解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示2nnn211sn=a1+a2+.+an 稱為級(jí)數(shù)的稱為級(jí)數(shù)的部分和部分和. 部分和數(shù)列部分和數(shù)列sn收斂收斂.1nn收斂收斂limnnss 存存在在, , 1nn=1.s且且第1頁(yè)/共62頁(yè)311nnnnnaib1nna與與1nnb. 0lim, 0lim, 0lim0lim111nnnnnnnnnnnnnnbaba收斂的必要條件是從而推出復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)立即可得和收斂的必要條件和而由實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 2收斂收斂收斂收斂 3第2頁(yè)/共62頁(yè)4成立且不等式也收斂則收斂如果1111|,|nnnnnnnn.,|11條件收斂級(jí)數(shù)稱為非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂則稱級(jí)數(shù)

2、收斂如果nnnn 4第3頁(yè)/共62頁(yè)51|nn例例1 下列下列數(shù)列數(shù)列是否收斂是否收斂? 如果收斂如果收斂, 求出其極限求出其極限.11)1;innen第4頁(yè)/共62頁(yè)61111cossin111cos,1sin.lim1,lim0innnnnnnneinnnnabnnnnab11lim1innnen收收,且,且有有第5頁(yè)/共62頁(yè)72)cos.nnin因此因此, 當(dāng)當(dāng)n時(shí)時(shí), n. 所以所以 n發(fā)散發(fā)散.解解2111133 12222nnnSii1limlim3 132nnnnSii133 .2nnii132nni例例2 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 是否收斂？是否收斂？第6頁(yè)/共62頁(yè)8例例3 下列級(jí)數(shù)是否收

3、斂下列級(jí)數(shù)是否收斂? 是否絕對(duì)收斂是否絕對(duì)收斂?111)1;ninn解解 因因 發(fā)散發(fā)散 ; 收斂收斂,111nnnan2111nnnbn故原級(jí)數(shù)發(fā)散故原級(jí)數(shù)發(fā)散.0(8 )2);!nnin 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法知由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法知 (8 )8,!nninn18!nnn解解故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂, 且為絕對(duì)收斂且為絕對(duì)收斂.收斂收斂,第7頁(yè)/共62頁(yè)91( 1)nnn112nn1( 1)nnn1( 1)13)2nnnin收斂收斂;解解也收斂也收斂,故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂.練習(xí)：討論練習(xí)：討論 的收斂性。的收斂性。1nnin第8頁(yè)/共62頁(yè)10) 1 . 2 . 4()()()()(

4、211zfzfzfzfnnn2 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)稱為級(jí)數(shù)的稱為級(jí)數(shù)的部分和部分和.第9頁(yè)/共62頁(yè)11)()(lim00zszsnn1( )nnfzs(z)稱為級(jí)數(shù)稱為級(jí)數(shù) 的的和函數(shù)和函數(shù)第10頁(yè)/共62頁(yè)122012020120()()()()(4.2.2)(4.2.3)nnnnnnnnnnczacc zac zaczac zcc zc zc z或或0nnnc如果令如果令z a= , 則則(4.2.2)成為成為 , 這是這是(4.2.3)的形式的形式, 為了方便為了方便, 今后常就今后常就(4.2.3)討論討論.第11頁(yè)/共62頁(yè)13.,|,|

5、,)0(00000級(jí)數(shù)必發(fā)散的則對(duì)滿足級(jí)數(shù)發(fā)散如果在級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂的則對(duì)滿足收斂在如果級(jí)數(shù)zzzzzzzzzzzcnnnyz0 xO第12頁(yè)/共62頁(yè)14nnnnnnnnnnnnnnMqzzzczcqzzzzMzcnMzczc00000000|, 1|,|, 0lim,而則如果有使對(duì)所有的則存在則收斂因第13頁(yè)/共62頁(yè)15.|,1|000000是絕對(duì)收斂的從而級(jí)數(shù)亦收斂因此故收斂的等比級(jí)數(shù)為公比小于由于nnnnnnnnnnnnnnnnzcMqzcMqMqzzzczc第14頁(yè)/共62頁(yè)16發(fā)散因此只能是矛盾與所設(shè)收斂前面的結(jié)論可導(dǎo)出則根據(jù)反而收斂設(shè)級(jí)數(shù)用反證法且如果發(fā)散如果級(jí)數(shù)0000000.

6、,|,nnnnnnnnnnnnzczczczzzc第15頁(yè)/共62頁(yè)172. 收斂圓和收斂半徑收斂圓和收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂情況不外乎三種冪級(jí)數(shù)的收斂情況不外乎三種:i)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的. 這時(shí)這時(shí), 根據(jù)阿貝爾根據(jù)阿貝爾 定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.ii) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都是發(fā)散的外都是發(fā)散的. 這時(shí)這時(shí), 級(jí)級(jí) 數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.顯然顯然b.b.第16頁(yè)/共62頁(yè)18RCRO b bC Cb bxy紅藍(lán)兩色的分界圓周紅藍(lán)兩色的分界圓周CR稱為冪級(jí)數(shù)的稱為

7、冪級(jí)數(shù)的收斂圓收斂圓.第17頁(yè)/共62頁(yè)19 在收斂圓外部在收斂圓外部, 級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散. 收斂圓內(nèi)部收斂圓內(nèi)部, 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 收斂圓的半徑收斂圓的半徑R 稱為稱為收斂半徑收斂半徑.0nnnc z 所以冪級(jí)數(shù)所以冪級(jí)數(shù) 的收斂范圍是以的收斂范圍是以原點(diǎn)為中原點(diǎn)為中心的圓域心的圓域.0()nnncza 對(duì)冪級(jí)數(shù)對(duì)冪級(jí)數(shù) 來(lái)說(shuō)來(lái)說(shuō), 收斂范圍收斂范圍是以是以z=a為中心的圓域?yàn)橹行牡膱A域. 在收斂圓上斂散不定在收斂圓上斂散不定.第18頁(yè)/共62頁(yè)20（1）比值法比值法：如果：如果 1lim0nnncc則收斂半徑則收斂半徑 .1R111| |limlim| | | |nnnnnnn

8、nczczzczc1.R0|nnncz考考慮慮0nnnc z對(duì)對(duì)，說(shuō)明說(shuō)明1| 1zz1| 1zz第19頁(yè)/共62頁(yè)21lim |0nnnc1.R則收斂半徑則收斂半徑 （2）根值法：根值法：如果如果 1) 31nnzn( (并討論在收斂圓周上的情形并討論在收斂圓周上的情形);); 2) 1(1)nnzn( (并討論并討論 z=0,2 時(shí)的情形時(shí)的情形) ); 3) 0(cos)nnin z 第20頁(yè)/共62頁(yè)22 解解 1) 因?yàn)橐驗(yàn)?1limlim12nnnncncn, 或或 3311lim |limlim1nnnnnnncnn 所以收斂半徑所以收斂半徑 R=1, 也就是原級(jí)數(shù)在圓也就是原級(jí)

9、數(shù)在圓|z|=1 內(nèi)收斂?jī)?nèi)收斂, , 在圓周外發(fā)散在圓周外發(fā)散. . 在圓周在圓周|z|=1上上, , 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)33111nnnznn是收斂的是收斂的, , 因?yàn)檫@是因?yàn)檫@是一個(gè)一個(gè) p 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù), p=31, 所以原級(jí)數(shù)在收斂圓所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的上是處處收斂的. . 第21頁(yè)/共62頁(yè)232) 1(1)nnzn, 1limlim11nnnncncn, 即即 R=1. 在收斂圓在收斂圓|z1|=1 上上, , 當(dāng)當(dāng) z=0 時(shí)時(shí), , 原級(jí)數(shù)成原級(jí)數(shù)成為為11( 1)nnn, 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂; ; 當(dāng)當(dāng) z=2 時(shí)時(shí), , 原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)成為成為11nn, 發(fā)散發(fā)散. . 這個(gè)例

10、子表明這個(gè)例子表明, , 在收斂在收斂圓周上即有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)圓周上即有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn), ,也有級(jí)數(shù)的發(fā)也有級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)散點(diǎn). . 第22頁(yè)/共62頁(yè)243) 因?yàn)橐驗(yàn)?1cosch()2nnncinnee, 所以所以 111limlimnnnnnnnnceeecee 故收斂半徑故收斂半徑 1Re. 第23頁(yè)/共62頁(yè)25nnnzzzz201) 1( ,1112zzzzzzsnnn的收斂范圍與和函數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).第24頁(yè)/共62頁(yè)26nnnnnnnnnnnzzzzzznzzzzzszzzzzzzzs212111, 1|.,1|,11,1|,11lim, 0lim,1|) 1( ,111并有在

11、此范圍內(nèi)絕對(duì)收斂收斂范圍為級(jí)數(shù)發(fā)散不趨于零時(shí)由于時(shí)當(dāng)和函數(shù)為收斂時(shí)級(jí)數(shù)即從而有由于時(shí)當(dāng)?shù)?5頁(yè)/共62頁(yè)272010,)(,)(rRzbzgrRzazfnnnnnn4. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)第26頁(yè)/共62頁(yè)28),min(.|)()()(,|,)()()(210011000000rrRRzzbababazbzazgzfRzzbazbzazgzfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn第27頁(yè)/共62頁(yè)29.)()(,|,| )(|)(|,)(,|00nnnnnnzgazgfRzrzgzgRzzazfrz時(shí)則當(dāng)解析且滿足內(nèi)又設(shè)在時(shí)如果當(dāng)?shù)?8頁(yè)/共62頁(yè)30例例 3 把函數(shù)把

12、函數(shù)bz 1表成形如表成形如0()nnnc za的的冪級(jí)冪級(jí)數(shù)數(shù), , 其中其中 a 與與 b 是不相等的復(fù)常數(shù)是不相等的復(fù)常數(shù). 解解 把函數(shù)把函數(shù)bz 1寫(xiě)成如下形式寫(xiě)成如下形式: nnabazabazabazababazababazbz)()()()()()(1111)()(11322 收斂半徑為收斂半徑為 R=|ba|. 第29頁(yè)/共62頁(yè)31Oxyab當(dāng)|za|ba|=R時(shí)級(jí)數(shù)收斂第30頁(yè)/共62頁(yè)32定理定理 設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)0()nnnc za的收斂半徑的收斂半徑為為 R,則則 1)它的和函數(shù)它的和函數(shù)0( )()nnnf zc za是收斂圓是收斂圓|za|R 內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解

13、析函數(shù). 2) f(z)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪函數(shù)逐項(xiàng)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪函數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到求導(dǎo)得到, , 即即11( )().nnnf znc za 第31頁(yè)/共62頁(yè)33 010)(1d)(|,d)(d)(nnnzanCnnCazncfRazCzazczzf或第32頁(yè)/共62頁(yè)341. 1. 解析函數(shù)的解析函數(shù)的TaylorTaylor展開(kāi)展開(kāi)定理定理(Taylor)(Taylor)：內(nèi)內(nèi)解解析析，在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)Dzf)(數(shù)數(shù)：內(nèi)內(nèi)可可展展開(kāi)開(kāi)成成唯唯一一的的冪冪級(jí)級(jí)在在則則Czf)(00)()(nnnzzCzf級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的的在在稱為稱為T(mén)aylor0zzf)(級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)稱為時(shí)

14、稱為Maclaurin00z其中其中!)()()(210)(10nzfdzzzzfiCnCnn), 2 , 1 , 0(n.,DzzCDz003 泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)第33頁(yè)/共62頁(yè)35證明：（見(jiàn)圖）證明：（見(jiàn)圖）z0zcD,0zzzCdzfizf)(21)(第34頁(yè)/共62頁(yè)36)(1100zzzz0001)(1zzzz00001nnzzzz100zzz Cnnndzzzfi0100)()(21Cdzfizf)(21)()(max,)()(0100fMzzMzzzfCnnn第35頁(yè)/共62頁(yè)371000zzzzMnn收斂，收斂，.)()(0100內(nèi)閉一致收斂在關(guān)于Czzzfnnn逐項(xiàng)積分：逐項(xiàng)

15、積分：0010)()()(21)(nnCnzzdzfizf000)(nnnzzzzC，).,(!)()()()(無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)與與znzfdzzzzfiCnCnn01021第36頁(yè)/共62頁(yè)38得得任任意意性性知知，）由由2圓周的半徑可以任意增大圓周的半徑可以任意增大, 只要含在只要含在D內(nèi)內(nèi). 注注:1) 泰勒展開(kāi)式是唯一的泰勒展開(kāi)式是唯一的;z0zcD第37頁(yè)/共62頁(yè)39Oxyz0這是因?yàn)檫@是因?yàn)閒(z)在收斂圓內(nèi)解析在收斂圓內(nèi)解析, 故奇點(diǎn)故奇點(diǎn)a不可不可能在收斂圓內(nèi)能在收斂圓內(nèi). 又因?yàn)槠纥c(diǎn)又因?yàn)槠纥c(diǎn)a不可能在收斂圓不可能在收斂圓外外, 不然收斂半徑還可以擴(kuò)大不然收斂半徑還可以擴(kuò)大, 因此

16、奇點(diǎn)因此奇點(diǎn)a只只能在收斂圓周上能在收斂圓周上.第38頁(yè)/共62頁(yè)40推論推論1 1：解析解析在在函數(shù)函數(shù)0zzf)(的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)的某鄰域內(nèi)可展開(kāi)為的某鄰域內(nèi)可展開(kāi)為在在00zzzzf)(解解析析在在區(qū)區(qū)域域函函數(shù)數(shù)Dzf)(的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)內(nèi)任一點(diǎn)處可展開(kāi)為內(nèi)任一點(diǎn)處可展開(kāi)為在在0zzDzf)(推論推論2 2：解解析析，在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)Dzf)(),(,DzdistRDz00的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)可可展展開(kāi)開(kāi)為為在在則則00zRzzzf)(推論推論3 3：冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個(gè)奇點(diǎn)至少有一個(gè)奇點(diǎn)(即使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓周即使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓

17、周上處處收斂上處處收斂 ). . 第39頁(yè)/共62頁(yè)41例如：例如：,)(0261nnnzCzzzf ; 2R則則其其收收斂斂半半徑徑 ,)()(0261nnnizCzzzf 5R則其收斂半徑則其收斂半徑第40頁(yè)/共62頁(yè)422. 2. 解析函數(shù)展開(kāi)為解析函數(shù)展開(kāi)為T(mén)aylorTaylor級(jí)數(shù)的方法級(jí)數(shù)的方法!)(0)(nzfCnn), 2 , 1 , 0(n間接法：利用函數(shù)的各種特殊性以及冪間接法：利用函數(shù)的各種特殊性以及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)級(jí)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì) 主要有：主要有：(1)(1)利用幾何級(jí)數(shù)利用幾何級(jí)數(shù)(2)(2)利用已知的級(jí)數(shù)；利用已知的級(jí)數(shù)；(3)(3)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分；逐項(xiàng)求導(dǎo)

18、、逐項(xiàng)積分；(4)(4)待定系數(shù)法待定系數(shù)法直接法直接法:直接計(jì)算直接計(jì)算第41頁(yè)/共62頁(yè)43例 1 把函數(shù)2)1 (1z展開(kāi)成 z 的冪級(jí)數(shù). 解 由于函數(shù)2)1 (1z有一奇點(diǎn)z1, 而在|z|1內(nèi)處處解析, 所以可在|z|1 內(nèi)展開(kāi)成 z 的冪級(jí)數(shù). 因?yàn)?.| ,)(111112zzzzznn 將上式兩邊求導(dǎo)并同乘（-1）得 . 1| ,) 1(321)1 (11122znzzzznn 第42頁(yè)/共62頁(yè)44例例2 2 .)()(展展開(kāi)開(kāi)式式的的在在求求Taylor112iazzzfiaiaR,minizizizf112)(iaaziaazi112iaaziaiaaziai1)(11

19、)(1200) 1()(1) 1()(12nnnnnniaaziaiaaziai011)()(1)(1) 1(2nnnnnaziaiai解解: :.Raz第43頁(yè)/共62頁(yè)451OR=1xy解解 ln(1+z)在從在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的平面向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的平面內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的, -1是它的奇點(diǎn)是它的奇點(diǎn), 所以可在所以可在|z|1展展開(kāi)為開(kāi)為z的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).第44頁(yè)/共62頁(yè)46.|)()ln(,d)(ddd,)( )ln(111321111111113200000znzzzzzzzzzzzzzzznnznnzzznnn即即逐項(xiàng)積分得逐項(xiàng)積分得因?yàn)橐驗(yàn)?1111lnnnnnzz第

20、45頁(yè)/共62頁(yè)47242211( 1)1nnxxxx 的成立必須受的成立必須受|x|1的限制的限制, , 這一點(diǎn)往往使這一點(diǎn)往往使人難以理解人難以理解, , 因?yàn)樯鲜阶蠖说暮瘮?shù)對(duì)任何因?yàn)樯鲜阶蠖说暮瘮?shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)都是確定的而且是可導(dǎo)的實(shí)數(shù)都是確定的而且是可導(dǎo)的. .第46頁(yè)/共62頁(yè)48211z它有兩個(gè)奇點(diǎn)它有兩個(gè)奇點(diǎn) i, 而這兩個(gè)奇點(diǎn)都在此函數(shù)而這兩個(gè)奇點(diǎn)都在此函數(shù)的展開(kāi)式的展開(kāi)式 1 z2+z4 的收斂圓周上的收斂圓周上, , 所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑只能等于只能等于1. 1. 因此因此, , 即使我們只關(guān)心即使我們只關(guān)心z的實(shí)的實(shí)數(shù)值數(shù)值, , 但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成

21、了限制但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成了限制. .第47頁(yè)/共62頁(yè)494 洛朗級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)一一個(gè)以個(gè)以z0為中心的圓域?yàn)橹行牡膱A域內(nèi)解析的函數(shù)內(nèi)解析的函數(shù)f(z),中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法數(shù)的級(jí)數(shù)表示法.第48頁(yè)/共62頁(yè)50,)()()()()(nnnnnnnzzczzcczzczzczzc001010100)(.)()()()()()()(負(fù)冪項(xiàng)部分負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分nnnnnnnnnnzzczzczzczzczzcczzc010110001000可將其分為兩部分考慮可將其分為兩部分考慮第49頁(yè)/共62頁(yè)51 正冪項(xiàng)是一冪級(jí)數(shù)正冪項(xiàng)是一冪級(jí)數(shù), 設(shè)它的收

22、斂半徑為設(shè)它的收斂半徑為R2, 對(duì)負(fù)冪項(xiàng)對(duì)負(fù)冪項(xiàng), 如果令如果令 =(z z0) 1, 就得到就得到這是這是 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù), 設(shè)收斂半徑為設(shè)收斂半徑為R, 令令R1=1/R, 則當(dāng)則當(dāng)| |R1時(shí)時(shí), 負(fù)冪項(xiàng)收斂。負(fù)冪項(xiàng)收斂。因此因此, 只有在只有在R1|z z0|R2的圓環(huán)域的圓環(huán)域, 原級(jí)原級(jí)數(shù)才收斂數(shù)才收斂. ,)(221110ccczzcnnnnnn第50頁(yè)/共62頁(yè)52例如：例如： 雙邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù)nnnzzzzzz22211112220121nnnnzz內(nèi)內(nèi)收收斂斂，在在111zznn 內(nèi)收斂，內(nèi)收斂，在在220zznn.21內(nèi)內(nèi)收收斂斂雙雙邊邊冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)域域

23、z第51頁(yè)/共62頁(yè)53 冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì)冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì),雙邊冪雙邊冪級(jí)數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有級(jí)數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有. 例如例如, 可以證明可以證明,雙邊冪雙邊冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的, 而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo). 現(xiàn)在反問(wèn)現(xiàn)在反問(wèn), 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開(kāi)成級(jí)數(shù)一定能夠展開(kāi)成級(jí)數(shù)?第52頁(yè)/共62頁(yè)5421( )01,(1)0 | 10 |1| 1.0 | 11111( )1.(1)1,( )0 | 1.nf zzzzzzzzf zzzzzzzzzf zz 函數(shù)在及

24、都不解析 但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的先研究的情形:由此可見(jiàn)在內(nèi)是可以展開(kāi)為z的冪級(jí)數(shù)其次,在圓環(huán)域:0|z1|1內(nèi)也可以展開(kāi)為z-1的冪級(jí)數(shù):2121111( )(1)11 (1)11 (1)(1)(1)1(1)1 (1)(1)(1)nnf zzzzzzzzzzzzz 1Oxy第53頁(yè)/共62頁(yè)55定理定理 設(shè)設(shè) f (z)在圓環(huán)域在圓環(huán)域R1|z z0|R2內(nèi)解析內(nèi)解析, 則則), 2, 1, 0(.d)()(21)()(100nzficzzczfCnnnnn其中C為在圓環(huán)域內(nèi)繞為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線曲線.第54頁(yè)/共62頁(yè)56注注1 1：nnnzzCz

25、f)()(000)(nnnzzC10)(nnnzzC)()(zz)(0Rzzr內(nèi)內(nèi)解解析析；：解解析析部部分分，在在Rzzz0)(內(nèi)內(nèi)解解析析。，在在：奇奇異異部部分分或或主主要要部部分分rzzz0)(注：注：;!)()(nzfCnnn0Laurent0系數(shù)系數(shù)時(shí)，時(shí)，第55頁(yè)/共62頁(yè)57 注注3：Taylor級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)是Laurent級(jí)數(shù)的特殊情形級(jí)數(shù)的特殊情形內(nèi)內(nèi)解解析析時(shí)時(shí)，在在當(dāng)當(dāng)Rzzzf0)();1(0)(2110ndzzzzfiCCnnCnndzzzzfiC10)()(21), 2 , 1 , 0(!)(0)(nnzfn注注4：同一函數(shù)在不同區(qū)域內(nèi)的展開(kāi)式不同；：同一函數(shù)在不同區(qū)域內(nèi)的展開(kāi)式不同；注注5：CdzzfiC)(21112)(CidzzfC（即可利用（即可利用Laurent系數(shù)計(jì)算積分）系數(shù)計(jì)算積分）第56頁(yè)/共62頁(yè)58解：解： 函數(shù)函數(shù) f (z) 在圓環(huán)域在圓環(huán)域 i) 0 |z| 1; ii)