常微分方程4.4 常系數(shù)齊線性方程組

1、4.4 常系數(shù)齊次線性微分方程組本節(jié)研究常系數(shù)齊次線性微分方程組解的情況，特別是方程基本解組的情形，所以方程組的解在區(qū)間上存在唯一.即尋找n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解常數(shù)矩陣在 上連續(xù)，一 系數(shù)矩陣A有單特征根時(shí)的解 使是對(duì)角矩陣,設(shè)矩陣 有n個(gè)不同特征根，由線性代數(shù)知識(shí)，一定存在一個(gè)非奇異矩陣 ,這里是矩陣A的特征根.?記,設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量，為矩陣 的特征根作線性代換并代入方程可得寫(xiě)成純量形式,可得方程組積分上面各個(gè)方程得解:因此方程 通解為將y代入?可得方程組的基解矩陣為定理4.13 設(shè)矩陣A有n個(gè)不同的特征根 的通解為且其相對(duì)應(yīng)的特征向量為,則方程組例1 求解方程組解 先求矩陣A的特征根因此,矩陣A

2、的特征根為對(duì)可求得其特征向量對(duì)也可求得其相應(yīng)的特征向量為因此,方程組的通解為例2 求解方程組解 該方程對(duì)應(yīng)的矩陣A的特征根滿足對(duì)特征根其相對(duì)應(yīng)的特征向量滿足特征向量特征根對(duì)應(yīng)的特征向量分別為線性齊次方程組的通解為假設(shè)矩陣A 的特征根具有復(fù)特征根的情形,這時(shí)方程就會(huì)出現(xiàn)實(shí)變量數(shù)復(fù)值函數(shù)解.求出方程組的n個(gè)實(shí)的線性無(wú)關(guān)的實(shí)值解?定理2 若實(shí)系數(shù)線性齊次方程組 有復(fù)值解 則其實(shí)部 和虛部都是解.證明是方程組的解,即和都是齊次方程組的解.實(shí)矩陣A有復(fù)特征根一定共軛成對(duì)出現(xiàn).對(duì)應(yīng)的特征向量也與對(duì)應(yīng)的特征向量共軛,因此齊次方程組出現(xiàn)一對(duì)共軛的復(fù)值解.如果 是特征根,也是特征根.則共軛復(fù)數(shù)例3 求解方程組解

3、 系數(shù)矩陣A的特征方程為故有特征根且是共軛的.對(duì)應(yīng)的特征向量滿足方程取根底解系非零解：原微分方程組有解原方程組的通解例4 求解方程組解 該方程組的系數(shù)矩陣特征方程故原方程有復(fù)值解取的實(shí)部和虛部,得原方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解。故原方程組的通解為是 對(duì)應(yīng)的特征子空間的一個(gè)基.則存在 且 對(duì)應(yīng)的特征子空間維數(shù)為1,定理 設(shè)矩陣 A 有一個(gè)重特征根重?cái)?shù)的向量 使得 和 是齊次線性方程組兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解. 二 系數(shù)矩陣A 有重特征根時(shí)的解 把代入方程證明 只需證明是齊次線性方程組的解，且 與 線性無(wú)關(guān)。因?yàn)閷?duì)應(yīng)的特征向量，是矩陣A的特征根，所以且 滿足這說(shuō)明是齊次線性方程組的解.下面證明和線性無(wú)關(guān).事實(shí)上，

4、若存在常數(shù)和滿足兩邊乘以 得兩邊對(duì)求導(dǎo)得因?yàn)橐蚨赜写氲眉从屑凑f(shuō)明和線性無(wú)關(guān).定理給出了求解方程 的通解的一種方法.例 求解方程組解 系數(shù)矩陣 A 的特征方程為因此矩陣 A 有單特征根和二重根對(duì)，有特征向量有特征向量滿足方程方程有解定理 設(shè)矩陣A有一 重特征根重?cái)?shù)且其相應(yīng)的特征子空間是一維的，是該特征子空間的一個(gè)基，則一定存在向量 滿足而且對(duì) 也一定存在 滿足是齊次線性方程組的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.例 求解方程組解 系數(shù)矩陣A的特征方程為對(duì)應(yīng)的特征向量可取這里 滿足方程組解該方程組，取這里 滿足方程解該方程組，取三個(gè)解 線性無(wú)關(guān)。存在不全為零常數(shù) 和 以及向量 滿足定理 設(shè)矩陣 A 有一 重特征

5、根重?cái)?shù)且其對(duì)應(yīng)的特征子空間的維數(shù)為2，有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 和 ，使得是 方程的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.例 求解方程組解 系數(shù)矩陣A的特征方程為對(duì)應(yīng)的特征向量方程組有解的充要條件是選取三 矩陣指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì) 設(shè)A是常數(shù)矩陣,定義矩陣指數(shù)函數(shù)其中E為n階單位矩陣,是矩陣A的k 次冪.必須證明矩陣級(jí)數(shù)是收斂的.事實(shí)上,對(duì)一切正整數(shù)k,有所以矩陣級(jí)數(shù)是收斂的.而數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的,可以證明右端在任何有限區(qū)間上都是一致收斂的.矩陣指數(shù)函數(shù)有下面的性質(zhì)：1 若矩陣A和B是可交換的,即AB=BA,則定義矩陣指數(shù)函數(shù)2 對(duì)任何矩陣存在,且3 若T是非奇異矩陣,則定理 6 矩陣是方程組 的基解矩陣.證明所以是方程組 的基解矩陣.方程組的通解為這里c是一個(gè)常數(shù)向量.定理 6 矩陣是方程組 的基解矩陣.方程組的特解?滿足初始條件假設(shè)是方程組的另外一個(gè)與不同的基解矩陣,那么存在非奇異常數(shù)矩陣