高等數(shù)學(xué)不定積分重點難點復(fù)習(xí)大綱例題講解

1、不定積分根本要求理解原函數(shù)概念，理解不定積分的概念及性質(zhì)。掌握不定積分的根本公式、換元法、分部積分。了解有理函數(shù)及可化為有理函數(shù)的積分方法。主要內(nèi)容 不定積分概念不定積分性質(zhì)根本積分法根本積分公式無理函數(shù)的積分可化為有理函數(shù)的積分原函數(shù)概念第二類換元法第一類換元法分部積分法. 原函數(shù)與不定積分概念1.原函數(shù)設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo)，且或就稱為在的一個原函數(shù)。 2.不定積分 在區(qū)間上函數(shù)的所有原函數(shù)的集合，成為在區(qū)間上的不定積分，記作 . 其中為在上的一個原函數(shù)，為任意常數(shù).不定積分的性質(zhì) 1. (或) 2. (或) 3. 其中為非零常數(shù). 4.根本積分公式 1. (為常數(shù)) 2. 3. 4. 5. 6.

2、 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. .換元積分法第一類換元法.(湊微分法)()(其中可導(dǎo)，為的一個原函數(shù)).第二類換元法()(其中單調(diào)可導(dǎo)，且，為的一個原函數(shù)).分部積分法 (其中具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)).有理函數(shù)與三角函數(shù)有理式的積分 兩個多項式的商所表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)，有理函數(shù)總可以化為多項式與真分式的代數(shù)和，而真分式總可以分解為局部分式的代數(shù)和，所以有理函數(shù)的積分可化為整式和以下四種局部分式的積分.(1) (2) (3) (4) 而求這四種積分也可用湊微分法或第二類換元法.三角函數(shù)有理式的積

3、分，總可用萬能代換將原不定積分化為為積分變量的有理函數(shù)的積分，但對有些三角有理式的積分，有時用三角公式轉(zhuǎn)化，再用前所述的根本公式或積分方法求解，可能更簡便些.重點與難點原函數(shù)與根本積分公式換元法、分部積分法等根本積分方法抽象函數(shù)的積分例題解析、選擇題例1假設(shè)的導(dǎo)數(shù)是，那么有一個原函數(shù)為 ( )(A) (B) (C) (D) 解 應(yīng)選(B).因為，而例2設(shè)有原函數(shù)，那么 (A) (B) (C) (D) 解 而，故所以應(yīng)選(B).、填空題例3設(shè)為定義區(qū)間上單調(diào)連續(xù)可微函數(shù)，為相應(yīng)的反函數(shù)，假設(shè)，那么為 解 、討論題例4 解以下各題，并比擬其解法：(1) (2) (3) (4) 解 (1) .(2)

4、 .(3) (4) 比擬上述四題，發(fā)現(xiàn)各小題的被積函數(shù)很相似，但解法卻不盡相同。注意觀察被積函數(shù)的特點，第一題中分子的次數(shù)比分母低一次，正好可湊微分使變量一致；第二題中分子與分母同次，需要拆項，使分子次數(shù)低于分母，即被積函數(shù)成為多項式與真分式的代數(shù)和才可積分；第三題中分子次數(shù)高于分母一次，湊微分后分子分母同次，再仿第二題求解；第四題中分子次數(shù)高于分母二次，湊微分那么無效，只能根據(jù)分母情況拆項仿第二題的方法求解。由此可見在不定積分的計算過程中需針對具體情況選擇適當(dāng)方法求解。例5 討論利用第一類換元法求積的幾種類型 (設(shè))(1) () (2) () 如求 解 原式 (3) ()如求 解 原式 (4

5、) 如求 解 原式 其它一些類型，例如， ， 等，請同學(xué)們自己加以總結(jié).V. 計算題例6 求分析 此題先把被積函數(shù)寫成 拆成兩項再進行積分較方便.解 例7 求 解 例8 求 解 令，那么 例9 求解 令，即， 例10 求解 令， 例11求 解 注：最后一步等號成立是因為可設(shè)的一個原函數(shù)為，于是 例12 求的遞推公式解 記 ，那么. 當(dāng)時， 即 例13 求 解 去分母后，再比擬兩邊同次冪的系數(shù)得，于是 =而 從而 例14 求分析 被積函數(shù)為有理函數(shù)，但假設(shè)直接將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為局部分式，計算較繁，因此可考慮采用較靈活的根本積分方法. 此題利用換元法計算較簡便.解 令， .例15 求 分析 對于三角

6、函數(shù)有理式的積分，除了用“萬能代換令之外，往往可考慮用前面的根本積分方法.解 = = + = - + = + +.例16 求 解 = = = +.例17 求 , .解 + 由此得 .例18 求 解 令，那么.例19 計算以下各題(1) .(2) 設(shè)，求.(3) 設(shè)，求.(4) 且，求.解 (1) 原式 = =.(2) 設(shè) ，那么 = 即 . ， 即 . (3) , 即有 . .(4) ， 即 ， . 由 ，. .例20 設(shè) ，求 .解 由于 ，可知在()上連續(xù).因此的原函數(shù)一定存在， 設(shè)為的一個原函數(shù).因為可導(dǎo)，那么必連續(xù).，.在處連續(xù)，即有 .那么的一個原函數(shù)為 .故.注：求連續(xù)分段函數(shù)的原函數(shù)時，一定要保證的連續(xù)性，而這時的可導(dǎo)性就可以得到滿足.例21