矩陣論—H-L定理

1、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學科學學院數(shù)學科學學院 陳建華陳建華矩矩 陣陣 論論機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.4 HamiltonCaylay 定理定理一、一、H-C定理定理二、最小多項式二、最小多項式 三、簡單應用三、簡單應用設設 為為A的特征多項式的特征多項式, , 則則,( )n nAPfEA 11221( )()( 1)nnnnnf AAaaaAA EO 證證: : 設是設是 的伴隨矩陣，則的伴隨矩陣，則( )BEA 一、一、 哈密爾頓哈密爾頓凱萊凱萊（HamiltonCaylay）定理定理( )()( )BEAEA EfE都是都是的多項式，且其次數(shù)不超過的多項式，

2、且其次數(shù)不超過n1. 又的元素是的各個代數(shù)余子式，它們又的元素是的各個代數(shù)余子式，它們( )B EA 因此，可寫成因此，可寫成( )B 零矩陣零矩陣120121( )nnnnBBBBB其中，都是其中，都是 的數(shù)字矩陣的數(shù)字矩陣. .011,nB BB nn 再設再設111( )nnnnfaaa 則，則，111( )nnnnfEEaEaEa E 而而1201021( )()()()nnnBEABBB ABB A121()nnnBBABA 比較比較、兩式，得兩式，得01012121211nnnnnBEBB Aa EBB Aa EBBAaEBAa E 以依次右乘以依次右乘的第一式、第二式、的第一式、

3、第二式、1,nnAAA E 、第第n式、第式、第n1 1式，得式，得01110121221221211nnnnnnnnnnnnnB AAB AB Aa AB AB Aa ABABAaABAa E 把把的的n1 1個式子加起來，即得個式子加起來，即得121120nnnnnAa Aa AaAa E ( ).f AO注：注：設為有限維線性空間設為有限維線性空間V V的線性變換，是的線性變換，是( )f ( )0.f 的特征多項式，則的特征多項式，則零變換零變換 注意：教材是用若當標準形證明。例例1. 設求設求10201 1 ,0 10A8542234.AAAAE3( )21fEA解：解：A的特征多項

4、式的特征多項式用去除得用去除得( )f 8542234( ),g532( )( )(245914)gf2(243710)( )0,f A 85422234243710AAAAEAAE3 482609561061 34 由哈密爾頓由哈密爾頓凱萊定理，凱萊定理， ,( ) |n nAPfEA 是是A 的特征多項式，則的特征多項式，則 ( )0.f A 因此，對任定一個矩陣因此，對任定一個矩陣 ，總可以找到一個，總可以找到一個n nAP 多項式多項式 使使 ( ) ,f xP x ( )0.f A 多項式多項式 為為A的的( )f x引入引入接著討論，以矩陣接著討論，以矩陣A為根的多項式的中次數(shù)最低

5、的為根的多項式的中次數(shù)最低的那個與那個與A的對角化之間的關系的對角化之間的關系. .此時，也稱此時，也稱二、最小多項式二、最小多項式1. 1. 最小多項式的定義最小多項式的定義定義定義： 設設 在數(shù)域在數(shù)域P上的以上的以A為根的多項為根的多項,n nAP 為為A 的最小多項式，記做的最小多項式，記做 . .式中，次數(shù)最低的首項系數(shù)為式中，次數(shù)最低的首項系數(shù)為 1 1 的那個多項式，稱的那個多項式，稱例子：例子：132110020 ,010001002AB( )Am2.2.最小多項式的基本性質(zhì)最小多項式的基本性質(zhì)矩陣矩陣A 的最小多項式是唯一的的最小多項式是唯一的. .證：設證：設 都是都是A的

6、最小多項式的最小多項式. .12( ),( )gxgx由帶余除法，由帶余除法， 可表成可表成1( )gx12( )( )( )( )gxq x gxr x其中其中 或或 ( )0r x 2( ( )( ).r xgx 于是有于是有12( )( )( )( )0gAq A gAr A 由最小多項式的定義，由最小多項式的定義， ( )0,r x 即，即， 21( )( ).gx gx同理可得，同理可得， 12( )( ).gx gx12( )( ),0gxcgxc( )0r A又又 都是首都是首1多項式多項式, 12( ),( )gxgx1c故故 12( )( ).gxgx 設設 是矩陣是矩陣A的

7、最小多項式，則的最小多項式，則( )g x( )f x 零化零化A ( )( ).g xf x證：充分性顯然，只證必要性證：充分性顯然，只證必要性由帶余除法，由帶余除法， 可表成可表成 ( )f x( )( ) ( )( ),f xq x g xr x其中其中 或或 ( )0r x ( ( )( ( ).r xg x 于是有于是有 ( )( ) ( )( )0f Aq A g Ar A( )0r A由最小多項式的定義，由最小多項式的定義， ( )0.r x ( )( ).g xf x由此可知：由此可知：若若 是是A的最小多項式，則的最小多項式，則 整整 除除 任何一任何一 ( )g x( )g

8、 x個以個以A為根的多項式，從而整除為根的多項式，從而整除A的特征多項式的特征多項式. 即即性質(zhì)性質(zhì)3.3.矩陣矩陣A的最小多項式是的最小多項式是A的特征多項式的的特征多項式的一個一個因子因子. .例例2 2、數(shù)量矩陣、數(shù)量矩陣 kE的最小多項式是一次多項式的最小多項式是一次多項式;xk 特別地，單位矩陣的最小多項式是；特別地，單位矩陣的最小多項式是； 1x 零矩陣的最小多項式是零矩陣的最小多項式是. x反之，若矩陣反之，若矩陣A的最小多項式是一次多項式，則的最小多項式是一次多項式，則A一定是數(shù)量矩陣一定是數(shù)量矩陣.例例3 3、求、求 的最小多項式的最小多項式. .1 1 00 1 00 0

9、1A 解：解：A的特征多項式為的特征多項式為3110( ) |010(1)001xf xxEAxxx 又又 0,AE22()2AEAAE1 2 02 2 01 0 00 1 00 2 00 1 000 0 10 0 20 0 1 A的最小多項式為的最小多項式為 2(1) .x 性質(zhì)性質(zhì)4.4. 相似矩陣具有相同的最小多項式相似矩陣具有相同的最小多項式. .證：設矩陣證：設矩陣A與與B相似，相似， 分別為它們的分別為它們的( ),( )ABgxgx最小多項式最小多項式.由由A相似于相似于B，存在可逆矩陣，存在可逆矩陣T , 使使 1.BTAT 從而從而 11( )()( )0AAAgBgTATT

10、gA T( )Agx也以也以B為根，為根，同理可得同理可得 ( )( ).ABgx gx( )( ).BAgx gx從而從而 又又 都是首都是首1多項式，多項式， ( ),( )ABgxgx( )( ).ABgxgx反之不然，即最小多項式相同的矩陣未必相似反之不然，即最小多項式相同的矩陣未必相似. .如：如：1 1 0 01 1 0 00 1 0 00 1 0 0,0 0 1 00 0 2 00 0 0 20 0 0 2AB的最小多項式皆為的最小多項式皆為 但但A與與B不相似不相似. 2(1) (2),xx注注：3| (1) (2),EAxx 22| (1) (2)EBxx | |.EAEB即

11、即所以，所以，A A與與B B不相似不相似. .設設A是一個準對角矩陣是一個準對角矩陣1200AAA 并設并設 的最小多項式分別為的最小多項式分別為 . . 12( ),( )gxgx12,A A則則A的最小多項式為的最小多項式為 的最小公倍式的最小公倍式. .12( ),( )gxgx證證：記：記12( )( ),( )g xgxgx 首先，首先， 12()0( )00()g Ag Ag A即即A為為 的根的根. ( )g x所以所以 被被A的最小多項式整除的最小多項式整除.( )g x則則 12()0( )00()h Ah Ah A從而從而 12()0,()0.h Ah A( )0,h A

12、 其次，如果其次，如果12( ) ( ),( ) ( ).gx h xgx h x從而從而 ( ) ( ).g x h x故故 為為A的最小多項式的最小多項式.( )g x若若A是一個準對角矩陣是一個準對角矩陣12sAAA且且 的最小多項式為的最小多項式為iA( ),1,2,.,ig xis 則則A的最小多項式是為的最小多項式是為12( ),( ),.,( ).sgxgxgx推廣推廣：特別地特別地，若兩兩互素，即，若兩兩互素，即12( ),( ),.,( )sgxgxgx 12( ),( ),.,( )1sgxgxgx 則則A的最小多項式是為的最小多項式是為12( )( ).( ).sgx gxgx 1. 級若當塊級若當塊k111aaJa 的最小多項式為的最小多項式為 () .kxa 證：證：J的特征多項式為的特征多項式為 ()kxa ()0.kJaE三、簡單應用三、簡單應用而而 0 10 100,10JaE 20