文科考研無窮級數(shù)PPT課件

1、1 nnnuuuuu32111、常數(shù)項級數(shù) 常數(shù)項級數(shù)收斂常數(shù)項級數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) ). . niinnuuuus121級數(shù)的部分和定義級數(shù)的收斂與發(fā)散第1頁/共71頁2性質(zhì)1: 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.性質(zhì)2:收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.性質(zhì)3:在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)4:收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和. 0lim nnu級數(shù)收斂的必要條件:收斂級數(shù)的基本性質(zhì)第2頁/共71頁3常數(shù)項級數(shù)審斂法正項級數(shù)任意項級數(shù)4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂4. 萊布尼茨定理

2、3. 按基本性質(zhì);1.;,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂若若SSn2.;, 0,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散當當 nun交錯級數(shù)5.條件收斂第3頁/共71頁4定義0,1 nnnuu.有上界有上界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂ns2、正項級數(shù)及其審斂法充分必要條件:(1) 比較審斂法若若 1nnu收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) )且且)(nnnnvuuv , ,則則 1nnv收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) ). .第4頁/共71頁5比較審斂法的極限形式：,設1nnu與1nnv都是正項級數(shù) 如果,limlvunnn ,當時;則(1) 兩級數(shù)有相同的斂散性 l0 (3) 當時, 若1nnv發(fā)散,則1nn

3、u發(fā)散; l (2) 當時，若收斂,則收斂;0 l 1nnv 1nnu第5頁/共71頁6幾何級數(shù)幾何級數(shù) 0nnaq, , 當當1| q時時收收斂斂；1| q時時發(fā)發(fā)散散； p級數(shù)級數(shù) 11npn, , 當當1 p時時收收斂斂；1 p時時發(fā)發(fā)散散； 特特別別, ,調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù) 11nn發(fā)發(fā)散散. . qa 1以下兩個級數(shù)是常用的比較對象： 第6頁/共71頁7比比值值審審斂斂法法( (達達朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) ) 設設 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù),如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu 則則1 時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂;1 時級

4、數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散; 1 時失效時失效.根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) ) 設設 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù), ,如如果果 nnnulim)( 為為數(shù)數(shù)或或 , , 則則1 時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂; ; 1 時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散; ;1 時失效時失效. .第7頁/共71頁8定義 正 、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). nnnnnnuu 111)1()1(或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, , 則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂, ,且其和且其和1us , ,其余項其余項

5、 nr的絕對值的絕對值1| nnur. . )0( nu其中其中3、交錯級數(shù)及其審斂法第8頁/共71頁9定義 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).定理定理 若若 1|nnu收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂. 定定義義 若若 0|nnu收收斂斂, , 則則稱稱 0nnu為為絕絕對對收收斂斂; ; 若若 1|nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, ,則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. . 4、任意項級數(shù)及其審斂法第9頁/共71頁105、函數(shù)項級數(shù)(1) 定義設設),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在RI 上上的的函函數(shù)數(shù), ,則則 )()()(211xuxuxunn

6、稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間I上上的的( (函函數(shù)數(shù)項項) )無無窮窮級級數(shù)數(shù). .(2) 收斂點與收斂域如如果果Ix 0,數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù) 10)(nnxu收收斂斂, 則則稱稱0 x 為級數(shù)為級數(shù))(1xunn 的的收斂點收斂點, , 否則稱為發(fā)散點.第10頁/共71頁11函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù))(1xunn 的所有收斂點的全體稱為的所有收斂點的全體稱為收斂域收斂域, ,(3) 和函數(shù)在收斂域上在收斂域上, ,函數(shù)項級數(shù)的和是函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)的函數(shù) )(xs, , 稱稱)(xs為函數(shù)項級數(shù)的為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù). . 所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域.第11頁/共71頁12(1) 定義

7、形如形如nnnxxa)(00 的級數(shù)稱為的級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù). ,00時時當當 x其其中中na為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).5、冪級數(shù)nnnxa 0(2) (2) 定理定理( (Abel 定理定理) ) ( (1 1) ) 如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(00 xxx處處收收斂斂, , 則則它它在在滿滿足足不不等等式式|0 xx 的的一一切切 x 處處絕絕對對收收斂斂; ; ( (2 2) ) 如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在 滿滿足足不不等等式式|0 xx 的的一一切切 x 處處發(fā)發(fā)散散. . 第12頁/共71頁13定理定理 如果冪級數(shù)如果冪級

8、數(shù) 0nnnxa的所有系數(shù)的所有系數(shù)0 na, 則冪級數(shù)則冪級數(shù) 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為 , 00 , 0 , 1/R, , 設設 nnnaa1lim (或或 nnnalim) 簡簡單單地地講講, ,就就是是 1lim nnnaaR. . (3) 收斂半徑 第13頁/共71頁14(4) 和函數(shù)的分析運算性質(zhì)：設設冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的收收斂斂半半徑徑為為R, , 收收斂斂域域為為I, ,且且和和函函數(shù)數(shù)為為)(xS. .下下面面介介紹紹)(xS的的三三個個性性質(zhì)質(zhì). . 性性質(zhì)質(zhì) 1 1 )(xS在在 0nnnxa的的收收斂斂域域I內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù). . 性性質(zhì)質(zhì) 2 2 )

9、(xS在在 0nnnxa的的收收斂斂域域I內(nèi)內(nèi)可可積積, ,且且有有逐逐項項積積分分公公式式： .1d)(100 nnnxxnaxxS且收斂半徑仍為R. 第14頁/共71頁15性性質(zhì)質(zhì) 3 3 )(xS在在),(RR 內(nèi)內(nèi)可可導導, ,且且有有逐逐項項求求導導公公式式： )(xS .11 nnnxna且收斂半徑仍為R. 注注: : ( (1 1) ) 實實際際上上, ,)(xS在在),(RR 內(nèi)內(nèi)任任意意階階可可導導. . ( (2 2) ) 端端點點處處的的收收斂斂性性可可能能發(fā)發(fā)生生變變化化. . 第15頁/共71頁166、冪級數(shù)展開式 如果如果)(xf在點在點 0 x處任意階可導處任意階

10、可導,則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點在點 0 x的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù). nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點在點 0 x的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù). (1) 定義第16頁/共71頁17定理定理 )(xf在點在點0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. .(2) 充要條件(3) 唯一性定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)能能展開成展開成)(0 xx 的冪級數(shù)的冪級數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 , , 則其系數(shù)則其系數(shù) ),

11、2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann 且展開式是唯一的且展開式是唯一的. . 第17頁/共71頁18(3) 展開方法a.直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:，求求!)()1(0)(nxfann ,| )(|0lim)2()(MxfRnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收b.間接法 根據(jù)唯一性, 利用常見展開式, 通過變量代換, 四則運算, 恒等變形, 逐項求導, 逐項積分等方法,求展開式.并并求求出出收收斂斂半半徑徑R； 第18頁/共71頁19),(,!1!211e2 xxnxxnx,! )12()1(!51!31sin1253 nxxxxxnn),

12、( x,! )2()1(!41!211cos242 nxxxxnn),( x(4) 常見函數(shù)展開式第19頁/共71頁20)1 , 1( x )1(x )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x nxnnxx!)1()1(!2)1(12 ( 不為正整數(shù)),110 nnxx)1, 1( x第20頁/共71頁21典型例題典型例題題型1：判定數(shù)項級數(shù)的斂散性 例1 11)1(nnnnnnn判別下列級數(shù)的收斂性：解nnnnnnnnu)1(1 nnnn)11(21 , )(1 n所以原級數(shù)發(fā)散第21頁/共71頁22(88,6(88,6 分分) ) 討論級數(shù)討論級數(shù) 11! )1(n

13、nnn的的斂斂散散性性. . 解例2nnnuu1lim 12)!1()1()!2(lim nnnnnnn1)11(12lim nnnnn,1e1 用比值審斂法, 所以級數(shù)收斂。第22頁/共71頁23( (9 91 1, ,3 3 分分) ) 設設nan10 ( (, 2 , 1 n) )， 則則下下列列級級數(shù)數(shù)中中肯肯定定收收斂斂的的是是 解例3(A)(A) 1nna (B) (B) 1)1(nnna (C) (C) 1nna (D)(D) 12)1(nnna 由由nan10 ( (, 2 , 1 n) )， 得得 2221|)1( |naannn ， 而而級級數(shù)數(shù) 121nn收收斂斂， 所以

14、級數(shù)所以級數(shù) 12)1(nnna絕對收斂絕對收斂. . 【答案】 應選(D). 第23頁/共71頁24( (9 91 1, ,3 3 分分) ) 設設nan10 ( (, 2 , 1 n) )， 則則下下列列級級數(shù)數(shù)中中肯肯定定收收斂斂的的是是 解例3(A)(A) 1nna (B) (B) 1)1(nnna (C) (C) 1nna (D)(D) 12)1(nnna ( (A) )、( (C) )反反例例：nan21 ； 【評注】 ( (D) ) 反例：反例： 為偶數(shù)為偶數(shù)為奇數(shù)為奇數(shù)nnnan ,21 , 0 . . 第24頁/共71頁25( (9 94 4, ,3 3 分分) ) 設設常常

15、數(shù)數(shù)0 ，且且級級數(shù)數(shù) 12nna收收斂斂，則則 解例4( (A A) ) 條條件件收收斂斂 ( (B B) ) 絕絕對對收收斂斂 ( (C C) ) 發(fā)發(fā)散散 ( (D D) ) 斂斂散散性性與與 有有關關. . 由于由于 12nna和和 121nn 都是收斂的，都是收斂的， 從而原級數(shù)絕對收斂. 由基本不等式可知， , )1(21|222 nanann級級數(shù)數(shù) 12|)1(nnnna 由由比比較較審審斂斂法法可可知知， 12|nnna 收收斂斂， 【答案】 應選(B). 第25頁/共71頁26解（A A）若）若 12nnu和和 12nnv都收斂都收斂, ,則則 12)(nnnvu也收斂；也

16、收斂； （B B）若）若 1nnnvu收斂收斂, ,則則 12nnu和和 12nnv都收斂；都收斂； （C C）若正項級數(shù)）若正項級數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散, ,則則nun1 ； （D D）若若 1nnu收收斂斂, ,且且nnvu , ,則則 1nnv也也收收斂斂. . 例5(96,3分) 下列各選項正確的是（ ）. 由正項級數(shù)的比較判別法可得結(jié)論. 【答案】 應選(A). , )(22)(22222 nnnnnnnnvuvvuuvu 因因為為第26頁/共71頁27解(A)(A) 1nnu與與 12nnu都收斂；都收斂； (B) (B) 1nnu與與 12nnu都發(fā)散；都發(fā)散； (C)(C) 1n

17、nu收斂而收斂而 12nnu發(fā)散；發(fā)散；(D)(D) 1nnu發(fā)散而發(fā)散而 12nnu收斂收斂. . ( (9595 二二 3)3)設設)11ln()1(nunn , ,則正確的是（則正確的是（ ）. . 1nnu為為萊萊布布尼尼茲茲型型級級數(shù)數(shù), ,收收斂斂； 例622)11ln( nun nn112 , 因因 11nn發(fā)發(fā)散散, , 由由比比較較審審斂斂法法, , 知知正正項項級級數(shù)數(shù) 12nnu發(fā)發(fā)散散. . 【答案】 應選(C).第27頁/共71頁28解( (0000 二二 3) 3) 設級數(shù)設級數(shù) 1nnu收斂，則下列級數(shù)中收斂，則下列級數(shù)中必收斂的是（必收斂的是（ ）. . （A

18、A） 1)1(nnnnu （B B） 12nnu （C C） 1212)(nnnuu （D D） 11)(nnnuu 因因為為 1nnu、 11nnu都都收收斂斂, , 所所以以 11)(nnnuu也也收收斂斂. . 例7【答案】 應選(D).第28頁/共71頁29解（A A） 1)1(nnnnu （B B） 12nnu （C C） 1212)(nnnuu （D D） 11)(nnnuu （A A）反反例例： 1ln)1(nnn； （B B）反反例例： 1)11ln()1(nnn； 例7（C C）反反例例： 1) 1(nnn. . ( (0000 二二 3) 3) 設級數(shù)設級數(shù) 1nnu收斂，

19、則下列級數(shù)中收斂，則下列級數(shù)中必收斂的是（必收斂的是（ ）. . 第29頁/共71頁30解判判斷斷級級數(shù)數(shù) 21sinln1nnn的的收收斂斂性性。 因因為為 22lnlndln1xxxx, , 故故 21sinln1nnn與與 2ln1nnn同同斂斂散散, , 由由積積分分判判別別法法知知, , 2ln1nnn發(fā)發(fā)散散, , 柯柯西西積積分分判判別別法法: :設設函函數(shù)數(shù))(xf非非負負, ,單單減減, ,則則級級數(shù)數(shù) 1)(nnf 與與廣廣義義積積分分 1d)(xxf同同斂斂散散. . 例8,111sinlimln11sinln1lim nnnnnnnn所以原級數(shù)也發(fā)散. 第30頁/共71

20、頁31(03,4(03,4 分分) ) 設設2|nnnaap ，2|nnnaaq ，, 2, 1 n，則下列命題正確的是，則下列命題正確的是 ( (A A) ) 若若 1nna條條件件收收斂斂，則則 1nnp與與 1nnq都都收收斂斂 ( (B B) ) 若若 1nna絕絕對對收收斂斂，則則 1nnp與與 1nnq都都收收斂斂 ( (C C) ) 若若 1nna條條件件收收斂斂，則則 1nnp與與 1nnq的的斂斂散散性性都都不不定定 ( (D D) ) 若若 1nna絕絕對對收收斂斂，則則 1nnp與與 1nnq的的斂斂散散性性都都不不定定 例9【答案】 應選(B). 第31頁/共71頁32

21、(03,4(03,4 分分) ) 設設2|nnnaap ，2|nnnaaq ，, 2, 1 n，則下列命題正確的是，則下列命題正確的是 例9【評注】 應了解以下結(jié)論： ( (1 1) ) 1nnu絕絕對對收收斂斂 12|nnnaa與與 12|nnnaa都都收收斂斂； ( (2 2) ) 1nnu條條件件收收斂斂 12|nnnaa與與 12|nnnaa都都發(fā)發(fā)散散； (3)(3) 12|nnnaa與與 12|nnnaa一個收斂， 一個發(fā)散一個收斂， 一個發(fā)散 1nnu發(fā)散發(fā)散. . 第32頁/共71頁33解(05,4(05,4 分分) ) 設設, 2 , 1, 0 nan若若 1nna發(fā)散，發(fā)散

22、， (A) 112nna收收斂斂, 12nna發(fā)發(fā)散散 (B) 12nna收收斂斂, 112nna發(fā)發(fā)散散 例10 11)1(nnna收斂，則下列結(jié)論正確的是收斂，則下列結(jié)論正確的是 收斂級數(shù)加括號仍收斂，故(D)正確. （A A） （B B）反反例例：nan1 ； 由性質(zhì)：正項級數(shù)加括號或去括號不改變其斂散性，可判定(C)選項是錯誤的. (C) )(1212 nnnaa收收斂斂 (D) )(1212 nnnaa收收斂斂 第33頁/共71頁34斂？如果收斂，斂？如果收斂，是否收是否收判斷級數(shù)判斷級數(shù) 1ln)1(nnnn解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而而 nn,ln1ln)1(11發(fā)散發(fā)散

23、 nnnnnnn即原級數(shù)非絕對收斂, 0ln11limln1lim nnnnnnn一方面,xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx是條件收斂還是絕對收斂？例11第34頁/共71頁35,ln)1(1收斂收斂交錯級數(shù)交錯級數(shù) nnnn由萊布尼茨定理知,),0(ln)( xxxxf令令),1(011)( xxxf另一方面,), 1()(上上單單增增在在 xf,ln1單減單減即即xx ,1ln1時單減時單減當當故故 nnn故原級數(shù)是條件收斂第35頁/共71頁36解討論級數(shù)討論級數(shù) 1)22)(2(642)12(531nnnn的斂散性的斂散性. . 記記此此級級數(shù)數(shù)的的通通項項為為nu,

24、, 22)22(121221243432121 nnnnnun 2)22)(12(1 nn, , 12)22(1 nnun 2/3221n,(,(當當 n) ) 2)22(112221254433221 nnnnn 例12第36頁/共71頁37而而 12/31nn收斂收斂, , 注： 此題若用比值法注： 此題若用比值法, ,結(jié)果是結(jié)果是1lim1 nnnuu, ,失效失效. . 12)22(1 nnun 2/3221n,(,(當當 n) ) 由正項級數(shù)的比較判別法知,原級數(shù)收斂. 本題這種放大通項的辦法,有一定的難度. 討論級數(shù)討論級數(shù) 1)22)(2(642)12(531nnnn的斂散性的斂

25、散性. . 例12第37頁/共71頁38題型題型2 2：求冪級數(shù)的收斂域：求冪級數(shù)的收斂域 例1( (0 09 9, ,4 4 分分) )冪冪級級數(shù)數(shù) 12)1(ennnnxn的的收收斂斂半半徑徑為為 . . 12ennnxn的收斂半徑為的收斂半徑為e1，而，而 12)1(nnnxn的收斂半徑為的收斂半徑為1，取兩者較小者即可，取兩者較小者即可. . 解1lim nnnaaR1122)1(e)1()1(elim nnnnnnn,e1 【評注】 也可以這樣求解： 第38頁/共71頁39解(02,3(02,3 分分) ) 設冪級數(shù)設冪級數(shù) 1nnnxa與與 1nnnxb的的收斂半收斂半徑分別為徑分

26、別為35與與31，則冪級數(shù)，則冪級數(shù) 122nnnnxba的收斂半徑為的收斂半徑為 例2【答案】 應選(A). ( (A A) ) 5 ( (B B) ) 35 ( (C C) ) 31 ( (D D) ) 51 212122lim nnnnnbaba2121lim nnnnnbbaa.5)31()35(22 第39頁/共71頁40解(92,3(92,3 分分) ) 求求 124)2(nnnnx的收斂域的收斂域. . nnnnnnnnnxnxxuxu4)2(4)1()2(lim)()(lim21221 22)2(41)1(4)2(lim xnxnn, , 當當 1) 2(412 x, , 即即

27、40 x時時, ,級級數(shù)數(shù)收收斂斂； 在端點在端點0 x和和4 x處處, ,級數(shù)均為級數(shù)均為 11nn, ,發(fā)散；發(fā)散； 所以收斂域為所以收斂域為)4, 0(. . 例3第40頁/共71頁41解( (數(shù)一數(shù)一 00,600,6 分分) )求冪級數(shù)求冪級數(shù) 1)2(31nnnnnx的收斂域的收斂域. . 當當3 x時時, , 而而 121nn發(fā)發(fā)散散, , 因為因為nnnnn213)2(31 , , 故原級數(shù)在點故原級數(shù)在點3 x處發(fā)散處發(fā)散; ; 當當3 x時時, , 例4因因為為nnnn1)2(3)3( 收斂半徑 nnRnnnnn )2(3)1()2(3lim11,3 第41頁/共71頁42

28、且且 11)1(nnn和和 11)2(32nnnnn( (由比值法由比值法) )都收斂都收斂, , 故故原原級級數(shù)數(shù)在在點點3 x處處收收斂斂, , 所所以以收收斂斂域域為為 ) 3, 3 . . 當當3 x時時, , 因因為為nnnn1)2(3)3( 1)2(31nnnnnx,1)2(321)1(nnnnnn 第42頁/共71頁43( (0 01 1, ,7 7 分分) ) 已已知知)(xfn滿滿足足xnnnxxfxfe)()(1 ( (n 為為正正整整數(shù)數(shù)) )， 且且nfne)1( ， 求求函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù) 1)(nnxf的的和和. . 題型題型3 3：求冪級數(shù)的和函數(shù)：求冪級數(shù)的和

29、函數(shù) 例1方方程程化化為為 xnnnxxfxfe)()(1 ， 解由一階線性方程的通解得 )dee(e)(d1dCxxxfxxnxn )d(e1Cxxnx , )1(eCxnnx 代入條件代入條件nfne)1( ， 得， 得0 C， 所以所以 nxxfnxne)( ， 第43頁/共71頁44nxxfnxne)( 于是 11e)(nnxnnnxxf 101denxnxxx xnnxxx011de xxxx01de)1ln(exx 收收斂斂域域為為 ) 1, 1 . . 第44頁/共71頁45( (0 02 2, ,7 7 分分) ) （1 1）驗驗證證函函數(shù)數(shù) ! )3(!9!6!31)(396

30、3nxxxxxyn)( x滿滿足足微微分分方方程程xyyye ； 例2解（1）易易知知冪冪級級數(shù)數(shù) 03! )3(nnnx的的收收斂斂域域為為),( ， （2 2）利利用用（1 1）的的結(jié)結(jié)果果求求冪冪級級數(shù)數(shù) 03! )3(nnnx的的和和函函數(shù)數(shù). . 逐項求導得 ,! )13(!8!5!2)(13852 nxxxxxyn第45頁/共71頁46,! )13(!8!5!2)(13852 nxxxxxyn,! )23(!7!4)(2374 nxxxxxyn,! )3(!9!6!31)(3963 nxxxxxyn,exyyy 所所以以 yyy .e!3!2132xnnxxxx 第46頁/共71頁

31、47xyyye )2( 特特征征方方程程 012 rr， 特特征征根根 ir23212 , 1 ， 對對應應齊齊次次方方程程的的通通解解為為 )23sin23cos(e212xCxCYx ； 設設特特解解為為 xAye ， 代代入入得得 31 A，即即 xye31 ， 所所以以方方程程的的通通解解為為xxxCxCye31)23sin23cos(e212 ， 代代入入初初始始條條件件 1)0( y及及0)0( y， 得得 0,3221 CC， 所以冪級數(shù)所以冪級數(shù) 03! )3(nnnx的和函數(shù)為的和函數(shù)為 xxye3123cos32 . . 第47頁/共71頁48( (0 03 3, ,9 9

32、 分分) ) 求求冪冪級級數(shù)數(shù))1| (2) 1()(12 xnxxfnnn的的和和函函數(shù)數(shù))(xf及及其其極極值值. . 例3解 112)1()(nnnxxf,12xx 兩邊0到x積分，得 xxxxfxf02d1)0()(, )1ln(212x 由由1)0( f，得得 )1ln(211)(2xxf ，)1| ( x. . 令令0)( xf, ,得得唯唯一一駐駐點點0 x， 導數(shù)左正右負， ,1)(2xxxf 所以所以1)0( f為極大值為極大值. . 第48頁/共71頁49( (0 05 5, ,9 9 分分) ) 求求冪冪級級數(shù)數(shù) 12)1121(nnxn在在區(qū)區(qū)間間)1, 1( 內(nèi)內(nèi)的的

33、和和函函數(shù)數(shù))(xS. . 例4解設設 12)1121()(nnxnxS， 記記 121121)(nnxnxS， 122)(nnxxS， 則則 )()()(21xSxSxS ，)1, 1( x. . ,1)(22122xxxxSnn )1, 1(,1) )(22121 xxxxxxSnn第49頁/共71頁50,)1121()(12 nnxnxS,1)(22122xxxxSnn )1, 1(,1) )(22121 xxxxxxSnn,11ln21d1)(0221 xxxxtttxxS由由于于0)0(1 S,故故 ,0 , 0 1|0 ,11ln211)(1 xxxxxxS.0 , 0 1|0 ,

34、1111ln21)(2 xxxxxxxS所以第50頁/共71頁51(06,10(06,10 分分) )求冪級數(shù)求冪級數(shù) 1121)12()1(nnnnnx的收斂域及和的收斂域及和函數(shù)函數(shù))(xS. . 例5解當當1|2 x，即即1| x時時，冪冪級級數(shù)數(shù)收收斂斂； )12()1()12)(1()1(lim12132 nnxnnxnnnnn,|2x 當當1| x時時，冪冪級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散； 當當1 x時，級數(shù)時，級數(shù) 11)12()1(nnnn、 1)12()1(nnnn均收斂，均收斂， 所所以以收收斂斂域域為為 1, 1 . . 第51頁/共71頁52 1121)12()1()(nnnnnxx

35、S 121)12(2)1(2nnnnnxx, )(21xxS ,)12(2)1()(1211 nnnnnxxS,12)1()(11211 nnnnxxS 12211)1()(nnnxxS,112x ,arctand11)0()(0211xttSxSx 0)0(1 S，所所以以 xxSarctan)(1 ， xtSxS011darctan)0()(, )1ln(21arctan2xxx ,0)0(1 S所以所以)1ln(21arctan)(21xxxxS ， 第52頁/共71頁53, )(2)(1xxSxS )1ln(21arctan)(21xxxxS 故故 )1ln(arctan2)(22xx

36、xxxS . . 由于所給冪級數(shù)在由于所給冪級數(shù)在1 x處都收斂處都收斂, ,且且)(xS在在1 x處連續(xù)，故上式在處連續(xù)，故上式在1, 1 成立成立. . 第53頁/共71頁54答案:求冪級數(shù)求冪級數(shù) 121) 12(11 () 1(nnnxnn的收斂的收斂區(qū)間與和函數(shù)區(qū)間與和函數(shù). . 類題05(16)12, )1ln(arctan21)(222xxxxxxf .1 x第54頁/共71頁55( (9 99 9, ,3 3 分分) ) 級級數(shù)數(shù) )21(11 nnn. . 題型題型4 4：求數(shù)項級數(shù)的和：求數(shù)項級數(shù)的和 例1令令 11)(nnnxxS， 解于于是是 4)21()21(11 S

37、nnn. . )()( 1 nnxxS則則)1( xx,)1(12x 1| x第55頁/共71頁56解求級數(shù)求級數(shù) 022)1()1(nnnnn的和的和. . 原原式式 02)21()21)(1(nnnnnn, , 322/111)21(0 nn, , 2)1(nnxnn 222)1(nnxnnx )(22 nnxx )111(2 xxx 32)1(2xx , , 1| x； 將將21 x代代入入, , 得得 274)21)(1(2 nnnn, , 所所以以原原式式272232274 . . 例2(93五7)第56頁/共71頁57( (9 98 8, ,6 6 分分) ) 設設有有兩兩條條拋拋

38、物物線線nnxy12 和和2) 1(xny 11 n，記記它它們們交交點點的的橫橫坐坐標標的的絕絕對對值值為為na， （1 1）求求這這兩兩條條拋拋物物線線所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形的的面面積積nS； （2 2）求求級級數(shù)數(shù) 1nnnaS的的和和. . 例3解解解方方程程組組 11) 1(122nxnynnxy 得得 )1(12 nnx， 從從而而 )1(1 nnan. . 第57頁/共71頁58xyo)1(1 nnan nanxnxnnnxS022d11) 1(12 naxxnn02d)1(12,)1()1(134 nnnn因因此此 )1(134 nnaSnn)111(34 nn， 于

39、于是是 1nnnaS)111(34lim nn34 . . 第58頁/共71頁59( (0 00 0, ,6 6分分) )設設 40dcossin xxxInn, , 1 , 0 n， 求求 0nnI. . 例4解 40dcossin xxxInn 40sindsin xxn401sin11 xnn ,)22(111 nn 010)22(11nnnnnI,)22(11 nnn所以考慮冪級數(shù) ,)(1 nnnxxS,11)(11xxxSnn 1| x 01d)0()(xxSxS, )1ln(x 11 x所以. )22ln()221ln()22(0 SInn第59頁/共71頁60( (+ +0 0

40、8 8, ,9 9 分分) )利利用用正正項項級級數(shù)數(shù)判判斂斂方方法法說說明明級級數(shù)數(shù) 1211nnnn 是是收收斂斂的的； （2 分分） （2）求求出出上上面面收收斂斂級級數(shù)數(shù)的的和和。 （7 分分） 。 解例5(1)0211 nnnna，正正項項級級數(shù)數(shù)， nnnaa1lim 所以級數(shù)收斂； 考慮冪級數(shù)考慮冪級數(shù) 11nnxnn， (2)它它的的收收斂斂域域是是 )1, 1( ； nnnnnnn2112121lim1 用比值判別法，,121 第60頁/共71頁61考慮冪級數(shù)考慮冪級數(shù) 11nnxnn， (2)它它的的收收斂斂域域是是 )1, 1( ； 和函數(shù) 11)(nnxnnxS 1)1

41、11(nnxn 1111nnnnxnx, )(111xSxxx 0 x其其中中 11111)(nnxnxS， 逐項求導，逐項求導， 11)(nnxxSxx 1， 第61頁/共71頁62, )(11)(1xSxxxxS 0 x所以所以 1211nnnn)21(S 2ln22 . . xxxS 1)(1所以)0(d1)(101SxxxxSx , )1ln(xx 于是)(11)(1xSxxxxS )1ln(11xxxxx , )1ln(111xxx ,1|0 x第62頁/共71頁63( (9 95 5, ,6 6 分分) ) 將將函函數(shù)數(shù))21ln(2xxy 展展開開成成 x 的的冪冪級級數(shù)數(shù)，并并指指出出其其收收斂斂域域. . 題型題型5 5：將函數(shù)展開成冪級數(shù)：將函數(shù)展開成冪級數(shù) 例1解利利用用展展開開式式 11)1()1l