第八章組合變形

1、 構(gòu)件在構(gòu)件在拉拉伸伸( (壓壓縮縮) )、剪剪切、切、扭扭轉(zhuǎn)及轉(zhuǎn)及彎彎曲等曲等基本變基本變形形形式下的應(yīng)力和位移形式下的應(yīng)力和位移 構(gòu)件往往同時(shí)發(fā)生構(gòu)件往往同時(shí)發(fā)生兩種或兩種以上兩種或兩種以上的基本變形，的基本變形，如幾種變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力（或變形）屬同一數(shù)量如幾種變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力（或變形）屬同一數(shù)量級(jí)，稱(chēng)為級(jí)，稱(chēng)為組合變形組合變形 斜彎曲斜彎曲, , 拉彎組合拉彎組合, , 彎扭組合彎扭組合 8.l 概 述1 1、 組合變形組合變形PPPP qFeMAyFByFxBAy對(duì)稱(chēng)面向縱1、軸向拉壓、軸向拉壓2、扭轉(zhuǎn)、扭轉(zhuǎn)3、彎曲、彎曲三三 種種 基基 本本 變變 形形 拉伸和彎曲的組合變形拉伸和彎

2、曲的組合變形鉆鉆 床床ABPPaMeq拉伸、剪切和拉伸、剪切和彎曲的組合變形彎曲的組合變形拉伸、彎曲、剪切和扭轉(zhuǎn)的組合變形拉伸、彎曲、剪切和扭轉(zhuǎn)的組合變形壓彎組合變形壓彎組合變形拉彎組合變形拉彎組合變形彎扭組合變形壓彎組合變形壓彎組合變形應(yīng)掌握的內(nèi)容：應(yīng)掌握的內(nèi)容：靜力學(xué)中的力系簡(jiǎn)化，平衡方程的求解；靜力學(xué)中的力系簡(jiǎn)化，平衡方程的求解；截面圖形的幾何性質(zhì)截面圖形的幾何性質(zhì): 形心，形心主慣性軸等；形心，形心主慣性軸等；基本變形的內(nèi)力、應(yīng)力的分析與計(jì)算；基本變形的內(nèi)力、應(yīng)力的分析與計(jì)算；應(yīng)力狀態(tài)的分析與應(yīng)用，強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)的分析與應(yīng)用，強(qiáng)度理論范疇：小變形范疇：小變形 線(xiàn)彈性線(xiàn)彈性 先將荷載分

3、解成符合基本變形外力條件的外力先將荷載分解成符合基本變形外力條件的外力系，分別計(jì)算構(gòu)件在每一種基本變形時(shí)的內(nèi)力、應(yīng)系，分別計(jì)算構(gòu)件在每一種基本變形時(shí)的內(nèi)力、應(yīng)力、然后進(jìn)行疊加，以確定組合變形情況下的危險(xiǎn)力、然后進(jìn)行疊加，以確定組合變形情況下的危險(xiǎn)截面，危險(xiǎn)點(diǎn)以及危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，據(jù)此選擇合截面，危險(xiǎn)點(diǎn)以及危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，據(jù)此選擇合適的適的強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。2、組合變形的研究方法、組合變形的研究方法 疊加法疊加法3 3、組合變形的分解方法、組合變形的分解方法（1）荷載的等效處理法）荷載的等效處理法 將作用在桿件上的外力進(jìn)行平移或分解，使之簡(jiǎn)化后的荷將作用在桿件上的外力

4、進(jìn)行平移或分解，使之簡(jiǎn)化后的荷載符合基本變形的外力特征，從而判斷組合變形的類(lèi)型。載符合基本變形的外力特征，從而判斷組合變形的類(lèi)型。 一般地，將橫向力向桿件截面形心進(jìn)行簡(jiǎn)化，并沿形心主一般地，將橫向力向桿件截面形心進(jìn)行簡(jiǎn)化，并沿形心主慣性軸方向分解，將縱向力向桿件截面形心進(jìn)行簡(jiǎn)化。慣性軸方向分解，將縱向力向桿件截面形心進(jìn)行簡(jiǎn)化。例如：例如：（2）截面內(nèi)力判斷法）截面內(nèi)力判斷法根據(jù)截面上的內(nèi)力，判斷組合變形的類(lèi)型。根據(jù)截面上的內(nèi)力，判斷組合變形的類(lèi)型。F1F2XyZNFxMsyFMyMzszF*在橫力彎曲時(shí)，剪力在實(shí)心截面桿上產(chǎn)生的切應(yīng)力較小，可忽略。在橫力彎曲時(shí)，剪力在實(shí)心截面桿上產(chǎn)生的切應(yīng)力較

5、小，可忽略。4 4、連接件的近似計(jì)算、連接件的近似計(jì)算 如橋梁桁架結(jié)如橋梁桁架結(jié)點(diǎn)處的鉚釘點(diǎn)處的鉚釘( (或螺或螺栓栓) )連接連接, ,工程實(shí)際中，經(jīng)常需要將構(gòu)件相互連接。工程實(shí)際中，經(jīng)常需要將構(gòu)件相互連接。mnmnFFF2F2F 機(jī)械中的軸與齒機(jī)械中的軸與齒輪間的鍵連接，輪間的鍵連接， 以及木結(jié)構(gòu)以及木結(jié)構(gòu)中的榫齒連接等。中的榫齒連接等。 工程實(shí)際中工程實(shí)際中, ,采用簡(jiǎn)化計(jì)算的方法，計(jì)算名采用簡(jiǎn)化計(jì)算的方法，計(jì)算名義應(yīng)力（包括剪切應(yīng)力、擠壓應(yīng)力）義應(yīng)力（包括剪切應(yīng)力、擠壓應(yīng)力），稱(chēng)為稱(chēng)為工工程實(shí)用計(jì)算法程實(shí)用計(jì)算法。 鉚釘、螺栓、鍵等起連接作用的部件，統(tǒng)鉚釘、螺栓、鍵等起連接作用的部件，

6、統(tǒng)稱(chēng)為連接件。稱(chēng)為連接件。 主要包括主要包括連接件的剪切實(shí)用計(jì)算連接件的剪切實(shí)用計(jì)算 、擠壓實(shí)用、擠壓實(shí)用計(jì)算。計(jì)算。 8-2 8-2 兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲組合兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲組合- -斜彎曲斜彎曲 平面彎曲平面彎曲：只要作用在：只要作用在桿件上的桿件上的橫向力通過(guò)彎?rùn)M向力通過(guò)彎曲中心曲中心，并，并與一個(gè)形心與一個(gè)形心主慣性軸方向平行主慣性軸方向平行，桿，桿件將只發(fā)生平面彎曲。件將只發(fā)生平面彎曲。 斜彎曲：撓曲線(xiàn)斜彎曲：撓曲線(xiàn)不位于不位于外力所在的縱向平面內(nèi)外力所在的縱向平面內(nèi)。 -橫向力通過(guò)彎曲橫向力通過(guò)彎曲中心，但不與形心主慣中心，但不與形心主慣性軸平行性軸平行斜彎曲斜彎曲平面彎曲

7、平面彎曲zyFzyFzyzyzFyFzFyFxz平面內(nèi)的平面彎曲平面內(nèi)的平面彎曲xy平面內(nèi)的平面彎曲平面內(nèi)的平面彎曲xyzFzyFyFzFcos,sinFFFFyzzyyMzyzM中性軸中性軸)(yxM中性軸中性軸)(yxMzyyMC(y,z)yyCIzM1zzCIyM2所以所以zzyyCCCIyMIzMzy21),(zyIyFxIzFxcossin)cossin(zyIyIzFxzyC(y,z)zM組合變形時(shí)，通常忽略彎曲剪應(yīng)力。組合變形時(shí)，通常忽略彎曲剪應(yīng)力。zyF中性軸中性軸 tgIItgyz中性軸的確定：中性軸的確定：0cossinzyIyIz, 0令則則拉拉壓壓zyII 即即中性軸并

8、不垂直于外力作用面。中性軸并不垂直于外力作用面。zyF中性軸中性軸 拉拉壓壓,zyII 所以所以中性軸垂直于外力作用面。即外力無(wú)論作用在哪中性軸垂直于外力作用面。即外力無(wú)論作用在哪個(gè)縱向平面內(nèi)，產(chǎn)生的均為平面彎曲。個(gè)縱向平面內(nèi)，產(chǎn)生的均為平面彎曲。zyF中性軸中性軸 拉拉壓壓對(duì)于圓形截面對(duì)于圓形截面zyF中性軸中性軸 zyF中性軸中性軸 拉拉壓壓),( 111zy),(333zy)cossin(11maxzytIyIzPl)cossin(),(zycIyIzPlzy)cossin(33maxzycIyIzPl)cossin(11maxzyIyIzM)cossin(33maxzyIyIzMcos

9、FFysinFFz4LFMyz4LFMzyzzyyWMWMmax32 .692 cmWz3758.70cmWyMPa8 .217 0MPa6 .115max 一般生產(chǎn)車(chē)間所用的吊車(chē)大梁一般生產(chǎn)車(chē)間所用的吊車(chē)大梁, ,兩端由鋼軌支撐兩端由鋼軌支撐, ,可以簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)可以簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁支梁, ,如圖示如圖示. .圖中圖中L L4m4m。大梁由。大梁由32a32a熱軋普通工字鋼制成，許用熱軋普通工字鋼制成，許用應(yīng)力應(yīng)力160MPa160MPa。起吊的重物重量。起吊的重物重量F F80kN80kN，且作用在梁的中，且作用在梁的中點(diǎn)，作用線(xiàn)與點(diǎn)，作用線(xiàn)與y y軸之間的夾角軸之間的夾角5 5，試校核吊車(chē)大梁的

10、強(qiáng)度是，試校核吊車(chē)大梁的強(qiáng)度是否安全。否安全。F2L2L 跨度為跨度為L(zhǎng) L的簡(jiǎn)支梁，由的簡(jiǎn)支梁，由32a32a工字鋼做成，其受力如圖所工字鋼做成，其受力如圖所示，力示，力F F作用線(xiàn)通過(guò)截面形心且于作用線(xiàn)通過(guò)截面形心且于y y 軸夾角軸夾角1515，170MPa170MPa，試按正應(yīng)力校核此梁強(qiáng)度。，試按正應(yīng)力校核此梁強(qiáng)度。xykN30Fm2m2B015yFz3cm692Wz3cm8 .70WycosFFysinFFz4LFMyz4LFMzyzzyyWMWMmaxMPa152 圖示矩形截面梁，截面寬度圖示矩形截面梁，截面寬度b b90mm90mm，高度，高度h h180mm180mm。梁在兩

11、個(gè)互相垂直的平面內(nèi)分別受有水平力梁在兩個(gè)互相垂直的平面內(nèi)分別受有水平力F F1 1和鉛垂和鉛垂力力F F2 2 。若已知。若已知F F1 1800N800N， F F2 21650N1650N， L L 1m1m，試，試求梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力并指出其作用點(diǎn)的位置。求梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力并指出其作用點(diǎn)的位置。2F1FzxyLLLFMy21LFMz2zzyyWMWMmax2121626bhLFbhLFMPat979. 9maxMPac979. 9max 圖示懸臂梁，承受載荷圖示懸臂梁，承受載荷F F1 1與與F F2 2作用，已知作用，已知 F F1 1=800N=800N，F(xiàn) F2 2=1.6k

12、N=1.6kN，l l=1m=1m，許用應(yīng)力，許用應(yīng)力 =160MPa=160MPa。試。試分別按下列要求確定截面尺寸：分別按下列要求確定截面尺寸：(1) (1) 截面為矩形，截面為矩形，h h=2=2b b；(2) (2) 截面為圓形。截面為圓形。 解：解：(1) 矩形截面：矩形截面： 2、圓截面、圓截面 F力作用在桿自由端形心處作用線(xiàn)位于力作用在桿自由端形心處作用線(xiàn)位于xy面內(nèi)，面內(nèi)，與與x軸夾角為軸夾角為 . LxyF8-3 8-3 拉伸拉伸( (壓縮壓縮) )與彎曲與彎曲包括：包括： 軸向拉伸軸向拉伸( (壓縮壓縮) )和彎曲和彎曲 偏心拉（壓）偏心拉（壓）, ,截面核心截面核心一一.

13、 . 橫向力與軸向力共同作用橫向力與軸向力共同作用 對(duì)于對(duì)于EI較大的桿，橫向力引起的撓度與橫截面的較大的桿，橫向力引起的撓度與橫截面的尺寸相比很小，因此，尺寸相比很小，因此，由軸向力引起的彎矩可以略由軸向力引起的彎矩可以略去不計(jì)去不計(jì)。 可可分別計(jì)算分別計(jì)算由橫向力和軸向力引起的桿橫截面上由橫向力和軸向力引起的桿橫截面上的正應(yīng)力，的正應(yīng)力，按疊加原理按疊加原理求其代數(shù)和，即得在拉伸求其代數(shù)和，即得在拉伸( (壓縮壓縮) )和彎曲組合變形下，桿橫截面上的正應(yīng)力和彎曲組合變形下，桿橫截面上的正應(yīng)力。 F力即非軸向力，也非橫向力，所以變形不是力即非軸向力，也非橫向力，所以變形不是基本變形?；咀冃?/p>

14、。Fy=Fsin y為對(duì)稱(chēng)軸，引起平面彎曲為對(duì)稱(chēng)軸，引起平面彎曲Fx=Fcos 引起軸向拉伸引起軸向拉伸 LxyFx Fy F+Fx FNFx Fy l+Mz FylFN=FxMz=Fy(l x)N對(duì)應(yīng)的應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)力Mz對(duì)應(yīng)的應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)力疊加疊加AFNyIMZZ zyyIMAFzzN 由于忽略了彎曲切應(yīng)力，橫截面上只有正應(yīng)力，于是由于忽略了彎曲切應(yīng)力，橫截面上只有正應(yīng)力，于是疊加后，橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律只可能為以下三種疊加后，橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律只可能為以下三種情況：情況：|zzNWMAF|zzNWMAF|zzNWMAF 中性軸中性軸(零應(yīng)力線(xiàn)零應(yīng)力線(xiàn))發(fā)生平移發(fā)生平移危險(xiǎn)點(diǎn)的位置很容

15、易確定，在截面的最上緣或最危險(xiǎn)點(diǎn)的位置很容易確定，在截面的最上緣或最下緣下緣由于危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)由于危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)(單向拉單向拉伸或單向壓縮伸或單向壓縮)對(duì)于塑性材料：對(duì)于塑性材料： 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 max 對(duì)于脆性材料對(duì)于脆性材料強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 tmax t C max C 設(shè)圖示簡(jiǎn)易吊車(chē)在當(dāng)小車(chē)運(yùn)行到距離梁端設(shè)圖示簡(jiǎn)易吊車(chē)在當(dāng)小車(chē)運(yùn)行到距離梁端D D還有還有0.4m0.4m處時(shí)，吊車(chē)橫梁處于最不利位置。已知小車(chē)和重物的總處時(shí)，吊車(chē)橫梁處于最不利位置。已知小車(chē)和重物的總重量重量F F20kN20kN，鋼材的許用應(yīng)力，鋼材的許用應(yīng)力160MPa160MPa，暫

16、，暫不考慮梁的自重。按強(qiáng)度條件選擇橫梁工字鋼的型號(hào)。不考慮梁的自重。按強(qiáng)度條件選擇橫梁工字鋼的型號(hào)。AxFAyFBFBxFByFFkN7 .49kNm30B B左截面壓應(yīng)力最大左截面壓應(yīng)力最大zzNWMAFmax zzWM35 .187 cmWz查表并考慮軸力的影響：查表并考慮軸力的影響：a203237cmWz25 .35 cmA MPa6 .140102371030105 .35107 .493623max 一橋墩如圖示。承受的荷載為：上部結(jié)構(gòu)一橋墩如圖示。承受的荷載為：上部結(jié)構(gòu)傳遞給橋墩的壓力傳遞給橋墩的壓力F F0 01920kN1920kN，橋墩墩帽及墩，橋墩墩帽及墩身的自重身的自重F

17、 F1 1330kN330kN，基礎(chǔ)自重，基礎(chǔ)自重F F2 21450kN1450kN，車(chē)，車(chē)輛經(jīng)梁部傳下的水平制動(dòng)力輛經(jīng)梁部傳下的水平制動(dòng)力F FT T300kN300kN。試?yán)L出。試?yán)L出基礎(chǔ)底部基礎(chǔ)底部ABAB面上的正應(yīng)力分布圖。已知基礎(chǔ)底面上的正應(yīng)力分布圖。已知基礎(chǔ)底面積為面積為b bh h8m8m3.6m3.6m的矩形。的矩形。210FFFFNkN3700kN3700kNmFMT17408 . 5maxkNm1740ZzNIyMAFminmaxMPaMPa229. 0027. 0229. 0027. 0 圖示折桿結(jié)構(gòu)，已知材料許用應(yīng)力圖示折桿結(jié)構(gòu)，已知材料許用應(yīng)力=160MPa，試校核

18、強(qiáng)度。，試校核強(qiáng)度。 10kN D 250 C 500 FC 40 A B FAx 250 500 FAy 10kN 8.5kN 1414N.m 解：（解：（1）求支反力）求支反力 kNFkNFkNFMAyAxCA24,262, 0（2）作內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)截面）作內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)截面 mkNMkNFN.141410maxmax（3）強(qiáng)度校核）強(qiáng)度校核 9 .1306 .12425. 6maxmaxmaxMPaWMAFN 如圖所示構(gòu)架已知材料許用應(yīng)力為如圖所示構(gòu)架已知材料許用應(yīng)力為 =160MPa。試為試為AB梁設(shè)計(jì)一工字形截面。梁設(shè)計(jì)一工字形截面。 3m1m30 CBF=45kNA解：解： A

19、B梁受力分析梁受力分析由由AB梁的平衡方程易求得梁的平衡方程易求得FBC=120kN, FAx=104kN, FAx FFAy 30 FBC FAy=15kN， 作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖+104kNFN 45kN mMz 顯然危險(xiǎn)截面為顯然危險(xiǎn)截面為B截面左側(cè)截面左側(cè) 危險(xiǎn)點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)為B截面最上緣截面最上緣由強(qiáng)度條件：由強(qiáng)度條件：maxmaxAFWMNz 由于型鋼的由于型鋼的Wz和和A無(wú)一定的函數(shù)關(guān)系，無(wú)一定的函數(shù)關(guān)系，一個(gè)不等式不可能確定兩個(gè)未知量，因此一個(gè)不等式不可能確定兩個(gè)未知量，因此采用試算的方法來(lái)求解。采用試算的方法來(lái)求解。試算：試算： 先不考慮軸力先不考慮軸力FN，僅考慮彎矩，僅考慮彎矩M

20、設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面maxzWM3663max10281101601045mMWz3281m查型鋼表：查型鋼表： 22a 工字鋼工字鋼Wz = 309cm3 A=42cm2 校核校核22a工字鋼能否滿(mǎn)足彎矩和軸力同時(shí)工字鋼能否滿(mǎn)足彎矩和軸力同時(shí)存在時(shí)的強(qiáng)度條件。存在時(shí)的強(qiáng)度條件。 PaAFWMNz64363maxmax10170104210104103091045170MPa強(qiáng)度不夠，選大一號(hào)強(qiáng)度不夠，選大一號(hào)22b Wz = 325cm3 A=46.4cm2 MPa8 .160104 .46101041032510454363%5%5 . 01601608 .160max 可認(rèn)為安全可認(rèn)為安全

21、可取可取22b工字鋼工字鋼 AFWMNzmaxmax 一受拉彎組合變形的圓截面鋼軸，若用第三強(qiáng)度理論一受拉彎組合變形的圓截面鋼軸，若用第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的直徑為設(shè)計(jì)的直徑為d d3 3，用第四強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的直徑為，用第四強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的直徑為d d4 4，則，則d d3 3 _ _ d d4 4。 （填（填“”、“”或或“”）因受拉彎組合變形的桿件，危險(xiǎn)點(diǎn)上只有正應(yīng)力，而無(wú)切應(yīng)力，因受拉彎組合變形的桿件，危險(xiǎn)點(diǎn)上只有正應(yīng)力，而無(wú)切應(yīng)力，313r224213232221421r22343rr 如圖示一矩形截面折桿，已知如圖示一矩形截面折桿，已知F F50kN50kN，尺寸如圖，尺寸如圖所示，所示，3

22、030。（。（1 1）求）求B B點(diǎn)橫截面上的應(yīng)力點(diǎn)橫截面上的應(yīng)力（2 2）求）求B B點(diǎn)點(diǎn)3030截面上的正應(yīng)力；截面上的正應(yīng)力；（3 3）求）求B B點(diǎn)的主應(yīng)力點(diǎn)的主應(yīng)力1 1、 2 2、 3 3 。mm600mm400mm200mm200mm100FBcosFsinFsinFsin200FAFWMN6cos400sin2002bhFFbhFsinMPa23.1732.1703060cos120MPa9 .120102MPa23.173二二. . 偏心拉伸偏心拉伸( (壓縮壓縮) ) 當(dāng)直桿受到與桿的軸線(xiàn)平行但不重合的拉力或當(dāng)直桿受到與桿的軸線(xiàn)平行但不重合的拉力或壓力作用時(shí)，即為偏心拉伸或

23、偏心壓縮壓力作用時(shí)，即為偏心拉伸或偏心壓縮。 如鉆床的立柱、廠房中支承吊車(chē)梁的柱子。如鉆床的立柱、廠房中支承吊車(chē)梁的柱子。F1F2外力平行軸線(xiàn)，但與軸線(xiàn)不重合。外力平行軸線(xiàn)，但與軸線(xiàn)不重合。 oFA (yF, zF)zyx將將F力向形心簡(jiǎn)化力向形心簡(jiǎn)化my=FzFmZ=FyFFzymy xF FB0mz xFmy A (yF, zF) 于是得到一個(gè)與原力系靜力等效的力系：與軸線(xiàn)重于是得到一個(gè)與原力系靜力等效的力系：與軸線(xiàn)重合的壓力合的壓力F和兩個(gè)作用在互相正交的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)的力和兩個(gè)作用在互相正交的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)的力矩矩my, mz。 軸向壓力軸向壓力F 引起軸向壓縮引起軸向壓縮 my 引起繞引

24、起繞 y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的平面彎曲軸轉(zhuǎn)動(dòng)的平面彎曲 mz 引起繞引起繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的平面彎曲軸轉(zhuǎn)動(dòng)的平面彎曲 偏心壓縮是軸向壓縮與兩個(gè)互相正交偏心壓縮是軸向壓縮與兩個(gè)互相正交平面內(nèi)的彎曲的組合變形。平面內(nèi)的彎曲的組合變形。當(dāng)桿是比較當(dāng)桿是比較短而粗短而粗的桿，可按的桿，可按疊加疊加原理求解。原理求解。對(duì)任意橫截面，顯然有對(duì)任意橫截面，顯然有FN = F My=FzF (前壓，后拉前壓，后拉)Mz=FyF (左壓，右拉左壓，右拉) FN， My ， Mz 不是不是 x 的函數(shù)，的函數(shù)，即任意橫截面上的內(nèi)力為常數(shù)。即任意橫截面上的內(nèi)力為常數(shù)。MZ FNzyMy xx對(duì)橫截面上任意點(diǎn)：對(duì)橫截面上任意點(diǎn)：zy

25、NMMFyIMzIMAFzzyyN對(duì)第一象限的點(diǎn)對(duì)第一象限的點(diǎn)E(y, z)yIMzIMAFzzyyNMZ FNzE(y,z) yMy xx由于由于FN， My ， Mz單獨(dú)作用時(shí)，引起的橫截單獨(dú)作用時(shí)，引起的橫截面上的應(yīng)力均為正應(yīng)力，因此，由疊加原理，面上的應(yīng)力均為正應(yīng)力，因此，由疊加原理， FN， My， Mz共同作用時(shí)引起的應(yīng)力，應(yīng)是單獨(dú)作用時(shí)共同作用時(shí)引起的應(yīng)力，應(yīng)是單獨(dú)作用時(shí)的應(yīng)力的疊加。由于均為正應(yīng)力，因此為代數(shù)和。的應(yīng)力的疊加。由于均為正應(yīng)力，因此為代數(shù)和。 對(duì)于周邊具有棱角的截面，其危險(xiǎn)點(diǎn)必定在截面對(duì)于周邊具有棱角的截面，其危險(xiǎn)點(diǎn)必定在截面的棱角處。矩形截面桿受偏心拉力的棱角處

26、。矩形截面桿受偏心拉力F作用時(shí)，若桿作用時(shí)，若桿任一橫截面上的內(nèi)力分量為任一橫截面上的內(nèi)力分量為FN=F、 My=FzF， Mz=FzF，則與各內(nèi)力分量相對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力為：，則與各內(nèi)力分量相對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力為：OD2D1 AFyzyOzhbD1D2 FWzFyzyOD2D1 FyFWz按疊加法疊加得按疊加法疊加得中性軸yzOD1 t,maxD2c,maxMZ FNzyMy xxD1 D2 Tmax T C max C zFyFWFyWFzAFmax, cmax, t 危險(xiǎn)點(diǎn)處仍為單軸應(yīng)危險(xiǎn)點(diǎn)處仍為單軸應(yīng)力狀態(tài)，其強(qiáng)度條件為力狀態(tài)，其強(qiáng)度條件為: : 不失一般性。我們令第一象限的點(diǎn)的應(yīng)力為零。不失一般

27、性。我們令第一象限的點(diǎn)的應(yīng)力為零。yIMzIMAFzzyyNyIFyzIFzAFzFyF1 yIAyzIAzAFzFyF引入慣性半徑：引入慣性半徑： ,AIiyyAIizz01 2020zFyFiyyizzAF010202yiyzizzFyF 取取 =0 ，以，以y0、z0代表中性代表中性軸上任一點(diǎn)軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，則可得則可得中性中性軸方程軸方程 顯然中性軸為一條顯然中性軸為一條直線(xiàn)，作中性軸的平行直線(xiàn)，作中性軸的平行線(xiàn)與截面相切線(xiàn)與截面相切D1，D2即即為最大拉應(yīng)力和最大壓為最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力所在的點(diǎn)。應(yīng)力所在的點(diǎn)。z(零應(yīng)力線(xiàn)零應(yīng)力線(xiàn))D2 D1 y中性軸中性軸o 中性軸為一

28、條不中性軸為一條不過(guò)形心的直線(xiàn)，過(guò)形心的直線(xiàn)，它將截面分成受它將截面分成受拉，受壓兩個(gè)區(qū)拉，受壓兩個(gè)區(qū). yzA(yF, zF)(零應(yīng)力線(xiàn)零應(yīng)力線(xiàn))中性軸中性軸受拉區(qū)受拉區(qū)受受 壓壓 區(qū)區(qū)o 中性軸在中性軸在y, z軸的截距分別為軸的截距分別為 Fzyyia2(令令z0=0)Fyzzia2(令令y0=0)ay與與yF 符號(hào)相反符號(hào)相反 偏心力偏心力F的作用點(diǎn)與中性軸分居形的作用點(diǎn)與中性軸分居形心心(坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn))的兩側(cè)。的兩側(cè)。 zaz與與zF 符號(hào)相反符號(hào)相反 一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng) 偏心力作用點(diǎn)偏心力作用點(diǎn)一條零應(yīng)力線(xiàn)一條零應(yīng)力線(xiàn)(零應(yīng)力線(xiàn)零應(yīng)力線(xiàn))ay az yA(yF, zF)中性軸中性

29、軸o 偏心距偏心距只要足夠小只要足夠小(絕對(duì)值絕對(duì)值)，中性軸將會(huì)在截面，中性軸將會(huì)在截面以外。以外。Fzyyia2Fyzzia2由由可知可知偏心力的偏心距與中性軸的截距成反比。偏心力的偏心距與中性軸的截距成反比。圖 示 結(jié) 構(gòu) ，圖 示 結(jié) 構(gòu) ，求底截面上求底截面上A，B，C，D四點(diǎn)的正應(yīng)四點(diǎn)的正應(yīng)力，以及最大拉應(yīng)力，以及最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力力和最大壓應(yīng)力.b=0.4m a=0.2m ABCDyzxP=100KN0.05m解：解： 外力簡(jiǎn)化外力簡(jiǎn)化 yP=0.05m zP=0.2m P=100kNmz =PyP =100 0.05=5kN m my =PzP =100 0.4=40kN

30、m b=0.4m a=0.2m ABCDyzxP=100KN0.05m 內(nèi)力計(jì)算內(nèi)力計(jì)算底截面上：底截面上：My= my = 40kN m (前拉，后壓前拉，后壓)Mz= mz = 5kN m (左拉，右壓左拉，右壓)FN = P = 100 kNza=0.2mABCDyxFMyMz 應(yīng)力計(jì)算應(yīng)力計(jì)算 截面有關(guān)幾何容量：截面有關(guān)幾何容量：A=ab=0.24 0.4=0.08m2443310667. 22 . 04 . 012112mbaIz433310067. 14 . 02 . 012112mabIyza=0.2mABCDyxFMyMzAzzAyyNAyIMzIMAF1 . 010667.

31、21052 . 010067. 1102008. 01010043333aMPaP 37. 41037. 43BzzByyNByIMzIMAF1 . 010667. 21052 . 010067. 1102008. 01010043333aMP 63. 0CzzCyyNCyIMzIMAF1 . 010667. 21052 . 010067. 1102008. 01010043333aMP 87. 6DzzDyyNDyIMzIMAF1 . 010667. 21052 . 010067. 1102008. 01010043333aMP 13. 3Cmax= 6.87MPa lmax= 4.37MP

32、a圖示立柱，欲使截面上的最大拉應(yīng)力為零，求圖示立柱，欲使截面上的最大拉應(yīng)力為零，求截面尺寸截面尺寸h h及此時(shí)的最大壓應(yīng)力。及此時(shí)的最大壓應(yīng)力。 120kN 30kN 200 150 h 解：（解：（1）內(nèi)力分析）內(nèi)力分析 mNMkNFN.60002003015030120（2）最大拉應(yīng)力為零的條件）最大拉應(yīng)力為零的條件 0150106000615010150233maxhhWMAFNt解得解得 h=240mm （3）求最大壓應(yīng)力）求最大壓應(yīng)力 MPaWMAFNc33. 8240150106000624015010150233maxMPa75. 8200200103503max2AF11max

33、1zWMAFMPa7 .113 .02 .06503503 .02 .03500002解：解：兩柱均為兩柱均為壓應(yīng)力壓應(yīng)力 圖示不等截面與等截面桿，受力圖示不等截面與等截面桿，受力F F=350kN=350kN，試，試分別求出兩柱內(nèi)的絕對(duì)值最大正應(yīng)力。分別求出兩柱內(nèi)的絕對(duì)值最大正應(yīng)力。圖（1）圖（2）F300200200F200200MFFd三三. . 截面核心截面核心 在截面形心附近將存在這樣一個(gè)區(qū)域：當(dāng)偏心在截面形心附近將存在這樣一個(gè)區(qū)域：當(dāng)偏心力作用在該區(qū)域以?xún)?nèi)時(shí)，中性軸將在截面以外，當(dāng)力作用在該區(qū)域以?xún)?nèi)時(shí)，中性軸將在截面以外，當(dāng)偏心力在該區(qū)域的邊界上時(shí)，中性軸將與截面相切，偏心力在該區(qū)

34、域的邊界上時(shí)，中性軸將與截面相切，當(dāng)偏心力作用在該區(qū)域以外時(shí)，中性軸與截面相割。當(dāng)偏心力作用在該區(qū)域以外時(shí)，中性軸與截面相割。這個(gè)這個(gè)區(qū)域區(qū)域稱(chēng)為稱(chēng)為。 對(duì)于磚、石或混凝土等材料（如對(duì)于磚、石或混凝土等材料（如橋墩橋墩），由于），由于它們的它們的抗拉強(qiáng)度較低抗拉強(qiáng)度較低，在設(shè)計(jì)這類(lèi)材料的偏心受壓，在設(shè)計(jì)這類(lèi)材料的偏心受壓桿時(shí)，最好使橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力。因此，確定桿時(shí)，最好使橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力。因此，確定截面核心是很有實(shí)際意義的。截面核心是很有實(shí)際意義的。 為此，應(yīng)使中性軸不與橫截面相交。為此，應(yīng)使中性軸不與橫截面相交。作作一系列與一系列與截面周邊相切的直線(xiàn)截面周邊相切的直線(xiàn)作為中性軸，作為

35、中性軸，由由每每一條中性軸在一條中性軸在 y、z 軸上的軸上的截距截距ay1、az1，即可求得，即可求得與其與其對(duì)應(yīng)的偏心力作用點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的偏心力作用點(diǎn)的坐標(biāo)( ( y1, z1)。有了一系。有了一系列點(diǎn)，描出截面核心邊界。（一個(gè)反算過(guò)程）列點(diǎn)，描出截面核心邊界。（一個(gè)反算過(guò)程）前面前面偏心拉（壓）偏心拉（壓）計(jì)算的中性軸計(jì)算的中性軸截距表達(dá)式截距表達(dá)式FyzFzyziayia2121,121121zyzyzyaiaiOzyaay1z12211443355圓截面圓截面: : 對(duì)于圓心對(duì)于圓心 O 是極對(duì)稱(chēng)的，截是極對(duì)稱(chēng)的，截面核心的邊界對(duì)于圓心也應(yīng)是面核心的邊界對(duì)于圓心也應(yīng)是極對(duì)稱(chēng)的，即為一

36、圓心為極對(duì)稱(chēng)的，即為一圓心為 O 的的圓。圓。 11, 2/zyada得得0,82/16/12121zyzydddai 作一條與圓截面周邊相切于作一條與圓截面周邊相切于A點(diǎn)的直線(xiàn)，將其看作為中性軸，點(diǎn)的直線(xiàn)，將其看作為中性軸，并取并取OA為為y軸，于是，該中性軸軸，于是，該中性軸在在y、z兩個(gè)形心主慣性軸上的截兩個(gè)形心主慣性軸上的截距分別為距分別為dzyO8d8d1A1矩形截面矩形截面: : 邊邊長(zhǎng)為長(zhǎng)為a和和b的矩形截面，的矩形截面，y、z兩對(duì)稱(chēng)軸為截面的形心兩對(duì)稱(chēng)軸為截面的形心主慣性軸。主慣性軸。11, 2/zyaha得得62/12/2121hhhaiyzy 將與將與 AB 邊相切的直線(xiàn)邊

37、相切的直線(xiàn)看作是中性軸，其在看作是中性軸，其在y、z 兩兩軸上的截距分別為軸上的截距分別為 012/2121baizyzb66h1AzybhCDB h66bO31344221 同理，分別將與同理，分別將與BC、CD和和DA邊相切的直線(xiàn)、邊相切的直線(xiàn)、看作是中性軸，可求得對(duì)應(yīng)的截面核心邊界、看作是中性軸，可求得對(duì)應(yīng)的截面核心邊界上點(diǎn)上點(diǎn)2、3、4的坐標(biāo)依次為的坐標(biāo)依次為 0,6;6, 03322zyzyhb6, 044bzy 當(dāng)中性軸從截面的一個(gè)側(cè)邊繞截面的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到當(dāng)中性軸從截面的一個(gè)側(cè)邊繞截面的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到其相鄰邊時(shí)，相應(yīng)的外力作用點(diǎn)移動(dòng)的軌跡是一條其相鄰邊時(shí)，相應(yīng)的外力作用點(diǎn)移動(dòng)的軌跡是一條

38、連接點(diǎn)連接點(diǎn)1、2的直線(xiàn)。的直線(xiàn)。 于是，將于是，將1 1、2 2、3 3、4 4四點(diǎn)中相鄰的兩點(diǎn)連以直線(xiàn)，四點(diǎn)中相鄰的兩點(diǎn)連以直線(xiàn)，即得矩形截面的截面核心邊界。它是個(gè)位于截面中即得矩形截面的截面核心邊界。它是個(gè)位于截面中央的菱形，央的菱形， 試確定圖示試確定圖示T字形截面的截面核心邊界。字形截面的截面核心邊界。圖中圖中y、z軸為截面的形心主慣性軸。軸為截面的形心主慣性軸。 解解：先求出截面的有關(guān)幾何性質(zhì)：先求出截面的有關(guān)幾何性質(zhì) 2m6 . 0)m9 . 0m4 . 0()m6 . 0m4 . 0(A2222224343m105 .84/m108/m105 .27m1048AIiAIiIIz

39、zyyzyEH0.45m 0.45m0.6m0.6m0.2m0.2mBCDAFGOzy 作、作、等等6 6條直線(xiàn)，將它們條直線(xiàn)，將它們看作是中性軸，其中、和看作是中性軸，其中、和分別與周邊分別與周邊AB、BC、CD和和FG相切，相切，而和則分別連接兩頂點(diǎn)而和則分別連接兩頂點(diǎn)D、F和和兩頂點(diǎn)兩頂點(diǎn)G、A。 依次求出其在依次求出其在y、z坐標(biāo)軸上的截距，坐標(biāo)軸上的截距，并算出與這些中性軸對(duì)應(yīng)的核心邊界并算出與這些中性軸對(duì)應(yīng)的核心邊界上上1 1、2 2、等等6 6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值。個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值。 再利用中性軸繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)相應(yīng)的再利用中性軸繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)相應(yīng)的外力作用點(diǎn)移動(dòng)的軌跡為一直線(xiàn)的關(guān)外力作用點(diǎn)移動(dòng)的

40、軌跡為一直線(xiàn)的關(guān)系，將系，將6 6個(gè)點(diǎn)中每相鄰兩點(diǎn)用直線(xiàn)連個(gè)點(diǎn)中每相鄰兩點(diǎn)用直線(xiàn)連接，即得圖中所示的截面核心邊界。接，即得圖中所示的截面核心邊界。453216EH0.45m 0.45m0.6m0.6m0.2m0.2mBCDAFGOzy123456yzdA8d8dO1 求直徑為求直徑為D D的圓截面的截面核心的圓截面的截面核心. .21day1za22zyii AIy46424dd162dyzyeia2zyzeia2ye8d0zeyzbADCBh21hay1zayzyeia2zyzeia22yiAIybhhb 123122b2ziAIz122h1ye6h1ze016h26b6h346b 確定邊長(zhǎng)

41、為確定邊長(zhǎng)為h h和和b b的矩形截面的截面核心的矩形截面的截面核心. .作業(yè)：作業(yè)：8-1，8-5， 8-7，811，813 8-4 8-4 彎曲與扭轉(zhuǎn)彎曲與扭轉(zhuǎn)以圓截面桿在彎扭組合時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題為主以圓截面桿在彎扭組合時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題為主已知圓桿受力已知圓桿受力F，和其許用應(yīng)力，和其許用應(yīng)力 ，對(duì)其進(jìn)行強(qiáng)度校核。，對(duì)其進(jìn)行強(qiáng)度校核。 F： 對(duì)稱(chēng)面內(nèi)的橫向力對(duì)稱(chēng)面內(nèi)的橫向力 引起平面彎曲引起平面彎曲m ： 作用平面為橫截面作用平面為橫截面 的力偶，引起扭轉(zhuǎn)。的力偶，引起扭轉(zhuǎn)。xlyzFFmFmlxAM = F(l x)T = mFmlxMPl 可以確定危險(xiǎn)截面為可以確定危險(xiǎn)截面為A右右截面

42、。截面。ABM引起的正應(yīng)力引起的正應(yīng)力 T引起的剪應(yīng)力引起的剪應(yīng)力 yC1 C2 zyC1 zC2 MyIPTIyC1 zC2 可以確定危險(xiǎn)點(diǎn)為可以確定危險(xiǎn)點(diǎn)為C1，C2點(diǎn)。點(diǎn)。外表面外表面橫截面橫截面PWTWM疊加：疊加：C1點(diǎn)點(diǎn)俯視圖俯視圖PWTWM外表面外表面C1 PWTWMC2點(diǎn)點(diǎn)外表面外表面橫截面橫截面PWTWM 一般軸多采用塑性材料，一般軸多采用塑性材料，因而可選第因而可選第三三或第或第四四強(qiáng)度理論。強(qiáng)度理論。 C1 r3 = 1 3 )()()(212132322214r求單元體求單元體C1的主應(yīng)力：的主應(yīng)力：22minmax)2(2 C1 223)2(202221)2(2WM:

43、注意PWT,323dW而且,163PdWWW2P代入第三、第四強(qiáng)度理論：代入第三、第四強(qiáng)度理論： 上式同樣適用于上式同樣適用于空心圓截面桿空心圓截面桿，對(duì)其它的彎，對(duì)其它的彎扭組合，可同樣采用上面的分析方法扭組合，可同樣采用上面的分析方法。外力分析：外力分析：外力向形心簡(jiǎn)化并外力向形心簡(jiǎn)化并分解。分解。內(nèi)力分析：內(nèi)力分析：每個(gè)外力分量對(duì)應(yīng)的內(nèi)力方程和每個(gè)外力分量對(duì)應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)面。內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)面。建立強(qiáng)度條件。建立強(qiáng)度條件。2223WTMMzyr75. 02224WTMMzyr彎扭組合問(wèn)題的求解步驟：彎扭組合問(wèn)題的求解步驟：圖示一鋼制實(shí)心圓軸，軸上的齒輪圖示一鋼制實(shí)心圓軸，

44、軸上的齒輪 C C 上作用有鉛垂上作用有鉛垂切向力切向力5kN5kN，徑向力，徑向力1.82kN1.82kN；齒輪；齒輪 D D 上作用有水平切上作用有水平切向力向力10kN10kN，徑向力，徑向力3.64kN3.64kN。齒輪。齒輪 C C 的節(jié)圓直徑的節(jié)圓直徑d dC C=400mm=400mm，齒輪，齒輪D D的節(jié)圓直徑的節(jié)圓直徑d dD D=200mm=200mm。設(shè)許用應(yīng)力。設(shè)許用應(yīng)力 =100MPa=100MPa，試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑。，試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑。 解解：將每個(gè)齒輪上的：將每個(gè)齒輪上的切向外力向該軸的切向外力向該軸的截截面形心簡(jiǎn)化。面形心簡(jiǎn)化。ABxyzCD

45、5kN1.82kN10kN3.64kN300300100AB1.82kNC5kN1kN.mD10kN3.64kN1kN.m 作出軸在作出軸在xy、xz兩縱對(duì)兩縱對(duì)稱(chēng)平面內(nèi)的兩個(gè)彎矩圖以稱(chēng)平面內(nèi)的兩個(gè)彎矩圖以及扭矩圖及扭矩圖 對(duì)于圓截面桿，通過(guò)對(duì)于圓截面桿，通過(guò)圓軸軸線(xiàn)的任一平面都是圓軸軸線(xiàn)的任一平面都是縱向?qū)ΨQ(chēng)平面，可將縱向?qū)ΨQ(chēng)平面，可將My、Mz按矢量和求得總彎矩。按矢量和求得總彎矩。 并用總彎矩來(lái)計(jì)算該橫并用總彎矩來(lái)計(jì)算該橫截面上的正應(yīng)力。截面上的正應(yīng)力。 橫截面橫截面B上的總彎矩最上的總彎矩最大。再考慮扭矩圖，得大。再考慮扭矩圖，得B截面是截面是危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面. . 1kN.m0.22

46、7kN.mM圖z0.568kN.m0.364kN.mM圖y_T圖1kN.mBxyzMyBzBMMzByBMMBByzmN1372100075. 0100036475. 02222224TMMMzByBrmN137244WWMrr323dW 解得解得51.9m1001013723233dMPa7 .351001071636PWTMPa37. 61001050423AF解：解：拉扭組合拉扭組合, ,危險(xiǎn)點(diǎn)危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖應(yīng)力狀態(tài)如圖直徑為直徑為d d=0.1m=0.1m的圓桿受力如圖的圓桿受力如圖, ,T T=7kNm, =7kNm, F F=50kN,=50kN, =100MPa,=100MP

47、a,試按試按第三強(qiáng)度理論校核此桿的強(qiáng)度第三強(qiáng)度理論校核此桿的強(qiáng)度。故，安全。故，安全。2234r MPa7 .717 .35437. 622AAFFTT 圖示圓軸圖示圓軸. .已知已知,F=8kN,M=3kNm,F=8kN,M=3kNm,=100MPa,=100MPa,試試用第三強(qiáng)度理論求軸的最小直徑用第三強(qiáng)度理論求軸的最小直徑. .FMm5 . 0FLMmaxkNm4kNmT3 224224pzzWTWM22zzzWTWMzzWTM22 22TMWzz35105m332zWd mm8 .79 =100MPa, W=0.1d3, 確定確定d.3kN.m4kN.m試判斷下列論述是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)打“”，錯(cuò)誤的打“”（1）桿件發(fā)生斜彎曲時(shí)，桿變形的總撓度方向一定與中性軸向垂 直