第三章信號(hào)采樣與Z變換理論基礎(chǔ)

1、第三章第三章信號(hào)采樣與信號(hào)采樣與Z變換理論基礎(chǔ)變換理論基礎(chǔ)本章內(nèi)容本章內(nèi)容3.1 采樣過程與采樣定理3.2 信號(hào)的恢復(fù)與零階保持器3.4 z變換與z反變換3.5 脈沖傳遞函數(shù)3.6 Z平面分析3.3 離散系統(tǒng)的差分方程基本要求n正確理解采樣過程，采樣定理，信號(hào)復(fù)現(xiàn)和零階保持器的作用, 了解采樣系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的區(qū)別與聯(lián)系。nZ變換和Z反變換，熟練掌握幾種典型信號(hào)的Z變換和通過部分分式分解進(jìn)行反變換, 了解用Z變換法解差分方程的主要步驟和方法。n正確理解脈沖傳遞函數(shù)的概念，熟練掌握簡(jiǎn)單采樣系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的計(jì)算方法, 掌握典型閉環(huán)采樣系統(tǒng)輸出的Z變換表達(dá)式。n熟練掌握Z域穩(wěn)定

2、性的判別方法。n掌握采樣瞬時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法概述概述)(nTR )(*tb - DA/ )(tb )(ty )(tu 控制規(guī)律控制規(guī)律 )(zD 反饋裝置反饋裝置 AD / 被被 控控 對(duì)對(duì) 象象 )(tr)(*tu )(tr )(*tu )(*te - )(tb )(zD )(sF )(sGh )(tu )(ty )(sG T T + 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)簡(jiǎn)化方框圖 等效的采樣控制系統(tǒng)簡(jiǎn)化方框圖 3.1.1信號(hào)的采樣3.1 采樣過程與采樣定理采樣過程：以一定的時(shí)間間隔對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，使連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)間上離散的脈沖序列的過程。實(shí)現(xiàn)采樣過程的裝置：多種多樣，但不管具體是如何實(shí)現(xiàn)的，其基本功能

3、都可以用一個(gè)開關(guān)來表示，稱為采樣器或采樣開關(guān)。理想采樣開關(guān)：按一定的周期進(jìn)行閉合采樣。設(shè)采樣周期為T，每次采樣時(shí)的閉合時(shí)間為。由于采樣開關(guān)閉合時(shí)間極短，一般遠(yuǎn)小于采樣周期T和被控制對(duì)象的最大時(shí)間常數(shù)，因此可以認(rèn)為是瞬間完成。3.1.1信號(hào)的采樣3.1 采樣過程與采樣定理 若時(shí)間間隔用任意數(shù)T表示，離散信號(hào)用x(kT)或x(k)表示。其中k表示離散時(shí)間，T稱為采樣時(shí)間或采樣周期。n采樣過程類似于一個(gè)脈沖調(diào)制過程。設(shè)理想的單位脈沖序列 的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： )(tTkTkTtt)()(kTtkTtkTt, 0, 1)(), 2 , 1 , 0(k)(*te采樣開關(guān)對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣后，其輸出信號(hào)可以表

4、示為 kTkTttettete)()()()()(*00*)()()()()(kkkTtkTekTttete0t0)(te從控制系統(tǒng)的實(shí)際意義出發(fā)，通常取時(shí)，故上式可改寫為： 3.1.1信號(hào)的采樣)(te3.1.2 采樣定理max*maxmax( ) 2( )( )( )2sssf tftf tf t 對(duì)于一個(gè)具有有限頻譜的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，若采樣頻率滿足 再通過一個(gè)理想的低通濾波器，則采樣信號(hào)能夠不失真地復(fù)現(xiàn)原來的連續(xù)信號(hào)。其中為原信號(hào)有效頻譜中的最高頻率，為采樣頻率。 在實(shí)際系統(tǒng)中，一般總是將采樣頻率選得比大得多。3.1 采樣過程與采樣定理 工程上常以在滿足系統(tǒng)性能要求的前提下，盡可能選擇

5、較大的采樣周期（即較小的采樣頻率），以降低成本為基本準(zhǔn)則。采樣周期的選擇，在很大程度上還取決于實(shí)際控制系統(tǒng)的現(xiàn)場(chǎng)情況。 3.1.3 采樣周期的選擇n信號(hào)復(fù)現(xiàn)信號(hào)復(fù)現(xiàn) 是指將采樣信號(hào)恢復(fù)為連續(xù)信號(hào)的過程，能夠?qū)崿F(xiàn)這一過程的裝置稱為保持器保持器。 TktkT) 1( 可將)(tf展成如下泰勒級(jí)數(shù)：時(shí)，( )1( )()( )()( )()!nnt kTt kTf tf kTf tt kTftt kTn 3.2 信號(hào)復(fù)現(xiàn)與零階保持器3.2.1 信號(hào)復(fù)現(xiàn)取各階導(dǎo)數(shù)的近似值 n由此類推，計(jì)算n階導(dǎo)數(shù)的近似值需已知n+1個(gè)采樣時(shí)刻的瞬時(shí)值。若展開式的右邊只取前n+1項(xiàng)，便得到n階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 2(

6、)2 ()(2 )( )t kTf kTf kTTf kTTf tTTTkTfkTfkTf)()()(3.2 信號(hào)的恢復(fù)與零階保持器3.2.2 零階保持器信號(hào)的采樣與保持過程零階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： TktkTkTftf) 1( )()()(kTeTk) 1( )(*te)(teh零階保持器采用恒值外推原理，把每個(gè)采樣值一直保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻，從而把采樣信號(hào)變成了階梯信號(hào) 。 由于是恒值外推，處在采樣區(qū)間內(nèi)的值始終為常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為零，故稱作零階保持器。 3.2.2 零階保持器零階保持器的功能 3.2.3 零階保持器的單位脈沖響應(yīng) 零階保持器是采樣系統(tǒng)的基本元件，為了滿足系統(tǒng)分析、設(shè)計(jì)的需要

7、，必須了解零階保持器的傳遞函數(shù)和頻率特性。對(duì)零階保持器輸入單位脈沖時(shí)，其輸出為一個(gè)高度為1，寬度為T的矩形波，這就是零階保持器的單位脈沖響應(yīng) 。)(tgh兩個(gè)單位階躍函數(shù)的疊加 3.2.4 零階保持器的傳遞函數(shù)由線性函數(shù)的疊加性，零階保持器的脈沖響應(yīng)函數(shù)：)()()(Ttututgh對(duì)上式取拉氏變換，可得零階保持器的傳遞函數(shù)為： seessTtuLtuLtgLsGTsTshh111)()()()(3.2.5 零階保持器的頻率特性將 代入上式，可以得到零階保持器的頻率特性為：js sjsssTjTjTjTjTjTjheTTTeTejeeejejG)()sin()2()2()2sin()2sin(

8、2)(1)(222223.2.5 零階保持器的頻率特性零階保持器的幅、相頻率特性分別為 ：, 2 , 1 , 0,)()()()sin()2()(mmjGssssh3.2.5 零階保持器的頻率特性零階保持器的幅、相頻率特性分別為 ：3.2.6 連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)處理方法對(duì)比 3.3 離散系統(tǒng)的差分方程 假設(shè)在下圖所示的采樣系統(tǒng)中，模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器在離散時(shí)間對(duì)誤差信號(hào) 進(jìn)行采樣，并將瞬時(shí)值 記為 或 ，則 的一階前項(xiàng)差分定義為：3.3 離散系統(tǒng)的差分方程)(te)(kTeke)(kekekkkeee1n二階前向差分定義為：nn階前向差分定義為nn階后向差分定義為)(2kkeekkee1kkk

9、eee122knknkneee111111knknkneee3.3 離散系統(tǒng)的差分方程3.3.2 差分方程 差分方程由未知序列 y(k)，及移位序列y(k+1)、y(k+2)、 或 y(k-1)、y(k-2)、，以及激勵(lì)u(k)及其移位序列u(k+1)、u(k+2)、或 u(k-1)、u(k-2)、構(gòu)成。)()()3(2kukyky)()() 1(2)2(2kukykyky)()() 1(1)2(22kukykkyk3.3 離散系統(tǒng)的差分方程)()3(12)2(10) 1(6)(kukykykyky 差分方程的階數(shù)：定義為未知序列自變量序號(hào)中最高值和最低值之差。 ),2(),1(),(kyky

10、ky),2(),1(),(kykyky 用兩種形式的差分方程描述的系統(tǒng)沒有本質(zhì)的區(qū)別，根據(jù)具體情況來確定采用哪一種。前向差分方程：差分方程中的未知序列是遞增方式，即由組成的差分方程后向差分方程：差分方程中的未知序列是遞減方式，即由組成的差分方程3.3.2 差分方程 3.3 離散系統(tǒng)的差分方程3.3.2 差分方程 3.3 離散系統(tǒng)的差分方程常系數(shù)線性差分方程的一般形式00()()nmijija y kib e kj011( )(1)(1)()nna y ka y kay kna y kn011( )(1)(1)()mmb e kbe kbe kmb e km10( )()()nmijijy ka

11、 y kib e kj 3.3.3 差分方程的求解 3.3 離散系統(tǒng)的差分方程1.迭代法3.零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.時(shí)域經(jīng)典法：齊次解+特解4. z變換法反變換y(n)3.3.3 差分方程的求解 方法1迭代法解差分方程的基礎(chǔ)方法差分方程本身是一種遞推關(guān)系，概念清楚比較簡(jiǎn)便 的的解解析析式式但但得得不不到到輸輸出出序序列列ny1)0() 1()0(xayy0) 1(yaxayy) 1 ()0() 1 (0)2(ynany)( 解：)()(nuanyn故( )(1)( )y nay nx n)(n 已知：y(-1)=0, x(n)=例1：()0y 3.3.3 差分方程的

12、求解 方法1迭代法0)2() 1()(nynyny1) 1 (, 0)0(yy)2() 1()(nynyny1)0() 1 ()2(yyy2) 1 ()2() 3(yyy0,1,1,2,3,5,8,13,例2: 已知： 解解：無法給出閉式解集3.3.3 差分方程的求解 解析法：齊次解+特解齊次解：齊次方程的解步驟：差分方程差分方程特征方程特征方程特征根特征根y(n)的解析式的解析式由初始狀態(tài)定常數(shù)由初始狀態(tài)定常數(shù)方法2時(shí)域經(jīng)典法3.3.3 差分方程的求解 方法2時(shí)域經(jīng)典法0)(0knyaNkk特征方程有n個(gè)特征根 1齊次解-自由響應(yīng)齊次方程：即：011( )(1)(1)()0nna y ka

13、y kay kna y kn11()(1)(1)( )0nny kna y knay ka y k1201210nnnnna raaaa12,nr rr3.3.3 差分方程的求解 方法2時(shí)域經(jīng)典法1 12 2( )kkkhn ny kc rc rc r211123()knnrCC kC kC k 齊次解一般形式i)特征根互不相同的實(shí)根齊次解 1r2r12,jBjBrA erA eii)與互為共軛 1r2r12(cossin)kA CBkCBk與對(duì)應(yīng)的齊次解部分1riii) 為k重1r對(duì)應(yīng)齊次解部分3.3.3 差分方程的求解 方法2時(shí)域經(jīng)典法0)2() 1()(nynyny1)2(, 1) 1

14、(yy012251,25121nnCCny)251()251()(21nnny)251(51)251(51)(251251121CC2221)251()251(1CC511C512C 例：求， 解解： 得 所以推出： 的通解3.3.3 差分方程的求解 方法3零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)1.零輸入響應(yīng)：輸入為零，差分方程為齊次2.零狀態(tài)響應(yīng)：初始狀態(tài)為零，即求解方法求解方法經(jīng)典法：齊次解經(jīng)典法：齊次解+ +特解特解卷積法卷積法3.3.3 差分方程的求解 方法4. z變換法z變換法反變換y(k)與拉式變換求解微分方程類似 0*0*0*)()()( )(,)()( )()()( )( )()()()()(

15、)( kkTsTskkTskTszkTfsFzFsFezseekTfsFTkTtkTftftfztfzFzesFsFtftfz可以改寫為：則此引入新的變量：方便，因函數(shù)，對(duì)數(shù)學(xué)分析很不的超越函數(shù)而不是有理是由于進(jìn)行拉氏變換，得表示采樣周期，對(duì)上式其中，序列，表示為的采樣信號(hào)是一個(gè)脈沖變換。的，我們稱之為而得到換成中的進(jìn)行演變，將的拉氏變換的采樣信號(hào)變換是把3.3 Z變換 3.3.1 Z變換的定義S的超越 函數(shù) 非有理函數(shù)3.3 Z變換 3.3.1 Z變換的定義幾點(diǎn)討論：幾點(diǎn)討論：1.只有采樣函數(shù)才能定義 Z 變換。 下面表達(dá)式的含義是相等的 3.3 Z變換 3.3.1 Z變換的定義2100)2

16、()()0()()(zTfzTfzfzkTfzFkk)2()2()()()()0()()()(0*TtTfTtTftfkTtkTftfk采樣時(shí)刻 信號(hào)的幅值采樣時(shí)刻2. 因?yàn)樗裕?.3 Z變換 3.3.1 Z變換的定義3. Z 變換只考慮采樣瞬間的信號(hào)值，它不能反映非采樣時(shí)刻的信息112212121) ( )( ), ( )( ), ( )( )( )( )2) () ( )nZ f tF zZ ftF zZf tftF zF znZ f kn TZF z線性性質(zhì)若則其中 ， 為任意實(shí)數(shù)。移位定理滯后（或負(fù)偏移）定理：若脈沖序列延遲 個(gè)采樣周期，則超前（或正偏移）定理：若脈沖序列超前10 (

17、) ( )() nnnjjnZ f kn TZ F zzfjT個(gè)采樣周期，則3.3 Z變換 3.3.1 Z變換的性質(zhì)和常用定理滯后和超前定理統(tǒng)稱為平移定理，是差分方程Z變換求解的主要依據(jù)，這與用拉氏變換的微分定理解微分方程類似。 01123) lim( )( )()(0) (0)lim()lim( )4) ( ) ( )lim()lim(1)( )5) ( )*( )zkzkzF zf tf kTfff kTF zf tff kTzF zZ f kfkF 初值定理：如果存在，則或的初值為終值定理：如果的終值存在，則實(shí)數(shù)卷積定理： =12( )*( )6) ()( ) zF zzf kTf t非

18、一一對(duì)應(yīng)性：變換只能給出原函數(shù)的一連串離散的數(shù)值，而不能給出原函數(shù)。3.3 Z變換 3.3.1 Z變換的性質(zhì)和常用定理終值定理對(duì)計(jì)算采樣離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差很有用 級(jí)數(shù)求和法： 根據(jù)z變換的定義來求函數(shù)的z變換，適用于簡(jiǎn)單函數(shù)。3.3.2 Z變換方法1). 級(jí)數(shù)求和法 計(jì)算Z變換表達(dá)式的最基本公式 特別適用于當(dāng)離散序列不能用解析表達(dá)式給出0)()(kkzkTfzF3.3.2 Z變換方法1). 級(jí)數(shù)求和法解：現(xiàn)在研究的是單邊Z變換， 即f(kT)在t0時(shí)有意義， 當(dāng)t0時(shí)取f(kT)為零值。 根據(jù)定義式，有已知序列f(kT)由圖給出，求f(kT)的Z 變換。5-3-1-5-4-3-2-1-0-2-

19、10z3z2zz1z0z3z0z2z0z2TfzTfz0fzF)()()()(00003-1 ( )( )( )( )01 ( )()1132( )1( ) ( )()1kkkkkkf ttztttzF zf kT zzf ttzzF zf kT zz 例求的 變換，其中為單位脈沖函數(shù)。解：因?yàn)橹挥刑幹禐?，其余均為零，所以根據(jù) 變換的定義，有例求單位階躍函數(shù)的 變換。解：根據(jù) 變換的定義123111,11 ( ), (1)11 zzzzzzF zzzz這是一個(gè)等比級(jí)數(shù)，公比為當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，則上式可寫成如下封閉形式3.3.2 Z變換方法1). 級(jí)數(shù)求和法0123T013-3 () ( )1(

20、)11 , (1)11( )TkkktkTzzzkT zzzzzzzzf tzz 例求單位理想脈沖序列的 變換。解：根據(jù) 變換的定義， 比較上邊兩個(gè)例子可以看出，不同的可以有相同的 變換，所以 變換只對(duì)采樣點(diǎn)上的信息有效，*( )( )( ) ftF zf tz只要采樣信號(hào)相同，則就相同，但采樣前的可以是不同的。常用函數(shù)的 變換可以查表獲得。3.3.2 Z變換方法1). 級(jí)數(shù)求和法3.3.2 Z變換方法2). 部分分式展開法查表法 部分分式展開法是最常用的一種方法。 先將復(fù)雜拉式變換表達(dá)式化成簡(jiǎn)單的、標(biāo)準(zhǔn)的拉式變換表達(dá)式之和，然后求出各部分分式的 Z 變換。由 Z 變換線性定理可知，復(fù)雜拉式變

21、換表達(dá)式的 Z 變換等于各部分分式的 Z 變換之和。miisFsF1)()(miimiizFsFZsFZzF11)()()()(設(shè)則11( )( )( ),( )( )( )( )( )( )( )iniiiiina tiif tf tF szF zzF sAF ssanF sAaF sf tf tAez具體方法： 設(shè)連續(xù)信號(hào)沒有直接給出，但給出了的拉氏變換求它所對(duì)應(yīng)的 變換式。 首先，為了進(jìn)行 變換，將寫成部分分式的形式，即 式中， 為的極點(diǎn)數(shù)目， 為常數(shù)， 為的極點(diǎn)。 然后，由拉氏反變換得出為 對(duì)上式的每一項(xiàng)，都可以利用指數(shù)函數(shù)的 變換1( )( )( )( )inia TiiiA zzF

22、 zF zzeF sAaF z直接寫出它所對(duì)應(yīng)的變換式，這樣就得到了如下: 可以看出，只要將寫成部分分式和的形式，求出和 ，就可以根據(jù)上式直接寫出，從而省去中間拉氏反變換。2). 部分分式展開法查表法 2). 部分分式展開法查表法 已知 ，求Z變換表達(dá)式解：按部分分式展開111)(sssF) 1(1)(sssFtettf)( 1)(TezzzzzF1)(則234( ),( )()( )11( )()(1)( )1(1)aTaTaTaTaF sF zs saF saF ss sassazzzeF zzzezeze例已知求。解：首先將寫成部分分式和的形式根據(jù)前述公式直接寫出3.3.2 Z變換方法2

23、). 部分分式展開法查表法 2312212002200312211211135( )(1( )1d1( )1d(1)d1( )1d1d(1)( )1d1111( )(1111( )(1)11sssssTF szssAAAF ssssAsF sssAs F sssAsF ssF ssssssTzFzzzez 例求的 變 換）解 ： 設(shè)所 以）2). 部分分式展開法查表法 由復(fù)變函數(shù)留數(shù)計(jì)算公式知iiiippTprirrmiiezzpFppdpdrzF)()() 1(1)(111Pi是F(s)的極點(diǎn)， ri是極點(diǎn)Pi的重根數(shù)。3.3.2 Z變換方法3). 留數(shù)計(jì)算法3.3.2 Z變換方法3). 留

24、數(shù)計(jì)算法niiniTpiRezzpFrestfZzFi11*)()()(TppsiezzsFpsR)()(lim111TpqqqpsiezzsFpsdsdqR)()(lim)!1(11111*1* ( )( )() ( )( )1)10:( ),( )(1)(2)( )10zzF zftf kTzZF zftzF zf kzzF zz與連續(xù)系統(tǒng)中應(yīng)用拉氏反變換一樣，對(duì)于數(shù)字控制系統(tǒng)，通常在 域中進(jìn)行計(jì)算后，需要用反變換確定時(shí)域解。從 域函數(shù)求時(shí)域（離散）函數(shù)或，叫 反變換，記作部分分式展開法例4-4 已知求。解：11010(1)(2)121010 ( )12 ( )10 1( ) 10 2kz

25、zzzzzF zzzzZF zk 查 變換表得3.4 Z反變換方法1(1)( )( )(1)()( )11 1 ( )1 ( )1aTaTaTaTakTezF zaTf kzzeF zzzzezzF zzzezZF ze 例：已知， 為常數(shù)， 為采樣周期，求。解：查 變換表得注意：在采用部分分( )F zz式展開法時(shí)，與拉氏變換稍有不同，即所有在其分子上都含有 。3.4 Z反變換方法變換的定義式。此式即為的升冪排列，即，并將商按對(duì)上式用分母去除分子，的多項(xiàng)式之比，即兩個(gè)的有理函數(shù)，可表示為是如果長(zhǎng)除法zzczczczcczFzmnazazazabzbzbzbzFzzzFkkkkknnnnmmm

26、m02211012111021110)()( )( )()23.4 Z反變換方法例4.2 函數(shù)的Z5 . 0)(zzzF)(kTf)(zF1z15 . 011)(zzF43210625. 0125. 025. 05 . 01)(zzzzzF0625. 0)4(,125. 0)3 (,25. 0)2(, 5 . 0)(, 1) 0 (TfTfTfTff0625. 0 ,125. 0 ,25. 0 , 5 . 0 , 1)(kTf變換為，確定的前5個(gè)值。的分子和分母寫成的升冪排列應(yīng)用長(zhǎng)除法，用分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式，得前5個(gè)值為也可寫成解：將即211121231211103( )( )3210(

27、 )1 32 1030701 32)10 103zF zf kzzzzF zzzzzzzzzz例4.已知，求。解：首先將分子分母按的升冪排列，得 采用長(zhǎng)除法232323434020 3020 309060 7060 zzzzzzzzz345123 70210140( )103070zzzF zzzz因此3.4 Z反變換方法3). 留數(shù)計(jì)算法jpip若具有重極點(diǎn)n為總的極點(diǎn)數(shù)，n-m為單極點(diǎn)數(shù)，表示第i個(gè)單極點(diǎn)，則 1)(kzzF，其重極點(diǎn)數(shù)為m，)()(lim)!1(1)()(lim)(11111kmjmmpzmnikipzzzFpzdzdmzzFpzkTfji例4.6：已知 )2)(1(10

28、)(zzzzF，求)(kTf )(zF2, 2, 121npp, 2 , 1 , 0),21(101010) 2)(1(10) 2(lim) 2)(1(10) 1(lim)(1211kzzzzzzzzzzzkTfkkkzkz解：有兩個(gè)極點(diǎn)則這個(gè)結(jié)果，與例4.3計(jì)算的結(jié)果完全相同。例4.7：已知 ，求)(kTf )(zF解：有兩個(gè)極點(diǎn)則2)()(bzazzzF2, 3,21mnbpap21222211111)()()() 1(lim)()()()(lim)()(lim)(abbabkbbaabzazzzdzdbzazzazzzFpzdzdzzFpzkTfkkkkbzazkkmjmmpzmniki

29、pzji4）MATLAB部分分式展開法)(kTfzzF/ )(nnnmmmasasbsbsbdennumzAzBzzF11110)()()(若函數(shù)的Z變換表達(dá)式為可用MATLAB進(jìn)行部分分式展開求解Z反變換。命令格式為：r,p,d=residue(num,den) 211121110，nnnnmmmmazazazbzbzbzb例4.7 將)2)(1(10)(zzzzF2310)2)(1(10)(2zzzzzzF110210)(zzzzF110210)(zzzzzF解：由已知條件可得則由MATLAB程序L0407求解。num=0 0 10;den=1 -3 2;r,p,d=residue(num

30、,den)結(jié)果為 r = p= d= 10 2 -10 1即 部分分式展開。例4.8 已知22) 1)(2(32)(zzzzzF)(kTf2) 1)(2(32)(zzzzzF2) 1(11121)(zzzzzF2) 1(12)(zzzzzzzF,) 1(, 11,222kzzZzzZzzZk0,12)(kkkTfk求解：由已知條件可得則由MATLAB程序L0408求解。num=2 -3;den=conv(1 -2,conv(1 -1,1 -1);r,p,d=residue(num,den)結(jié)果為r = p= d= 1.0000 2.0000 -1.0000 1.0000 1.0000 1.00

31、00即 查表可得各分式的Z反變換為 從上面兩例題的分析可以看出用MATLAB進(jìn)行部分分式展開求解Z變換更簡(jiǎn)單、迅速，尤其對(duì)于有重根的情況。用z變換求解差分方程 對(duì)于線性連續(xù)控制系統(tǒng)，系統(tǒng)的時(shí)域描述為線性常系數(shù)微分方程，可以用拉氏變換變成s的代數(shù)方程，因此可以大大簡(jiǎn)化求解過程。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)屬于離散系統(tǒng)，其時(shí)域描述為線性常系數(shù)差分方程，可用z變換變成z的代數(shù)方程，用代數(shù)方程來求解。(1)( )( )( )(0)0( ) ( )(0)( )( ), ( )(0)0 ( )()(kc kb c kr kr kacc kzzzC zzcbC zR zR zzaczC zzaz例 ： 設(shè) 一 階 采 樣

32、 離 散 控 制 系 統(tǒng) 的 差 分 方 程 為已 知 輸 入 信 號(hào)， 初 始 條 件 為， 求。解 ： 對(duì) 差 分 方 程 兩 邊 進(jìn) 行 變 換 ， 應(yīng) 用 偏 移 定 理 得代 入 初 始 條 件1)1 ( )()kkzzbabzazbzc kabab進(jìn) 行 反 變 換 得3.4 Z反變換方法224.9: (2)3 (1)2 ( )0(0)0, (1)1,( ). ( )(0)(1)3( )3(0)2( )0 zx kx kx kxxx kzz X zz xzxX zzxX z例用 變換解下面的差分方程已知初始條件求解：對(duì)方程兩邊進(jìn)行 變換，得代入初始條件，并簡(jiǎn)化得2 ( )3212

33、( )( 1)( 2)( )0kkzzzX zzzzzzx kr k 對(duì)上式進(jìn)行 反變換，得此方程的輸入信號(hào)，響應(yīng)是由初始條件激勵(lì)的。3.4 Z反變換方法3.5 脈沖傳遞函數(shù) 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)( (Z Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)) )在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出的采樣信號(hào)的Z變換Y(z)與輸入的采樣信號(hào)的Z變換X(z)之比：)()()(zXzYzG離散系統(tǒng)的方框圖離散系統(tǒng)的方框圖 3.5 脈沖傳遞函數(shù)3.5.1脈沖傳遞函數(shù)的求取方法 從差分方程獲取 從方框圖獲取 從S傳遞函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換 1.1.從差分方程獲取從差分方程獲取設(shè) n 階離散系統(tǒng)的差分方程為)() 1()()() 1()(101m

34、kxbkxbkxbnkyakyakynn在零初始條件下，對(duì)方程兩邊進(jìn)行Z變換，可得到該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 或其等效的形式 nmazazbzbzbzXzYzGnnnmmm,)()()(11110nmzazazbzbbzXzYzGnnmm,1)()()(111101.1.從差分方程獲取從差分方程獲取若已知離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，同樣也可得到相應(yīng)的差分方程。交叉相乘得nmzazazbzbbzXzYzGnnmm,1)()()(11110設(shè))()()()1 (11011zXzbzbbzYzazammnn對(duì)函數(shù)Y(z)和X(z)進(jìn)行Z反變換，可得到相應(yīng)的n階差分方程模型。)() 1()()() 1()(1

35、01mkxbkxbkxbnkyakyakynn2.2.從方框圖獲取從方框圖獲取3.3. 從從S S傳遞函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換傳遞函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換脈沖傳遞函數(shù)G(z)與傳遞函數(shù)G(s)的關(guān)系3.3. 從從S S傳遞函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換傳遞函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)求解步驟)(sG)()(1sGLtg第一步，對(duì)連續(xù)傳遞函數(shù)進(jìn)行拉氏反變換，求出脈沖響應(yīng)函數(shù)； 進(jìn)行拉氏反變換，)(tg第二步，求出的采樣函數(shù) 0*)()()(kkTtkTgtg第三步，進(jìn)行Z變換，求得該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)0*)()()(kkzkTgtgZzG)(sGZ 脈沖傳遞函數(shù) 還可由經(jīng)部分分式法，直接查變換和拉普拉斯變換對(duì)應(yīng)表求得3.3. 從從S

36、S傳遞函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換傳遞函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換例：已知采樣系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù)為； 解：由已知條件可得)10(10)(sssG試求該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù))(zG tetssLssLtg1011)( 11011)10(10)(010*)( 1 )(kkkTzekTtg)(1()1 (1)( 1)()(1010100100*TTTkkkTkkezzezezzzzzezkTtgZzG1011)(sssG)(1()1 (1)(101010TTTezzezezzzzzG3.5.2 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)1. 串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù))z(G)z(G)z(R)z(Y)z(G21)()()()(2121zGGsGs

37、GZzG )()()()()(2121zGzGsGZsGZzG自學(xué)：例4.112.2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù))()()(21zGzGzG)()()()()(2121zGzGsGsGZzG例4.11例4.11 設(shè)在圖4. 4中,bssGassG1)(,1)(21bTaTezzezzzGzGzG)()()(21)()(1)(1)11(111)(bTaTbTaTbTaTezezeezabezzezzabbsasabZbsasZzG,求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖函數(shù).解：對(duì)于圖4. 4(a)中所示系統(tǒng)， 對(duì)于圖4.6-4(b)中所示系統(tǒng)，3.有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)有零階保持器的開環(huán)脈

38、沖傳遞函數(shù))(1)()()(sGseZsGsGZzGTsh)(1)(1)(TsesGsZsGsZzG由線性定理由滯后定理)(1)(11sGsZzesGsZTs)(1)(1)1 ()(1)(1)(11ssGZzzsGsZzsGsZzsGsZzG所以帶有零階保持器的控制系統(tǒng) 3.5.3閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 在連續(xù)系統(tǒng)中，閉環(huán)傳遞函數(shù)與相應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)之間存在確定的關(guān)系，故可用一個(gè)統(tǒng)一的方框圖來描述其閉環(huán)系統(tǒng)。 但在采樣系統(tǒng)中，由于采樣開關(guān)在系統(tǒng)中的位置有多種可能，因而對(duì)采樣系統(tǒng)而言，會(huì)有多種閉環(huán)結(jié)構(gòu)形式。因此閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)沒有統(tǒng)一的計(jì)算公式，只能根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)來求解。典型采樣控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)典型采樣控制系