- ( )= - ,) ( ( )- ( )= - ,)iinniiin in iPN tN ti iYx P N tN ti iYx 1201012110101212120= +10= +1=( (

5、)- ( )= - ,)( ( )- ( )= - ,)iinniin iiin iP N tN ti iYxP N tN ti iYx 101212= ( ( )- ( ) ( ( )- ( )P X tX tx P X tX tx平穩(wěn)增量性平穩(wěn)增量性0 , ( )- ( )s t X t X s 的特征函數(shù)是的特征函數(shù)是t-s的函數(shù)的函數(shù).( )-( )( )-( )( )= = ( )- ( )ju X t X sju X t X suE eE E eN t N s( )=( )+1=0=( )- ( )= ) ( ( )- ( )= )N tll N sjuYkE eN t N sk

6、P N t N sk=1=0=() ( ( )- ( )= )kiijuYkE eP N t N sk- ( - )( - )( ( )-1)=0( ( - )=( )=!kkt st s f ukt sfueek例例1：求復合泊松過程的相關函數(shù)：求復合泊松過程的相關函數(shù)( ) ( )=( )( ( )- ( )+ ( )EX s X tEX s X t X sX s=( )( ( )- ( )+E ( ) ( )EX s X t X sX s X s22111122211=( ) ( ( )- ( )+( ) ( )=( - )+()=() +EX s E X t X sEX s X ssE

7、Yt s EYsEYsEYst EYsEY應用復合泊松過程的簡單應用應用復合泊松過程的簡單應用例：某人負責訂閱雜志，設前來訂閱的顧客是一天例：某人負責訂閱雜志，設前來訂閱的顧客是一天內(nèi)平均到達率為內(nèi)平均到達率為8的泊松過程的泊松過程.他們分別以概率他們分別以概率1/2,1/3,和和1/6訂閱訂閱1季度、季度、2季度和季度和3季度的雜志，季度的雜志，其選擇是相互獨立的其選擇是相互獨立的.每次訂閱每次訂閱1季度時，該負責人季度時，該負責人可得可得1元手續(xù)費元手續(xù)費.令令X(t)表示在表示在0,t)內(nèi)此人所得的手內(nèi)此人所得的手續(xù)費，試求續(xù)費，試求EX(t),DX(t),以及相應的特征函數(shù)以及相應的特

8、征函數(shù).例：考慮保險公司的全部賠償例：考慮保險公司的全部賠償.假設參加人壽保險者不假設參加人壽保險者不幸死亡的人數(shù)幸死亡的人數(shù)N(t)是具有強度為是具有強度為的泊松過程的泊松過程.用用Yn描描述第述第n個死亡者（即保險值個死亡者（即保險值Yn是獨立同分布的）是獨立同分布的）.令令X(t)表示表示0,t)內(nèi)，保險公司必須付出的全部賠償內(nèi)，保險公司必須付出的全部賠償.令令YnE(a),試求試求0,t)內(nèi)保險公司的平均賠償額，方差和內(nèi)保險公司的平均賠償額，方差和特征函數(shù)特征函數(shù).( )af uaju定義定義 假設隨機過程假設隨機過程N=N(t)：t0是一獨立增量過是一獨立增量過程程.設設(t)：0,

9、+)(0,+)是一個取正值的確定性是一個取正值的確定性(可可測測)函數(shù)，如果函數(shù)，如果( )( )( ( )( )( )( ),0,!km tm sm tm sP N tN sketskNk這里函數(shù)0( )( ),tm td 則稱則稱N=N(t)：t0是一個強度為是一個強度為(t)的的非齊次泊松過非齊次泊松過程程.( )=( )= ( )XXmtDtm t研究非齊次泊松過程的數(shù)字特征，研究非齊次泊松過程的數(shù)字特征，可以證明可以證明二二.非齊次泊松過程非齊次泊松過程 稱計數(shù)過程稱計數(shù)過程 N N( (t t), ), t t 00為具有跳躍強度函為具有跳躍強度函數(shù)數(shù) ( (t t) )的的非齊次

10、泊松過程非齊次泊松過程，如果滿足，如果滿足(1)(1)N N(0)=0;(0)=0;(2)(2)N N( (t t) )是獨立增量過程是獨立增量過程; ;(3)(3)(2)()()()(1)()(hotXhtXPhohttXhtXP 例例設非齊次泊松過程設非齊次泊松過程N(t)的跳躍強度的跳躍強度( )=0.5(1+cos)tt求求N(t)的均值和方差函數(shù)的均值和方差函數(shù).1( )= ( )=0.5( +sin)m tD ttt 某路公共汽車從早晨某路公共汽車從早晨5 5時到晚上時到晚上9 9時時有車發(fā)出，乘客流量為有車發(fā)出，乘客流量為 ( (t t)()(t t=0=0為早晨為早晨5 5時，

11、時，t t=16=16為晚上為晚上9 9時時) ) 假設乘客數(shù)在不相重疊時間間隔內(nèi)是相假設乘客數(shù)在不相重疊時間間隔內(nèi)是相互獨立的，求互獨立的，求1212時至時至1414時有時有20002000人來站人來站乘車的概率，并求這兩小時內(nèi)來站乘車乘車的概率，并求這兩小時內(nèi)來站乘車人數(shù)的數(shù)學期望。人數(shù)的數(shù)學期望。1613),13(4001400133,140030 ,400200)(tttttt 解解 12 12時至時至1414時為時為t t 7,97,9在在0,0,t t 內(nèi)到達的乘車人數(shù)內(nèi)到達的乘車人數(shù)N N( (t t) )服從參數(shù)服從參數(shù)為為 ( (t t) )的的非齊次泊松過程非齊次泊松過程1

12、212時至時至1414時乘車人數(shù)的數(shù)學期望為時乘車人數(shù)的數(shù)學期望為1212時至時至1414時有時有20002000人來站乘車的概率為人來站乘車的概率為9977(9)(7)(9)(7)( )14002800XXE NNmms dsds20002800(2800)(9)(7)20002000!P NNe例例：設某設備的使用年限為設某設備的使用年限為10年，在前年，在前5年內(nèi)平均年內(nèi)平均2.5年需要維修一次，后年需要維修一次，后5年平均年平均2年需維修一次，求年需維修一次，求在使用期限內(nèi)只維修過在使用期限內(nèi)只維修過1次的概率。次的概率。解解：因為維修次數(shù)與使用時間有關，所以該過程：因為維修次數(shù)與使用

13、時間有關，所以該過程是非齊次泊松過程，強度函數(shù)為是非齊次泊松過程，強度函數(shù)為1,052.5( )1,5102ttt 則1051000011(10)( )4.52.52mt dtdtdt94.524.59(10)(0)1!2P NNee例例： 兩個獨立泊松過程的和是非為泊松過兩個獨立泊松過程的和是非為泊松過程？兩個獨立泊松過程的差是非為泊松過程？兩個獨立泊松過程的差是非為泊松過程？是否是復合泊松過程？程？是否是復合泊松過程？1212121212,(1), (1),1,2,1,2,3( ),0( ),0nnnnY YYP YP YnY nN t tN t t ：設是相互獨立的隨機變量序列，且且與和

14、解相互獨立，12( )0, 1( )0, 1nnN ttYN ttY若表示(內(nèi)取 的個數(shù)，表示(內(nèi)取- 的個數(shù),12( )( )121( )( )( )PoissonNtNtnnX tN tN tY則是一復合過程.例例： 設設0,t內(nèi)進入某一計數(shù)器的質點數(shù)為內(nèi)進入某一計數(shù)器的質點數(shù)為N(t)，N(t),t0是一強度為是一強度為的泊松過程，的泊松過程，再設到達計數(shù)器的每一個質點被記錄下來的再設到達計數(shù)器的每一個質點被記錄下來的概率為概率為p p, ,Y Y( (t t) )是是0,0,t t 內(nèi)記錄下來的質點數(shù)內(nèi)記錄下來的質點數(shù). .試證試證Y(t),t0是一復合泊松過程，并求其均是一復合泊松過

15、程，并求其均值函數(shù)和方差函數(shù)及值函數(shù)和方差函數(shù)及 P(Y(t)=0)1,0nnXn第 個質點被記錄下來解：設，n=1,2,，第 個質點未被記錄下來123,0-1XXXp則相互獨立同服從參數(shù)為 的分布，( )21,1,2,( ),N tnnnnEXp EXp nY tX 且 ( )0PoissonY tt 從而，是一復合過程.( )1( ( )0)(0)N tnnP Y tPX( ),( )YYm tpt D tpt( )0101( ) (0( )( ) (0)N tnknkptnknP N tk PXN tkP N tk PXe先求條件分布,再對 求導。|( )kP hWsh X tns 設在

16、設在0, t內(nèi)事件內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生n次，次，求第求第k次次(kn) 事件事件A發(fā)生的時間發(fā)生的時間Tk的條的條件概率密度函數(shù)件概率密度函數(shù).解解tTk0sTns+h()kkksTshTshTshX shk當 充分小時，有|( ),( )( ),(),( )( ),( )()( ) ( )()( )kkkkkP sTsh X tnP sTsh X tnP X tnP sTsh X shk X tnP X tnP sTsh X tX shnkP X tnP sTsh P X tX shnkP X tn 令令h0，則有則有|( ) ( )() ( ) ( )() ( )()( ) ( )()

17、 ( )kkkkP s Ts h X tnhP s Ts h P X tX s hn khP X tnP Ts hP Ts P X tX s hn khP X tnF s hF s P X tX s hn khP X tn |( )()11( )( )( | )( )( ) ()()()!()(1)!1(1)!()!kkT X tTn kt sksntn kkkP X tX snkfs nfsP X tntsesnketkennssknktt（Bata分布）分布） 設設X1(t), t 0和和X2(t), t 0是兩個相互是兩個相互獨立的泊松過程，它們在單位時間內(nèi)平均獨立的泊松過程，它們在單位

18、時間內(nèi)平均出現(xiàn)的事件數(shù)分別為出現(xiàn)的事件數(shù)分別為 1和和 2。記。記 為過程為過程X1(t)的第的第k次事件到達時間次事件到達時間,記記 為過程為過程X2(t)的第的第1次事件到達時間，求次事件到達時間，求 即第一個泊松過程第即第一個泊松過程第k次事次事件發(fā)生比第二個泊松過程第件發(fā)生比第二個泊松過程第1次事件發(fā)生次事件發(fā)生早的概率。早的概率。(1)kT(2)1T(1)(2)1kP TT解解 設設 的取值為的取值為x， 的取值為的取值為y， (2)1T(1)kT1(1)2(2)11112(),0( )(1)!0,0,0( )0,0kkxTyTxexfxkxeyfyy則則f(x, y)為為 與與 的

19、聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度由于由于X1(t)與與X2(t)獨立，故獨立，故(1)(2)1( , )kDP TTf x y dxdy(1)kT(2)1T(1)(2)1( , )( )( )kTTf x yfx fyyxy=xD 1212(1)(2)111120()110112()(1)!(1)!kkxyxkxkkP TTxeedydxkxedxk 例例 假設乘客按照參數(shù)為假設乘客按照參數(shù)為的的Poisson過程來到一個火車站乘坐某次火車，過程來到一個火車站乘坐某次火車，若火車在時刻若火車在時刻t啟動，試求在啟動，試求在0,t內(nèi)到內(nèi)到達火車站的乘客等待時間總和的數(shù)學達火車站的乘客等待時間總和的數(shù)學

20、期望期望TktTkk設是第 個乘客到達火車站的時刻，則其等待時間為解0N(t)t在 ， 內(nèi)到達火車站的乘客數(shù)為( )()N tktTk=1等待時間總和為EEY XEY利用全期望公式( )( )E()EE()( )N tN tkktTtTN tk=1k=10E()( )( )nkntTN tnP N tn k=1011E()( )( )nnknkktTN tnP N tn 01E()( )( )nknkntTN tnP N tn( )01E()( )nknkntUP N tn01E( )nknkntUP N tn01()2!ntntntnten211()2(1)!ntntten22t例例：甲乙兩

21、路公共汽車都通過某一車站：甲乙兩路公共汽車都通過某一車站.兩路公共汽兩路公共汽車的到達分別獨立地服從車的到達分別獨立地服從10分鐘一輛（甲），分鐘一輛（甲），15分分鐘一輛（乙）的泊松分布鐘一輛（乙）的泊松分布.假定車總不會滿員，試問：假定車總不會滿員，試問：(1)可乘坐甲或乙兩路公共汽車的乘客在此車站所需可乘坐甲或乙兩路公共汽車的乘客在此車站所需等待時間的概率分布及其均值等待時間的概率分布及其均值.(2)只可乘坐乙路公共汽車的乘客在此車站等車的時只可乘坐乙路公共汽車的乘客在此車站等車的時候，恰好有兩輛甲路公共汽車通過的概率候，恰好有兩輛甲路公共汽車通過的概率.例例（設備的故障率）假定某一設備發(fā)生故障的次數(shù)服（設備的故障率）假定某一設備發(fā)生故障的次數(shù)服從非齊次泊松過程，下圖給出了自購入這個設備從非齊次泊松過程，下圖給出了