氣體動理論習題

1、氣體動理論習題氣體動理論習題氣體動理論習題 6-1 有一水銀氣壓計，當水銀柱為有一水銀氣壓計，當水銀柱為0.76m高時，管頂離水銀柱液面為高時，管頂離水銀柱液面為0.12m。管的。管的截面積為截面積為2.010-4 m2。當有少量氮氣混入。當有少量氮氣混入水銀管內頂部，水銀柱高下降為水銀管內頂部，水銀柱高下降為0.60m。此。此時溫度為時溫度為270C，試計算有多少質量氮氣在，試計算有多少質量氮氣在管頂？（氮氣的摩爾質量為管頂？（氮氣的摩爾質量為0.004kg/mol,0.76m水銀柱壓強為水銀柱壓強為1.013105Pa）= 0.004 kg/mol M解：解：Phd1()=h20.76()

2、1.33105 Pa=0.60=0.282.010-4 V5.610-4 m3 =T273+27=300 K=1.9210-5kg =0.040.161.331055.610-48.31300VMPm=TRVMPm=TR 6-2 一體積為一體積為1.010-3 m3 的容器中，的容器中，含有含有4.010-5 kg的氦氣和的氦氣和4.010-5 kg的的氫氣，它們的溫度為氫氣，它們的溫度為 300C，試求容器中混，試求容器中混合氣體的壓強。合氣體的壓強。= 2.52104Pa = 5.04104Pa =VMPm=TR1114.010-58.31303 4.010-31.010-3 =4.010

3、-58.31303 2.010-31.010-3 VMPm=TR222=+P1P2P7.56104Pa 1= 4.110-3kg/mol MHe的摩爾質量的摩爾質量2.010-3kg/mol 2=MH2的摩爾質量的摩爾質量=T273+30=303 K解：解： 6-3 一封閉的圓筒，內部被導熱的不漏一封閉的圓筒，內部被導熱的不漏氣的可移動活塞隔為兩部分。最初，活塞位氣的可移動活塞隔為兩部分。最初，活塞位于筒中央，圓筒兩側的長度于筒中央，圓筒兩側的長度 l1= l2。 當兩側當兩側各充以各充以T1、p1，與與T2、p2的相同氣體后，問的相同氣體后，問平衡時活塞將在什么位置上（平衡時活塞將在什么位置

4、上（ 即即 l1/l2 是多是多少）？已知少）？已知 p1=1.013105Pa, T2= 680K, p2 = 2.026105Pa, T2 =280K。lPT1lP=T12221mm12()=ll12P T1P=T221mm12=12802680734lPT1lP=T12221mm12=P1P2ll12=mm12=734m解：解：=TT21平衡時：平衡時：1lMP=TR111SlP2Mm=TR222S 6-4 20個質點的速率如下：個質點的速率如下： 2個具有速率個具有速率v0, 3個具有速率個具有速率2v0, 5個具有速率個具有速率3v0, 4個具有速率個具有速率4v0, 3個具有速率個

5、具有速率5v0, 2個具有速率個具有速率6v0, 1個具有速率個具有速率7v0。試計算試計算: (1)平均速率；平均速率； (2)方均根速率；方均根速率； (3)最概然速率。最概然速率。Nvi=iNv=v0+2v012v07v06v015v016v015v20=3.99v0=2v02+3(2v0)2+5(3v0)2+4(4v0)2+3(5v0)2+2(6v0)2+(7v0)220iv2N=iNv2=vp3v0解：解： 6-5 計算在計算在300K溫度下，氫、氧和水銀溫度下，氫、氧和水銀蒸汽分子的方均根速率和平均平動動能。蒸汽分子的方均根速率和平均平動動能。MH2=210-3 kg/mol MH

6、g=20210-3 kg/mol TR3Mv2=v2=o23 8.31300 3210-3 484m/s=v2=Hg3 8.31300 202193m/sMo2=3210-3 kg/mol 解：解：(1)= 6.2110-21 JEk23=1.3810-23300 kT23(1)平均平動動能平均平動動能=v2=H23 8.31300 210-3 1934m/s 6-6 求速度大小在求速度大小在vp與與1.01vp之間的氣之間的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比體分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.4ne2x=n2-xx=xvpv0.01=vpv4ne2x=n2-xx=0.01 4e-10.83%解：將麥克斯韋

7、速率分布公式改寫為：解：將麥克斯韋速率分布公式改寫為：=x0.01vp=xv式中式中=vpv1=x 6-7 求求(1)速度大小在速度大小在0與與vp之間的氣體分之間的氣體分子的平均速率子的平均速率;(2)速度大小比速度大小比vp大的氣體分子大的氣體分子的平均速率。的平均速率。提示：提示：x-847. 01022=dxepx-1022=dxepNv0d=vpvN0dpve3=v0dvpv2pvv2e2v0dvpv2pvv2vp=xv令令=vpvxdd=e20dx1-x 2pve0dx1-x 2解：解：(1)=e2x0dx1-x 2e3x0dx1-x 2pvv120.7050.84e()()=+1

8、e11epvpv(2)同理同理=e20dx-x 2pve0dx-x 2=e2x0dx-x 2e3x0dx-x 2pvv1.4=pv120.84e()()=1e01epv10 6-8 遵守麥克斯韋速率分布的分子的遵守麥克斯韋速率分布的分子的最概然能量最概然能量Ep等于什么量值？它就是等于什么量值？它就是嗎？嗎？2mvp1解：設每個分子的質量為解：設每個分子的質量為m ，則一個分子的則一個分子的 動能為：動能為：Evm221=2NekT23d()=ENEkETdE2NekT23d()=ENEkETdE根據(jù)麥克斯韋能量分布函數(shù)根據(jù)麥克斯韋能量分布函數(shù)最可幾能量可由最可幾能量可由得到得到()=NdEd

9、EddE0即：即：()=21E1ekETEkT1ekET0()=21E1ekETEkT1ekET0 Ep()=Evm221=pm21kT2m2kT=E21=pkT而分子速率為而分子速率為時，它具有的能量為：時，它具有的能量為：vp 6-9 設設N個粒子的系統(tǒng)的速率分布函數(shù)為：個粒子的系統(tǒng)的速率分布函數(shù)為：0，NVvkd()=vdvk為常量為常量()Nd=v0Vv(1)畫出分布函數(shù)圖；畫出分布函數(shù)圖；(2)用用N和和V定出常量定出常量K；(3)用用V表示出算術平均速率和方均根速率。表示出算術平均速率和方均根速率。=00vNdvNk vdk=NvkNdvvdvvO=13v200vNdNkvdv22

10、1v=00vNdNk vdvv2v(3)k=Ndvvd(2)解：解：(1)分布函數(shù)如圖分布函數(shù)如圖k=Nv 6-10 設氫氣的溫度為設氫氣的溫度為3000C ,求速度大求速度大小在小在3000m/s到到3010m/s之間的分子數(shù)之間的分子數(shù)n1與速度大小在與速度大小在vp到到vp+10m/s 之間的分子數(shù)之間的分子數(shù)n2之比。之比。4ne2x=n2-xxH2=TR2Mpv0.002=28.315732182 m/s=()4ne2=n130002182()230002182()102182()4ne2=n22182()22182()10218221822182300573K273T=+解：解：速

11、率在速率在3000-3010m/s之間的分子數(shù)為：之間的分子數(shù)為：速率在速率在vp-vp+10 m/s之間的分子數(shù)為：之間的分子數(shù)為：()4ne2=n130002182()230002182()102182()4ne2=n22182()22182()10218221822182=n1n2()230002182e()221823000e0.78 6-11 求氫氣在求氫氣在 300K 時時 分分 子子 速速 率率 在在 vp-10m/s 與與 vp+10m/s 之間的分子數(shù)所之間的分子數(shù)所占的百分比。占的百分比。H2=TR2Mpv0.002=28.313001579 m/s=4ne2=n1579-

12、101579()21579-101579201579=1.05%4ne2x=n2-xx解：解： 6-12 試求溫度為試求溫度為T，分子質量為，分子質量為m的氣體的氣體中分子速率倒數(shù)的平均值中分子速率倒數(shù)的平均值它是否等于它是否等于？1v()1v()21udueb20-bu()=提示：提示：1f0d()( )=vvv1()vkk24me23()T2mTv2v2dv0=1()vk24me23()Tk2mTv2vdv0=24m23()Tk=2mTk2()=2m()Tk212=4v11()vv1 v=Tk8mTk2m2解：解： 6-13 1mol氫氣，在溫度為氫氣，在溫度為270C時，它時，它的分子平

13、動動能和轉動動能各為多少？的分子平動動能和轉動動能各為多少？= 3.74103 J E23=8.31300TRk23=E=TRk8.31300=2.49103 J 解：解：平動動能平動動能轉動動能轉動動能 6-14 求上升到什么高度時，大氣壓強減求上升到什么高度時，大氣壓強減到地面的到地面的75%，設空氣的溫度為設空氣的溫度為00C，空氣，空氣的摩爾質量為的摩爾質量為0.0289kg/mol。0=PRehTMglnP=0PRhTMglnP=0PRhTMg=2.3km 8.312732810-39.80.75lnP=kehT g0P解：解： 6-15 求壓強為求壓強為1.013105Pa、質量為

14、質量為210-3kg、容積為、容積為1.5410-3m3的氧氣的的氧氣的分子的平均平動動能。分子的平均平動動能。=3102 K wk23=TVMPm=TR=1.0131051.5410-33210-3210-38.31=6.210-21 J =1.3810-23310223VMPm=TR解：解： 6-16 容器內儲有容器內儲有1mol的某種氣體，今的某種氣體，今從外界輸入從外界輸入2.09102J的熱量，測得其溫的熱量，測得其溫度升高度升高10K，球該氣體分子的自由度。，球該氣體分子的自由度。E2 i=TR=22.09 1028.31105.035E2 i=TR解：解： 6-17 導體中共有導

15、體中共有N個自由電子。電子氣個自由電子。電子氣中電子的最大速率中電子的最大速率vF叫費米速率。電子的速叫費米速率。電子的速率在率在 vv+dv 的概率為的概率為:式中式中A為常量。為常量。(1)由歸一化條件求由歸一化條件求A；(2)證證明電子氣中電子的平均動能明電子氣中電子的平均動能此處此處EF 叫做費米能。叫做費米能。40AFNv2d=NdvNv0vFvv35wm2()=12Fv35=FE1=4Av2dvNv0=NdNFFv331=4 ANFv33=4AN40AFNv2d=NdvNv0vFvv解：解：(1)由歸一化條件：由歸一化條件：求得歸一化系數(shù)求得歸一化系數(shù)=NdNfd( )vv=m21

16、2v0vFNdNwm2=12vm=124 AN0dvvFv4m=124 AN15Fv5m=124N15Fv5Fv334N()=35m212vF()FE=35v2f0d( )=vvvFv2(2)平均平動動能為：平均平動動能為： 6-18 無線電所用的真空管的真空度為無線電所用的真空管的真空度為1.3310-3 Pa，試求在，試求在 270C時單位體積時單位體積的分子數(shù)及分子平均自由程。設分子的有的分子數(shù)及分子平均自由程。設分子的有效直徑為效直徑為3.010-10 m。=3.221017 個/m3 Pnk=T12d2=nl=23.04(3.010-10)23.210171= 7.84m 1.381

17、0-233001.3310-3=解：解： 6-19 在標準狀態(tài)下氦氣在標準狀態(tài)下氦氣(He)的黏度的黏度 =1.8910-5 Pa.s，又，又Mmol =0.0040kg/mol,v = 1.20103 m/s,試求；試求；(1)在標準狀態(tài)下氦原子的平均自由程。在標準狀態(tài)下氦原子的平均自由程。(2)氦原子的半徑。氦原子的半徑。nv31=l3nv=l=2.610-7 m=31.8910-50.1781.2103=0.178 kg/m3 =410-322.410-3解：解：(1)=1.7910-10 m=1.3810-32731.4126510-73.141.013105=r2d0.8910-10

18、 m(2)2d2=plTk2d=pTkl 6-20 設氮分子的有效直徑為設氮分子的有效直徑為10-10 m,(1)求氮氣在標準狀態(tài)下的平均碰撞次數(shù)；求氮氣在標準狀態(tài)下的平均碰撞次數(shù)；(2)如果溫度不變，氣壓降到如果溫度不變，氣壓降到1.3310-4 Pa,則平均碰撞次數(shù)又為多少？；則平均碰撞次數(shù)又為多少？；v=Tk8M解：在標準狀態(tài)下解：在標準狀態(tài)下N2 的平均速度為的平均速度為=454 m/s =3.140.02888.31273Pnk=T1.3810-232731.013105=2.691025 個/m3 12d2=nl=23.14(10-10)22.6910251= 8.3910-7 m

19、 =5.42108 次次/s 454zv=8.3910-7lz=zPP=1.3310-45.421081.013105=0.71 次次/s z=zPP設氣壓降低后平均碰撞次數(shù)為設氣壓降低后平均碰撞次數(shù)為z 6-21 這些溫度這些溫度00C和壓強和壓強1.0105 Pa下，空氣的密度是下，空氣的密度是1.293 kg/m3,v =4.6102 m/s， =6.410-8 m，求黏度。求黏度。=1.2936.410-84.6102311.2710-5 Pa.s =31=hvl解：解： 6-22 由實驗室測定，在標準狀態(tài)下，氧由實驗室測定，在標準狀態(tài)下，氧氣的擴散系數(shù)為氣的擴散系數(shù)為1.910-6

20、Pa.s,根據(jù)這些數(shù)根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算氧分子的平均自由程和分子有效直徑。據(jù)計算氧分子的平均自由程和分子有效直徑。=425 m/s =3.140.03288.31273D31=vlv=Tk8M解：解：(1)D3=vl=42530.1910-41.3410-7 m=2.5210-10 m=1.3810-32731.413.141.3410-71.0131052d=pTkl(2) 6-23 設有遵守范德瓦耳斯方程的設有遵守范德瓦耳斯方程的 1mol 氣體，試建立起臨界點溫度與壓強、體積之氣體，試建立起臨界點溫度與壓強、體積之間的關系。間的關系。k3()=VV0解：改寫范德瓦爾斯方程解：改寫范德瓦爾斯方程0VPb3()=+TRPV2aPVabP(1)在臨界點時，在臨界點時，v 的三個根為同一值的三個根為同一值vk將此式展開得：將此式展開得：+V3V3kV2V3kV2V3k0=(2)在臨界點在臨界點 ( pk ,Vk ,Tk ) 式式(1)為：為：0VP b3()=+TRPV2aPVabPkkkkkkkk(3)=2aPkVk3+V3V3kV2V3kV2V3k0=(2)0VP b3()=+TRPV2aPVabPkkkkkkkk(3)式式(2)與與(3)比較對應的系數(shù)應相等，的到：比較對應的系數(shù)應相等，的到：=V3abPkkb=+TRPVkkk