章節(jié)行列式按行列展開學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1第一頁，共55頁。-再看習(xí)題11中3第 題證明題：111222333abcabcabc222222111333333bcacababcbcacab這里， 三階行列式 由它的第一行元素分別各乘以一個(gè)這樣將三階行列式的計(jì)算 轉(zhuǎn)化為二階行列式的計(jì)算，從而提示：轉(zhuǎn)化為低一階行列式進(jìn)行計(jì)算，這樣逐次降階， 從而通過計(jì)算低階行列式來解決n高階甚至 階行列式的計(jì)算問題。二階行列式， 此二階行列式不含第一行元素，n可以將 階行列式第1頁/共55頁第二頁，共55頁。一、行列式按一行(列)展開為從更一般的角度來考慮 使用低階行列式來表示高階行列式的問題，這里需要引入余子式和代數(shù)余子式的概念。定義1nD在

2、階行列式 中，ija去掉元素所在的i第 行j和第 列后，1n余下的階行列式，ijDa稱為 中元素的 余子式 ，ijM記為,( 1)ijijijAM 再記,ijA稱為ijDa中元素的代數(shù)余子式。第2頁/共55頁第三頁，共55頁。例如 在四階行列式11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa中，32a去掉元素所在的3第 行2和第 列， 將余下的元素按原來位置重新排成的行列式32M32a元素的就叫余子式，111314212324414344aaaaaaaaaijijaM元素與余子式相互一一對應(yīng)。注意：第3頁/共55頁第四頁，共55頁。例如 在四階

3、行列式11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa3 232M對乘上符號(-1)得到的111314212324414344 aaaaaaaaa32a元素的就叫代數(shù)余子式。32A3 232=M(-1)3232aA元素的代數(shù)余子式注意：3232aM由的余子式乘上3 2( 1)符號得到，此符號的指數(shù)32a為元素的行碼列碼。第4頁/共55頁第五頁，共55頁。于是，利用代數(shù)余子式的表示， 行列式：111213212223313233=aaaDaaaaaa就可以符號化表示為D 1111a A1212a A1313a A這樣為下一步的討論和演算 提供了很

4、大的方便，為脫離繁瑣的運(yùn)算，從整體上分析行列式的運(yùn)算做好了準(zhǔn)備。第5頁/共55頁第六頁，共55頁。引理nD一個(gè) 階行列式 ，ijia若其中第 行所有元素除外都為零，ijijaA則該行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積ijijD = a A即：20P證明見課本。這就是著名的行列式降階計(jì)算法，它的應(yīng)用條件就是ijia其中 行所有元素除外都是0?；蛘哒f， 其中某行只有一個(gè)非0元。而將行列式某行化成僅剩一個(gè)非零元的方法，我們早已掌握 倍加。引理：是數(shù)學(xué)中為了取得某個(gè)更好的結(jié)論而作為步驟被證明的命題，其意義并不在于自身被證明，而在于為達(dá)成最終目的作出貢獻(xiàn)。第6頁/共55頁第七頁，共55頁。定理1()行列式等

5、于它的任一行 列 的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即1122iiiiininD = a Aa Aa A(1,2, )i =n i行列式等于它的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式第 行乘積之和?；?122jjjjnjnjD = a Aa Aa A(1,2, )j =n j行列式等于它的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式第 列乘積之和。P證明見課本 21。第7頁/共55頁第八頁，共55頁。推論()()行列式某一行 列 的元素與另一行 列 的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即1122=0ijijinjna Aa Aa A()ij ij第 行第 行行列式各元素與的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0。或112

6、20ijijninja Aa Aa A()ijP證明見課本 21。 ij第 列第 列行列式各元素與的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0。第8頁/共55頁第九頁，共55頁。將定理1和推論綜合起來，得到：1nkikjka AijD, 0, Dijij行展開：1nikjkka AijD, 0, Dijij列展開：D大量應(yīng)用的是等于 的關(guān)系式降階法，0但要警惕的是誤用等于 的關(guān)系式。第9頁/共55頁第十頁，共55頁。1例按第三列展開計(jì)算行列式.5021011321014321D解第三列元素為133,a231,a331,a 430,a按第三列展開式為1313232333334343D = a Aa Aa

7、 Aa A其中：各元素對應(yīng)代數(shù)余子式為13A1 3( 1) 10231012519;23A2 3( 1) 12431012563; 33A3 3( 1) 12410212518;43A430,a因而免于計(jì)算即得 D = 3 191 ( 63) ( 1) 18 024 。第10頁/共55頁第十一頁，共55頁。二、用降階法計(jì)算行列式直接應(yīng)用按行(列)展開法1122iiiiininD = a Aa Aa A1122jjjjnjnj= a Aa Aa A計(jì)算行列式，計(jì)算量仍然較大，尤其是高階行列式。但前面例1可見， 當(dāng)展開行(列)中有0元素時(shí)，減少該元對應(yīng)的余子式的計(jì)算。就可以因此， 計(jì)算行列式時(shí)，應(yīng)

8、先用行列式性質(zhì)將行列式中某行(列)化為僅含一個(gè)非零元素，再按此行(列)展開，即可將此行列式化為低一階的行列式，如此繼續(xù)下去， 直到化為二、三階行列式為止。第11頁/共55頁第十二頁，共55頁。降階法的應(yīng)用由于降階法是按任意一行 或按任意一列展開的方法，所以降階法應(yīng)該按0元素最多的行(列)展開，從而降階前應(yīng)該化某行(列)僅有一非零元。降階法的一般手法： 1()0觀察哪一行 列 元素最多，()選之化為僅一非零元的行 列 ，()觀察哪兩行 列 成或比例元素最多，()選其一化為僅一非零元的行 列 ， 2()按僅一非零元的行 列 展開行列式。切勿忘記展開結(jié)果三要素：ija元素、( 1)ij符號ijM余子

9、式第12頁/共55頁第十三頁，共55頁。2例仍計(jì)算例1的行列式.5021011321014321D解易見，化原已有0的第2、3行或第2、3列為僅一非零元時(shí)，D計(jì)算量較少，1343 2 2 rrrr70141012311070252 c按展開3 2714( 1)( 1)1127252131 2 rrrr71460221032 c按展開1 2621 ( 1)213 ( 1842) 24 。第13頁/共55頁第十四頁，共55頁。切記： 應(yīng)用按行(列)展開法時(shí)，千萬不要漏掉三要素：ija元素、( 1)ij符號ijM余子式之一，( 1)ij最容易漏掉的是符號，( 1)ij確定代數(shù)余子式符號的簡捷方法：1

10、1a從起， 正號起步， 每過一個(gè)元素， 變更一次符號，ija當(dāng)?shù)竭_(dá)時(shí)的符號，( 1)ij就正好是。5312017252023100414002350D中例如指定元素2的符號為-號2 5( 1)正好是此法減少了確定行、列碼并作相加運(yùn)算的時(shí)間此法不須確定行、列碼，第14頁/共55頁第十五頁，共55頁。3例計(jì)算行列式.0532004140013202527102135D解D25 a按展開25312023104140235( 1) 11 a按展開25( 1) 2314142352131 2 rrrr23110 07206611 a按展開10( 2) ( 1) 726620( 42 12)1080 。第

11、15頁/共55頁第十六頁，共55頁。n計(jì)算 階行列式的一般方法 1 觀察元素的分布、變化規(guī)律， 2n規(guī)律不明顯時(shí)可寫出 為確定值時(shí)的行列式， 4n通過掌握的 為確定值的行列式求解方法，n推導(dǎo) 不確定的行列式求解方法。 3n探求 為確定值的行列式求解方法，第16頁/共55頁第十七頁，共55頁。例4 求證121234112311122( 1)1131211nnnnxnxxxnxxxxxx 。分析：1234567112345611234511234112311211xxxxxxxxxxxxxxxn這是 階行列式，可具體化為7階，這樣便于尋找更好的方法。從而實(shí)施化0的運(yùn)算，不易了解到行列式元素的變化規(guī)

12、律， 11krr110a目標(biāo)：化下方全為 ，各減首行， 12kkrr主對角線上方為-1， 13kkrr但首行不變，主對角線上方全為1，各減上行，各減下行，x變得無規(guī)律，x多數(shù) 變0，x多數(shù) 變0，第17頁/共55頁第十八頁，共55頁。證明1 (2, ) kkrrkn 123411123211123212311211nnnnnxnnxxxxxxxxxx 01111101111100111100001100001111nxxxxxxx =左邊1 c按 展111111111111011111( 1)0001100011nnxxx 標(biāo)上階數(shù)不易搞錯(cuò)首行起，次第上行減下行第18頁/共55頁第十九頁，共5

13、5頁。1 (2) kkr- rk11111111111101111( 1)0001100011nnxxx 這不是三角形行列式，若化上三角形，x元素1不易消，若化下三角形，1kkr-r即各減下一行即可。11000010000100( 1)000000011nnxxxxxxx 下三角12( 1)nnx。首行起，次第上行減下行第19頁/共55頁第二十頁，共55頁。例5 證明范得蒙行列式1222212111112111()nnnijn ijnnnnxxxDxxxxxxxx ?！啊逼渲杏浱柋硎救w同類因子的乘積。1n ij i j且要求保持的關(guān)系。ijn表示 ， 遍取1至 之間的數(shù)(不作要求)第20頁/

14、共55頁第二十一頁，共55頁。1222212111112111()nnnijn ijnnnnxxxDxxxxxxxx 分析：nnn階范得蒙行列式有 行 列，其中， 第一行元素全是1，12,nxxx第二行元素是各不相同的數(shù) ， ，；22212,nxxx第三行元素是這些數(shù)的平方數(shù)，；33312,nxxx第四行元素是這些數(shù)的立方數(shù) ， ，；12,kkknk +kxxx第1行元素是這些數(shù)的 次方數(shù)，；111121,nnnnnnxxx第 行元素是這些數(shù)的次方數(shù)，。第21頁/共55頁第二十二頁，共55頁。1222212111112111()nnnijn ijnnnnxxxDxxxxxxxx 從列來看，n個(gè)

15、列具有相同的排列規(guī)律，11a這樣，若要化下方元素全為0，tx即若該列二行以下的數(shù)是 的話，tx則該列二行以下的任一數(shù)總是上一數(shù)乘以 ，1x只須將上一數(shù)乘以加到下一數(shù)，于是有：第22頁/共55頁第二十三頁，共55頁。證明n這是與自然數(shù) 有關(guān)的命題，可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法， 1n =當(dāng)2時(shí)，21211Dxx21xx21()ijijxx 。驗(yàn)證n =即當(dāng)2時(shí)，等式成立； 2 假設(shè)即有121222112111222121111()kkkijkijkkkkxxxDxxxxxxxx 。1n = k 當(dāng)時(shí)等式成立，1-1kkxx這是 -1個(gè)數(shù)的范得蒙行列式,1,2,1iji jkijxx滿足且的所有差之乘積。第

16、23頁/共55頁第二十四頁，共55頁。接上， 3n = k待證當(dāng)時(shí)等式仍成立，由于122221211112111kkkkkkkxxxDxxxxxx12222122221211112111kkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxx第24頁/共55頁第二十五頁，共55頁。kD設(shè)法將降階，12222122221211112111kkkkkkkkkkkkxxxxxxDxxxxxx11a即化下方元素全為0，11 (2) iir - x ri21122212123232121121221211110000kkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxx xxx xxx xxx xxx xxx x1x第二行

17、起，次第上行的- 倍加到下行第25頁/共55頁第二十六頁，共55頁。續(xù)前1 c按展開21122212123232121121221211kkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxx xxx xxx xxx xxx xxx x21122212123232121121221211110000kkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxx xxx xxx xxx xxx xxx x第26頁/共55頁第二十七頁，共55頁。續(xù)前 各元素抽公因21122212123232121121221211kkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxx xxx xxx xxx xxx xxx x2112211332211

18、2222111()()()()()()kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx第27頁/共55頁第二十八頁，共55頁。續(xù)前21122113322112222111()()()()()()kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 各列抽公因212332222111()ktk tkkkkkkkxxxxxxxx 112()tkk txxD 2kkxx這是 -1個(gè)數(shù)的范得蒙行列式1kD這與前設(shè)的有區(qū)別第28頁/共55頁第二十九頁，共55頁。112()tkk txxD 續(xù)前12()tk txx 2kkxx這是 -1個(gè)數(shù)的范得蒙行列式,2,iji j

19、kijxx滿足且的所有差之乘積。2()ijk ijxx 1x缺與 的差1x僅為與 的差1()ijk ijxx n = k即當(dāng)時(shí)等式仍成立。綜上三個(gè)步驟，由數(shù)學(xué)歸納法知，等式得證成立。1111()kijkijkxxxx 原設(shè) -1個(gè)數(shù)的范得蒙行列式，結(jié)果為第29頁/共55頁第三十頁，共55頁。6例設(shè),3142313150111253DD中元素的余子式和代數(shù)ijijMA余子式依次記作和， 111213141 AAAA求+， 112131412 MMMM及+。分析 由于11121314AAAA+11121314=1111AAAA +i對比行列式按第 行展開公式：11223344=iiiiiiiiD

20、a Aa Aa Aa A+1就是第一行元素全是1的行列式按第 行展開的結(jié)果，111213141111AAAA 可見+11121314AAAA、是4階行列式第一行元素的代數(shù)余子式，而第30頁/共55頁第三十一頁，共55頁。3521110513132413D是解11121314AAAA由于，中第一行元素的代數(shù)余子式，*110513132413也是 111213141AAAA求+11121314AAAA那當(dāng)然，中第一行元素的代數(shù)余子式，(*為任意數(shù))第31頁/共55頁第三十二頁，共55頁。于是11121314AAAA+11121314=1111AAAA +根據(jù)行列式按第一行展開公式，得1111110

21、5,13132413第32頁/共55頁第三十三頁，共55頁。1111110513132413續(xù)前3143 rrrr11111105220211003 c按 展開1151 222110 0運(yùn)算量少，最多，元素小。21 cc1252021003 r按 展開251024 。第33頁/共55頁第三十四頁，共55頁。,3142313150111253D 112131412MMMM求+。解由于與行列式計(jì)算相關(guān)的是代數(shù)余子式，所以將上各余子式恒等變換為代數(shù)余子式，得11213141MMMM+1 12 13 14 111213141( 1)( 1)( 1)( 1)MMMM 11213141AAAA112131

22、411111AAAA 第34頁/共55頁第三十五頁，共55頁。112131411111AAAA 續(xù)前j對比行列式按第 列展開公式：11223344=jjjjjjjjD a Aa Aa Aa A+1就是第一列元素為1、-1、1、-1的行列式按第 列112131411111AAAA 可見展開的結(jié)果，于是根據(jù)行列式按第一列展開公式，得112131411111=AAAA 11213141MMMM+第35頁/共55頁第三十六頁，共55頁。112131411111=AAAA 續(xù)前152111051313141343 rr15211105131301004 r按 展開1211 105113 13 2 rr1

23、051 105113 12 rr0本例方法可稱為： 按代數(shù)余子式的關(guān)系式塑造某行。第36頁/共55頁第三十七頁，共55頁。*三、拉普拉斯定理行列式按行(列)展開方法 提供了快捷行列式運(yùn)算的降階法， 而拉普拉斯定理 提供了更快捷的運(yùn)算方法。先介紹兩個(gè)概念：定義2n在 階行列式中，kkkn任意選定 行 列(1)，2k將位于這些行和列交叉處的個(gè)元素，按原來的順序kM構(gòu)成一個(gè) 階行列式，Dk稱為 的一個(gè) 階子式，kk劃去這 行 列，nk余下的元素按原來的順序構(gòu)成階行列式，1212kkiiijjj在其前面冠以符號(-1)，M稱為的代數(shù)余子式，12kiiikMD其中 ， ， ， 為 階子式在 中的12kj

24、jjMD， ， ， 為在 中的列標(biāo)。行標(biāo)，(簡單介紹)第37頁/共55頁第三十八頁，共55頁。例 五階行列式11121314152122232425313233343541424344455152535455aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa中，選定2，3行 和1，4列， 則位于這些行列交界處的22 個(gè)元素， 按原來的順序構(gòu)成一個(gè)二階子式：21243134=aaMaa余下的元素按原來的順序構(gòu)成M的代數(shù)余子式(2 3) (1 4)( 1)121315424345525355aaaaaaaaa第38頁/共55頁第三十九頁，共55頁。 k行列式的 階子式 與其代數(shù)余子式之間，有著類似

25、 行列式按行(列)展開的性質(zhì)。定理2 (拉普拉斯定理)nD在 階行列式 中，任意選定1kkn行(1)，kk由這 行(列)組成的所有 階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積 之和D等于行列式 。行列式按一行(列)展開=k是定理2中1的特殊情況。注意nD在 階行列式 中，1kkn任意選定的 行(1)，knCk共可構(gòu)成個(gè) 階子式。因此，為取得較少的計(jì)算量，12kn最好接近。第39頁/共55頁第四十頁，共55頁。例 五階行列式11121314152122232425313233343541424344455152535455aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa中，選定2，3行， 則這兩行元素共可

26、構(gòu)成25=C10個(gè)2階子式：2122123132=aaMaa2123133133=aaMaa2124143134=aaMaa2125153135=aaMaa2223233233=aaMaa2224243234=aaMaa2225253235=aaMaa2324343334=aaMaa2325353335=aaMaa2425453435=aaMaa第40頁/共55頁第四十一頁，共55頁。例7 用拉普拉斯定理求行列式2300123001230012D 的值。解應(yīng)選擇盡可能多的0值二階子式故按一、二兩行展開，得D 23121 2 1 2( 1) 2312+20131 2 1 3( 1) 1302+的

27、兩行，0 + 0 + 0 + 0=1( 1) 1116211 12第41頁/共55頁第四十二頁，共55頁。2nababDcdcd。例8n計(jì)算2 階行列式(其中未寫出的元素都是0)(不作要求)第42頁/共55頁第四十三頁，共55頁。分析 可借助六階形式作思路分析，6000000000000000000000000abababDcdcdcdn這是偶數(shù)階對稱分布2 階行列式，要使降階速度更快，應(yīng)使用拉普拉斯定理，變形中應(yīng)保持規(guī)律，仿照行(列)中僅一非零元的降階法，可考慮使左上角變?yōu)橐环橇愣A行列式，且此二階行列式的下(右)方元素全為0，則此時(shí)使用拉普拉斯定理，同時(shí)其代數(shù)余子式是原形降兩階的形式，就可

28、以用歸納法解決。第43頁/共55頁第四十四頁，共55頁。2 3000000000000000000000000abababDcdcdcd如何變？考慮到偶數(shù)階對稱分布，其二階形式應(yīng)為abcd將其化到左上角，且其代數(shù)余子式仍為2n-2階原形，這須作行、列的對換，將第六行與上行交換，次第換到第二行，再將第六列與前列交換，次第換到第二列，即達(dá)到上述目標(biāo)。第44頁/共55頁第四十五頁，共55頁。2nababDcdcd續(xù)22nDn將中的第行依次與上一行對換，n經(jīng)2( -1)次相鄰行對換，2n使原第行換到了第二行，2(1)nD并使原中心部份的，整體下移了一行，12nabcdDabcd12nD如右邊的，第45頁/共55頁第四十六頁，共55頁。續(xù)122nDn再將中的第列依次與左邊一列對換，n經(jīng)2( -