大一高等數(shù)學第九章重積分及其應(yīng)用習題

1、定定 義義幾何意義幾何意義性性 質(zhì)質(zhì)計算法計算法應(yīng)應(yīng) 用用二重積分二重積分定定 義義幾何意義幾何意義性性 質(zhì)質(zhì)計算法計算法應(yīng)應(yīng) 用用三重積分三重積分一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容定義定義 設(shè)設(shè)),(yxf是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)，將上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域閉區(qū)域 D 任意分成任意分成n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積，個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個在每個i 上任取一點上任取一點),(ii ，作乘積作乘積 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，1 1、二重積分的定義、二重積

2、分的定義如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D 上的上的二重積分二重積分，記為記為 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10、二重積分的幾何意義、二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值負值性質(zhì)性質(zhì)當當 為常數(shù)時，為常數(shù)時，k.),(),( DDdyxfkdyxkf

3、性質(zhì)性質(zhì) Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf 、二重積分的性質(zhì)、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 性質(zhì)性質(zhì) 若若 為為D的面積的面積.1 DDdd 性質(zhì)性質(zhì)若在若在D上，上，),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 設(shè)設(shè)M、m分別是分別是),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D 上的最上的最大值和最小值，大值和最小值， 為為 D 的面積，則的面積，則 DMdyxfm ),( （二重積分估值不等式）（二重積分

4、估值不等式）性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上連續(xù)，上連續(xù)， 為為D的面積，則在的面積，則在 D 上至少存在一點上至少存在一點),( 使得使得 ),(),(fdyxfD.性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分中值定理）、二重積分的計算、二重積分的計算,:bxaD ).()(21xyx X型型.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf X-型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.（）直角坐標系下（）直角坐標系下 Y型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域

5、且平行于x軸軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:dycD ).()(21yxy Y型型.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,cos(Drdrdrrf ,:1 D).()(21 r（）極坐標系下（）極坐標系下.)sin,cos()(0 rdrrrfd,:2 D).(0 r 2)sin,cos(Drdrdrrf 3)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()(020 rdrrrfd,20:3 D).(0 r5 5、二重積分的應(yīng)用、二重積分的應(yīng)用(1) 體積體積的

6、體積為的體積為之間直柱體之間直柱體與區(qū)域與區(qū)域在曲面在曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(設(shè)設(shè)S曲面的方程為：曲面的方程為：).,(yxfz 曲面曲面S的面積為的面積為 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面積曲面積當薄片是均勻的，重心稱為形心當薄片是均勻的，重心稱為形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄

7、薄片片的的重重心心為為(3) 重心重心薄片對于薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于薄片對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 設(shè)有一平面薄片，占有設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D，在點在點),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上連續(xù)，平面薄片對于上連續(xù)，平面薄片對于x軸和軸和y軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為(4) 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量薄片對薄片對軸上單位質(zhì)點的引力軸上單位質(zhì)點的引力z 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度

8、度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，計計算算該該平平面面薄薄片片對對位位于于z 軸軸上上的的點點), 0 , 0(0aM處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)f(5) 引力引力6 6、三重積分的定義、三重積分的定義設(shè)設(shè)),(zyxf是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域上的有界函上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域數(shù)，將閉區(qū)域任意分成任意分成n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域1v ，2v ,nv ，其中，其中nv

9、表示第表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的個小閉區(qū)域，也表示它的體積體積, 在每個在每個iv上任取一點上任取一點),(iii 作乘積作乘積iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并作和，并作和, 如果當各如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時，這和式趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(zyxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域上的三重積分，記為上的三重積分，記為 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .7、三重積分的幾何意義、三重積分的幾何意義表示空間區(qū)域的體積表示空間區(qū)域的體積時時當當 Vdvzyxf,1),(8 8、

10、三重積分的性質(zhì)、三重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)9 9、三重積分的計算、三重積分的計算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),( ),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf() 直角坐標直角坐標 .,sin,coszzryrx () 柱面坐標柱面坐標.),sin,cos(),( dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin

11、2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面坐標球面坐標1010、三重積分的應(yīng)用、三重積分的應(yīng)用. dvM 其中其中,1 dvxMx 設(shè)設(shè)物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 ，在在點點),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則該該物物體體的的重重心心為為() 重心重心,1 dvyMy .1 dvzMz ,2 dvzIxy () 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 設(shè)設(shè)物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 ，在在點點),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，假假定定),(z

12、yx 在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則該該物物體體對對坐坐標標面面,坐坐標標軸軸及及原原點點的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量為為,2 dvxIyz ,2 dvyIzx ,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo D二、典型例題二、典型例題例例1 1解解圍成圍成由由其中其中計算計算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD例例2 2解解. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中計算計算 1D2D3D先去掉絕對值符號，如圖先去掉

13、絕對值符號，如圖 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 )0( .),(22202 adyyxfdxIaxxaxa更換積分次序更換積分次序例例3 3解解 ,22,20:2axyxaxaxD,321三部分三部分及及分成分成將積分區(qū)域?qū)⒎e分區(qū)域DDDD2D1D3D;0,2:2221ayyaaxayD ;2,22:22ayaaxayD ;0,2:223ayaxyaaD .),(),(),(20222020222222 ayaaaaayayaaayadxyxfdydxyxfdydxyxfdyI故故例例4 4解解）所圍的面積

14、（取圓外部所圍的面積（取圓外部和圓和圓是由心臟線是由心臟線其中其中計算計算ararDdyxD )cos1(.22 )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a例例5 5解解所圍成所圍成及及由由其中其中計算計算00, 1.)cos( yxyxDdxdyyxyxID,yxvyxu 令令.2,2uvyvux 則則,DD Dxyo1 yxD uvovu vu 1 v. 11;0;0 vyxvuyvux即即),(),(vuyxJ ,2121212121 DdudvJvuIcos故故 vvduvudvcos2110. 1sin211sin22110 vdv

15、例例6 6.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx證明證明 證證 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa例例7 7組成的三棱錐臺組成的三棱錐臺是由六個頂點是由六個頂點，其中，其中計算計算)4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(),0 , 0 , 2(),2 , 1 , 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(:122FEDCBAdvyx 解解,ABEDxoy 面上的投影為梯形面上的投影為梯形在在 為頂?shù)闹w為頂?shù)闹w

16、以梯形以梯形為底，為底，是以梯形是以梯形ACFDABED ,軸軸所所在在平平面面過過梯梯形形xACFD, 0 zy 設(shè)其方程為設(shè)其方程為xyzCAFEDBO. 02,)2 , 1 , 1( yzC得其方程為得其方程為點點又因過又因過. 21;0;20: xxyyz yxdzdyyxdxdvyx20022212211 xdyyxydx022212 2122ln)2ln(dxxx. 2ln 例例8 8所所圍圍成成的的與與由由其其中中，計計算算22221)(yxzyxzdvzx 解解利用球面坐標利用球面坐標奇函數(shù)，奇函數(shù)，的的為為面為對稱，面為對稱，關(guān)于關(guān)于xxzyxfyoz ),(. 0 xdv有

17、有 zdvdvzx)( 1024020sincosdrrrdd.8 例例. 1:222 zyxdvez，計計算算 解解法法，故采用先二后一，故采用先二后一為圓域為圓域的函數(shù)，截面的函數(shù)，截面被積函數(shù)僅為被積函數(shù)僅為2221)(zyxzDz 上上dvedvezz2 10)(2dzedxdyzzD 102)1(2dzezz.2 例例1010.)()(21)(02000 xxvudttftxdvdudttf證明證明 證證思路：從改變積分次序入手思路：從改變積分次序入手 vvtvudutfdtdttfdu000)()( vdttftv0,)()( xvxvudttftvdvdvdudttf00000)

18、()()( xxtdvtftvdt0)()(.)()(2102 xdttftx一、選擇題一、選擇題: : 1 1、 xdyyxfdx1010),(=( )=( ) (A) (A) 1010),(dxyxfdyx； (B) (B) xdxyxfdy1010),(； (C) (C) 1010),(dxyxfdy； (D) (D) ydxyxfdy1010),(. . 2 2、設(shè)、設(shè)D為為222ayx , ,當當 a( )( )時時, , Ddxdyyxa222. . (A) 1 (A) 1 ； (B) (B) 323 ； (C) (C) 343； (D) (D) 321 . .測測 驗驗 題題 3

19、 3、當、當D是是( )( )圍成的區(qū)域時圍成的區(qū)域時, ,二重積分二重積分 Ddxdy=1.=1. (A) (A)x軸軸, ,y軸及軸及022 yx；( (B)B)31,21 yx ； (C) (C)x軸軸, ,y軸及軸及3, 4 yx；(D)(D). 1, 1 yxyx 4 4、 Dxydxdyxe的值為的值為( ).( ).其中區(qū)域為其中區(qū)域為D 01, 10 yx. . (A) (A) e1 ； (B) (B) e ； (C) (C) e1 ； (D) 1 . (D) 1 . 5 5、設(shè)設(shè) DdxdyyxI)(22, ,其其中中D由由222ayx 所所 圍圍成成, ,則則I= =( (

20、 ) ). . ( (A A) )40220ardrada ; ;( (B B) )4022021ardrrda ; ; ( (C C) )3022032adrrda ; ;( (D D) )402202 aadrada . . 6 6、設(shè)設(shè) 是是由由三三個個坐坐標標面面與與平平面面zyx 2= =1 1 所所圍圍成成的的 空空間間區(qū)區(qū)域域, ,則則 xdxdydz= =( ( ) ). . ( (A A) ) 481 ； ( (B B) ) 481 ； ( (C C) ) 241 ； ( (D D) ) 241 . . 7 7、設(shè)、設(shè) 是錐面是錐面, 0(222222 abyaxcz)0,

21、0 cb與平面與平面 czyx , 0, 0所圍成的空間區(qū)域在第一卦限所圍成的空間區(qū)域在第一卦限的的 部分部分, ,則則 dxdydzzxy=( ).=( ). (A) (A) cba22361； (B) (B) bba22361； (C) (C) acb22361； (D) (D) abc361. . 8 8、計算、計算 zdvI, ,其其1,222 zyxz為為中中圍成的圍成的 立體立體, ,則正確的解法為則正確的解法為( )( )和和( ).( ). 9 9、曲面、曲面22yxz 包含在圓柱包含在圓柱xyx222 內(nèi)部的那內(nèi)部的那 部分面積部分面積 s( ).( ).(A)(A) 3；

22、(B) (B) 2；(C)(C) 5； (D) (D) 22. . 10 10、由直線、由直線2, 2, 2 yxyx所圍成的質(zhì)量分布均勻所圍成的質(zhì)量分布均勻 ( (設(shè)面密度為設(shè)面密度為 ) )的平面薄板的平面薄板, ,關(guān)于關(guān)于x軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量 xI= =( ).( ). (A) (A) 3； (B) (B) 5； (C) (C) 4； (D) (D) 6. . (A) (A) 101020zdzrdrdI；(B)(B) 11020rzdzrdrdI； (C) (C) 11020rrdrdzdI； (D) (D) zzrdrddzI02010. .二、計算下列二重積分二、計算下列二重

23、積分: : 1 1、 Ddyx )(22, ,其中其中D是閉區(qū)域是閉區(qū)域: : .0 ,sin0 xxy 2 2、 Ddxy arctan, ,其中其中D是由直線是由直線0 y及圓周及圓周 1, 42222 yxyx, ,xy 所圍成的在第一象所圍成的在第一象 限內(nèi)的閉區(qū)域限內(nèi)的閉區(qū)域 . . 3 3、 Ddyxy )963(2, ,其中其中D是閉區(qū)是閉區(qū) 域域: :222Ryx 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次序三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次序: : 1 1、 yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(； 2 2、 21110),(xxdyyxfdx； 3 3、 00)sin,cos(rdrrrfda. .四、將三次積分四、將三次積分 yxxdzzyxfdydx),(110改換