隱式差分方程PPT課件

1、 與顯式差分格式不同，隱式差分格式中包括了（n+1）時間層上二個或二個以上結(jié)點處的未知值（例如 ），使用隱式差分格式和使用顯式差分格式求解完全不同。相對而言，使用隱式差分格式求解，每時間層包含有較多的計算工作量。從后面對差分格式的穩(wěn)定性分析可知，隱式格式的優(yōu)點在于，其穩(wěn)定性要求對步長比的限制大為放寬，而這正是我們所期望的。 11111,nmnmnmUUU第1頁/共14頁2.3.1 古典隱式格式現(xiàn)在對熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)其最簡單的隱式差分逼近古典隱式格式。由故 式中左邊如果僅保留二階導(dǎo)數(shù)項，且以 替代 ，則得差分格式 或者 （2.41）格式用圖2.5表示，其截斷誤差階為 ,與古典差分格式相同。 圖2.

2、5：22xutunmxnmukDu)exp(21nmnmxxnmnmxuuDkkDuukD142212)211()exp(221xh2xDnmnmnmnmnmnmxUrUUrrUUUhk11111122)21 ()1 ()(22hk m,n+1 m,n m+1,n+1 m-1,n+1 第2頁/共14頁 為了求得第（n+1）時間層上的 的值，必須通過解線性代數(shù)方程組。這是一個隱式差分格式，必須聯(lián)合其初邊值條件求解。格式（2.41）通常稱為古典隱式格式。 我們也可以通過直接用差分算子代替 的方法，即代入微分方程，得到格式（2.41）。1nmU2,xxDD211111122112)()(huuuxu

3、kuutunmnmnmnmnmnmnm第3頁/共14頁2.3.2 Crank-Nicolson隱式格式 Crank-Nicolson隱式差分格式是解熱傳導(dǎo)方程（2.26）的常用的差分格式，為了推導(dǎo)它，由式（2.24），有由得 （2.42）兩邊僅保留前二項，用 代替 ，則得差分格式 （2.43）這是一個隱式差分格式，稱為Crank-Nicolson差分格式，截斷誤差階為 ，也可寫為nmxxnmxxxnmnmukDkDukDkDDLukLukL)21(21211 )21(21211 )21exp()21exp(222122221221xh2xDnmxnmxUrUr)211 ()211 (212)(

4、22hk第4頁/共14頁 （2.44） 由于格式（2.44）中包括六個結(jié)點，故也可稱為六點格式（如圖2.6所示）。 圖2.6 也可將 代入微分方程（2.26），得到Crank-Nicolson格式。)(21)1 ()(21)1 (1111111nmnmnmnmnmnmUUrUrUUrUr m-1,n+1 m,n+1 m+1,n+1 m-1,n m,n m+1,n 2221)()(2112111112122121huuuhuuutukuutunmnmnmnmnmnmnmnmnmnm第5頁/共14頁 基于如同Crank-Nicolson格式一樣的六個網(wǎng)格結(jié)點可獲得另一精度較高的差分格式，如在前式（

5、2.42）中僅保留直到 的項，即有由式(2.19.3),可令則可得代入上式，則有如下差分格式： （2.45） 它稱為Douglas差分格式，具有截斷誤差階 。2xD122222222212)1211(1)1211(1)211()211(xxxnmxxnmxnmxnmxhDuhuDukDukDnmxnmxUrUr)61(211)61(211212)(42hk 第6頁/共14頁 例2.1 解初邊值問題 0),(),0(sin022tutuxuxututTtxTtx000 ;0第7頁/共14頁 應(yīng)用（1） Crank-Nicolson差分格式，（2）Douglas差分格式解上述問題。對每一種情況，令

6、 （r的這個值對Douglas格式有最小的截斷誤差），由初值條件和邊值條件通過上述二個格式的每一個逐層求出 的值。一般而言，當(dāng)由第n層去求第（n+1）層的解時，二個格式的每一個都需解一線性代數(shù)方程組，其系數(shù)是三對角陣，可用追趕法求解（見2.4）。已知上述定解問題的理論解，記為 ， 有 記 分別為用高速數(shù)字計算機(jī)解出的Crank-Nicolson格式的解，而 分別表示它們對精確解的誤差，在 ，時間層n上， 。它們的值由表2.2給出。 201,20rhnmUrSxeutsinDCNSS,DrDCNrCNSSESSE,2xnktn第8頁/共14頁0.994 497 915 6300.0000110.

7、000 000 000 0260.489 026 104 192 0.000 022-0.000 000 000 051 0.978 172 634 773 0.000 040-0.000 000 000 101 0.956 821 703 419 0.000 079 -0.000 000 000 1980.915 507 772 1340.000 151 -0.000 000 000 3790.643 146 895 7930.000 531 -0.000 000 000 3310.413 637 929 5680.000 683-0.000 000 001 7120.171 096 336

8、 778 0.000 564-0.000 000 001 4170.629 273 956 4590.000 194-0.000 000 000 4850.012 108 818 7400.000 100-0.000 000 000 25780064032016080168421tttttttttttnrSCNEDE 表2.2第9頁/共14頁2.3.3 加權(quán)六點隱式格式 前面，我們已經(jīng)推導(dǎo)了熱傳導(dǎo)方程（2.26）的古典顯示格式，古典顯示格式及Crank-Nicolson格式等。實際上，它們都可以作為本節(jié)推導(dǎo)的加權(quán)六點隱式格式的特殊情形。 由得即兩邊去掉高于二階導(dǎo)數(shù)的項，且用 代替 ，則得差分格

9、式或者 （2.46）這是一個六點差分格式（如圖2.7所示），稱為加權(quán)六點差分格式。 nmxxnmxxnmxnmxnmxnmuDkkDuDkkDukDukDukDu)1(21)1(121111 ,)1exp()exp()exp(42221422221221221xh2xD10 ,)1 (21 )()(1 ()21 ()1 (1 )1 (1111111212nmnmnmnmnmnmnmxnmxUrUUrUUrUrUrUr第10頁/共14頁 顯然，當(dāng) 時，加權(quán)六點格式為古典顯示格式；當(dāng) 時，加權(quán)六點格式為Crank-Nicolson隱式格式；當(dāng) 時，加權(quán)六點格式為古典隱式格式。 加權(quán)六點格式亦可直接

10、由差商代替導(dǎo)數(shù)得到 m-1,n+1 m,n+1 m+1,n+1 m-1,n m,n m+1,n 圖2.7：10211nmxnmxnmnmUhUhkUU2212211)1 (1第11頁/共14頁 2.3.4 系數(shù)依賴于x,t的一維熱傳導(dǎo)方程的一個隱式格式的推導(dǎo) 考慮方程 （2.47）的差分逼近。 已知由其Taylor展開式可得據(jù)此，可得 （2.48）令代入式（2.48），則因此得差分方程 （2.49.1）22),(xutxatu)21sinh(2xxhD)(12624222hDhDhxxx）（）（24212222124214422122122)1(121)()(121)()(21khtuaxhtuakhxuhxuuuhnmnmnmnmnmnmx)()(111)1(22121222122khuukahtuaxnmnmnmxnm)()(11121)(1)(212412122121122khuuahruukauuhnmnmnmxnmnmnmnmnmx)611(21)611(21)(12121212121nmnmxnmnmxnmnmnmUraUraUUra第12頁/共14頁 格式（2.49.1）具有截斷誤差階 ，可寫成更方便的形式 （