離散系統(tǒng)Z變換分析法02

1、第2章線性離散系統(tǒng) Z 變換分析法安徽工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化系馬鞍山 2430022.5 Z 傳遞函數(shù)采樣系統(tǒng)如下2.5.1 z傳遞函數(shù)的定義 在初始靜止的條件下。一個(gè)環(huán)節(jié)(或系統(tǒng))的輸出脈沖序列的z變換Y(z)與輸入脈沖序列的z變換R(z)之比 Z傳遞函數(shù)是分析線性離散系統(tǒng)的重要的工具2.5.2 連續(xù)環(huán)節(jié)(或系統(tǒng))的離散化 對(duì)連續(xù)環(huán)節(jié)或系統(tǒng)離散化，方法如下：1沖激不變法2局部分式法3留數(shù)法例題7：試求帶有零階保持器對(duì)象的z傳遞函數(shù)HG(z) 解：廣義對(duì)象(帶有零階保持器的對(duì)象)的傳遞函數(shù)2.5.3 Z傳遞函數(shù)的性質(zhì) 系統(tǒng) Z 傳遞函數(shù)和方框圖例題8：設(shè)線性離散系統(tǒng)的差分方程為：2. 開環(huán) Z 傳遞函

2、數(shù) 線件離散系統(tǒng)的開環(huán) Z傳遞函數(shù)跟連續(xù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)具有類似的特性。串聯(lián)環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù) 例題9 例題10 例題11:3.閉環(huán) Z 傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖1 閉環(huán) Z 傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖22.5.4 過渡過程特性 與連續(xù)系統(tǒng)用傳遞函數(shù)分析過渡過程類似，可以用 Z傳遞函數(shù)來分析離散系統(tǒng)的過渡過程特性。 分析離散系統(tǒng)的過渡過程特性的步驟： 1YZ=GCZRZ 2由Y(Z)求出y(kT)例題12例題13例題13(續(xù)2.5.5 離散系統(tǒng)的誤差特性設(shè)系統(tǒng)如圖218所示。對(duì)于圖2.18所示系統(tǒng)，離散系統(tǒng)的誤差z傳遞函數(shù)由上式可以看到：(1) 系統(tǒng)的誤差除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，環(huán)節(jié)的參數(shù)有關(guān)外，還與系統(tǒng)的輸入型式有

3、關(guān)；(2) 系統(tǒng)在各采樣時(shí)刻kT，k0，1，2，的誤差值，可以由E(z)展開式的各項(xiàng)系數(shù)e(kT)來確定；(3) 由e(kT)也可以分析系統(tǒng)在某種型式輸入時(shí)的動(dòng)態(tài)特性； (4) 當(dāng)e(kT)中的k時(shí)，即可得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。因此，為了分析穩(wěn)態(tài)特性可以對(duì)誤差的z變換E(z)施用終值定理以求得ess。不同輸入時(shí)各類系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差例14 線性離散系統(tǒng)如圖214所示，且a1s，K1，T1s，試求系統(tǒng)在單位階躍、單位速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)的閉環(huán)z傳遞函數(shù)7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性的分析方法：將線性連續(xù)系統(tǒng)在 s平面上分析穩(wěn)定性的結(jié)果 離散線性系統(tǒng)在 z平面上的穩(wěn)定性。1. s 域到

4、 z 域的映射關(guān)系相當(dāng)于取s平面上的虛軸映射到 z 平面上的軌跡：以原點(diǎn)為圓心的單位圓，相位：相應(yīng)的點(diǎn)沿單位圓變化無窮多圈結(jié)論：在等 線的左半平面映射為z平面上同心圓的內(nèi)部，右半平面映射為同心圓的外部。s平面的虛軸的左半平面映射為z平面上單位圓的內(nèi)部，右半平面映射為單位圓的外部。離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：從離散系統(tǒng)的差分方程的齊次解的收斂性，或者從 z域中離散系統(tǒng)的特征方程的根的研究得到結(jié)論。離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義：假設(shè)離散系統(tǒng)在有界輸入序列的作用下，其輸出序列也是有界，那么稱該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)齊次方程的解是收斂的，或者系統(tǒng)特征方程根均具有負(fù)實(shí)部，或者系統(tǒng)傳遞

5、函數(shù)的極點(diǎn)嚴(yán)格均在左半 s 平面。1離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件時(shí)域設(shè)：系統(tǒng)差分方程系統(tǒng)齊次方程設(shè)通解：系統(tǒng)特征方程：設(shè)特征方程具有各不相同的特征根：通解：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：相應(yīng)的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件z域G(s)H(s)對(duì)于典型的離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程設(shè)特征方程的根閉環(huán)極點(diǎn)各不相同由s平面到z平面的映射關(guān)系s平面的左半平面對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域：z平面上單位圓的內(nèi)部； s平面的右半平面對(duì)應(yīng)的不穩(wěn)定區(qū)域： z平面上單位圓的外部；s平面的虛軸對(duì)應(yīng)的臨界穩(wěn)定：z平面上單位圓周。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：離散特征方程的全部特征根都在單位圓內(nèi)，即例：設(shè)典型離散系

6、統(tǒng)采樣周期 T=1(s)，試分析系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)特征方程結(jié)論：閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判定： 特征方程的根是否都在左半s平面？離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性：特征方程的根是否都在z平面的單位圓內(nèi)？將勞斯-胡爾維茨判據(jù)用于離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定，首先要將z平面上的穩(wěn)定域單位圓內(nèi) 新平面上的左半平面Z域 w域1. W變換雙線性變換與勞斯穩(wěn)定判據(jù)令注意到 z和 w都是復(fù)變量，那么有顯然：考察上式：在z平面的單位圓上，滿足對(duì)應(yīng)在 w平面上： 說明：w平面上的虛軸對(duì)應(yīng)于z平面上的單位圓周。Z平面單位圓內(nèi)Z平面單位圓外w平面左半平面w平面右半平

7、面勞斯穩(wěn)定判據(jù)在離散系統(tǒng)中的應(yīng)用：將離散系統(tǒng)在z域的特征方程變換為w域的特征方程，然后應(yīng)用勞斯判據(jù)。例1：設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如下圖，T=0.1(s)，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) K 的極限值。進(jìn)一步整理后，w域的特征方程：勞斯表由勞斯穩(wěn)定判據(jù)使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的取值范圍極限增益2Jury朱利穩(wěn)定判據(jù)Jury穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)離散系統(tǒng)的z域特征方程 的系數(shù)，直接判別特征根是否嚴(yán)格位于z平面上的單位圓內(nèi)。設(shè)離散系統(tǒng)的 階閉環(huán)特征方程 利用特征方程的系數(shù)，構(gòu)造 、 列Jury矩陣。Jury矩陣的第一行系數(shù)：Jury矩陣的第二行系數(shù)：第三行系數(shù)第四行系數(shù)第五行系數(shù)第六行系數(shù)第七行系數(shù)第八行系數(shù)最后行系數(shù) Jury穩(wěn)定判據(jù)：特

8、征方程 的根，全部嚴(yán)格位于 z平面上單位圓內(nèi)的充要條件是：以及以下n-1個(gè)約束成立：假設(shè)上述條件滿足，系統(tǒng)不穩(wěn)定。推論1：特征方程的根全部在單位圓內(nèi)的一個(gè)充分條件是推論2：具有系數(shù)的特征方程，其多項(xiàng)式為首一多項(xiàng)式的根全部都在單位圓內(nèi)的充分條件是例2 設(shè)一離散時(shí)間單位反響系統(tǒng)，采樣周期 T=1s，其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)試用Jury穩(wěn)定判據(jù)確定系統(tǒng)的 K 值范圍。解：閉環(huán)特征方程對(duì)于二階系統(tǒng)應(yīng)用Jury穩(wěn)定判據(jù)，只要用到下面3個(gè)約束條件：綜合1、2、3例3：采樣周期與開環(huán)增益對(duì)穩(wěn)定性的影響連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于：開環(huán)增益、閉環(huán)極點(diǎn)、傳輸延遲等。離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性：以上因素，再加上采樣周期 T。舉例說明：

9、設(shè)帶有零階保持器的離散系統(tǒng)如下圖由 Jury 穩(wěn)定判據(jù) 或 w域的勞斯穩(wěn)定判據(jù) w域的特征方程P357圖7-49給出 K=1, 不同采樣時(shí)的單位階躍響應(yīng)。結(jié)論：1在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，采樣周期越小，允許的開環(huán)增益范圍就擴(kuò)大，否那么就縮小。2當(dāng)采樣周期一定時(shí)，加大開環(huán)增益會(huì)使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差；3當(dāng)開環(huán)增益一定時(shí)，采樣周期越長，喪失的信息就越多，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能不利。2.7 線性離散系統(tǒng)的性能分析k為采樣時(shí)刻kT的采樣周期數(shù)圖2.25 閉環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)的分布與過渡分量的關(guān)系圖2.26 閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的分布與過渡分量的關(guān)系28 線性離散系統(tǒng)的根軌跡分析法 在線性連續(xù)系統(tǒng)中可以用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能。同樣，對(duì)于線性離散系統(tǒng)也可以用平面上的根軌跡分析線性離散系統(tǒng)的性能。281 根軌跡分析法繪制線性離散系統(tǒng)的根本法