第四章橢球數(shù)學(xué)變換(1-6節(jié))

1、1 第四章第四章 地球橢球數(shù)學(xué)投影的基本理論地球橢球數(shù)學(xué)投影的基本理論2 4.1地球橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系地球橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系 4.2 橢球面上常用坐標(biāo)系及其關(guān)系橢球面上常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 4.3 橢球面上的幾種曲率半徑橢球面上的幾種曲率半徑 4.4 橢球面上的弧長計(jì)算橢球面上的弧長計(jì)算 4.5 大地線大地線 4.6 將地面觀測值歸算至橢球面將地面觀測值歸算至橢球面 4.7 大地測量主題解算概述大地測量主題解算概述 4.8 地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念 4.9 高斯平面直角坐標(biāo)系高斯平面直角坐標(biāo)系 4.10 橫軸墨卡托投影和高斯投影簇的概念橫軸墨卡托投影和高斯

2、投影簇的概念 4.11 蘭勃脫投影概述蘭勃脫投影概述本章的主要內(nèi)容本章的主要內(nèi)容34.1地球橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系地球橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系 地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球, ,旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小常用子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù)常用子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù)( (或稱元素或稱元素):): 長半軸長半軸 短半軸短半軸 橢圓的扁率橢圓的扁率 橢圓的第一偏心率橢圓的第一偏心率 橢圓的第二偏心率橢圓的第二偏心率 通常用通常用a , aba abae22abae22ee4 為簡化書寫，還常引入以下符號(hào)2222, tan , cosactBeBbBeVBeW222

3、2cos1sin1221,11,11,11,12222222222eeVWeWVeeeeeeecaeaceabeba222222222221( )1( )1sin(1)1(1 )bWeVVaaVeWWbWeBe VVeW 橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系54.2 橢球面上常用坐標(biāo)系及其關(guān)系橢球面上常用坐標(biāo)系及其關(guān)系4.2.1 各種坐標(biāo)系的建立各種坐標(biāo)系的建立1、大地坐標(biāo)系、大地坐標(biāo)系大地經(jīng)度大地經(jīng)度B 大地緯度大地緯度L 大地高大地高H 62、空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)位于總地球橢球位于總地球橢球( (或參考橢球或參考橢球) )質(zhì)心；質(zhì)心；Z Z軸軸與地與地

4、球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時(shí)刻的平均北極點(diǎn)；球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時(shí)刻的平均北極點(diǎn)；X X軸軸指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺(tái)所決定的子午面指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺(tái)所決定的子午面與赤道面的交點(diǎn)與赤道面的交點(diǎn)G G；Y Y軸軸與此平面垂直，且指向東為正。與此平面垂直，且指向東為正。 地心空間直角系與參心空間直角坐標(biāo)系之分地心空間直角系與參心空間直角坐標(biāo)系之分。 常用坐標(biāo)系及其關(guān)關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)關(guān)系73、子午面直角坐標(biāo)系子午面直角坐標(biāo)系 設(shè)設(shè)P點(diǎn)的大地經(jīng)度為點(diǎn)的大地經(jīng)度為L，在過在過P點(diǎn)的子午面上，以點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建

5、立x, y平面直角坐標(biāo)系。在平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用點(diǎn)的位置用L, x, y表示。表示。 常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系84、地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系、地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系 設(shè)橢球面上設(shè)橢球面上P點(diǎn)的大地經(jīng)度點(diǎn)的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓在此子午面上以橢圓中心中心O為原點(diǎn)建立為原點(diǎn)建立地心緯度坐標(biāo)系地心緯度坐標(biāo)系; 以橢球長半徑以橢球長半徑a為半為半徑作輔助圓，延長徑作輔助圓，延長與輔助圓相交與輔助圓相交點(diǎn)，則點(diǎn)，則OP與與x軸夾角稱為軸夾角稱為P點(diǎn)的點(diǎn)的歸化緯度歸化緯度u。 常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系9常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐

6、標(biāo)系及其關(guān)系5 5、大地極坐標(biāo)系、大地極坐標(biāo)系 M是橢球面上一點(diǎn)，是橢球面上一點(diǎn)，MN是過是過M的子午線，的子午線，S為連接為連接MP的大地線長，的大地線長，A為大地線在為大地線在M點(diǎn)的方位角。點(diǎn)的方位角。 以以M為極點(diǎn)；為極點(diǎn)； MN為極軸；為極軸； P點(diǎn)極坐標(biāo)為（點(diǎn)極坐標(biāo)為（S, A)10常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系4.2.2 坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系 子午平面坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系 22221(1)xy abyxabdxdy22222c(1) (2)bxxtgBeayyBexytan)1(2WBaBeBaxcossin1cos22ctgBBdxdy)90tan(

7、011常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 令令: pn=NVBbBeWaBeBeaysinsin)1 (sin1sin)1 (2222cosxNBWaNBeNysin)1 (2BPQysin)1 (2eNPQ2NeQn WBaBeBaxcossin1cos2212常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系c o s, s in, XxLYxLZyl空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系13常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 2coscoscossincossin(1) sinXxLNBLYxLNBLZyNeBBHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sinco

8、s)(coscos)(2nH0l空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系在橢球面上的點(diǎn)：在橢球面上的點(diǎn)：不在橢球面上的點(diǎn)：不在橢球面上的點(diǎn)：14常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系2222arccosarcsinarctanYXXLYXYLXYL222sintanYXBNeZBNBYXHcos222(1)sinzHNeB l由空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)大地坐標(biāo)由空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)大地坐標(biāo)15 B、u、 之間的關(guān)系之間的關(guān)系 B和u之間的關(guān)系 2cos,sinsincos ,(1) sinxau ybuaabBxByeBWWVBWeusin1sin2BWucos1cosuVBsinsin

9、uWBcoscos常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系16uexytan12xytanue tan1tan2Betan)1 (tan28.11)(9.5)(9.5)(maxmaxmaxBuuB uB常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系n U、之間的關(guān)系之間的關(guān)系n 、之間的關(guān)系之間的關(guān)系n 大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過計(jì)算，當(dāng)過計(jì)算，當(dāng)B=45時(shí)時(shí)174.3 橢球面上的幾種曲率半徑橢球面上的幾種曲率半徑 過橢球面上任意一點(diǎn)可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作 法截面法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線法截線。 子午

10、圈曲率半徑dBdSM18BdxdSsinBdBdxMsin1WBaxcos2cossinWdBdWBBWadBdxWBBedBBeddBdWcossinsin1222)1 (sin23eWBadBdx橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑1923(1)aeMW3VcM 橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑20 卯酉圈曲率半徑(N) 卯酉圈卯酉圈: :過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個(gè)法截面，過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。形成的閉合的圈稱為卯酉圈。 麥尼爾定理麥尼爾

11、定理: : 假設(shè)通過曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，假設(shè)通過曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑21BNrcosWBarxcosWaN VcN BrBPONPncoscos橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑22 卯酉圈曲率半徑的特點(diǎn)卯酉圈曲率半徑的特點(diǎn): : 卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸卯酉圈曲率半徑

12、恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長度，亦即卯酉圈的曲率之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。軸上。 橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑23主曲率半徑的計(jì)算主曲率半徑的計(jì)算 以上討論的子午圈曲率半徑以上討論的子午圈曲率半徑M M及卯酉圈曲率半徑及卯酉圈曲率半徑N N，是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。統(tǒng)稱為主曲率半徑。 23222)sin1)(1 (BeeaM2122)sin1 (BeaNBmBmBmBmmM886644220sinsinsinsinBnBnBnBnnN8866

13、44220sinsinsinsin橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑246284262240222089674523)1 (memmemmemmemeam628426224022087654321nennennennenan橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑252322)cos1(BecM2122)cos1 (BecNBmBmBmBmmM886644220coscoscoscosBnBnBnBnnN886644220coscoscoscos橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑261011) (89674523)1 (/821062842622402220memmemmemmem

14、memeacm109) (876543211/821062842622402220nennennennenneneacn27 任意法截弧的曲率半徑任意法截弧的曲率半徑 NAMARA22sincos1AMANMNRA22sincos21VMNABeNANRA2222coscos1cos1)coscos1 (4422AANRA橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑28 任意法截弧的曲率半徑的變化規(guī)律: 不僅與點(diǎn)的緯度不僅與點(diǎn)的緯度B有關(guān)，而且還與過該點(diǎn)的法有關(guān)，而且還與過該點(diǎn)的法截弧的方位角截弧的方位角A有關(guān)。有關(guān)。 當(dāng)時(shí)，變?yōu)橛?jì)算子午圈曲率半徑的，即當(dāng)時(shí)，變?yōu)橛?jì)算子午圈曲率半徑的，即； 當(dāng)當(dāng)9

15、0時(shí)，為卯酉圈曲率半徑，即時(shí)，為卯酉圈曲率半徑，即。主曲率半徑。主曲率半徑M及及N分別是分別是的極小值和極大值的極小值和極大值。 當(dāng)當(dāng)A由由090時(shí)，時(shí)，之值由之值由，當(dāng)，當(dāng)A由由90180時(shí)，時(shí)，值由值由N，可見，可見值的變化是以值的變化是以90為周期且與子午圈和卯酉圈對(duì)稱的。為周期且與子午圈和卯酉圈對(duì)稱的。 橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑29l 平均曲率半徑平均曲率半徑 橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑 R R 等于該點(diǎn)子午等于該點(diǎn)子午圈曲率半徑圈曲率半徑M M和卯酉圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑N N的幾何平均值。的幾何平均值。 MNR 22221eWa

16、VNVcWbR橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑30 M，N，R的關(guān)系 MRNcMRN909090橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑31 對(duì)于克拉索夫斯基橢球橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑324.4 橢球面上的弧長計(jì)算橢球面上的弧長計(jì)算 子午線弧長計(jì)算公式子午線弧長計(jì)算公式 MdBdx BMdBX0BmBmBmBmmM886644220sinsinsinsin33橢球面上的弧長計(jì)算橢球面上的弧長計(jì)算BBBBBBBBBBBBBB8cos12816cos1614cos3272cos16712835sin6cos3214cos1632cos3215165sin4cos812co

17、s2183sin2cos2121sin8642BaBaBaBaaM8cos6cos4cos2cos86420BaBaBaBaBaX8sin86sin64sin42sin2864203412816323271638167321522128351653288866864486422864200mammammmammmmammbmmma橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑35 如果以如果以B B9090代入，則得子午橢圓在一個(gè)象限內(nèi)的弧代入，則得子午橢圓在一個(gè)象限內(nèi)的弧長約為長約為10 002 13710 002 137m m。旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個(gè)弧長約旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個(gè)弧長約為為40 0

18、08 549.99540 008 549.995m m。即一象限子午線弧長約為即一象限子午線弧長約為10 10 000000kmkm，地球周長約為地球周長約為40 00040 000kmkm。 為求子午線上兩個(gè)緯度為求子午線上兩個(gè)緯度B及間的弧長，只需按及間的弧長，只需按(11.42)式分別算出相應(yīng)的式分別算出相應(yīng)的X及及X，而后取差：而后取差：，該，該即為所求的弧長。即為所求的弧長。 當(dāng)弧長甚短當(dāng)弧長甚短( (例如例如X40kmX40km，計(jì)算精度到計(jì)算精度到0.0010.001m)m)，可視可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點(diǎn)的子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點(diǎn)的子午

19、圈的曲率半徑子午圈的曲率半徑M M 橢球面上的弧長計(jì)算橢球面上的弧長計(jì)算36 由子午弧長求大地緯度 迭代解法迭代解法: : 平行圈弧長公式 01/ aXBf01/)(aBFXBifififififififBaBaBaBaBF8sin86sin64sin42sin2)(8642cos1lblBNS橢球面上的弧長計(jì)算橢球面上的弧長計(jì)算37橢球面上的弧長計(jì)算橢球面上的弧長計(jì)算 子午線弧長和平行圈弧長變化的比較子午線弧長和平行圈弧長變化的比較384.5 大地線大地線 兩點(diǎn)間的最短距離，在平面上是兩點(diǎn)間的直線，在兩點(diǎn)間的最短距離，在平面上是兩點(diǎn)間的直線，在球面上是兩點(diǎn)間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的

20、球面上是兩點(diǎn)間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的一條線呢一條線呢? ? 它應(yīng)是大地線。它應(yīng)是大地線。 相對(duì)法截線相對(duì)法截線 2211sinsinBnQOnBnQOnbbaa222121sinsinBeNOnBeNOnba39 相對(duì)法截線相對(duì)法截線 大地線大地線40 相對(duì)法截線的特點(diǎn)相對(duì)法截線的特點(diǎn): :當(dāng)當(dāng)A，B兩點(diǎn)位于同一子午圈或同一平行圈上兩點(diǎn)位于同一子午圈或同一平行圈上時(shí)，正反法截線則合二為一。時(shí)，正反法截線則合二為一。在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上在橢球面上A，B，C三個(gè)點(diǎn)處所測得的角度三個(gè)點(diǎn)處所測得的角度(各點(diǎn)上正法截線之夾

21、角各點(diǎn)上正法截線之夾角)將不能構(gòu)成閉合三角將不能構(gòu)成閉合三角形。為了克服這個(gè)矛盾，在兩點(diǎn)間另選一條單形。為了克服這個(gè)矛盾，在兩點(diǎn)間另選一條單一的大地線代替相對(duì)法截線，從而得到由大地一的大地線代替相對(duì)法截線，從而得到由大地線構(gòu)成的單一的三角形。線構(gòu)成的單一的三角形。 大地線大地線41大地線大地線大地線的定義和性質(zhì)大地線的定義和性質(zhì)橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線叫橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線叫大地線大地線。42 大地線的性質(zhì)大地線的性質(zhì): : 大地線是兩點(diǎn)間惟一最短線，而且位于相對(duì)法大地線是兩點(diǎn)間惟一最短線，而且位于相對(duì)法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的

22、夾角的夾角 在橢球面上進(jìn)行測量計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的在橢球面上進(jìn)行測量計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，應(yīng)當(dāng)歸算成相應(yīng)大地線的方向、距離。應(yīng)當(dāng)歸算成相應(yīng)大地線的方向、距離。 長度差異可忽略長度差異可忽略, ,方向差異需改化。方向差異需改化。 31大地線大地線43 補(bǔ)充內(nèi)容補(bǔ)充內(nèi)容：球面直角三角形的球面三角公式球面直角三角形的球面三角公式 任一元素的余弦等于不相鄰兩元素的正弦之積任一元素的余弦等于不相鄰兩元素的正弦之積 coscos)90sin()90sin(cossinsinsinsinsinsinsincossin)90

23、sin(coscossin)90sin(sincos0000baabccBbcAaAbAbBaBaBA44 任一元素的余弦等于相鄰兩元素的余切之積任一元素的余弦等于相鄰兩元素的余切之積ctgAabBbaBAccgacaBcbcbAtgsinctgtgsinctgctgcos ctgtctg)90(ctgcosctgtgctg)90(ctgcos0045 大地線的微分方程和克萊勞方程大地線的微分方程和克萊勞方程 大地線的微分方程大地線的微分方程46AdSMdBcosdSMAdBcosAdSBdLNsincosdSBNAdLcossin)sin(sinsindBBdLdABdLdAsinBdSNA

24、dAtansincos(90)sinsin(90(90)dAdLBdB大地線的微分方程大地線的微分方程47dSMAdBcosBNBdBMAAdAcossincossincossinrNB MBdBdrCrAlnlnsinlnCAr sinBdSNAdAtansin大地線的微分方程大地線的微分方程大地線的克萊勞方程大地線的克萊勞方程 在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點(diǎn)的平行圈半徑在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點(diǎn)的平行圈半徑與大地線在該點(diǎn)的大地方位角的正弦的乘積等于與大地線在該點(diǎn)的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。式中常數(shù)常數(shù)。式中常數(shù)C也叫大地線常數(shù)也叫大地線常數(shù) 48 當(dāng)大地線穿越赤道時(shí)當(dāng)大地線穿越赤道時(shí) 當(dāng)

25、大地線達(dá)極小平行圈時(shí)當(dāng)大地線達(dá)極小平行圈時(shí) 由克萊勞方程可以寫出由克萊勞方程可以寫出 0sin AaC 0090sinrrC2112sinsinAArrCABNsincosCAuasincos494.6 將地面觀測值歸算至橢球面將地面觀測值歸算至橢球面 觀測的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而觀測的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線存在著垂線偏差。是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線存在著垂線偏差。 歸算的兩條基本要求：歸算的兩條基本要求： 以橢球面的法線為基準(zhǔn)；以橢球面的法線為基準(zhǔn)； 將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。 將地面觀測的水平方向歸算至橢球面將地面觀測的水平方向歸算至橢球面 將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項(xiàng)改正為標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項(xiàng)改正為三三差改正差改正。 50垂線偏差改正垂線偏差改正 以測站以測站A為中心為中心作出單位半徑的作出單位半徑的輔助球輔助球, ,u是垂線是垂線偏差，它在子午偏差，它在子午圈和卯酉圈上的圈和卯酉圈上的分量分別以分量分別以,表示，表示，M是地面觀測目標(biāo)是地面觀測目標(biāo)m在球在球面上的