線性代數(shù)的應(yīng)用

1、線性代數(shù)的應(yīng)用西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系內(nèi)容提綱n本篇通過三個具體的應(yīng)用實(shí)例介紹線性代數(shù)在工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域中的應(yīng)用，并給出利用Matlab軟件來求解這些具體問題的方法。藥方配制問題交通流量分析人口遷徙問題一、藥方配制問題n通過中成藥藥方配制問題，達(dá)到理解向量組的線性相關(guān)性、最大線性無關(guān)組向量的線性表示以及向量空間等線性代數(shù)的知識問題：某中藥廠用9種中草藥（A-I），根據(jù)不同的比例配制成了7種特效藥，各用量成分見表1（單位：克）1號成藥2號成藥3號成藥4號成藥5號成藥6號成藥7號成藥A10214122038100B1201225356055C531105140D79255154735E012

2、255336F255355355550G94172523925H651610103510I821202620一、藥方配制問題n（1）某醫(yī)院要購買這7種特效藥，但藥廠的第3號藥和第6號藥已經(jīng)賣完，請問能否用其他特效藥配制出這兩種脫銷的藥品。n（2）現(xiàn)在該醫(yī)院想用這7種草藥配制三種新的特效藥，表2給出了三種新的特效藥的成分，請問能否配制？如何配制？1號新藥2號新藥3號新藥A4016288B6214167C14278D4410251E53607F5015580G7111838H416821I145230一、藥方配制問題n解：（1）把每一種特效藥看成一個九維列向量，分析7個列向量構(gòu)成向量組的線性相關(guān)性

3、。n若向量組線性無關(guān)，則無法配制脫銷的特效藥；n若向量組線性相關(guān)，并且能找到不含 的一個最大線性無關(guān)組，則可以配制3號和6號藥品。36,u u一、藥方配制問題n在Matlab窗口輸入nu1=10;12;5;7;0;25;9;6;8;nu2=2;0;3;9;1;5;4;5;2;nu3=14;12;11;25;2;35;17;16;12;nu4=12;25;0;5;25;5;25;10;0;nu5=20;35;5;15;5;35;2;10;0;nu6=38;60;14;47;33;55;39;35;6;一、藥方配制問題u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20;U=u1,u2,u3,

4、u4,u5,u6,u7U0,r=rref(U)計算結(jié)果為一、藥方配制問題nU0= r= 1 2 4 5 7n1 0 1 0 0 0 0 從最簡行階梯型U0中可以看n0 1 2 0 0 3 0 出，R（U）=5，向量組線性n0 0 0 1 0 1 0 相關(guān)，一個最大無關(guān)組為n0 0 0 0 1 1 0 u1，u2，u4，u5，u7，n0 0 0 0 0 0 1 u3=u1+2u2n四個零行 u6=3u2+u4+u5n 故可以配制新藥一、藥方配制問題n（2）三種新藥用v1，v2，v3表示，問題化為v1，v2，v3能否由u1-u7線性表示，若能表示，則可配制；否則，不能配制。n令U=u1,u2,u3

5、,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3nU0,r=rref(U)n由U0的最后三列可以看出結(jié)果一、藥方配制問題n計算結(jié)果為 可以看出 v1=u1+3u2+2u4 v2=3u1+4u2+2u4+u7 v3不能被線性表示， 所以無法配制0101000013001200303400001010220000011000000000010100000000001000000000000000000000000000000U1,2,4,5,7,10r 二、交通流量的分析n通過一個簡單的城市交通模型，練習(xí)方程組的建立與求解n問題：某城市有如圖的交通圖，每一條道路都是單行道，圖中數(shù)字表示某一個時段的機(jī)動車

6、流量。n針對每一個十字路口，進(jìn)入和離開的車輛數(shù)相等。n請計算每兩個相鄰十字路口間路段上的交通流量xi（i=1,2,3,4）二、交通流量的分析4x1x2x260251DC3203573x360260AB220292單行道4節(jié)點(diǎn)交通圖二、交通流量的分析n解：根據(jù)已知條件，得到各節(jié)點(diǎn)的流通方程A：B：C：D：12360260 xx23220292xx34320357xx41260251xx二、交通流量的分析n整理得方程組為n在Matlab窗口輸入1223341410072379xxxxxxxx 1, 1,0,0;0,1, 1,0;0,0,1, 1; 1,0,0,1;A 10;72;37;9;b 二、

7、交通流量的分析n計算結(jié)果為( , )UrrefA b100100101 10900113700000U 二、交通流量的分析n由于U的最后一行全為零，方程組中只有三個有效方程，所以有無窮組解。以 為自由變量，其解為4x142434910937xxxxxx三、人口遷徙模型 n設(shè)在一個大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ?。人口的分布則因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化。每年有6%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，而有2%的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。假如開始時有30%的居民住在市區(qū)，70%的居民住在郊區(qū)，問10年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？三、人口遷徙模型n這個問題可以用矩陣乘法來描述。把人口變量用市區(qū)

8、和郊區(qū)兩個分量表示。n一年以后，市區(qū)人口為xc1 (10.06) xc00.02xs0，郊區(qū)人口xs1 0.06xc0 (10.02)xs0n用矩陣乘法來描述，可寫成：11010.94 0.020.3 0.29600.06 0.980.7 0.7040csxxAxx 三、人口遷徙模型n從初始到k年，此關(guān)系保持不變，因此上述算式可擴(kuò)展為n 輸入：A0.94,0.02;0.06,0.98, x00.3;0.7x1A*x0, x10A10*x0, x30A30*x0, x50A50*x0n得到：2120kkkkxAxA xA x1103050 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508,

9、 0.7040 0.7283 0.7459 0.7492xxxx三、人口遷徙模型n本題特征值和特征向量的意義：n無限增加時間k，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一組常數(shù)0.25/0.75。n為了弄清為什么這個過程趨向于一個穩(wěn)態(tài)值，我們改變一下坐標(biāo)系統(tǒng)。在這個坐標(biāo)系統(tǒng)中可以更清楚地看到乘以矩陣A的效果，先求A的特征值和特征向量，得到 0.9200 0 -0.7071 -0.3162, 0 1.0000 0.7071 -0.9487lamdae三、人口遷徙模型n令nn它是特征向量的整數(shù)化，得到1211,13uu 0210.250.05(0.92)kkkxA xuu四、其他應(yīng)用：情報檢索模型情報檢索模型：n

10、假如數(shù)據(jù)庫中包括了n個文件，而搜索所用的關(guān)鍵詞有m個?？梢园褦?shù)據(jù)庫表示為mn的矩陣A。比如有7本書，6個關(guān)鍵詞x（初等，代數(shù)，矩陣，理論，線性，應(yīng)用）：則A就是67的矩陣。書名中有此關(guān)鍵詞的就將該對應(yīng)元素置1。 n搜索結(jié)果可以表示為乘積yATx，它是n1列向量。于是y的各個分量就表示各書與搜索向量匹配的程度。y值最大的元素對應(yīng)于匹配最好的書籍，是讀者可能最需要的。四、產(chǎn)品成本的計算：產(chǎn)品成本的計算：某廠生產(chǎn)三種成品，每件產(chǎn)品的成本及每季度生產(chǎn)件數(shù)已知。試提供該廠每季度在每種產(chǎn)品上的成本表。成本矩陣為M，季度產(chǎn)量矩陣為P0.100.300.150.300.400.25 ,0.100.200.15

11、400045004500400020002800240022005800620060006000MP四、產(chǎn)品成本的計算 n將M和P相乘，得到的矩陣設(shè)為Q，Q的第一行第一列元素為Q(1,1)0.140000.320000.1558001870不難看出，Q表示了夏季消耗的原材料總成本。從線性變換的角度來看，Q矩陣把以件數(shù)為單位的產(chǎn)品空間映射到了以元為單位的成本空間。 1870 2220 2070 1960 3450 4020 3810 3580 1670 1940 1830 1740Q四、用逆陣進(jìn)行保密編譯碼 n在英文中有一種對消息進(jìn)行保密的措施，就是把英文字母用一個整數(shù)來表示。然后傳送這組整數(shù)。

12、這種方法是很容易根據(jù)數(shù)字出現(xiàn)的頻率來破譯，例如出現(xiàn)頻率特別高的數(shù)字，很可能對應(yīng)于字母E。n可以用乘以矩陣A的方法來進(jìn)一步加密。假如A是一個行列式等于1的整數(shù)矩陣，則A1的元素也必定是整數(shù)。而經(jīng)過這樣變換過的消息，同樣兩個字母對應(yīng)的數(shù)字不同，所以就較難破譯。n接收方只要將這個消息乘以A1就可以復(fù)原。四、網(wǎng)絡(luò)和圖 n圖為1，2，3，4四個城市之間的空運(yùn)航線，用有向圖表示。則該圖可以用下列航路矩陣表示：n經(jīng)過一次轉(zhuǎn)機(jī)（也就是坐兩次航班）能到達(dá)的城市，可以由鄰接矩陣的平方A2A12來求得。0 0111 00 010 10 01 010A00110011 1 1 1 0 10001000 0 0 1 1

13、 2110 1000 100 1 0 0 0 10101010 0 1 1 1 AAA 四、信號流圖模型 n信號流圖是用來表示和分析復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)的信號變換關(guān)系的工具。n右圖方程如下：n寫成矩陣方程nx=QxPun移項整理，可以得到求信號向量x的公式。ux1x2-G2G11212120100 xGxuxGx 12221 1xuG xxG x，四、信號流圖模型( I Q ) x= Pu，x = inv( I Q )*Pun定義系統(tǒng)的傳遞函數(shù)W為輸出信號與輸入信號之比x/u，則W可按下式求得：W=x/u = inv( I Q )*P221110010101GGIQGG2111211()11GIQGG

14、G1121121/1/1xux uIQPxuGG G四、平板穩(wěn)態(tài)溫度的計算四、平板穩(wěn)態(tài)溫度的計算(1020)/4(2040)/4(1030)/4(4030)/4abcbadcaddbcxxxxxxxxxxxx10.250.2507.50.25100.25150.25010.251000.250.25117.5abcdxxxx四、化學(xué)方程的配平化學(xué)方程的配平n確定x1,x2,x3,x4，使兩邊原子數(shù)相等稱為配平，方程為n寫成矩陣方程138223242()()()()x C Hx Ox COxH O1234301080020221xxxx 12343010080020002210 xxAxxx-四、現(xiàn)代飛行器外形設(shè)計例四、現(xiàn)代飛行器外形設(shè)計例n把飛行器的外形分成若干大的部件，每個部件沿著其表面又用三維的細(xì)網(wǎng)格劃分出許多立方體，這些立方體包括了機(jī)身表面以及此表面內(nèi)外的空氣。對每個立方體列寫出空氣動力學(xué)方程，其中包括了與它相鄰的立方體的共同邊界變量，這些方程通常都已經(jīng)簡化為線性方程。對一個飛行器，