第三講經(jīng)濟與金融中的優(yōu)化模型

1、第三講第三講 經(jīng)濟與金融中的優(yōu)化問題經(jīng)濟與金融中的優(yōu)化問題 本章主要介紹用本章主要介紹用LINDO/LINGO軟件求解經(jīng)濟、軟件求解經(jīng)濟、金融和市場營銷方面的幾個優(yōu)化問題的案例。金融和市場營銷方面的幾個優(yōu)化問題的案例。3.1 經(jīng)濟均衡問題極其應(yīng)用經(jīng)濟均衡問題極其應(yīng)用 在市場經(jīng)濟活動中，當(dāng)市場上某種產(chǎn)品的價格越高時，生在市場經(jīng)濟活動中，當(dāng)市場上某種產(chǎn)品的價格越高時，生產(chǎn)商越是愿意擴大生產(chǎn)能力產(chǎn)商越是愿意擴大生產(chǎn)能力(供應(yīng)能力供應(yīng)能力)，提高更多的產(chǎn)品，提高更多的產(chǎn)品滿足市場需求；但市場價格太高時，消費者的消費欲望滿足市場需求；但市場價格太高時，消費者的消費欲望(需求能力需求能力)會下降。反之，當(dāng)

2、市場上某種商品的價格越低會下降。反之，當(dāng)市場上某種商品的價格越低時，消費者的消費欲望時，消費者的消費欲望(需求能力需求能力)會上升，但生產(chǎn)商的供會上升，但生產(chǎn)商的供應(yīng)能力會下降。如果生產(chǎn)商的供應(yīng)能力和消費者的需求能應(yīng)能力會下降。如果生產(chǎn)商的供應(yīng)能力和消費者的需求能力長期不匹配，就會導(dǎo)致經(jīng)濟不穩(wěn)定。在完全市場競爭的力長期不匹配，就會導(dǎo)致經(jīng)濟不穩(wěn)定。在完全市場競爭的環(huán)境中，我們總是認為經(jīng)濟活動應(yīng)當(dāng)達到均衡環(huán)境中，我們總是認為經(jīng)濟活動應(yīng)當(dāng)達到均衡(equilibrium)，即生產(chǎn)和消費，即生產(chǎn)和消費(供應(yīng)能力和需求能力供應(yīng)能力和需求能力)達到達到平衡，不再發(fā)生變化，這時該產(chǎn)品的價格就是市場的清算平衡

3、，不再發(fā)生變化，這時該產(chǎn)品的價格就是市場的清算價格。價格。 下面考慮兩個簡單的單一市場及雙邊市場的具體實例。并下面考慮兩個簡單的單一市場及雙邊市場的具體實例。并介紹經(jīng)濟均衡思想在拍賣與投標(biāo)問題、交通流分配問題中介紹經(jīng)濟均衡思想在拍賣與投標(biāo)問題、交通流分配問題中的應(yīng)用案例。的應(yīng)用案例。生產(chǎn)商（甲）生產(chǎn)商（甲）消費者（乙）消費者（乙）單價單價/（萬元（萬元/t）供應(yīng)能力供應(yīng)能力/t單價單價/（元（元/t）需求能力需求能力/t1292244.543636482.2583.1.1 單一生產(chǎn)商、單一消費者的情形單一生產(chǎn)商、單一消費者的情形例例3.1 假設(shè)市場上只有一個生產(chǎn)商假設(shè)市場上只有一個生產(chǎn)商(記為

4、甲記為甲)和一個消費和一個消費者者(記為乙記為乙)。對某種產(chǎn)品，他們在不同價格下的供應(yīng)能。對某種產(chǎn)品，他們在不同價格下的供應(yīng)能力和需求能力如表力和需求能力如表3-1所示。舉例來說，表中數(shù)據(jù)的含所示。舉例來說，表中數(shù)據(jù)的含義是：當(dāng)單價低于義是：當(dāng)單價低于2萬元但大于或等于萬元但大于或等于1萬元時，甲愿萬元時，甲愿意生產(chǎn)意生產(chǎn)2t產(chǎn)品，乙愿意購買產(chǎn)品，乙愿意購買8t產(chǎn)品；當(dāng)價格低于產(chǎn)品；當(dāng)價格低于9萬元萬元但大于或等于但大于或等于4.5萬元時，乙愿意購買萬元時，乙愿意購買4t產(chǎn)品，甲愿意產(chǎn)品，甲愿意生產(chǎn)生產(chǎn)8t產(chǎn)品；依次類推。那么市場的清算價格應(yīng)該是多產(chǎn)品；依次類推。那么市場的清算價格應(yīng)該是多少？

5、少？ 問題分析問題分析 仔細觀察一下表仔細觀察一下表3-1就可以看出來，這個具體問題的解是就可以看出來，這個具體問題的解是一目了然的：清算價格顯然應(yīng)該是一目了然的：清算價格顯然應(yīng)該是3萬元萬元/t，因為此時供求，因為此時供求平衡平衡(都是都是6t)。為了能夠處理一般情況，下面通過建立優(yōu)。為了能夠處理一般情況，下面通過建立優(yōu)化模型來解這個問題?；Ｐ蛠斫膺@個問題。 這個問題給人的第一印象似乎沒有明確的目標(biāo)函數(shù)，不太這個問題給人的第一印象似乎沒有明確的目標(biāo)函數(shù)，不太像是一個優(yōu)化問題。不過，我們可以換一個角度來想問題：像是一個優(yōu)化問題。不過，我們可以換一個角度來想問題：假設(shè)市場上還有一個虛擬的經(jīng)銷商

6、，他是甲乙進行交易的假設(shè)市場上還有一個虛擬的經(jīng)銷商，他是甲乙進行交易的中介。那么，為了使自己獲得的利益最大，他將總是以可中介。那么，為了使自己獲得的利益最大，他將總是以可能的最低價格從甲購買產(chǎn)品，在以可能的最高價格賣給乙，能的最低價格從甲購買產(chǎn)品，在以可能的最高價格賣給乙，直到進一步的交易無利可圖為止。例如，最開始的直到進一步的交易無利可圖為止。例如，最開始的2t產(chǎn)品產(chǎn)品他會以他會以1萬元的單價從甲購買，以萬元的單價從甲購買，以9萬元的單價賣給乙；接萬元的單價賣給乙；接下來的下來的2t產(chǎn)品會以產(chǎn)品會以2萬元的單價從甲購買，再以萬元的單價從甲購買，再以4.5萬元的萬元的單價賣給乙；再接下來的單價

7、賣給乙；再接下來的2t產(chǎn)品他只能以產(chǎn)品他只能以3萬元的單價從萬元的單價從甲購買，再以甲購買，再以3萬元的單價賣給乙萬元的單價賣給乙(其實這次交易他已經(jīng)只其實這次交易他已經(jīng)只是保本，但我們?nèi)匀皇羌僭O(shè)這筆交易會發(fā)生，例如他為了是保本，但我們?nèi)匀皇羌僭O(shè)這筆交易會發(fā)生，例如他為了使自己的營業(yè)額盡量大使自己的營業(yè)額盡量大)；最后，如果他繼續(xù)購買甲的產(chǎn)；最后，如果他繼續(xù)購買甲的產(chǎn)品賣給乙，他一定會虧本，所以他肯定不會交易。因此，品賣給乙，他一定會虧本，所以他肯定不會交易。因此，市場清算價格就是市場清算價格就是3萬元。根據(jù)這個想法，我們就可以建萬元。根據(jù)這個想法，我們就可以建立這個問題的線性規(guī)劃模型。立這個

8、問題的線性規(guī)劃模型。 模型建立模型建立 決策變量：社甲以決策變量：社甲以1萬元，萬元，2萬元，萬元，3萬元，萬元，4萬元的單價萬元的單價售出的產(chǎn)品數(shù)量售出的產(chǎn)品數(shù)量(單位：單位：t)分別是分別是A1，A2，A3，A4，乙以，乙以9萬元，萬元，4.5萬元，萬元，3萬元，萬元，2.25萬元的單價購買的產(chǎn)品數(shù)萬元的單價購買的產(chǎn)品數(shù)量量(單位：單位：t)分別是分別是x1,x2,x3,x4。 目標(biāo)函數(shù)：就是虛擬經(jīng)銷商的總利潤，即目標(biāo)函數(shù)：就是虛擬經(jīng)銷商的總利潤，即 9x1+4.5x2+3x3+2.5x4-A1-2A2-3A3-4A4. 約束條件：約束有約束條件：約束有 供需平衡供需平衡 A1+A2+A3

9、+A4=x1+x2+x3+x4； 供應(yīng)限制供應(yīng)限制 A1,A2,A3,A4=2; 消費限制消費限制 x1,x2,x3,x4=0。 模型求解：（模型求解：（LINGO程序）程序） MAX 9X1 + 4.5X2 + 3X3 + 2.25X4 - A1 - 2A2 - 3A3 - 4A4 SUBJECT TO A1 + A2 + A3 + A4 - X1 - X2 - X3 - X4 = 0 A1 = 2 A2 = 2 A3 = 2 A4 = 2 X1 = 2 X2 = 2 X3 = 2 X4 = 2 END 運行分析其結(jié)果。運行分析其結(jié)果。生產(chǎn)商（丙）生產(chǎn)商（丙）消費者（?。┫M者（丁）價格價格

10、/萬元萬元供應(yīng)能力供應(yīng)能力/t價格價格/元元需求能力需求能力/t21151448368568123103.1.2 兩個生產(chǎn)商、兩個消費者的情形兩個生產(chǎn)商、兩個消費者的情形 例例3.2 假設(shè)市場上除了假設(shè)市場上除了3.1中的甲和乙外，還有另中的甲和乙外，還有另一個生產(chǎn)商一個生產(chǎn)商(記為丙記為丙)和另一個消費者和另一個消費者(記為丁記為丁)，他，他們在不同價格下的供應(yīng)能力如表們在不同價格下的供應(yīng)能力如表3-2所示。此外，所示。此外，從甲銷售到丁的每噸產(chǎn)品的運輸成本是從甲銷售到丁的每噸產(chǎn)品的運輸成本是1.5萬元，萬元，從丙銷售到乙的每噸產(chǎn)品的運輸成本是從丙銷售到乙的每噸產(chǎn)品的運輸成本是2萬元，而萬元

11、，而甲、乙之間沒有運輸成本，丙、丁之間沒有運輸甲、乙之間沒有運輸成本，丙、丁之間沒有運輸成本。這時，市場的清算價格應(yīng)該是多少？甲和成本。這時，市場的清算價格應(yīng)該是多少？甲和丙分別生產(chǎn)多少？乙和丁分別購買多少？丙分別生產(chǎn)多少？乙和丁分別購買多少？ 表表3-2 不同價格下的供應(yīng)能力和消費能力不同價格下的供應(yīng)能力和消費能力 問題分析問題分析 首先，我們看看為什么要考慮從甲銷售到丁的產(chǎn)首先，我們看看為什么要考慮從甲銷售到丁的產(chǎn)品的運輸成本和從丙銷售到乙的產(chǎn)品的運輸成本。品的運輸成本和從丙銷售到乙的產(chǎn)品的運輸成本。如果不考慮這些運輸成本，我們就可以認為甲乙如果不考慮這些運輸成本，我們就可以認為甲乙丙丁處

12、于同一個市場上，因此可以將兩個生產(chǎn)商丙丁處于同一個市場上，因此可以將兩個生產(chǎn)商(甲和丙甲和丙)的供應(yīng)函數(shù)合并成一個供應(yīng)函數(shù)，合并的供應(yīng)函數(shù)合并成一個供應(yīng)函數(shù)，合并后就可以認為市場上仍然只有一個供應(yīng)商。類似后就可以認為市場上仍然只有一個供應(yīng)商。類似地，乙和丁的需求函數(shù)也可以合并成一個需求函地，乙和丁的需求函數(shù)也可以合并成一個需求函數(shù)，合并后就可以認為市場上仍然是只有一個消數(shù)，合并后就可以認為市場上仍然是只有一個消費者。這樣就回到了例費者。這樣就回到了例3.1的情形。的情形。 也就是說，考慮運輸成本在經(jīng)濟學(xué)上的含義，應(yīng)也就是說，考慮運輸成本在經(jīng)濟學(xué)上的含義，應(yīng)當(dāng)是認為甲乙是一個市場當(dāng)是認為甲乙是一

13、個市場(地區(qū)或國家地區(qū)或國家)，而丙丁，而丙丁是另一個市場是另一個市場(地區(qū)或國家地區(qū)或國家)，運輸成本也可能還，運輸成本也可能還包括關(guān)稅等成本，由于這個成本的存在，兩個市包括關(guān)稅等成本，由于這個成本的存在，兩個市場的清算價可能是不同的。場的清算價可能是不同的。 仍然按照仍然按照3.1的思路，可以建立這個問題的線性的思路，可以建立這個問題的線性規(guī)劃模型。規(guī)劃模型。 模型建立和求解模型建立和求解 設(shè)甲以設(shè)甲以1，2，3，4(萬元萬元)的單價售出的產(chǎn)品數(shù)量的單價售出的產(chǎn)品數(shù)量(單單位：位：t)分別是分別是 A1,A2,A3,A4，乙以，乙以9，4.5，3，2.25(萬元萬元)的單價購買的產(chǎn)品數(shù)量的

14、單價購買的產(chǎn)品數(shù)量(單位：單位：t)分別是分別是X1,X2,X3,X4；丙以；丙以2，4，6，8(萬元萬元)的單價售出的的單價售出的產(chǎn)品數(shù)量產(chǎn)品數(shù)量(單位：單位：t)分別是分別是B1,B2,B3,B4,丁以丁以15，8，5，3(萬元萬元)的單價購買的產(chǎn)品數(shù)量的單價購買的產(chǎn)品數(shù)量(單位：單位：t)分別是分別是Y1,Y2,Y3,Y4,此外，假設(shè)此外，假設(shè)AX和和AY分別是甲向乙和丁分別是甲向乙和丁的供貨量，的供貨量，BX和和BY分別是丙向丁的供貨量。這些決分別是丙向丁的供貨量。這些決策變量之間的關(guān)系參見示意圖策變量之間的關(guān)系參見示意圖3-1。 目標(biāo)函數(shù)仍然是虛擬經(jīng)銷商的總利潤，約束條件仍然目標(biāo)函數(shù)

15、仍然是虛擬經(jīng)銷商的總利潤，約束條件仍然是四類是四類(供求平衡、供應(yīng)限制、需求限制和非負限制供求平衡、供應(yīng)限制、需求限制和非負限制)，不過這時應(yīng)該注意供需平衡約束應(yīng)該是包括圖不過這時應(yīng)該注意供需平衡約束應(yīng)該是包括圖3-1所示所示的決策變量之間的關(guān)系：的決策變量之間的關(guān)系： AX+AY=A1+A2+A3+A4， (10) BX+BY=B1+B2+B3+B4， (11) AX+BX=x1+x2+x3+x4， (12) AY+BY=Y1+Y2+Y3+Y4。 (13) 此外的其他約束實際上只是一個簡單的變量上界約束，此外的其他約束實際上只是一個簡單的變量上界約束，可以用可以用“SUB”命令表示。命令表示

16、。 程序：程序：MAX 9X1 + 4.5X2 + 3X3 + 2.25X4 + 15Y1 + 8Y2 + 5Y3 + 3Y4 - 2BX - 1.5AY - A1 - 2A2 - 3A3 - 4A4 - 2B1 - 4B2 - 6B3 - 8B4 SUBJECT TO 2) - AY + A1 + A2 + A3 + A4 - AX = 0 3) - BX + B1 + B2 + B3 + B4 - BY = 0 4) - X1 - X2 - X3 - X4 + BX + AX = 0 5) - Y1 - Y2 - Y3 - Y4 + AY + BY = 0 ENDSUB A1 2 SUB

17、A2 2SUB A3 2SUB A4 2 SUB X1 2SUB X2 2SUB X3 2SUB X4 2SUB B1 1 SUB B2 3SUB B3 4SUB B4 4 SUB Y1 1SUB Y2 2SUB Y3 3SUB Y4 4運行分析其結(jié)果。運行分析其結(jié)果。3.1.3 拍賣和投標(biāo)問題拍賣和投標(biāo)問題 例例3.33.3 假設(shè)一家拍賣行對委托的假設(shè)一家拍賣行對委托的5類藝術(shù)品對外類藝術(shù)品對外拍賣，采用在規(guī)定日期前投標(biāo)人提交投標(biāo)書的方拍賣，采用在規(guī)定日期前投標(biāo)人提交投標(biāo)書的方式進行，最后收到了來自式進行，最后收到了來自4個投標(biāo)人的投標(biāo)書。每個投標(biāo)人的投標(biāo)書。每類項目的數(shù)量、投標(biāo)人對每個項目

18、的投標(biāo)價格如類項目的數(shù)量、投標(biāo)人對每個項目的投標(biāo)價格如表表3-3中所示。例如，有中所示。例如，有3件第件第4類藝術(shù)品；對每件類藝術(shù)品；對每件第第4類藝術(shù)品；對每件第類藝術(shù)品；對每件第4類藝術(shù)品，投標(biāo)人類藝術(shù)品，投標(biāo)人1，2，3，4愿意出的最高價分別為愿意出的最高價分別為6，1，3，2(貨幣單位，貨幣單位，如萬元如萬元)。此外，假設(shè)每個投標(biāo)對人每類藝術(shù)品最。此外，假設(shè)每個投標(biāo)對人每類藝術(shù)品最多只能購買一件，并且每個投標(biāo)人購買的藝術(shù)品多只能購買一件，并且每個投標(biāo)人購買的藝術(shù)品總數(shù)不能超過總數(shù)不能超過3件，那么，哪些藝術(shù)品能夠賣出去？件，那么，哪些藝術(shù)品能夠賣出去？賣給誰？這個拍賣和投標(biāo)問題中每類物

19、品的清算賣給誰？這個拍賣和投標(biāo)問題中每類物品的清算價應(yīng)該是多少？價應(yīng)該是多少？招標(biāo)項目類型招標(biāo)項目類型12345招標(biāo)項目的數(shù)量招標(biāo)項目的數(shù)量12334投標(biāo)價格投標(biāo)價格投標(biāo)人投標(biāo)人192863投標(biāo)人投標(biāo)人267915投標(biāo)人投標(biāo)人378634投標(biāo)人投標(biāo)人454321表表3-3 拍賣與投標(biāo)信息拍賣與投標(biāo)信息 問題分析問題分析 這個具體問題在實際中可能以通過對所這個具體問題在實際中可能以通過對所有投標(biāo)的報價進行排序來解決，例如可有投標(biāo)的報價進行排序來解決，例如可以總是將藝術(shù)品優(yōu)先賣給出價最高的投以總是將藝術(shù)品優(yōu)先賣給出價最高的投標(biāo)人。但這種方法不太好確定每類藝術(shù)標(biāo)人。但這種方法不太好確定每類藝術(shù)品的清

20、算價，所以我們這里還是借用前品的清算價，所以我們這里還是借用前面兩個例子中的方法，即使設(shè)有一個中面兩個例子中的方法，即使設(shè)有一個中間商希望最大化自己的利潤，從而建立間商希望最大化自己的利潤，從而建立這個問題的線性規(guī)劃模型。這個問題的線性規(guī)劃模型。 問題的一般提法和假設(shè)問題的一般提法和假設(shè) 先建立一般的模型，然后求解本例的具先建立一般的模型，然后求解本例的具體問題。體問題。 設(shè)有設(shè)有N類物品需要拍賣，第類物品需要拍賣，第j類物品的數(shù)量為類物品的數(shù)量為Sj(j=1，2，.，N)；有；有M個投標(biāo)者，投標(biāo)者個投標(biāo)者，投標(biāo)者i(i=1，2，.，M)對對第第j類物品的投標(biāo)價格為類物品的投標(biāo)價格為bij(假

21、設(shè)非負假設(shè)非負)。投標(biāo)者。投標(biāo)者i對每類對每類物品最多購買一件，切總件數(shù)不能超過物品最多購買一件，切總件數(shù)不能超過ci。我們的目標(biāo)。我們的目標(biāo)之一是要確定第之一是要確定第j類物品的清算價格類物品的清算價格pj，他應(yīng)當(dāng)滿足下，他應(yīng)當(dāng)滿足下列列假設(shè)條件假設(shè)條件： (1)成交的第成交的第j類物品的數(shù)量不超過類物品的數(shù)量不超過Sj(j=1，2，.，N)； (2)對第對第j類物品的報價低于類物品的報價低于pj的投標(biāo)人將不能獲得第的投標(biāo)人將不能獲得第j類類物品；物品； (3)如果成交的第如果成交的第j類物品的數(shù)量少于類物品的數(shù)量少于Sj(j=1，2，.，N)，可以認為可以認為pj=0(除非拍賣方另外指定一

22、個最低的保護價除非拍賣方另外指定一個最低的保護價)； (4)對對j類物品的報價高于類物品的報價高于pj的投標(biāo)人有權(quán)獲得第的投標(biāo)人有權(quán)獲得第j類物品，類物品，但如果他有權(quán)獲得的物品超過但如果他有權(quán)獲得的物品超過3件，那么我們假設(shè)他總件，那么我們假設(shè)他總是希望使自己的滿意度最大是希望使自己的滿意度最大(滿意度可以用他的報價與滿意度可以用他的報價與市場清算價之差來衡量市場清算價之差來衡量)。 優(yōu)化模型優(yōu)化模型 用用0-1變量變量xij表示是否分配一件第表示是否分配一件第j類物品給投標(biāo)者類物品給投標(biāo)者i，即即xij=1表示分配，而表示分配，而xij=0表示不分配。目標(biāo)函數(shù)表示不分配。目標(biāo)函數(shù)仍然是虛擬

23、的中間商的總利潤仍然是虛擬的中間商的總利潤(認為這些利潤全部是認為這些利潤全部是拍賣的利潤也可以拍賣的利潤也可以)，即，即 bij*xij。 (14) 除變量取值為除變量取值為0或或1的約束外，問題的約束條件只要的約束外，問題的約束條件只要是兩類；每類物品的數(shù)量限制和每個投標(biāo)人所能分是兩類；每類物品的數(shù)量限制和每個投標(biāo)人所能分到的物品的數(shù)量限制，即到的物品的數(shù)量限制，即 xij=Sj,j=1,2,.,N; (15) xij=cj,j=1,2,.,M; (16) 模型就是在約束模型就是在約束(15)、(16)下最大化目標(biāo)函數(shù)下最大化目標(biāo)函數(shù)(14)。 程序：程序： MODEL: TITLE 拍賣

24、與投標(biāo)拍賣與投標(biāo); SETS:AUCTION: S;BIDDER : C;LINK(BIDDER,AUCTION): B, X; ENDSETS DATA:AUCTION=FILE(AUCTION.TXT);BIDDER =FILE(AUCTION.TXT);S=FILE(AUCTION.TXT);C=FILE(AUCTION.TXT);B=FILE(AUCTION.TXT); ENDDATA MAX=SUM(LINK: B*X); FOR(AUCTION(J): AUC_LIM SUM(BIDDER(I): X(I,J) S(J) ); FOR(BIDDER(I): BID_LIM SUM(

25、AUCTION(J): X(I,J) C(I) ); FOR(LINK: BND(0,X,1); END Global optimal solution found at iteration: 7 Objective value: 65.00000 運行分析其結(jié)果。運行分析其結(jié)果。 3.1.4 交通流均衡問題交通流均衡問題 例例3.43.4 某地有如圖某地有如圖3-2所示的一個公路網(wǎng)，每所示的一個公路網(wǎng)，每天上班時間有天上班時間有6千輛小汽車要從居民區(qū)千輛小汽車要從居民區(qū)A前往工前往工作區(qū)作區(qū)D。經(jīng)過長期觀察，我們得到了圖中。經(jīng)過長期觀察，我們得到了圖中5條道條道路上每輛汽車的平均行駛時間和汽

26、車流量之間路上每輛汽車的平均行駛時間和汽車流量之間的關(guān)系，如表的關(guān)系，如表3-4所示。那么，長期來看，這些所示。那么，長期來看，這些汽車將如何在每條道路上分布？汽車將如何在每條道路上分布？BADC道路道路ABACBCBDCD行駛時間行駛時間/min流量流量220521252202流量流量330531353303流量流量44054145440居民區(qū)居民區(qū) 工作區(qū)工作區(qū) 問題分析問題分析 這個問題看起來似乎與前面幾個例子中的完全不同，這個問題看起來似乎與前面幾個例子中的完全不同，但實際上交通流與市場經(jīng)濟活動類似，也存在著均衡。但實際上交通流與市場經(jīng)濟活動類似，也存在著均衡。 我們可以想象有一個協(xié)調(diào)

27、者，正如前面幾個例子中的我們可以想象有一個協(xié)調(diào)者，正如前面幾個例子中的所謂中間商可以理解為市場規(guī)律一樣，實際上這里的所謂中間商可以理解為市場規(guī)律一樣，實際上這里的所謂協(xié)調(diào)者也可以認為交通流的規(guī)律。交通流的規(guī)律所謂協(xié)調(diào)者也可以認為交通流的規(guī)律。交通流的規(guī)律就是每輛汽車都將選擇自己使自己從就是每輛汽車都將選擇自己使自己從A到到D運行時間最運行時間最少的路線，其必然的結(jié)果是無論走哪條路線從少的路線，其必然的結(jié)果是無論走哪條路線從A到到D，最終花費的時間應(yīng)該是一樣的最終花費的時間應(yīng)該是一樣的(否則，花費時間較長的否則，花費時間較長的那條線路上的部分汽車就會改變自己的路線，以縮短那條線路上的部分汽車就會

28、改變自己的路線，以縮短自己的行駛時間自己的行駛時間)。 也就是說，長期來看，這些汽車在每條道路上的分布也就是說，長期來看，這些汽車在每條道路上的分布將達到均衡狀態(tài)將達到均衡狀態(tài)(所謂均衡，這里的含義就是每輛汽車所謂均衡，這里的含義就是每輛汽車都不能僅僅通過自身獨自改變道路節(jié)省其行使時間都不能僅僅通過自身獨自改變道路節(jié)省其行使時間)。在這種想法下，我們來建立線性規(guī)劃模型。在這種想法下，我們來建立線性規(guī)劃模型。 優(yōu)化模型優(yōu)化模型 交通流的規(guī)律要求所有道路上的流量達到均衡，我們?nèi)越煌鞯囊?guī)律要求所有道路上的流量達到均衡，我們?nèi)匀活愃评活愃评?.1和例和例1.2來考慮問題。如果車流量是一輛一輛來考慮

29、問題。如果車流量是一輛一輛增加的，那么在每條道路上車流量少于增加的，那么在每條道路上車流量少于2時，車流量會有時，車流量會有一個分布規(guī)律；但某條道路上的車流量正好超過一個分布規(guī)律；但某條道路上的車流量正好超過2時，新時，新加入的一輛車需要選擇使自己堵塞時間最短的道路，這就加入的一輛車需要選擇使自己堵塞時間最短的道路，這就提示我們把同一條道路上的流量分布分解成不同性質(zhì)的三提示我們把同一條道路上的流量分布分解成不同性質(zhì)的三個部分，也就是說，我們用個部分，也就是說，我們用Y(AB)表示道路表示道路AB上的總的上的總的流量，并進一步把他分解成三個部分：流量，并進一步把他分解成三個部分： (1)道路道路

30、AB上的流量不超過上的流量不超過2時的流量，用時的流量，用X(2，AB)表示；表示； (2)道路道路AB上的流量超過上的流量超過2但不超過但不超過3時，超過時，超過2的流量部的流量部分用分用X(3，AB)表示；表示； (3)道路道路AB上的流量超過上的流量超過3但不超過但不超過4時，超過時，超過3的流量部的流量部分用分用X(4，AB)表示。表示。 以此類推，對道路以此類推，對道路 AC，BC，BD，CD上同理可以定義類上同理可以定義類似的決策變量，因此，問題中總共有似的決策變量，因此，問題中總共有20個決策變量個決策變量Y(j)和和X(i，j)(i=2，3，4；j=AB，AC，BC，BD，CD

31、)。 問題的目標(biāo)應(yīng)當(dāng)是使總的堵塞時間最小。用問題的目標(biāo)應(yīng)當(dāng)是使總的堵塞時間最小。用T(i，j)表示流表示流量量X(i，j)對應(yīng)的堵塞時間對應(yīng)的堵塞時間 (即表即表3-3中的數(shù)據(jù)，是對每輛車中的數(shù)據(jù)，是對每輛車而言的而言的)，我們看看用，我們看看用T(i，j)X(i，j)作為總堵塞時間是作為總堵塞時間是否合適。很容易理解：后面加入道路的車輛可能又會造成否合適。很容易理解：后面加入道路的車輛可能又會造成前面進入道路的車輛的進一步堵塞，如流量為前面進入道路的車輛的進一步堵塞，如流量為3時，原先時，原先流量為流量為2的車輛實際上也只能按的車輛實際上也只能按T(3，j)的時間通過，而不的時間通過，而不是

32、是T(2，j)。也即使說，。也即使說，T(i，j)X(i，j)并不是總堵塞時間，并不是總堵塞時間，但是我們也可以發(fā)現(xiàn)，但是我們也可以發(fā)現(xiàn)，T(i，j)關(guān)于關(guān)于i是單調(diào)增加的，即不斷是單調(diào)增加的，即不斷增加的車流只會使以前的堵塞加劇而不可能使以前的堵塞增加的車流只會使以前的堵塞加劇而不可能使以前的堵塞減緩。所以關(guān)于決策變量減緩。所以關(guān)于決策變量X(i，j)而言，而言，T(i，j)X(i，j)與與我們希望優(yōu)化的目標(biāo)的單調(diào)性是一致的。因此，可以用我們希望優(yōu)化的目標(biāo)的單調(diào)性是一致的。因此，可以用T(i，j)X(i，j)作為目標(biāo)函數(shù)進行優(yōu)化。作為目標(biāo)函數(shù)進行優(yōu)化。 約束條件有三類：約束條件有三類： (1

33、)每條道路上的總流量每條道路上的總流量Y等于該道路上的分流量等于該道路上的分流量X的和；的和； (2)道路交匯處道路交匯處A，B，C，D(一般稱為節(jié)點一般稱為節(jié)點)的流量守恒的流量守恒(即即流入量等于流出量流入量等于流出量)； (3)決策變量的上限限制的，如決策變量的上限限制的，如X(2，AB)=2,X(3，AB)=1，X(4，AB)= 0Fx2) .02481442 x1 + .11678340 x2 + .11085278 x3 + PBUD - 1.213667 PRET = 0Fx3) .02615026 x1 + .11085278 x2 + .18845362 x3 + PBUD

34、- 1.234583 PRET = 0BUD) x1 + x2 + x3 = 1RET) 1.089083 x1 + 1.213667 x2 + 1.234583 x3 = 1.2345END! 告訴告訴LINDO真正的約束的起始行真正的約束的起始行QCP 5 LINGO程序：程序： MODEL: Title 簡單的投資組合模型簡單的投資組合模型; SETS: YEAR/1.12/; STOCKS/ A, B, C/: Mean,X; link(YEAR, STOCKS): R; STST(Stocks,stocks): COV; ENDSETS DATA: TARGET = 1.15; !

35、R是原始數(shù)據(jù)是原始數(shù)據(jù); R = 1.300 1.225 1.149 1.103 1.290 1.260 1.216 1.216 1.419 0.954 0.728 0.922 0.929 1.144 1.169 1.056 1.107 0.965 1.038 1.321 1.133 1.089 1.305 1.732 1.090 1.195 1.021 1.083 1.390 1.131 1.035 0.928 1.006 1.176 1.715 1.908; ENDDATA CALC:!計算均值向量計算均值向量Mean與協(xié)方差矩陣與協(xié)方差矩陣COV; for(stocks(i): Mean

36、(i) =sum(year(j): R(j,i) / size(year) ); for(stst(i,j): COV(i,j) = sum(year(k): (R(k,i)-mean(i)*(R(k,j)-mean(j) / (size(year)-1) ); ENDCALC OBJ MIN = sum(STST(i,j): COV(i,j)*x(i)*x(j); ONE SUM(STOCKS: X) = 1; TWO SUM(stocks: mean*x) = TARGET; END 運行后，可以看到投資組合的決策結(jié)果與運行后，可以看到投資組合的決策結(jié)果與LINDO模型的輸模型的輸出相同（

37、只有很小的計算誤差）。出相同（只有很小的計算誤差）。 模型也輸出了均值向量模型也輸出了均值向量Mean和協(xié)方差矩陣和協(xié)方差矩陣COV，結(jié)果與，結(jié)果與我們前面給出的值是一致的。此外，請注意模型中計算協(xié)我們前面給出的值是一致的。此外，請注意模型中計算協(xié)方差矩陣方差矩陣COV時，分母是樣本數(shù)減去時，分母是樣本數(shù)減去1（即（即“size(year)-1”）而不是樣本數(shù)，這是常用的計算方法，）而不是樣本數(shù)，這是常用的計算方法，主要是為了保持這個估計的無偏性（當(dāng)然，樣本數(shù)較大時主要是為了保持這個估計的無偏性（當(dāng)然，樣本數(shù)較大時兩者差別不大）。兩者差別不大）。 用用LINDO軟件對模型進行參數(shù)分析軟件對模型

38、進行參數(shù)分析 對實際投資人來說，可能不僅希望知道制定的期望投資回對實際投資人來說，可能不僅希望知道制定的期望投資回報率下的風(fēng)險（回報率的方差），可能更希望知道風(fēng)險隨報率下的風(fēng)險（回報率的方差），可能更希望知道風(fēng)險隨著不同的投資回報率是如何變化的，然后作出最后的投資著不同的投資回報率是如何變化的，然后作出最后的投資決策。決策。 這當(dāng)然可以通過在上面的模型中不斷修改約束中的參這當(dāng)然可以通過在上面的模型中不斷修改約束中的參數(shù)（目前為數(shù)（目前為1.15）來實現(xiàn)，如將）來實現(xiàn)，如將1.15改為改為1.2345，則，則表示投資回報率希望達到表示投資回報率希望達到23.45%（這幾乎是可能達（這幾乎是可能達

39、到的最大值了，因為這幾乎是三種股票中最大的投資到的最大值了，因為這幾乎是三種股票中最大的投資回報率，即股票回報率，即股票C的回報率）?？梢韵氲?，這時應(yīng)主的回報率）?？梢韵氲?，這時應(yīng)主要投資在股票要投資在股票C上。實際求解一下，可以知道最優(yōu)解上。實際求解一下，可以知道最優(yōu)解中投資股票中投資股票C的份額大約是的份額大約是99.6%（剩余的大約（剩余的大約0.4%投資在股票投資在股票B上）。上）。 實際上，實際上，LINDO軟件可以直接完成這種參數(shù)分析過程（目軟件可以直接完成這種參數(shù)分析過程（目前前LINGO軟件似乎還沒有這個功能）。假設(shè)利用上面的軟件似乎還沒有這個功能）。假設(shè)利用上面的LINDO模

40、型，對于投資回報率希望為模型，對于投資回報率希望為23.45%的情形我們的情形我們已經(jīng)求解得到了結(jié)果。此時，執(zhí)行菜單命令已經(jīng)求解得到了結(jié)果。此時，執(zhí)行菜單命令“Reports|Parametrics（參數(shù)分析）（參數(shù)分析）”，將會看到圖，將會看到圖3-3所示的對話框。選擇約束行所示的對話框。選擇約束行“RET”；然后輸入新的右；然后輸入新的右端項（端項（New RHS Value），我們輸入），我們輸入1（表示收益率為）；（表示收益率為）；選擇報告類行為二維圖形（選擇報告類行為二維圖形（“Graphics”+“2D”）；最后）；最后按按“OK”按鈕即可。屏幕上將顯示如圖按鈕即可。屏幕上將顯示如

41、圖3-4所示的參數(shù)分所示的參數(shù)分析的結(jié)果，圖中橫坐標(biāo)表示的是希望達到的回報率，縱坐析的結(jié)果，圖中橫坐標(biāo)表示的是希望達到的回報率，縱坐標(biāo)（目標(biāo)函數(shù)）表示的是對應(yīng)的方差，這種圖形在經(jīng)濟學(xué)標(biāo)（目標(biāo)函數(shù)）表示的是對應(yīng)的方差，這種圖形在經(jīng)濟學(xué)上一般被稱為有效前沿面（上一般被稱為有效前沿面（efficient frontier）?？梢钥矗??？梢钥闯觯瑘D中曲線有兩個明顯的轉(zhuǎn)折點，當(dāng)要求的回報率越過出，圖中曲線有兩個明顯的轉(zhuǎn)折點，當(dāng)要求的回報率越過這兩個點以后，風(fēng)險（方差）增長越來越快。這兩個點以后，風(fēng)險（方差）增長越來越快。 那么，投資組合的決策是如何變化的呢？如果在圖那么，投資組合的決策是如何變化的呢？如

42、果在圖3-3所所示的參數(shù)分析對話框中選擇示的參數(shù)分析對話框中選擇“Text（文本）（文本）”選項，則參選項，則參數(shù)分析的結(jié)果也會顯示在結(jié)果報告窗口中：數(shù)分析的結(jié)果也會顯示在結(jié)果報告窗口中： 這個結(jié)果的中間這個結(jié)果的中間4行的第行的第1行說明當(dāng)希望的回報率從行說明當(dāng)希望的回報率從23.45%下降到下降到21.894%時，變量時，變量X1進基，即還需要購買進基，即還需要購買股票股票A；第；第2行說明當(dāng)希望的回報率繼續(xù)下降到行說明當(dāng)希望的回報率繼續(xù)下降到9.357%時，時，變量變量X3出基，即不再需要購買股票出基，即不再需要購買股票C；第；第34行說明當(dāng)希行說明當(dāng)希望的回報率繼續(xù)下降到望的回報率繼續(xù)

43、下降到8.908%或以下時，變量或以下時，變量X2出基，出基，即只需要購買股票即只需要購買股票A（注意我們前面還假設(shè)了所有資金必（注意我們前面還假設(shè)了所有資金必須全部投資到這三種股票上，沒有其他投資方式或讓自己須全部投資到這三種股票上，沒有其他投資方式或讓自己閑置）。這幾個關(guān)鍵點正是我們在圖閑置）。這幾個關(guān)鍵點正是我們在圖3-4中觀察到的曲線中觀察到的曲線轉(zhuǎn)折點。轉(zhuǎn)折點。3.2.2 存在無風(fēng)險資產(chǎn)時的投資組合模型存在無風(fēng)險資產(chǎn)時的投資組合模型 例例3.6 假設(shè)除了例假設(shè)除了例3.5中的三種股票外，投資人還中的三種股票外，投資人還有一種無風(fēng)險的投資方式，如購買國庫券，假設(shè)有一種無風(fēng)險的投資方式，

44、如購買國庫券，假設(shè)國庫券的年收益率為國庫券的年收益率為5%，如何考慮例，如何考慮例3.5中的問中的問題？題？ 問題分析問題分析 其實，無風(fēng)險的投資方式（如國庫券、銀行存款其實，無風(fēng)險的投資方式（如國庫券、銀行存款等）是有風(fēng)險的投資方式（如股票）的一種特例，等）是有風(fēng)險的投資方式（如股票）的一種特例，所以這就意味著例所以這就意味著例3.5中的模型仍然是適用的，只中的模型仍然是適用的，只不過無風(fēng)險的投資方式的收益是固定的，所以方不過無風(fēng)險的投資方式的收益是固定的，所以方差（包括它與其它投資方式的收益協(xié)方差）都是差（包括它與其它投資方式的收益協(xié)方差）都是0。3.2.3 考慮交易成本的投資組合模型考慮

45、交易成本的投資組合模型 例例3.73.7 繼續(xù)考慮例繼續(xù)考慮例3.5（期望收益率仍定為（期望收益率仍定為15%）。）。假設(shè)你目前持有的股票比例為：股票假設(shè)你目前持有的股票比例為：股票A占占50%，B占占35%，C占占15%。這個比例與例。這個比例與例3.5中得到的最中得到的最優(yōu)解有所不同，但實際股票市場上每次股票買賣優(yōu)解有所不同，但實際股票市場上每次股票買賣通?？傆薪灰踪M，例如按交易額的通?？傆薪灰踪M，例如按交易額的1%收取交易費，收取交易費，這時你是否需要對所持有的股票進行買賣（換這時你是否需要對所持有的股票進行買賣（換手），以便滿足手），以便滿足“最優(yōu)解最優(yōu)解”的要求？的要求？ 建立模型建

46、立模型 仍用決策變量仍用決策變量x1，x2和和x3分別表示投資人應(yīng)當(dāng)投資股票分別表示投資人應(yīng)當(dāng)投資股票A、B、C的比例，進一步假設(shè)購買股票的比例，進一步假設(shè)購買股票A、B、C的比例為的比例為y1，y2和和y3，賣出股票，賣出股票A、B、C的比例為的比例為z1，z2和和z3。其中，。其中，yi與與zi（i=1，2，3）中顯然最多只能有一個嚴格取正數(shù)，）中顯然最多只能有一個嚴格取正數(shù)，且且 x1，x2，x30， y1，y2，y30， z1，z2，z30。 由于交易費用的存在，這是約束由于交易費用的存在，這是約束x1+x2+x3=1不一定還成不一定還成立（只有不進行股票買賣，即立（只有不進行股票買賣

47、，即y1=y2=y3=z1=z2=z3=0時，時，這個約束才成立）。其實，這個關(guān)系式的本質(zhì)是：當(dāng)前持這個約束才成立）。其實，這個關(guān)系式的本質(zhì)是：當(dāng)前持有的總資金是守恒的（假設(shè)為有的總資金是守恒的（假設(shè)為“1個單位個單位”），再有交易），再有交易成本（成本（1%）的情況下，應(yīng)當(dāng)表示成如下形式：）的情況下，應(yīng)當(dāng)表示成如下形式： x1+x2+x3+0.01（y1+y2+y3+z1+z2+z3）=1. 另外，考慮到當(dāng)前持有的各只股票的份額另外，考慮到當(dāng)前持有的各只股票的份額ci，xi，yi與與zi（i=1，2，3）之間也應(yīng)該滿足守恒關(guān)系式）之間也應(yīng)該滿足守恒關(guān)系式 Xi=ci+yi-zi, i=1,2

48、,3. 這就是新問題的約束條件，模型的其他部分不用改變。這就是新問題的約束條件，模型的其他部分不用改變。 程序：程序： MODEL: Title 考慮交易費的投資組合模型考慮交易費的投資組合模型; SETS: STOCKS/ A, B, C/: C,Mean,X,Y,Z; STST(Stocks,stocks): COV; ENDSETS DATA: TARGET = 1.15; ! 股票的初始份額股票的初始份額; c=0.5 0.35 0.15; ! Mean是收益均值是收益均值,COV是協(xié)方差矩陣是協(xié)方差矩陣; mean=1.089083 1.213667 1.234583; COV=0.

49、01080754 0.01240721 0.01307513 0.01240721 0.05839170 0.05542639 0.01307513 0.05542639 0.09422681; ENDDATA OBJ MIN = sum(STST(i,j): COV(i,j)*x(i)*x(j); ONE SUM(STOCKS: X+0.01*Y+0.01*Z) = 1; TWO SUM(stocks: mean*x) = TARGET; FOR(stocks: ADD x = c - y + z); END 運行并分析其結(jié)果。運行并分析其結(jié)果。 3.2.4 利用股票指數(shù)簡化投資組合模型利用

50、股票指數(shù)簡化投資組合模型 例例3.83.8 繼續(xù)考慮例繼續(xù)考慮例3.5（期望收益率仍定為（期望收益率仍定為15%）。在實際）。在實際的股票市場上，一般存在成千上萬的股票，這時計算兩兩的股票市場上，一般存在成千上萬的股票，這時計算兩兩之間的相關(guān)性（協(xié)方差矩陣）將是一件非常費時甚至不可之間的相關(guān)性（協(xié)方差矩陣）將是一件非常費時甚至不可能的事情。例如，能的事情。例如，1000只股票就需要計算（只股票就需要計算（1000 2）=499500個協(xié)方差。能否通過一定方式避免協(xié)方差的計算，個協(xié)方差。能否通過一定方式避免協(xié)方差的計算，對模型進行簡化呢？例如，例對模型進行簡化呢？例如，例3.5中還給出了當(dāng)時股票

51、指中還給出了當(dāng)時股票指數(shù)的信息，但我們到此為止一直沒有利用，我們這一節(jié)就數(shù)的信息，但我們到此為止一直沒有利用，我們這一節(jié)就考慮利用股票指數(shù)隊前面的模型進行修改和簡化?？紤]利用股票指數(shù)隊前面的模型進行修改和簡化。 問題分析問題分析 可以認為股票指數(shù)反映的是股票市場的大勢信息，對具體可以認為股票指數(shù)反映的是股票市場的大勢信息，對具體每只股票的漲跌通常是有顯著影響的。我們這里最簡單化每只股票的漲跌通常是有顯著影響的。我們這里最簡單化地假設(shè)每只股票的收益與股票指數(shù)呈線性關(guān)系，從而可以地假設(shè)每只股票的收益與股票指數(shù)呈線性關(guān)系，從而可以通過先行回歸方法找出這個線性關(guān)系。通過先行回歸方法找出這個線性關(guān)系。

52、3.2.5 其他目標(biāo)下的投資組合模型其他目標(biāo)下的投資組合模型 目前介紹的模型中都是在可能獲得的收益的數(shù)學(xué)期望滿足目前介紹的模型中都是在可能獲得的收益的數(shù)學(xué)期望滿足一定最低要求的前提下，用可能獲得的收益的方差來衡量一定最低要求的前提下，用可能獲得的收益的方差來衡量投資風(fēng)險，將其作為最小化目標(biāo)。這種做法的合理性通常投資風(fēng)險，將其作為最小化目標(biāo)。這種做法的合理性通常至少要有兩個基本假設(shè)：至少要有兩個基本假設(shè)： 可能獲得的收益的分布是對稱的（如正態(tài)分布）。因為這可能獲得的收益的分布是對稱的（如正態(tài)分布）。因為這是未來收益高于設(shè)定的最低要求的機會和地域設(shè)定的最低是未來收益高于設(shè)定的最低要求的機會和地域設(shè)

53、定的最低要求的數(shù)量（高多少、低多少）和概率是一樣的?？上У囊蟮臄?shù)量（高多少、低多少）和概率是一樣的。可惜的是，實際中這個假設(shè)往往難以驗證。是，實際中這個假設(shè)往往難以驗證。 投資者對風(fēng)險（或偏好）的效用函數(shù)是二次的。否則為什投資者對風(fēng)險（或偏好）的效用函數(shù)是二次的。否則為什么只選擇收益（隨機變量）的二階矩（方差）來衡量風(fēng)險么只選擇收益（隨機變量）的二階矩（方差）來衡量風(fēng)險是之最小化，而不采取其他階數(shù)的矩？是之最小化，而不采取其他階數(shù)的矩？ 一般來說，投資者實際關(guān)心的通常是未來收益地一般來說，投資者實際關(guān)心的通常是未來收益地域設(shè)定的最低要求的數(shù)量（即低多少）和概率，域設(shè)定的最低要求的數(shù)量（即低多

54、少）和概率，也就是說關(guān)心的是下側(cè)風(fēng)險（也就是說關(guān)心的是下側(cè)風(fēng)險（downside risk）。）。所以，如果分布不是對陳的，則采用收益的方差所以，如果分布不是對陳的，則采用收益的方差來衡量投資風(fēng)險就不一定合適。為了克服這個缺來衡量投資風(fēng)險就不一定合適。為了克服這個缺陷，可以用收益低于最低要求的數(shù)量的均值（一陷，可以用收益低于最低要求的數(shù)量的均值（一階矩）作為下側(cè)風(fēng)險的衡量依據(jù)，即作為最小化階矩）作為下側(cè)風(fēng)險的衡量依據(jù)，即作為最小化的目標(biāo)。此外，也可以采用收益低于最低要求的的目標(biāo)。此外，也可以采用收益低于最低要求的數(shù)量的二階矩（即收益的半方差，數(shù)量的二階矩（即收益的半方差，semivarianc

55、e）作為衡量投資風(fēng)險的依據(jù)。其實，半方差計算與作為衡量投資風(fēng)險的依據(jù)。其實，半方差計算與方差計算類似，只是只有當(dāng)收益低于最低要求的方差計算類似，只是只有當(dāng)收益低于最低要求的收益率時，才把兩者之差的平方計入風(fēng)險，而對收益率時，才把兩者之差的平方計入風(fēng)險，而對收益高于最低要求的收益率時的數(shù)據(jù)忽略不計。收益高于最低要求的收益率時的數(shù)據(jù)忽略不計。這方面的具體模型這里就不再詳細介紹了。這方面的具體模型這里就不再詳細介紹了。 下面介紹一個與上面這些優(yōu)化目標(biāo)完全不同的投資組合模下面介紹一個與上面這些優(yōu)化目標(biāo)完全不同的投資組合模型，這個模型雖然很簡單，但卻會產(chǎn)生一些非常有趣的現(xiàn)型，這個模型雖然很簡單，但卻會產(chǎn)

56、生一些非常有趣的現(xiàn)象。象。 例例39 假設(shè)市場上只有兩只股票假設(shè)市場上只有兩只股票A、B可供某個投資者購可供某個投資者購買，且該投資者對未來一年的股票市場進行了仔細分析，買，且該投資者對未來一年的股票市場進行了仔細分析，認為市場只能出現(xiàn)兩種可能的情況（認為市場只能出現(xiàn)兩種可能的情況（1和和2）。此外，該投）。此外，該投資者對每種情況出現(xiàn)的概率、每種情況出現(xiàn)時兩只股票的資者對每種情況出現(xiàn)的概率、每種情況出現(xiàn)時兩只股票的增值情況都進行了預(yù)測和分析（見表增值情況都進行了預(yù)測和分析（見表3-7，可以看出股票，可以看出股票A、B的均值和方差都是一樣的）。該投資者是一位非常保守的均值和方差都是一樣的）。該

57、投資者是一位非常保守的投資人，其投資目標(biāo)是使兩種情況下最小的收益最大化的投資人，其投資目標(biāo)是使兩種情況下最小的收益最大化（也就是說，不管未來發(fā)生哪種情況，他都能至少獲得這（也就是說，不管未來發(fā)生哪種情況，他都能至少獲得這個收益）。如何建立模型和求解？個收益）。如何建立模型和求解？情形情形發(fā)生概率發(fā)生概率股票股票A A股票股票B B1 10.80.81.01.01.21.22 20.20.21.51.50.70.73.3 市場營銷問題市場營銷問題 3.3.1 新產(chǎn)品的市場預(yù)測新產(chǎn)品的市場預(yù)測 例例3.10 某公司開發(fā)了一種新產(chǎn)品，打算與目前市場上已某公司開發(fā)了一種新產(chǎn)品，打算與目前市場上已有的三

58、種同類產(chǎn)品競爭，為了了解這種新產(chǎn)品在市場上的有的三種同類產(chǎn)品競爭，為了了解這種新產(chǎn)品在市場上的競爭力，在大規(guī)模投放市場前，公司營銷部門進行了廣泛競爭力，在大規(guī)模投放市場前，公司營銷部門進行了廣泛的市場調(diào)查，得到了表的市場調(diào)查，得到了表3-8。四種產(chǎn)品分別記為。四種產(chǎn)品分別記為A、B、C、D，其中，其中A為新產(chǎn)品，表中的數(shù)據(jù)的含義是：最近購買某為新產(chǎn)品，表中的數(shù)據(jù)的含義是：最近購買某種產(chǎn)品（用行表示）的顧客下次購買四種產(chǎn)品的機會（概種產(chǎn)品（用行表示）的顧客下次購買四種產(chǎn)品的機會（概率）。例如：表中第一行數(shù)據(jù)表示當(dāng)前購買產(chǎn)品率）。例如：表中第一行數(shù)據(jù)表示當(dāng)前購買產(chǎn)品A的顧客，的顧客，下次購買產(chǎn)品下

59、次購買產(chǎn)品A、B、C、D的概率分別為的概率分別為75%、10%、5%、10%。請你根據(jù)這個調(diào)查結(jié)果，分析新產(chǎn)品。請你根據(jù)這個調(diào)查結(jié)果，分析新產(chǎn)品A未來的未來的市場份額大概是多少？市場份額大概是多少？產(chǎn)品產(chǎn)品A AB BC CD DA A0.750.750.10.10.050.050.10.1B B0.40.40.20.20.10.10.30.3C C0.10.10.20.20.40.40.30.3D D0.20.20.20.20.30.30.30.3 問題分析問題分析 新產(chǎn)品進入市場后，初期的市場份額將會不斷發(fā)生變化，新產(chǎn)品進入市場后，初期的市場份額將會不斷發(fā)生變化，因此，本例中的問題是一個離

60、散動態(tài)隨機過程，也就是馬因此，本例中的問題是一個離散動態(tài)隨機過程，也就是馬氏鏈（氏鏈（Markov chain）。很明顯，上面給出的表實際上）。很明顯，上面給出的表實際上是轉(zhuǎn)移概率矩陣（注意每行元素的和肯定為是轉(zhuǎn)移概率矩陣（注意每行元素的和肯定為1）。要分析）。要分析新產(chǎn)品新產(chǎn)品A未來的市場份額，就是要計算穩(wěn)定狀態(tài)下每種產(chǎn)未來的市場份額，就是要計算穩(wěn)定狀態(tài)下每種產(chǎn)品的概率。品的概率。 模型建立模型建立 記記N為產(chǎn)品種數(shù)，產(chǎn)品編號為為產(chǎn)品種數(shù)，產(chǎn)品編號為i（i=1，2，N），轉(zhuǎn)移概），轉(zhuǎn)移概率矩陣的元素記為率矩陣的元素記為Tij，穩(wěn)定狀態(tài)下產(chǎn)品，穩(wěn)定狀態(tài)下產(chǎn)品i的市場份額記為的市場份額記為pi。