連續(xù)性相關問題

1、二、二、 函數的間斷點函數的間斷點 一、一、 函數連續(xù)性的定義函數連續(xù)性的定義 第八節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數的連續(xù)性與間斷點 第一章 可見可見 , 函數函數)(xf在點在點0 x一、一、 函數連續(xù)性的定義函數連續(xù)性的定義定義定義:)(xfy 在在0 x的某鄰域內有定義的某鄰域內有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數則稱函數.)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點在點0 x即即)(0 xf(2) 極限極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設函數設函數連續(xù)必須具備下列條件連續(xù)必須具備下列條件:存在存在 ;且且有定義有定義 ,存在存在

2、 ;機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數試證函數 xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義知由定義知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數函數 xxf),0()(lim0fxfx 單側連續(xù)單側連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點在點則稱則稱且且內有定義內有定義在在若函數若函數xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數是函數處連續(xù)處連續(xù)在在函數函數xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連

3、續(xù)在點在點則稱則稱且且內有定義內有定義在在若函數若函數xxfxfxfbxxf 例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數討論函數 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數故函數 xxf若)(xf在某區(qū)間上每一點都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數連續(xù)函數 . ,baC在閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數的集合記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在在在在二、二、 函數的間斷點函數的間斷

4、點(1) 函數函數)(xf0 x(2) 函數函數)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函數函數)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù)不連續(xù) :0 x設設0 x在點在點)(xf的某去心鄰域內有定義的某去心鄰域內有定義 ,則下列情形則下列情形這樣的點這樣的點0 x之一之一函數函數 f (x) 在點在點雖有定義雖有定義 , 但但雖有定義雖有定義 , 且且稱為稱為間斷點間斷點 . 在在無定義無定義 ;機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 間斷點分類間斷點分類: :第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及及

5、)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若稱稱0 x, )()(00 xfxf若若稱稱0 x第二類間斷點第二類間斷點:)(0 xf及及)(0 xf中至少一個不存在中至少一個不存在 ,稱稱0 x若其中有一個為振蕩若其中有一個為振蕩 ,稱稱0 x若其中有一個為若其中有一個為,為為可去間斷點可去間斷點 .為為跳躍間斷點跳躍間斷點 .為為無窮間斷點無窮間斷點 .為為振蕩間斷點振蕩間斷點 .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 xytan) 1 (2x為其無窮間斷點 .0 x為其振蕩間斷點 .xy1sin) 2(1x為可去間斷點 .11)3(2xxyxoy1例如例如:

6、xytan2xyoxyxy1sin0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3 3.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數函數取何值時取何值時當當 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時時故當且僅當故當且僅

7、當 a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數函數 xxf, 1 a內容小結內容小結)()(lim00 xfxfxx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在 第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型)(. 1xf0 x在點連續(xù)的等價形式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x一、連續(xù)函數的運算法則一、連續(xù)函數的運算法則 第九節(jié)二、初等函數的連續(xù)性二、初等函數的連續(xù)性 機動 目

8、錄 上頁 下頁 返回 結束 連續(xù)函數的運算與初等函數的連續(xù)性 第一章 xx cot,tan在其定義域內連續(xù)一、連續(xù)函數的運算法則一、連續(xù)函數的運算法則定理定理1. 在某點連續(xù)的有限個函數經有限次和 , 差 , 積 ,連續(xù)xx cos,sin商(分母不為 0) 運算, 結果仍是一個在該點連續(xù)的函數 .例如例如,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xey 在),(上連續(xù) 單調 遞增,其反函數xyln在),0(上也連續(xù)單調遞增.又如又如, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理2. 連續(xù)單調遞增 函數的反函數例如例如,xysin在,22上連續(xù)單調遞增，其反函數xyarcsin(遞減).在 1

9、, 1 上也連續(xù)單調遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上連續(xù) .復合而成 ,xyoxy1sin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理3. 連續(xù)函數的復合函數是連續(xù)的.例例1 . 設)()(xgxf與均在,ba上連續(xù), 證明函數)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上連續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據連續(xù)函數運算法則 , 可知)(, )(xx也在,ba上連續(xù) .)(, )(min)(xgxfx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

10、二、初等函數的連續(xù)性二、初等函數的連續(xù)性基本初等函數在定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)函數經四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數的復合函數連續(xù)一切初等函數在定義區(qū)間內連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 意義意義1.極限符號可以與函數符號互換極限符號可以與函數符號互換;.)(. 2的的理理論論依依據據變變量量代代換換xu 例例2 2.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解例例3 3.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時時當當yyy10)1ln(1lim

11、 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e說明說明: 若,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 x2例例5 5. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例6 6.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()

12、()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx注意注意: 初等函數求極限的方法初等函數求極限的方法代入法代入法. 內容小結內容小結基本初等函數在定義區(qū)間內在定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)函數的四則運算四則運算的結果連續(xù)連續(xù)函數的反函數反函數連續(xù)連續(xù)函數的復合函數復合函數連續(xù)初等函數在定義區(qū)間內連續(xù)說明說明: 分段函數在界點處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第十節(jié)一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 第一章 注意注意: 若函數在開區(qū)間上連續(xù),結論不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.

13、1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數即: 設, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在閉區(qū)間內有間斷 在該區(qū)間上一定有最大點 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 bxoya)(xfy 12mM推論推論. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數在該區(qū)間上有界. 二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零點定理 ), ,

14、)(baCxf至少有一點, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個交點軸至少有一個交點線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側軸的不同側端點位于端點位于的兩個的兩個連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy xyo)(xfy 定理定理3. ( 介值定理 ) 設 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對 A 與 B 之間的任一數 C ,一點, ),(ba推論推論:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數 必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 證明方程0