第二章三次樣條插值

1、數(shù)值分析第二章 插值法2.7 三次樣條插值三次樣條插值樣條本質(zhì)上是一段一段的樣條本質(zhì)上是一段一段的三次多項式三次多項式拼合而成的曲線拼合而成的曲線在拼接處在拼接處, ,不僅函數(shù)是連續(xù)的不僅函數(shù)是連續(xù)的, ,且一階和二階導(dǎo)數(shù)且一階和二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的也是連續(xù)的的一個分割為區(qū)間,10babxxxan:,)(上滿足條件在區(qū)間如果函數(shù)baxS,)(,)(),(),()1(2baCxSbaxSxSxS 即上連續(xù)都在區(qū)間上都是三次多項式在每個小區(qū)間,)()2(1kkxxxS上的三次樣條函數(shù)為區(qū)間則稱,)(baxS處的函數(shù)值為在節(jié)點如果函數(shù)nxxxxf,)()3(10njyxfjj, 1 , 0,)(滿足而

2、三次樣條函數(shù))(xSnjyxSjj, 1 , 0,)(上的三次樣條插值函數(shù)在為則稱,)()(baxfxS-(1)注：注：三次樣條與分段三次樣條與分段 Hermite 插值的根本區(qū)別在于插值的根本區(qū)別在于S(x)自自身光滑身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的導(dǎo)數(shù)值（除了在的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個端點可能需個端點可能需要）；而要）；而Hermite插值依賴于插值依賴于f 在所有插值點的導(dǎo)數(shù)值。在所有插值點的導(dǎo)數(shù)值。f(x)H(x)S(x)要求出要求出S(x)S(x)，則在每個小區(qū)間上，則在每個小區(qū)間上 要確定要確定4 4個待定系數(shù)，共有個待定系數(shù)，共有n n個小區(qū)間，所以應(yīng)確定個小區(qū)間，所以應(yīng)確定4

3、n4n個參數(shù)。個參數(shù)。1,jjxx(0)(0)(0)(0)(0)(0)jjjjjjS xS xS xS xSxSx( ) , (1,2,1)jS xa bx jn根據(jù)在上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù) 在節(jié)點處就應(yīng)滿足連續(xù)性條件共共(n+1)+(3n-3)=4n-2(n+1)+(3n-3)=4n-2個條件，因此還需要兩個個條件，因此還需要兩個條件才能確定條件才能確定S(x)S(x)可在區(qū)間端點可在區(qū)間端點a,ba,b上各加一個條件（邊界條件），上各加一個條件（邊界條件），具體要根據(jù)實際問題要求給定；具體要根據(jù)實際問題要求給定；00)(fxSnnfxS)(00)(fxS ()nnSxf 其特殊情況為其特殊情況為0

4、()()0nSxSx0nxx000(0)(0)(0)(0)(0)(0)nnnS xS xS xS xSxSx0nyy且此時加上任何一類邊界條件加上任何一類邊界條件( (至少兩個至少兩個) )后后一般使用第一、二類邊界條件一般使用第一、二類邊界條件, , 常用第二類邊界條件常用第二類邊界條件即jjkyxS)()(lim)(lim1xSxSkxxkxxkk)(lim)(lim1xSxSkxxkxxkk)(lim)(lim1xSxSkxxkxxkk 1,2 , 1nknj, 1 , 01,2 , 1nk1,2 , 1nkkm00)(fxSnnfxS)(00)(fxS nnfxS )(或()(0,1,

5、 )()(0,1, )jjjjS xmjnS xyjn再由0( )( )( )njjjjjS xyxmxnj,1,0插值多項式上的兩點三次表示為將HermitexxxSkkk,)(1)(xSk)()()()()()(11)(0)(11)(0)(3xmxmxyxyxHkkkkkkkkk11121kkkkxxxxy21kkkxxxxkkxxm211kkkxxxx21kkkxxxx11kkxxmkkkkxxxxy121211kkkxxxx1, 1 ,01nkxxhkkk，令kkkkkkyxxhxxhxS213)()(2)(1231)()(2kkkkkyxxhxxhkkkkmxxhxx212)()(1

6、221)()(kkkkmxxhxx加以整理后可得加以整理后可得-(10)()2(6)(131kkkkkkyyhxxxxS kkkkmhxxx21426121246kkkkmhxxx)(lim)(lim1xSxSkxxkxxkk 1,2 , 1nk由條件并整理后得求二階導(dǎo)數(shù)對,)(xSk)(limxSkxxk )(612kkkyyhkkmh412kkmh)(lim1xSkxxk )(6121kkkyyh112kkmhkkmh14-(11)由于以上兩式相等由于以上兩式相等, ,得得11111)11(21kkkkkkkmhmhhmh)(321121kkkkkkhyyhyy1, 1nk個未知量個方程共

7、個1,1nn得并加以整理除上式的兩邊用,111kkhh11kkkhhh1kkkhhh1km2km1km1111113()kkkkkkkkkkkkhyyhyyhhhhhh112kkkkkmmmkg1kkkkhhh11kkkkhhh)(3111kkkkkkkkkhyyhyyg1, 1nk1, 1nk個未知量個方程共個1,1nn00)(fxSnnfxS)(00fmnnfm即-(12)基本方程組化為基本方程組化為n-1n-1階方程組階方程組0112112fgmmkkkkkkgmmm1122, 3 ,2nknnnnnnfgmm111212222222122433221nnn12321nnmmmmmnnn

8、nfggggfg11232011-(13)-(14)如果問題要求滿足第二類如果問題要求滿足第二類( (二階自然二階自然) )邊界條件邊界條件: :00)(fxS nnfxS )(時，稱為自然邊界條件00 nff)()2(6)(013001000yyhxxxxS 020100426mhxxx120100246mhxxx)(60120yyh004mh102mh0f -(15)(6)(1211 nnnnnyyhxS112nnmhnnmh14nf -(16)整理后得的方程式是關(guān)于,)16)(15(110nnmmmm0000110232fhhyymm nnnnnnnfhhyymm 23211110gng

9、-(17)-(18)與基本方程組(12)聯(lián)合,并化為矩陣形式,得212222121132211nnnnmmmmm1210nnggggg1210-(19)后解出式或通過nmmm,)19()14(10式代入將)10(,10nmmm)()(,),(),(110 xSxSxSxSn三次樣條插值函數(shù)從而得到便可得到例1. 對于給定的節(jié)點及函數(shù)值2431)(54213210kkxfxk的近似值并求插值函數(shù)的三次樣條求滿足自然邊界條件)3(),(0)()(0fxSxSxSn 解: 由(12)式可得3213123113221kkkkhhh11kkkkhhhk 1291g272g60g63g213/223/13/123/2123210mmmm3210gggg由(19)式得基本方程組819,45,47,8173210mmmm解方程組得：將上述結(jié)果代入(10)式)(3111kkkkkkkkkhyyhyyg00001023fhhyyg nnnnnnfhhyyg 23111211478381)(230 xxxxxS421478381)(231xxxxxS5433410384583)(232xxxxxS21147838123xxxx42147838123xxxx543341038458323xxxx)(xS417)3()3( Sf定理 . 次樣條插值函數(shù)，滿足任意邊界條件的三為節(jié)點是以設(shè),), 1 ,