定積分的概念及應(yīng)ppt課件

1、mathsoft第六章第六章 定積分的概念及運用定積分的概念及運用第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念定積分的概念第二節(jié)第二節(jié) 平面圖形的面積平面圖形的面積第三節(jié)第三節(jié) 體積體積數(shù)學(xué)分析電子教案 西電科大mathsoft第四節(jié)第四節(jié) 平面曲線弧長平面曲線弧長第五節(jié)第五節(jié) 功、水壓力和引功、水壓力和引力力第六節(jié)第六節(jié) 平均值平均值習(xí)題課習(xí)題課數(shù)學(xué)分析電子教案 西電科大mathsoft例例1 1 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積一、問題的提出引例一、問題的提出引例 中學(xué)學(xué)習(xí)過：三角形，圓形，矩形，平行四中學(xué)學(xué)習(xí)過：三角形，圓形，矩形，平行四邊形，梯形等規(guī)那么圖形面積的計算。邊形，梯形等規(guī)那么圖形面積的計算。

2、那么不規(guī)那么圖形的面積怎樣來求呢?下面將引見任一圖形面積的計算方法，例如：第一節(jié) 定積分的概念mathsoftXAababA2ab曲邊梯形三條直邊，一條曲邊曲邊梯形三條直邊，一條曲邊0y面積面積 A=A1-A2故問題為求出兩個曲邊梯形的面積故問題為求出兩個曲邊梯形的面積如何去求曲邊梯形的面積呢？下面將展開討論：如何去求曲邊梯形的面積呢？下面將展開討論：1第一節(jié) 定積分的概念mathsoft 設(shè)一曲邊梯形由直線設(shè)一曲邊梯形由直線x=a,x=b,y=0及曲線及曲線解：解：step1：分割：分割 在在a,b中恣意插入中恣意插入n-1個分點個分點bxxxxxann 1210把a,b分成n個小區(qū)間xi-

3、1,xi (i=1n)區(qū)間長度為1 iiixxx(i=1n)0)( xfy所圍成，求面積A, 其中f(x)在a,b上延續(xù)。step2: 近似近似iiiiiixfAnixx )()1(,1 則step3: 求和求和iniixfA )(1 第一節(jié) 定積分的概念mathsoftstep4 : 取極限取極限時，趨近于零長度即小區(qū)間的最大當(dāng)分割無限加細)0(,max ,21 nxxxiniixfA )(lim10 第一節(jié) 定積分的概念mathsoft用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積第一

4、節(jié) 定積分的概念mathsoft例例2 2 求變速直線運動的路程求變速直線運動的路程 設(shè)設(shè)某某物物體體作作直直線線運運動動，已已知知速速度度)(tvv 是是時時間間間間隔隔,10TT上上t的的一一個個連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，且且0)( tv，求求物物體體在在這這段段時時間間內(nèi)內(nèi)所所經(jīng)經(jīng)過過的的路路程程. 思緒：把整段時間分割成假設(shè)干小段，每小段思緒：把整段時間分割成假設(shè)干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后經(jīng)過對時間的無限便得到路程的近似值，最后經(jīng)過對時間的無限細分過程求得路程的準確值細分過程求得路程的準確值第一節(jié) 定積

5、分的概念mathsoft1分割分割112100TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時辰的速度某時辰的速度2求和求和iinitvs )(1 3取極限取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的準確值路程的準確值第一節(jié) 定積分的概念mathsoft上面兩例可以看出：上面兩例可以看出：兩個不同問題所求的量，采用了同樣的計算方法，最終都歸結(jié)為具有一樣構(gòu)造的和式極限。拋開這些問題的詳細意義，在數(shù)學(xué)上就籠統(tǒng)出定積分的概念。第一節(jié) 定積分的概念mathsoft設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論

6、論對對,ba在在,ba中任意插入中任意插入若干個分點若干個分點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點點i （iix ），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并并作作和和iinixfS )(1 ，二、定積分的定義二、定積分的定義定義定義第一節(jié) 定積分的概念mathsoft怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式 積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba也也不不論論

7、在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎怎樣樣的的取取法法， 只只要要當(dāng)當(dāng)0 時時，和和S總趨于總趨于確確定定的的極極限限I，我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和積分符號積分符號第一節(jié) 定積分的概念mathsoft badxxf)( badttf)( baduuf)(留意：留意：由定積分定義，例1，例2分別為： 10)( ,)(TTbadttvSdxxfA1。極限存在指：恣意分割，任一取點，和式。極限存在指：恣意分割，任一取點，和式極限存在且相等。極限存在且相等。2。定積分是個數(shù)，與積

8、分變量的符號無關(guān)，。定積分是個數(shù)，與積分變量的符號無關(guān)，即3。規(guī)定：。規(guī)定： baabbadxxfdxxfbadxxfba)()( 0)( 時時，時時，4。 ninnnixi1 0 01 00 而而錯誤！為什么？錯誤！為什么？第一節(jié) 定積分的概念mathsoft 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理1 1定理定理2 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上有有界界，則則)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. 則則)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積.三、存在定理三、存在定理且只需有限個延續(xù)點且只需有限個延續(xù)點 第一類延續(xù)點，第一類延續(xù)點，第一節(jié) 定積分的概

9、念mathsoft, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值xoy1A2A3A4A badxxf)( 四、定積分的幾何意義四、定積分的幾何意義 曲邊梯形面積的代數(shù)和曲邊梯形面積的代數(shù)和4 3 2 1AAAA 如圖：如圖：第一節(jié) 定積分的概念mathsoft五、小結(jié)練習(xí)五、小結(jié)練習(xí)定積分的本質(zhì)：特殊和式的極限定積分的本質(zhì)：特殊和式的極限定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限準確值準確值定積分定積分求乘積求乘積近似替代近似替代第一節(jié) 定積分

10、的概念mathsoft練習(xí)練習(xí)例例1dxx 2224解： 由幾何意義22222214 dxx例例2計算：計算： xdxsin解：如圖0sin xdx第一節(jié) 定積分的概念mathsoft例例3 利用定義計算dxex 10解：解：1。將。將0，1n等分，等分， n1i 1 ,1 inxinxii則2。 ninixii1 取3。求和。求和nexfninniii1.)( ).(121nnnneeen nneeen11111 4。nnnnnneneeeen11)1(111lim)1(11.nlim 1lim)1(1lim)1(0)00(0 exxeexexxx即dxex 101 e第一節(jié) 定積分的概念m

11、athsoft寫成定積分。將 11lim 1 ninnin例例4解：解： 10,1)( 11.1lim11lim1011，區(qū)間這里取xxfdxxnnininninnin 21 ,)( 11lim 211，區(qū)間取或xxfdxxninnin 第一節(jié) 定積分的概念mathsoft一一. 直角坐標系情況直角坐標系情況)()( )(),( 1221xfxfxfyxfy 求由曲線所圍圖形面積，如圖:解解: 1。畫圖，求出交點；。畫圖，求出交點；2。選積分變量，。選積分變量，;, bax 如如3。, dxxx 取微區(qū)間dxxfxfdA)()(12 4。 babadxxfxf)( )()( A12面積特別的特

12、別的:dxxfAxfyba )( 0)(21時時，曲邊梯形面積曲邊梯形面積第二節(jié)第二節(jié) 平面圖形的面積平面圖形的面積第二節(jié) 平面圖形的面積mathsoft例例1.所圍成的面積。及計算由 32 2 xyxy解解: 畫圖，求得交點畫圖，求得交點(-1,1)及及(3,9) 312332)32( dxxxA由公式例例2.所圍成的面積。及計算由 42 2 xyxy解解: 畫圖，求得交點畫圖，求得交點(2,-2)及及(8,4)選為積分變量，那么18)214(422 dyyyA問問:假設(shè)選假設(shè)選x為積分變量如何？為積分變量如何？第二節(jié) 平面圖形的面積mathsoft二二.參數(shù)方程情況參數(shù)方程情況例例3.所圍

13、成的面積。求橢圓 sin,cos tbytax 解解: 由對稱性由對稱性 aydxA04)cos(sin4 02tadtb 換元 202sin4 abtdtab普通的，普通的，), 0)( )(baxxfxfy 若曲邊梯形的曲邊batytx )(,)()()(: 給出，由參數(shù)方程 badtttdxxfA )()()( :則則第二節(jié) 平面圖形的面積mathsoft例例4.軸所圍成的圖形面積的一拱與求擺線xayax )cos1()sin(解解: 20 ：顯然參數(shù) aydxA 20面積daa)cos1()cos1(20 2022)cos1(dada 2022)coscos21(23 a 第二節(jié) 平面

14、圖形的面積mathsoft三三.極坐標情況極坐標情況.,)(所圍圖形的面積及射線求由曲線 r解解: 1。;, 選取變量2。;, d 取微區(qū)間3。 212dA面積第二節(jié) 平面圖形的面積mathsoft例例5.)0( )cos1(所圍圖形面積）計算心形線（或心臟線 aar 解解: 20202222023 42sin2sin2)coscos21(cos1212 , 0aadadaA 對稱性另解另解: 20242200422223cos8cos4)cos1( atdtadadaAt令第二節(jié) 平面圖形的面積mathsoft一一.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 定義定義:由一個平面圖形繞平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周由

15、一個平面圖形繞平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，叫旋轉(zhuǎn)體。而成的立體，叫旋轉(zhuǎn)體。hrV2 圓柱hrRV2)( 環(huán)形圓柱hrV231 圓錐)(.31 22rRrRhV 圓臺第三節(jié)第三節(jié) 體積體積第三節(jié) 體積mathsoft 以上旋轉(zhuǎn)體的體積在中學(xué)曾經(jīng)會計算，下面討論普通的旋轉(zhuǎn)體的體積。例例1.1, 0)(體積軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體）繞平面圖形（圖軸所圍及直線求由連續(xù)曲線xxbxaxxfy 解解: 1。,bax 選積分變量2。dxxfdVdxxx)(,2 則取微區(qū)間3。 )(2 badxxfV 體積下面將結(jié)論推行下面將結(jié)論推行:第三節(jié) 體積mathsoft如圖: badxxgxfV)()(22 類似

16、的，假設(shè)旋轉(zhuǎn)體是曲邊梯形繞類似的，假設(shè)旋轉(zhuǎn)體是曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的軸旋轉(zhuǎn)而成的 dcdyy VdyydVdc :22 則)(yx y=f(x)y=g(x)第三節(jié) 體積mathsoft例例2.。軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積軸，所圍圖形分別繞計算由橢圓yxbyax1 2222 解解: (1) 繞繞x軸軸22222234)(, ,abdxxaabVaaxxaabyaax (2)繞繞y軸軸badyybbaVbbyybbaxbby22222234)(, , 第三節(jié) 體積mathsoft例例3.旋轉(zhuǎn)成的立體體積。軸及軸，所圍圖形分別繞的第一拱與計算由擺線ayyxytayttax20)cos1(),sin( 解

17、解: (1) 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)dttadttatadxyVax 20632022022sin8)cos1()cos1(換元330635224613516sin162aaduuatu 令第三節(jié) 體積mathsoft(2) 繞繞y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)332030222202120226sin)sin(sin)sin( sin)sin(atdtttatdtattatdtattadyxdyxVaay 0)2(,2)(, 0)0(: yayy注第三節(jié) 體積mathsoft(2) 繞繞y=2a旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) dxyaaaVaa22022222 所求體積即是中間喇叭狀的體積 3232033332023202333202

18、233322033320233322033744sin38sin4cossin8)cossin(sin8)cos1( )cos1(8)cos1()cos1(8cos1cos28aataadttadtttaadttttaadtttaadtttaadttataaaa 第三節(jié) 體積mathsoft二二.平行截面面積為知的立體體積平行截面面積為知的立體體積如圖，求立體的體積。是已知的連續(xù)函數(shù)截面面積)(,xAbax 解解: 1。, bax 選積分變量2。dxxAdVdxxx)( , 則取微區(qū)間3。b)(a )( badxxAV體積第三節(jié) 體積mathsoft例例4.體的體積。求平面截圓柱體所得立交成并

19、與底面的圓柱體的底面中心，一平面經(jīng)過半徑為),20( R解解: 建立坐標如圖，建立坐標如圖，222 Ryx 則底面方程為截面面積則為積分變量，選取, RRxx tan)(21tan21)(22xRyyxA tan32tan)(21)(322RdxxRdxxAVRRRR 第三節(jié) 體積mathsoft 定積分概念的出現(xiàn)和開展都是由實踐問題引起和推進的。因此定級分得運用頁非常廣泛。本章主要介紹幾何上，物理上實踐問題的運用，例如：計算平面圖形面積，曲線弧長，旋轉(zhuǎn)體體積，引力，做功等。根本思想：根本思想：實踐問題所求量實踐問題所求量Q轉(zhuǎn)化為求求Q= badxxf)( (積分模型積分模型)轉(zhuǎn)化方法：轉(zhuǎn)化方

20、法：元素法或微元法，即從部分到整體元素法或微元法，即從部分到整體微元法mathsoft 為了闡明小元素法，我們先來回想一下曲邊梯形面積轉(zhuǎn)化為定積分的計算過程。step1. 分割：恣意劃分分割：恣意劃分a,b為為n個小區(qū)間個小區(qū)間 niiiiAAnixx11),1( ,則step2. 近似：近似： ,1iiixx )( iiixf 計算)1(ni 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的元素法定積分的元素法(或微元法或微元法)微元法mathsoftstep3. 求和：求和： niiixfA1)( step4. 取極限：取極限： niiixfA10)(lim badxxfA)( 即分析：分析：在上述問題留意到在上述

21、問題留意到: 所求量所求量(即面積即面積)A滿足：滿足：1。與區(qū)間。與區(qū)間a,b及及a,b上延續(xù)函數(shù)上延續(xù)函數(shù)f(x)有關(guān)有關(guān);2。對。對a,b具有可加性，具有可加性，; 1iniAA 即即3。)( ,)( iiiixoAfA 且且誤誤差差為為局局部部量量 實踐上，引出實踐上，引出A的積分表達式的關(guān)鍵步驟是第的積分表達式的關(guān)鍵步驟是第二步，因此求解可簡化如下：二步，因此求解可簡化如下：微元法mathsoftstep1:選取積分變量及積分選取積分變量及積分區(qū)間如區(qū)間如x屬于屬于a,bstep2:取微區(qū)間取微區(qū)間x,x+dx 求出求出 )( )(局部量dxxfA 稱為面積元素并記 )( dxxfd

22、A step3: badxxfA)( 計算這種方法稱為定積分的元素法或微元法。微元法mathsoft 普通的，假設(shè)某一實踐問題中所求量Q符合條件:1。Q是與某一變量是與某一變量x的變化區(qū)間的變化區(qū)間a,b有關(guān)的量；有關(guān)的量；2。Q對于對于a,b區(qū)間具有可加性；區(qū)間具有可加性；3。部分量。部分量.)(iiixfQ 那么，將Q用積分來表達的步驟如下:step1. 選取積分變量及積分區(qū)間選取積分變量及積分區(qū)間 ,:bax 如如step2. 取微區(qū)間取微區(qū)間x,x+dx，求出，求出 )(dxxfQ dxxfdQ)( 并并記記step3. badxxfA)( 計算計算微元法mathsoft例例1.寫出長

23、為l的非均勻細直棒質(zhì)量的積分表達式任一點的線密度是長度的函數(shù)。解解:建立坐標如圖建立坐標如圖,oxlx x+dx那么恣意一點的密度為)(x step1. , 0 lx 變量step2.dxxdMdxxx)( , 則取微區(qū)間step3.dxx)l 0(M 質(zhì)量 下面用微元法討論定積分在幾何，物理中的一些運用。微元法mathsoft一、曲線弧長概念一、曲線弧長概念1分割分割:ABn分為 個小弧段2近似近似:i 1ii 1iMMMMNoImage3求和求和: 總弧長總弧長 ni 1ii 1SMM4取極限取極限: 假設(shè)極限假設(shè)極限ni1i0i1limMM存在,ni1i0i1AB,SlimMM稱極限值為

24、的長 即AB這時稱可求長yxo1iMiM1M2M1nMnBM0AMaxxxb圖圖1第四節(jié)第四節(jié) 弧長弧長第四節(jié) 弧長mathsoft二、直角坐標情況二、直角坐標情況C y f xa b設(shè)曲線 : = ( )在 , 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),求弧長解解:圖一圖一1xa,b。 取積分變量 i-1i2222x xxSM Mxy1xyx 。 取微區(qū)間 , +,則（）21dsy dx記弧長微元23 S=1aby dx。第四節(jié) 弧長mathsoft1.y sinx 2例 求曲線 =在0, 上對應(yīng)弧長。解解:2cos 1cosyxdsxdx NoImage2122220221cos1cos2tSxdxSxtdtt令21

25、112222224241 22422tdtt dtdttt12 第四節(jié) 弧長mathsoft-22. cosxytdt例 求曲線的全長。解：解：cos0t 2 2x 定義域，2cos11cosyxdsy dxxdx 又 1220220 1cos2cos2 2cos42Sxdxdxxdx故全長第四節(jié) 弧長mathsoft三、參數(shù)方程情況三、參數(shù)方程情況2222()()( )( )dsdxdytt則 (t), x= (t)設(shè)曲線C: (t) (t)在上y= (t)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。22S=( )( )tt dt第四節(jié) 弧長mathsoft33cos tC: asin tx=a例3. 計算星型線的全長。y

26、=解解:14SS由對稱性 3232( cos)( sin)dsatatdt3 sin cosattdt2200412sin cos Sdsattdt14SS第四節(jié) 弧長210112sin62aaaoxymathsoft四、極坐標情況四、極坐標情況cosy=sinx=r( )設(shè)C: r=r( ),() 則 r( )2222=( )( )=dsxydrr d22 S=rr d故第四節(jié) 弧長mathsoft2 r =cos2例4、求雙紐線的全長。解解:22dsrr d2sin 2cos2cos2cos2dd44200 44cos212sinddS由對稱性212sint令120 4 24 2 (12)

27、1ndtSlt則第四節(jié) 弧長mathsoft一、變力沿直線所作的功一、變力沿直線所作的功=F (b-a)常力做功: oF(x)abxxx( )dF x dx變力做功: 功的微元( )abF x dx例例1:q 把一個帶電量的點電荷放在r軸上坐標原點o處，它產(chǎn)生一個電場。若有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點o為r的地方,求電場將其從a點沿r軸移動到b點所做的功。第五節(jié)第五節(jié) 功、水壓力和引力功、水壓力和引力第五節(jié) 功 水壓力和引力mathsoft解解:212 ,( )qr rdrF rkr。取小區(qū)間而功的微元2 ( )qdF r drkdrr則2113. (-)baqkdrkqrab。1.

28、, ra b。取變量a處的電位場強2q kdrraqbka 若則稱為電場在第五節(jié) 功 水壓力和引力mathsoft例例2:33r ,1t/m =9.8/m 半徑為 的半球形水池中注滿了水，要把池中水全部抽出 需做功多少？（比重 千牛）解解: 建立坐標如圖建立坐標如圖x yo222xyR則圓的方程為: 1 0, xR。取積分變量2222 ,9.89.89.8 ()x xdxdFdVy dxRxdx。取微區(qū)間 則 動微元229.8()ddF xx RxdxRRxx dx第五節(jié) 功 水壓力和引力mathsoft2203 9.8() Rx Rxdx。注:假設(shè)建立坐標如右圖，那么計算較煩第五節(jié) 功 水壓

29、力和引力224019.8 24RRxx249.87.693()4RRKJmathsoft二、水壓力液體的側(cè)壓力二、水壓力液體的側(cè)壓力: hp=h(:)已知水深 處的壓強 比重 ，則水中平放的平板所收壓力 P=p A面積 :P=?問 水中豎放的平板所受壓力h解解:1 , ,( )xa bp xx。變量壓強2 , ( )( )( ) ( )x dxdpp x dA xxdA xxf x dx。 取微區(qū)間 則壓力微元3 ( )baPxf x dx。第五節(jié) 功 水壓力和引力mathsoft例例3:有一半徑為R=3m的圓形溢水洞,求水位為3m時,作用在閘板上的側(cè)壓力。解解: 建立坐標如圖建立坐標如圖ox

30、yx dxx222 39xy則圓方程1 0,3x。變量 22 , 2 29x dxdpxdAx ydxxx dx。取則1896.04()千牛33222003 2929(9)Pxx dxxx dx 。第五節(jié) 功 水壓力和引力mathsoft例例4: 假設(shè)在例假設(shè)在例3中水位為中水位為6m時，側(cè)壓力為多時，側(cè)壓力為多少？少？解解: 建立坐標如圖建立坐標如圖oxyx dxx( , )x y222 ( -)x RyR則圓的方程0,2 xR222 2()dPxydxx RxRdx22202()Rpx RxRdx第五節(jié) 功 水壓力和引力mathsoft222022202()() 2()RRxRRxRdxR

31、x RxRdx2222230321()232RRxRRRR 26 3RR即 時，27 ( )279.8()820.26Pt千牛（千牛）第五節(jié) 功 水壓力和引力mathsoft三、三、 引力引力or1m2m122mmF=kr引力 方向同r12: m ,m 質(zhì)點距離r例例5: lmma設(shè)有一均勻細棒,其長為 ,質(zhì)量為 ,另有一質(zhì)量為 的質(zhì)點和棒在一條直線上,且到棒的近端距離為 ,求棒對質(zhì)點的引力。第五節(jié) 功 水壓力和引力mathsoft解解: 建立坐標如圖建立坐標如圖omxaa lxx dxM , ,xa alx xdx變量 取微區(qū)間 221mmdxkmMldFkdxxlx則 2111() ()a

32、 lakmMkmMFdxlxlaalkmMa al第五節(jié) 功 水壓力和引力mathsoft一、函數(shù)的平均值一、函數(shù)的平均值ba f(x) 1y=f(x)dx=f()b-a設(shè)在a,b上連續(xù),則平均值例例:解解:2x2 y=e sinx+x +cosx -,計算在上平均值。221sincos )2xyexxx dx（2201(cos )3xx dx第六節(jié)第六節(jié) 平均值平均值第六節(jié) 平均值mathsoft二、均方根二、均方根定義: 函數(shù)平方的平均值的開方成為均方根。如如:b2a1f (x)dx b-a為f(x)在a,b上的均方根例如例如: 非恒定電流的電器上標明的電流值就是指電非恒定電流的電器上標明

33、的電流值就是指電 流的均方根。流的均方根。第六節(jié) 平均值mathsoft例例:m i(t)=I sint 0,求正弦電流在上的有效值。解解:2222220011( )sin2mIIt dtItdt201cos22mtIdt022mmII第六節(jié) 平均值mathsoft小結(jié)小結(jié):1、幾何運用: 面積 旋轉(zhuǎn)體,知平面截 面立體體積平面曲線弧長2、物理運用: 做功側(cè)壓力引力3、平均值,均方根定積分習(xí)題課定積分習(xí)題課定積分習(xí)題課mathsoft例例1:2 ,2yxyxyx求由及所圍圖形面積。解解: 畫圖，求出交點畫圖，求出交點 12201 (2 - )(2 -)Ax x dxx xdx761401 (

34、-)(-)22yyAydyydy或76o12xy2yx2yxyx定積分習(xí)題課mathsoft例例2: 32 y=x -x -2x 求曲線與x軸所圍圖形的面積。 解解:322(2)(1)yxxxx xx 0 -1,0,2yx令得(-1,0)(0,0)(2,0)x故曲線與 軸交點2321 2Axxx dx21(2)(1)x xxdx0210(2)(1)(2)(1)x xxdxx xxdx0232321037(2 )(2 )12xxx dxxxx dxoxy定積分習(xí)題課mathsoft例例3:2(0,0),0,1yaxbxcx設(shè)拋物線通過點且當(dāng)2,0, ,ya b cyaxbxc時試確定的值，使拋物

35、線41,0,9xyx與直線所圍圖形面積為且該圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積最小。解解:2 yaxbxc過0點2 0 cyaxbx故1204 ()932abaxbx dx又43 32ab定積分習(xí)題課mathsoft1122200 ( )()xV by dxaxbxdx124320(2)a xabxbxdx22()532abab221 4343 ()()5 3232 32bbbb422 ( )()0531515bbV b又 ( )015V b又5 ,2,0 ,3abc 故時 體積最小定積分習(xí)題課mathsoft例例4:2 ,yx已知試在0,1內(nèi)求一點x,使下圖兩陰0影的面積相等,并求兩陰影繞x=x

36、 旋轉(zhuǎn)而成立體的體積。解解:001220 (1)xxx dxxdx由02 3x 得方法一方法一:2412940922()()33Vydyydy2102()318ydy定積分習(xí)題課mathsoft方法二方法二:022 , 33xxxyy 坐標平移至則22 ()3yx拋物線方程為2 (01)3xyy即2102 V()318ydy定積分習(xí)題課mathsoft例例5:2 cos xytdt求曲線的全長。解解:2 cos -,2 2xytdt 定義域為22222 1( )1cosSy xdxxdx全長2220022cos2 2cos22xxdxdx14 2sin4 2422x定積分習(xí)題課mathsoft例例6:2 2 y