高等數(shù)學(xué)級(jí)數(shù)教學(xué)PPT課件

1、 nuuuu321 nkknnuuuuS121 2部分和：部分和：、,11uS ,212uuS ,3213uuuS ,21nnuuuS 則則稱(chēng)稱(chēng)和和是是一一給給定定的的數(shù)數(shù)列列，設(shè)設(shè)無(wú)無(wú)窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)：、 1nu，記為記為 1 nnu即：即：對(duì)應(yīng)一個(gè)部分和數(shù)列對(duì)應(yīng)一個(gè)部分和數(shù)列，給定級(jí)數(shù)給定級(jí)數(shù)顯然，顯然， , 1nnnSu .項(xiàng)項(xiàng)稱(chēng)為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通稱(chēng)為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通而而nu, nnnuuuuu3211即即.為無(wú)窮級(jí)數(shù)為無(wú)窮級(jí)數(shù).稱(chēng)為無(wú)窮級(jí)數(shù)的部分和稱(chēng)為無(wú)窮級(jí)數(shù)的部分和無(wú)無(wú)窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂與與發(fā)發(fā)散散一一、 第1頁(yè)/共30頁(yè)，存存在在極極限限的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)SSu

2、nnn1 1收斂，收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù) nnu，即即SSnn lim 記為記為稱(chēng)為該級(jí)數(shù)的和，稱(chēng)為該級(jí)數(shù)的和，且極限且極限 S.211Suuuunnn .1發(fā)散發(fā)散則稱(chēng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù) nnunnSSr 21nnuu 1nkku級(jí)數(shù)收斂：級(jí)數(shù)收斂：、 3級(jí)數(shù)發(fā)散：級(jí)數(shù)發(fā)散：、 4余項(xiàng)：余項(xiàng)：、 5則稱(chēng)則稱(chēng)收斂，收斂，設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù) 1 nnu不存在，不存在，若極限若極限nnS lim.lim 1存在存在收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)說(shuō)明：說(shuō)明：nnnnSu .lim1不存在不存在發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)nnnnSu .1的余項(xiàng)的余項(xiàng)為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù) nnu第2頁(yè)/共30頁(yè)且且，產(chǎn)生的誤差為產(chǎn)生的誤差為代替和代替和這時(shí)用這時(shí)

3、用 nnrSS. 0)(limlim SSSSrnnnnnnSSr 21nnuu 1nkku余項(xiàng)：余項(xiàng)：、 5則稱(chēng)則稱(chēng)收斂，收斂，設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù) 1 nnu.1的余項(xiàng)的余項(xiàng)為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù) nnu.lim 1存在存在收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)說(shuō)明：說(shuō)明：nnnnSu .lim1不存在不存在發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)nnnnSu 第3頁(yè)/共30頁(yè))1(1321211 nnSn解：解：1113121211 nn)111(limlim nSnnn，111 n. 1 . 1 S且和且和. )1(1321211)1(1 11若收斂求其和若收斂求其和的斂散性，的斂散性，判斷判斷、例例 nnnnn收斂，收斂，故故 1)1(1 nnn

4、第4頁(yè)/共30頁(yè)12 nnaqaqaqaS解：解：.1 1)1( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)， qqqan 1時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) q，qaSnn 1lim時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 q， nnSlim 收收斂斂，故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 11 nnaq. 11發(fā)發(fā)散散故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnaq.1qa 且和為且和為.)0()( 21211的斂散性的斂散性幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù)、例例 aaqaqaqaaqnnn,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q不不存存在在，nnS lim . 12 , 2, 0knaknSn，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)，1 qna時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 q， nnSlim . 11發(fā)發(fā)散散故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnaq第5頁(yè)/共30頁(yè). 11發(fā)散發(fā)散故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nn

5、aq. 11發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnaq時(shí)，時(shí)，因此當(dāng)因此當(dāng)1 q收收斂斂；級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 11 nnaq時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 q時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 q， nnSlim 收收斂斂，故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 11 nnaq. 11發(fā)發(fā)散散故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnaq.1qa 且和為且和為,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q不不存存在在，nnS lim . 12 , 2, 0knaknSn，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 q， nnSlim . 11發(fā)發(fā)散散故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnaq.)0()( 21211的斂散性的斂散性幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù)、例例 aaqaqaqaaqnnn第6頁(yè)/共30頁(yè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的基基本本性性質(zhì)質(zhì)二二、 ，、的部分和分別為的部分和分別

6、為、設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)證：證：nnnnnnSkuu 11 nnkukuku 21 則則)(limlimnnnnkS nnSk lim.kS . 1kSkunn且和為且和為收斂，收斂，故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) , )( 2111 SvuSvunnnnnnn且其和為且其和為也收斂，也收斂，則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)，、收斂且和為收斂且和為、設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)、，且和為且和為收斂，收斂，則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)，收斂且和為收斂且和為設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)、kSkuSunnnn 111 ,nkS )(21nuuuk . 0 11的斂散性相同的斂散性相同與與級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)說(shuō)明：說(shuō)明： nnnnkuuk.11 nnnnukku即即. )(111 nnnnnn

7、nvuvu即即.11 nnnnukku即即第7頁(yè)/共30頁(yè)，、的部分和分別為的部分和分別為、設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)證：證：nnnnnnSvu 11 . 111kSkuSunnnn且和為且和為收斂，收斂，則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)，收斂于收斂于設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)、 )(1的部分和為的部分和為則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) nnnvu)()()(2211nnnvuvuvu )()(2121nnvvvuuu ，nnS )(limlimnnnnnS . S.)(1 Svunnn收斂且和為收斂且和為故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的基基本本性性質(zhì)質(zhì)二二、 , )( 2111 SvuSvunnnnnnn且其和為且其和為也收斂，也收斂，則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)，、收斂且和為收斂且和為

8、、設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)、. )(111 nnnnnnnvuvu即即. )(111 nnnnnnnvuvu即即第8頁(yè)/共30頁(yè). 111kSkuSunnnn且和為且和為收斂，收斂，則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)，收斂于收斂于設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)、 . 逐項(xiàng)相減逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加與收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加與說(shuō)明：說(shuō)明：成的級(jí)數(shù)一定發(fā)散嗎？成的級(jí)數(shù)一定發(fā)散嗎？?jī)蓚€(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)通項(xiàng)和構(gòu)兩個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)通項(xiàng)和構(gòu)問(wèn)題：?jiǎn)栴}： . 不一定發(fā)散不一定發(fā)散答案：答案：都發(fā)散，都發(fā)散，、等比級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù)例如、例如、 111)1( )1( nnnn. )1()1(11收斂收斂但級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù) nnn散嗎？散嗎？項(xiàng)和構(gòu)成的級(jí)數(shù)一定發(fā)項(xiàng)和構(gòu)成的級(jí)數(shù)一定發(fā)收斂級(jí)數(shù)

9、與發(fā)散級(jí)數(shù)通收斂級(jí)數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)通問(wèn)題：?jiǎn)栴}： . 一定發(fā)散一定發(fā)散答案：答案：級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的基基本本性性質(zhì)質(zhì)二二、 , )( 2111 SvuSvunnnnnnn且其和為且其和為也收斂，也收斂，則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)，、收斂且和為收斂且和為、設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)、. )(111 nnnnnnnvuvu即即第9頁(yè)/共30頁(yè). 3其和一般是改變的其和一般是改變的但在收斂時(shí)，但在收斂時(shí)，的斂散性，的斂散性，不改變級(jí)數(shù)不改變級(jí)數(shù)項(xiàng)，項(xiàng)，增加或改變級(jí)數(shù)的有限增加或改變級(jí)數(shù)的有限去掉、去掉、)2( )1( 21121 nkkknkkkuuukuuuuu項(xiàng)項(xiàng)得得到到級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)去去掉掉前前面面設(shè)設(shè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)證證：nkkknuuu 2

10、1 則則，記記Ssnknnn lim lim . kSS 則則， knkSS . 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散與與數(shù)列數(shù)列時(shí)，時(shí)，故當(dāng)故當(dāng)nnkSn ，、的部分和分別為的部分和分別為、設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)nnS )2( )1(. 其和一般會(huì)改變其和一般會(huì)改變故收斂時(shí)，故收斂時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的基基本本性性質(zhì)質(zhì)二二、 . 不改變級(jí)數(shù)的斂散性不改變級(jí)數(shù)的斂散性即去掉級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，即去掉級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，.成立成立同理可證其他兩種情況同理可證其他兩種情況第10頁(yè)/共30頁(yè). 3其和一般是改變的其和一般是改變的但在收斂時(shí)，但在收斂時(shí)，的斂散性，的斂散性，不改變級(jí)數(shù)不改變級(jí)數(shù)項(xiàng)，項(xiàng)，增加或改變級(jí)數(shù)的有限增加或改

11、變級(jí)數(shù)的有限去掉、去掉、)1( 211 nnnuuuu證：設(shè)級(jí)數(shù)證：設(shè)級(jí)數(shù)nnnnS2limlim 故故,63S ,2nnS .S . , 4且其和不變且其和不變級(jí)數(shù)仍收斂級(jí)數(shù)仍收斂收斂級(jí)數(shù)加括弧后所得收斂級(jí)數(shù)加括弧后所得、)2( )()()( 654321 uuuuuu進(jìn)行如下加括?。哼M(jìn)行如下加括弧：, 21S 則則,42S ，、的部分和分別為的部分和分別為、設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)nnS )2( )1(，且其和為且其和為收斂，收斂，級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)S )2(.即其和不變即其和不變. 級(jí)數(shù)未必收斂級(jí)數(shù)未必收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所得收斂級(jí)數(shù)去括弧后所得說(shuō)明：說(shuō)明：級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的基基本本性性質(zhì)質(zhì)二二、 第11頁(yè)/共30

12、頁(yè). , 4且其和不變且其和不變級(jí)數(shù)仍收斂級(jí)數(shù)仍收斂收斂級(jí)數(shù)加括弧后所得收斂級(jí)數(shù)加括弧后所得、級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的基基本本性性質(zhì)質(zhì)二二、 )11()11()11( 1n例如、例如、 11)1(1111 nn但但 收斂 發(fā)散. 則原級(jí)數(shù)發(fā)散則原級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)發(fā)散，設(shè)級(jí)數(shù)加括弧后所得的設(shè)級(jí)數(shù)加括弧后所得的推論：推論：. 級(jí)數(shù)未必收斂級(jí)數(shù)未必收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所得收斂級(jí)數(shù)去括弧后所得說(shuō)明：說(shuō)明：設(shè)原級(jí)數(shù)收斂，設(shè)原級(jí)數(shù)收斂，證：證： 加括弧得到一級(jí)數(shù)，加括弧得到一級(jí)數(shù)，則按照已知條件的方式則按照已知條件的方式得該級(jí)數(shù)收斂，得該級(jí)數(shù)收斂，由性質(zhì)由性質(zhì)4.與已知矛盾與已知矛盾.故原級(jí)數(shù)發(fā)散故原級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)

13、級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 1 nnnnuu則則收斂，收斂，設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)第12頁(yè)/共30頁(yè)，的的部部分分和和為為證證：設(shè)設(shè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnnSu 1，因?yàn)橐驗(yàn)? nnnSSu)(limlim1 nnnnnSSu所以所以SS . 0 .132211 31的斂散性的斂散性判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù)、例例 nnnnn,limSSnn 且且1limlim nnnnSS1limlim nnunnn解：解：1 ，0 .1 1發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu則則收斂，收斂，設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)必要條件：必要條件：、. 0lim 21發(fā)

14、散發(fā)散則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)，設(shè)設(shè)推論：推論：、 nnnnuau. 斷級(jí)數(shù)發(fā)散的方法斷級(jí)數(shù)發(fā)散的方法上述推論給出了一個(gè)判上述推論給出了一個(gè)判說(shuō)明：說(shuō)明：第13頁(yè)/共30頁(yè)，顯然顯然01limlim nunnn,1312111 1 nnn調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例如如，.11發(fā)散發(fā)散但級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù) nn，且其和為且其和為收斂，收斂，假設(shè)假設(shè)事實(shí)上，事實(shí)上，Snn 1 1 .為部分和為部分和其中其中nS，則則SSnn lim，SSnn 2lim. 0)(lim2 SSSSnnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu則則收斂，收斂，設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)必要條件：必要條件：、.0lim 1

15、收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)由由說(shuō)明：說(shuō)明： nnnnuu第14頁(yè)/共30頁(yè)，顯然顯然01limlim nunnn,1312111 1 nnn調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例如如，.11發(fā)散發(fā)散但級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù) nn，SSnn 2lim. 0)(lim2 SSSSnnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu則則收斂，收斂，設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)必要條件：必要條件：、.0lim 1收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)由由說(shuō)明：說(shuō)明： nnnnuunnnSSnn2121112 又又nnn212121 ，021)(lim2 nnnSS.)1( 矛盾矛盾與與.21 )1(.11發(fā)散發(fā)散故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nn第15頁(yè)/共30頁(yè)

16、第十一章 級(jí)數(shù)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法第16頁(yè)/共30頁(yè)有界有界部分和數(shù)列部分和數(shù)列收斂收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnnSu 收收斂斂，設(shè)設(shè)”“證證 1 :nnu.有界有界nS,單調(diào)增加單調(diào)增加nS收斂，收斂，nS.1收斂收斂故正項(xiàng)級(jí)數(shù)故正項(xiàng)級(jí)數(shù) nnu. 0 11為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù)，設(shè)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)：、 nnnuu收斂，收斂，則數(shù)列則數(shù)列nS有界，有界，”設(shè)”設(shè)“nS，0 nu，nnSS 1. !1 11的斂散性的斂散性判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù)、例例 nnnn 211!1 解：解：2211 要條件要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必、 2!1! 21! 11nSn ，1

17、21 n第17頁(yè)/共30頁(yè). 0 11為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù)，設(shè)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)：、 nnnuu. !1 11的斂散性的斂散性判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù)、例例 nnnn 211!1 解：解：2211 要要條條件件正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂的的充充分分必必、 2!1! 21! 11nSn ，121 n!1! 21! 11 nSn 有界，有界，得得由由0nnSS 121211 n1212 n. 2 211211 n.!1 1收斂收斂因此級(jí)數(shù)因此級(jí)數(shù) nn上述解題主要是利用：上述解題主要是利用：，1)21(!1 nn 11.) 21(nn收斂收斂而而第18頁(yè)/共30頁(yè)，、的部分和分別為的部分和

18、分別為、設(shè)設(shè)證：證：nnnnnnSvu 11 .1收斂收斂故故 nnu，且且均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，和和設(shè)設(shè)nnnnnnvuvu 11也收斂；也收斂；則則收斂，收斂，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也發(fā)散也發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，若若 nnnnvu收斂，收斂，若若 1 )1(nnv，MSn . 11nnkknkknvuS 則則，則則Mn 發(fā)散，發(fā)散，若若 1)2(nnu.1發(fā)散發(fā)散故故 nnv無(wú)界，無(wú)界， n 無(wú)界，無(wú)界，則則nS比比較較判判別別法法、 3第19頁(yè)/共30頁(yè)，且且均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，和和設(shè)設(shè)nnnnnnvuvu 11也收斂；也收斂；則則收斂，收斂，若若 11

19、 )1(nnnnuv. )2(11也發(fā)散也發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，若若 nnnnvu比比較較判判別別法法、 3.) ()1(”可改為“”可改為“Nnvuvunnnn . (3)11未必收斂未必收斂收斂時(shí)，收斂時(shí)，當(dāng)當(dāng) nnnnvu. )4(11未未必必發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) nnnnuv幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：.)0 ()2(”可改為“”可改為“ ccvuvunnnn第20頁(yè)/共30頁(yè)時(shí)，時(shí)，解：當(dāng)解：當(dāng)1 p，因?yàn)橐驗(yàn)閚np11 .11發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)故故 npnp時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 poyx)1(1 pxyp1234，有有時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)ppxnnnx11 1 pppnnS131211 dxxdxxnn

20、pp 121111dxxnp 111npxp11111 ，111 p發(fā)散，發(fā)散，又又 11nn.1 21的斂散性的斂散性級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)判斷判斷、例例 npnpdxnnnnpp 111)11(1111 pnp.11 1nnpp 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng).11dxxnnp 第21頁(yè)/共30頁(yè)時(shí)，時(shí)，解：當(dāng)解：當(dāng)1 p，因?yàn)橐驗(yàn)閚np11 .11發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)故故 npnp時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 poyx)1(1 pxyp1234，有有時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)ppxnnnx11 1 pppnnS131211 ，111 p發(fā)散，發(fā)散，又又 11nn.1 21的斂散性的斂散性級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)判斷判斷、例例 npnpdxnnnnpp 111.11 1

21、nnpp 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng).11dxxnnp 有界，有界，nS.11收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)故故 npnp收斂，收斂，級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，故當(dāng)故當(dāng) 11 1npnpp.1 11發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) npnpp第22頁(yè)/共30頁(yè)，判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性、例例 12)1(1)1( 3nnn收收斂斂，又又 1231nn.)1(1 12收斂收斂 nnn，解：解： 1)1(1 )1( 232nnn ，且且均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，和和設(shè)設(shè)nnnnnnvuvu 11也收斂；也收斂；則則收斂，收斂，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也發(fā)散也發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，若若 nnnnvu比比較較

22、判判別別法法、 3：比較判別法的參考級(jí)數(shù)比較判別法的參考級(jí)數(shù)，等比級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù) 11nnaq.11 npnp級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)第23頁(yè)/共30頁(yè)，判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性、例例 12)1(1)1( 3nnn 22311)2(nn，).0(11)3(1 aann.11 223發(fā)散發(fā)散 nn發(fā)發(fā)散散，又又 1321nn 111 )2(3232，nn )1(11 1)3(，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)nnaaa 收斂，收斂，而而 1)1( nna 1.11 nna收斂收斂故故111lim 1 nnaa時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1.11 nna發(fā)散發(fā)散故故，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2111 1 naa 1.11nna發(fā)散發(fā)散故故 11

23、 11收斂；收斂；時(shí)，時(shí)，因此當(dāng)因此當(dāng) nnaa.11 11發(fā)散發(fā)散時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) nnaa，0 第24頁(yè)/共30頁(yè)，且且均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，和和設(shè)設(shè)lvuvunnnnnnn lim 11斂散性相同；斂散性相同；與與則則時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 11 0(1)nnnnvul收斂；收斂；則則收斂，收斂，且且時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 11 0)2(nnnnuvl. )3(11發(fā)散發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，且且時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) nnnnuvl得得由由證：證： lim)1(lvunnn .2 0211llvuNnNlnn 有有時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)，對(duì)對(duì) ，即即nnnvluvl232 ，22llvulnn .11斂斂散散性性相相同同與與故

24、故由由比比較較判判別別法法可可得得 nnnnvu比比較較判判別別法法的的極極限限形形式式、 4第25頁(yè)/共30頁(yè)，且且均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，和和設(shè)設(shè)lvuvunnnnnnn lim 11斂散性相同；斂散性相同；與與則則時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 11 0(1)nnnnvul收斂；收斂；則則收斂，收斂，且且時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 11 0)2(nnnnuvl. )3(11發(fā)散發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，且且時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) nnnnuvl比比較較判判別別法法的的極極限限形形式式、 4得得由由證：證：0lim )2( nnnvu，nnvu . 11收斂收斂收斂時(shí)，收斂時(shí)，故當(dāng)故當(dāng) nnnnuv. 10 0122 nnvuNnN有有時(shí)，時(shí)，當(dāng)