第一章(1) 概率論的基本概念

1、廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1 1 隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗2 2 樣本空間、隨機(jī)事件樣本空間、隨機(jī)事件3 3 頻率與概率頻率與概率4 4 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）5 5 條件概率條件概率6 6 獨(dú)立性獨(dú)立性廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)確定性現(xiàn)象的特征：確定性現(xiàn)象的特征： 條件完全決定結(jié)果。條件完全決定結(jié)果。1、確定性的現(xiàn)象（必然現(xiàn)象）確定性的現(xiàn)象（必然現(xiàn)象）necessity, inevitability。例如：例如：1 1 隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)1、確定性的現(xiàn)象（必然現(xiàn)象）確定性的現(xiàn)象（必然現(xiàn)象）necessity, in

2、evitability。2、非確性的現(xiàn)象（偶然現(xiàn)象）非確性的現(xiàn)象（偶然現(xiàn)象） randomly, chance。非確定性現(xiàn)象的特征：非確定性現(xiàn)象的特征： 條件不能完全決定結(jié)果。條件不能完全決定結(jié)果。1 1 隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 有部分非確定性現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗時，統(tǒng)計結(jié)果呈現(xiàn)有部分非確定性現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗時，統(tǒng)計結(jié)果呈現(xiàn)例如例如:現(xiàn)出一定的規(guī)律性?，F(xiàn)出一定的規(guī)律性。在一瓶水內(nèi)有許多水分子，每個水分在一瓶水內(nèi)有許多水分子，每個水分子的運(yùn)動存在著不定性，無法預(yù)言它在子的運(yùn)動存在著不定性，無法預(yù)言它在指定時刻的動量和方向指定時刻的動量和方向. . 但大量水分子但大量水分子的平均

3、活動卻呈現(xiàn)出某種穩(wěn)定性，如在的平均活動卻呈現(xiàn)出某種穩(wěn)定性，如在一定的溫度下，氣體對器壁的壓力是穩(wěn)一定的溫度下，氣體對器壁的壓力是穩(wěn)定的，呈現(xiàn)定的，呈現(xiàn)“無序中的規(guī)律無序中的規(guī)律”. .廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 有部分非確定性現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗時，統(tǒng)計結(jié)果呈現(xiàn)有部分非確定性現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗時，統(tǒng)計結(jié)果呈現(xiàn)例如例如:現(xiàn)出一定的規(guī)律性?，F(xiàn)出一定的規(guī)律性。一門火炮在一定條件下進(jìn)行射一門火炮在一定條件下進(jìn)行射擊，個別炮彈的彈著點(diǎn)可能偏離擊，個別炮彈的彈著點(diǎn)可能偏離目標(biāo)而有隨機(jī)性的誤差，但大量目標(biāo)而有隨機(jī)性的誤差，但大量炮彈的彈著點(diǎn)則表現(xiàn)出一定的規(guī)炮彈的彈著點(diǎn)則表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，如一定的命中率，一定的

4、律性，如一定的命中率，一定的分布規(guī)律等等。分布規(guī)律等等。 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)上拋一硬幣上拋一硬幣1000010000次，次，在一定條件下，進(jìn)行大量在一定條件下，進(jìn)行大量觀測會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性。觀測會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性。出現(xiàn)正面向上的次數(shù)出現(xiàn)正面向上的次數(shù)總是總是5000次左右。次左右。 有部分非確定性現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗時，統(tǒng)計結(jié)果呈現(xiàn)有部分非確定性現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗時，統(tǒng)計結(jié)果呈現(xiàn)例如例如:現(xiàn)出一定的規(guī)律性。現(xiàn)出一定的規(guī)律性。廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)隨機(jī)事件的發(fā)生具有偶然性隨機(jī)事件的發(fā)生具有偶然性, , 機(jī)遇性，在一次試驗中，機(jī)遇性，在一次試驗中，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。但在大量重復(fù)試驗中，隨

5、機(jī)現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。但在大量重復(fù)試驗中，隨機(jī)現(xiàn)象常常表現(xiàn)出這樣或那樣的統(tǒng)計規(guī)律，稱為常常表現(xiàn)出這樣或那樣的統(tǒng)計規(guī)律，稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性律性。在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，但重復(fù)試驗中其在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，但重復(fù)試驗中其結(jié)果又具有一定的規(guī)律性的非確定性現(xiàn)象稱為結(jié)果又具有一定的規(guī)律性的非確定性現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象。廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 鑒于我們要研究的對象和任務(wù)（即隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律鑒于我們要研究的對象和任務(wù)（即隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性），必需對研究對象進(jìn)行試驗或觀察。性），必需對研究對象進(jìn)行試驗或觀察。例：例：廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)這些試驗

6、都具有以下的特點(diǎn)：這些試驗都具有以下的特點(diǎn)： 可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行； 每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗 的所有可能結(jié)果；的所有可能結(jié)果； 進(jìn)行試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。進(jìn)行試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。在概率論中，我們將具有上述三個特點(diǎn)的試驗稱為在概率論中，我們將具有上述三個特點(diǎn)的試驗稱為隨機(jī)隨機(jī)試驗試驗( (Random experiment) )。簡稱。簡稱試驗試驗，用，用E表示。表示。隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)2 2 樣本空間、樣本空間、隨機(jī)事件隨機(jī)事件常用常用 表

7、示。表示。e , 樣本點(diǎn)個數(shù)有限樣本點(diǎn)個數(shù)有限樣本點(diǎn)個數(shù)無限樣本點(diǎn)個數(shù)無限廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)解解: ,1THS 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)解解: ,3 , 2 , 1 , 02 S廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)解解: ,3平平負(fù)負(fù)勝勝 S, 3 , 2 , 1 , 04 S0|5 ttS廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)更多例子更多例子: ,| ),(7DyxyxS （H H HH H H），（），（T H HT H H），（），（H T HH T H），（），（T T HT T H）（H H TH H T），（），（T H TT H T），（），（H T TH T T），（），（T T TT T T）6

8、 S第一次有第一次有6 6個可能的結(jié)果個可能的結(jié)果第二次也有第二次也有6 6個可能的結(jié)果個可能的結(jié)果6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1,| ),(8 yxyxS廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)在實際問題中，面對一個隨機(jī)試驗，我們一般關(guān)心的是在實際問題中，面對一個隨機(jī)試驗，我們一般關(guān)心的是某些特定的事件是否發(fā)生。某些特定的事件是否發(fā)生。（）出租車公司可能關(guān)心的是：（）出租車公司可能關(guān)心的是：“電話訂車中心一天中接到訂車電話數(shù)不超過電話訂車中心一天中接到訂車電話數(shù)不超過100”如：如：（）燈泡采購員可能關(guān)心的是：（）燈泡采購員可能關(guān)心的是：“燈泡的壽命大于燈泡的壽命大于1000小時小時”（）在擲骰

9、子中，賭徒關(guān)心的是擲兩題骰子：（）在擲骰子中，賭徒關(guān)心的是擲兩題骰子：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和大于出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和大于6”廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)在隨機(jī)試驗中在隨機(jī)試驗中, ,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情稱為可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情稱為隨機(jī)事件隨機(jī)事件。常用大寫字母常用大寫字母 A,B,C,表示。表示。（樣本空間的子集稱為（樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件隨機(jī)事件，簡稱為，簡稱為事件事件。）。）當(dāng)一次試驗結(jié)果出現(xiàn)在這個集合時，即當(dāng)一次試驗結(jié)果當(dāng)一次試驗結(jié)果出現(xiàn)在這個集合時，即當(dāng)一次試驗結(jié)果A 時，就稱這次試驗中時，就稱這次試驗中事件事件發(fā)生發(fā)生。否則稱否則稱未發(fā)生。未發(fā)生。即一次試驗的結(jié)果為即一次試驗的結(jié)果為 時

10、時 A 事件事件發(fā)生發(fā)生A 事件事件未發(fā)生未發(fā)生廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)其樣本空間其樣本空間6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 S若擲骰子一次，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，則若擲骰子一次，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，則事件事件表示出現(xiàn)的是偶數(shù)點(diǎn)，即表示出現(xiàn)的是偶數(shù)點(diǎn)，即6 , 4 , 2 A事件事件表示出現(xiàn)的是奇數(shù)點(diǎn)，即表示出現(xiàn)的是奇數(shù)點(diǎn)，即5 , 3 , 1 B由由 ，B 3故在這一次試驗中，事件故在這一次試驗中，事件發(fā)生了；發(fā)生了；由由 ，A 3故在這一次試驗中，事件故在這一次試驗中，事件沒有發(fā)生。沒有發(fā)生。若再擲骰子一次，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，則在這一次試驗中若再擲骰子一次，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，則在這一次試驗中事件事件發(fā)生了，而事件發(fā)生

11、了，而事件未發(fā)生。未發(fā)生。A 事件事件發(fā)生發(fā)生A 事件事件未發(fā)生未發(fā)生廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)每一次試驗中必然會發(fā)生的事件。每一次試驗中必然會發(fā)生的事件。 S每一次試驗中必然不會發(fā)生的事件。每一次試驗中必然不會發(fā)生的事件。 試驗的很一個可能結(jié)果都稱為基本事件。試驗的很一個可能結(jié)果都稱為基本事件。即只含有單個樣本點(diǎn)的集合。即只含有單個樣本點(diǎn)的集合。 A復(fù)合事件復(fù)合事件基本事件基本事件必然事件必然事件S S樣本空間樣本空間由基本事件由基本事件構(gòu)成的事件構(gòu)成的事件廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)其樣本空間其樣本空間6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 S事件事件表示出現(xiàn)的是偶數(shù)點(diǎn)，即表示出現(xiàn)的是偶數(shù)點(diǎn)

12、，即6 , 4 , 2 A事件事件表示出現(xiàn)的是奇數(shù)點(diǎn)，即表示出現(xiàn)的是奇數(shù)點(diǎn)，即5 , 3 , 1 B復(fù)合事件復(fù)合事件復(fù)合事件復(fù)合事件事件事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，即表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，即6 C基本事件基本事件事件事件D表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于10，必然事件必然事件事件事件F表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于10，不可能事件不可能事件廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)“摸出的是白球摸出的是白球”“摸出的是紅球摸出的是紅球”號球號球取到第取到第ii “摸出的是黑球摸出的是黑球”“摸出的是摸出的是3 3號球號球”樣本空間樣本空間5 , 4 , 3 , 2 , 1 i,54321 S,321 ,54321 ,54 3

13、S A B C 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)有時候我們感興趣的是一個較為復(fù)雜的事件，而直接有時候我們感興趣的是一個較為復(fù)雜的事件，而直接研某些復(fù)雜事件，有時候比較復(fù)雜。此時，我們可以利用研某些復(fù)雜事件，有時候比較復(fù)雜。此時，我們可以利用復(fù)雜事件與簡單事件之間的聯(lián)系，把較為復(fù)雜的事件分解復(fù)雜事件與簡單事件之間的聯(lián)系，把較為復(fù)雜的事件分解為一些較簡單的事件來研究。為此，我們先定義事件間的為一些較簡單的事件來研究。為此，我們先定義事件間的一些關(guān)系與運(yùn)算。一些關(guān)系與運(yùn)算。如果事件如果事件A發(fā)生時，事件發(fā)生時，事件B一定發(fā)生。一定發(fā)生。,A 則。）則。）B 則稱事件則稱事件B包含事件包含事件A, ,記作記作

14、.BAAB 或或即即為為的子集。的子集。BAS廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)若事件若事件A包含事件包含事件B, ,而且事件而且事件B包含事件包含事件A, , 則稱事件則稱事件A與事件與事件B相等相等, ,記作記作 A=B. .其樣本空間其樣本空間6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 S事件事件表示出現(xiàn)的是偶數(shù)點(diǎn)，即表示出現(xiàn)的是偶數(shù)點(diǎn)，即6 , 4 , 2 A事件事件表示出現(xiàn)的是奇數(shù)點(diǎn)，即表示出現(xiàn)的是奇數(shù)點(diǎn)，即5 , 3 , 1 B事件事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，即表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，即6 C顯然事件顯然事件發(fā)生，則事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，一定發(fā)生，.AC 即即廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)AD 同理有同理有BD

15、DC 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)“二事件二事件，同時發(fā)生同時發(fā)生”也是一個事件，稱為事件也是一個事件，稱為事件與事件與事件的積事件（交事件）。記為的積事件（交事件）。記為.BA BA發(fā)生且發(fā)生且發(fā)生發(fā)生,|BA 且且ABBA顯然有顯然有DBA 簡記為簡記為AB廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)則則AB為不可能事件，為不可能事件，. AB即即若事件若事件與與互斥，互斥， ABBA互斥互斥與與兩兩互斥：兩兩互斥：若一些事件中任意兩個都互斥，則稱這些事件是若一些事件中任意兩個都互斥，則稱這些事件是兩兩互斥的。兩兩互斥的。AB互不相容事互不相容事件的關(guān)系件的關(guān)系廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)“二事件二事件，至少發(fā)生一個

16、至少發(fā)生一個”也是一個事件，稱為也是一個事件，稱為事件事件與事件與事件的并事件（和事件）。記為的并事件（和事件）。記為.BA BA發(fā)生或發(fā)生或發(fā)生發(fā)生,|BA 或或BA顯然有顯然有DBA 常將常將BA簡記為簡記為.BA AB廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)事件的交與并的推廣事件的交與并的推廣niinAAAA121 ,21同同時時發(fā)發(fā)生生nAAA niiA1 1321iiAAAA,321同時發(fā)生同時發(fā)生AAA 1iiAniinAAAA121 ,21至至少少有有一一個個發(fā)發(fā)生生nAAA 1321iiAAAA,321至至少少有有一一個個發(fā)發(fā)生生AAA 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué).BA 記為記為不不發(fā)發(fā)生生發(fā)發(fā)

17、生生且且BABA |BA 且且ABS SBA 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)“事件事件不發(fā)生不發(fā)生”是一個事件，稱為是一個事件，稱為的的對立事件對立事件（或（或逆事件逆事件），），.A記為記為不不發(fā)發(fā)生生AA |AS 且且AS AA為為的對立事件，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)膶α⑹录?，?dāng)且僅當(dāng) AB)1(SBA )2(廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)S SS SABAB BA A、B 對立對立A、B 互斥互斥 . ABSBA且且, AB互互 斥斥對對 立立廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)（1）交換律：）交換律： ABBA ABBA （2）結(jié)合律：）結(jié)合律： )()(CBACBA )()(CBACBA （3）分配律：）分配律： )()

18、()(CABACBA )()()(CABACBA BABA （4）摩根律（對偶律）：）摩根律（對偶律）： BABA 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)(1) (1) 事件事件“A，B 都發(fā)生都發(fā)生, , 但但C不發(fā)生不發(fā)生”; ;(3) (3) 事件事件“A, , B，C中恰有兩個發(fā)生中恰有兩個發(fā)生”; ;(2) (2) 事件事件“A，B，C都發(fā)生都發(fā)生”; ;(4) (4) 事件事件“A, , B，C中至少有兩個發(fā)生中至少有兩個發(fā)生; ;(5) (5) 事件事件“C發(fā)生，但發(fā)生，但A, , B均不發(fā)生均不發(fā)生”CABABCCABCBABCA CABCABABCCABCBABCA 或或 CBA廣東工業(yè)大

19、學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)(7) (7) 三事件至少有一件發(fā)生三事件至少有一件發(fā)生CBA (6) (6) 事件事件“A, , B, , C中有不多于一個事件發(fā)生中有不多于一個事件發(fā)生”CBACBACBACBA 或或 ACCBBACBACBACBACBA CABCBABCA ABC 法一法一: 法二法二: 法三法三: 法四法四: ACBCBACBABAA 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)ABAAB)( ABAAB)(ABBA)( AAS S 例例5 運(yùn)用事件的運(yùn)算關(guān)系證明等式運(yùn)用事件的運(yùn)算關(guān)系證明等式 SABAAB )(證明證明: 由由 有有 BABA 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例6 設(shè)設(shè)A,B為兩個隨機(jī)事件為兩個

20、隨機(jī)事件,且且 ,則則BAAB BA AB廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)ABABAA B，BA AB ABSBA廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)P32 2廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)隨機(jī)事件在一次試驗中有可能發(fā)生也可能不發(fā)生，但多隨機(jī)事件在一次試驗中有可能發(fā)生也可能不發(fā)生，但多次重復(fù)時，會發(fā)現(xiàn)有的事件發(fā)生多些，有的少些，這數(shù)量上次重復(fù)時，會發(fā)現(xiàn)有的事件發(fā)生多些，有的少些，這數(shù)量上的區(qū)別反映了隨機(jī)事件的內(nèi)在的一種規(guī)律。的區(qū)別反映了隨機(jī)事件的內(nèi)在的一種規(guī)律。3 3 頻率與概率頻率與概率 我們常常希望知道某些事件在一次試驗中發(fā)生的可能性我們常常希望知道某些事件在一次試驗中發(fā)生的可能性究竟有多大？究竟有多大？怎樣來刻劃

21、事件發(fā)生的可能性大小呢？怎樣來刻劃事件發(fā)生的可能性大小呢？ 我們希望找一個我們希望找一個合適的數(shù)合適的數(shù)來表征事件在一次試驗中發(fā)生的來表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小?？赡苄源笮?。 為此，我們先引入頻率（描述事件發(fā)生的頻繁程度），為此，我們先引入頻率（描述事件發(fā)生的頻繁程度），進(jìn)而引出表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)：進(jìn)而引出表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)：概概率。率。廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)一、一、 頻率的定義頻率的定義(Frequency)(Frequency) 、定義、定義設(shè)設(shè)E為任一隨機(jī)試驗，為任一隨機(jī)試驗，A為其中任一事件，在相同條為其中任一事件，在相同條件下，

22、把件下，把E獨(dú)立的重復(fù)做獨(dú)立的重復(fù)做n次，次，表示事件表示事件A在這在這n次試驗次試驗中出現(xiàn)的次數(shù)中出現(xiàn)的次數(shù)(稱為稱為頻數(shù)頻數(shù))。比值。比值 稱為事件稱為事件A在這在這n次次試驗中出現(xiàn)的試驗中出現(xiàn)的頻率頻率(Frequency).nnA/An記為記為nnAfAn )().(Afn即即 、頻率的性質(zhì)、頻率的性質(zhì)（）非負(fù)性：（）非負(fù)性：1)(0 Afn（）規(guī)范性：（）規(guī)范性：1)( Sfn)()()()(2121knnknAfAfAfAAAf （）有限可加性（）有限可加性:若事件若事件 兩兩互不相容，則兩兩互不相容，則kAAA,21廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)一、一、 頻率的定義頻率的定義(Freq

23、uency)(Frequency) 、定義、定義設(shè)設(shè)E為任一隨機(jī)試驗，為任一隨機(jī)試驗，A為其中任一事件，在相同條為其中任一事件，在相同條件下，把件下，把E獨(dú)立的重復(fù)做獨(dú)立的重復(fù)做n次，次，表示事件表示事件A在這在這n次試驗次試驗中出現(xiàn)的次數(shù)中出現(xiàn)的次數(shù)(稱為稱為頻數(shù)頻數(shù))。比值。比值 稱為事件稱為事件A在這在這n次次試驗中出現(xiàn)的試驗中出現(xiàn)的頻率頻率(Frequency).nnA/An記為記為nnAfAn )().(Afn即即 、頻率的穩(wěn)定性、頻率的穩(wěn)定性實踐證明：實踐證明：當(dāng)試驗次數(shù)當(dāng)試驗次數(shù)n增大時增大時,隨機(jī)事件的頻率逐漸趨向穩(wěn)定。隨機(jī)事件的頻率逐漸趨向穩(wěn)定。)(Afn廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)

24、大學(xué)數(shù)據(jù)波動較大試驗試驗序號序號5 nAnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Anf50 n22252125241827An500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波動最小波動最小 0.5n=50n=500f5(A)f50(A)f500(A)n=5廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)試驗者拋擲次數(shù)n正面出現(xiàn)次數(shù)m正面出現(xiàn)頻率m/n德.摩爾根204810610.518蒲豐404020480.5069皮爾遜12000

25、60190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998的的增增大大n.21)(Afn廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)設(shè)有隨機(jī)試驗設(shè)有隨機(jī)試驗E E，若當(dāng)試驗的次數(shù)充分大時，事件，若當(dāng)試驗的次數(shù)充分大時，事件A發(fā)生發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某數(shù)的頻率穩(wěn)定在某數(shù)p附近擺動，則稱數(shù)附近擺動，則稱數(shù)p為事件為事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率(Probability) (Probability) ，記為：，記為：(1) (1) 頻率的穩(wěn)定性是概率的經(jīng)驗基礎(chǔ)，但并不是說概率決頻率的穩(wěn)定性是概率的經(jīng)驗基礎(chǔ)，但并不是說概率決定于經(jīng)驗定于經(jīng)驗. . 一個事件發(fā)生的概率完全決定于事件本身的結(jié)一個事

26、件發(fā)生的概率完全決定于事件本身的結(jié)構(gòu)構(gòu), , 指試驗條件指試驗條件, , 是先于試驗而客觀存在的是先于試驗而客觀存在的. .(2) (2) 概率的統(tǒng)計定義只是描述性的。概率的統(tǒng)計定義只是描述性的。4、概率的統(tǒng)計定義、概率的統(tǒng)計定義5、概率的統(tǒng)計定義的幾點(diǎn)說明、概率的統(tǒng)計定義的幾點(diǎn)說明(3) 通常只能在充分大時，事件出現(xiàn)的頻率才作為事件概通常只能在充分大時，事件出現(xiàn)的頻率才作為事件概率的近似值。率的近似值。pAP )(廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)二、二、 概率的公理化定義概率的公理化定義 設(shè)設(shè)E是隨機(jī)試驗，是隨機(jī)試驗，S為它的樣本空間。對于為它的樣本空間。對于E的每一事的每一事件件A賦于一個實數(shù)，記

27、為賦于一個實數(shù)，記為P(A)，稱為事件，稱為事件A的概率，如果的概率，如果集合函數(shù)集合函數(shù)P(A)滿足下列條件：滿足下列條件：（1 1） 非負(fù)性非負(fù)性：對任一事件：對任一事件A , ,有有（2 2） 規(guī)范性規(guī)范性：對必然事件：對必然事件S , ,有有0)( AP1)( SP（3） 可列可加性可列可加性: ,21兩兩兩兩不不相相容容若若事事件件kAAA即對即對 , 2 , 1, jiAAjiji 則有則有 )()()()(2121kkAPAPAPAAAP1、定義、定義廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)2、概率的性質(zhì)、概率的性質(zhì)（1） 0)( P（2）有限可加性有限可加性 若若 兩兩不相容，則有兩兩不相容，

28、則有nAAA,21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP （3） ),()()(,APBPABPBA 則則有有若若).()(APBP 且且有有BSAB A證明證明: 由由 知知,BA )(ABAB 又又 )(ABA于是于是,由有限可加性由有限可加性,有有 )()(ABAPBP )()(ABPAP 即有即有 )()()(APBPABP 由非負(fù)性由非負(fù)性 0)()()( APBPABP即有即有 )()(APBP 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)2、概率的性質(zhì)、概率的性質(zhì)（1） 0)( P（2）有限可加性有限可加性 若若 兩兩不相容，則有兩兩不相容，則有nAAA,21)()()()(2121nnA

29、PAPAPAAAP （3） ),()()(,APBPABPBA 則則有有若若).()(APBP 且且有有（4） 減法公式減法公式 對任意兩事件對任意兩事件A,B，有，有 )()()(ABPBPABP BSABAAB 證明：證明： 易知，易知，)()(ABABB 又又 )()(ABAB 于是，由有限可加性有于是，由有限可加性有 )()()(ABABPBP )()(ABPABP 即有即有 )()()(ABPBPABP 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)2、概率的性質(zhì)、概率的性質(zhì)（1） 0)( P（2）有限可加性有限可加性 若若 兩兩不相容，則有兩兩不相容，則有nAAA,21)()()()(2121nnAPA

30、PAPAAAP （3） ),()()(,APBPABPBA 則則有有若若).()(APBP 且且有有（4） 減法公式減法公式 對任意兩事件對任意兩事件A,B，有，有 )()()(ABPBPABP （5）對任意事件）對任意事件A，有，有1)(0 AP證明：證明： 由由 有有 SA 即即 )()()(SPAPP 1)(0 AP廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)2、概率的性質(zhì)、概率的性質(zhì)（1） 0)( P（2）有限可加性有限可加性 若若 兩兩不相容，則有兩兩不相容，則有nAAA,21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP （3） ),()()(,APBPABPBA 則則有有若若).()(APBP 且

31、且有有（4） 減法公式減法公式 對任意兩事件對任意兩事件A,B，有，有 )()()(ABPBPABP （5）對任意事件）對任意事件A，有，有1)(0 AP證明：證明： 由由 有有 SAAAA , 即即 )(1SP )(1)(APAP （6 6）對任意事件）對任意事件A, , 有有)(AAP )()(APAP )(1)(APAP 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)).()()()(ABPBPAPBAP （7）加法公式）加法公式 對任意兩事件對任意兩事件A、B有有BASBAB如圖所示如圖所示 BA)(ABBA 有有)()(ABBAPBAP )()(ABBPAP )()()(ABPBPAP 注意到注意到 與與

32、 不相容以及不相容以及 ,AABB BAB 即即)()()()(ABPBPAPBAP 證畢。證畢。證明證明 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)（8）加法公式的推廣（三個的情形）加法公式的推廣（三個的情形） 對三個事件對三個事件 ，有，有：CBA,)()()()()(ABPCPBPAPCBAP )()()(ABCPBCPACP ABCABACSBCABC如圖如圖對事件概率對事件概率的量度好比的量度好比對事件所對對事件所對應(yīng)的集合的應(yīng)的集合的面積計算！面積計算！廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué))(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 對對n

33、 個事件個事件 有有,21nAAA（9）加法公式的推廣（任意）加法公式的推廣（任意n個的情形）個的情形） 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例1 已知已知, 6 . 0)(, 3 . 0)(, 4 . 0)( BAPBPAP試求試求).(BAPABABABA 解解:由事件的運(yùn)算關(guān)系由事件的運(yùn)算關(guān)系,知知由由 ,AAB 有有)()()()(ABPAPABAPBAP 利用利用 )()()()(BAPBPAPABP 6 . 03 . 04 . 0 1 . 0 于是于是)()()(ABPAPBAP 1 . 04 . 0 3 . 0 )()()()(ABPBPAPBAP 有有 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例2（9

34、2） 已知已知,41)()()( CPBPAP, 0)( ABP,161)()( BCPACP求事件求事件 全不發(fā)生的概率？全不發(fā)生的概率？CBA,解：解：所求概率所求概率)(CBAP)(1CBAP )(1CBAP 又又)(CBAP)()()()(ABPCPBPAP )()()(ABCPBCPACP 414141 1611610 0 85 從而所求概率從而所求概率.83)( CBAP廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例3（94）已知已知 是兩個事件滿足條件是兩個事件滿足條件 ，且，且BA,)()(BAPABP ,)(pAP 則則 。 )(BP解：解：)()(BAPBAP )()()(1ABPBPAP

35、由由)()(BAPABP 有有1)()( BPAP于是于是)(1)(APBP )(1BAP p 1廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例4 設(shè)設(shè)A,B為兩個隨機(jī)事件為兩個隨機(jī)事件,則一定有則一定有 (A) (B) (C) (D) 1)( BAP0)( BAP1)(0 BAP)(1)(ABPBAP 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)4 4 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）例例 共同特點(diǎn)：共同特點(diǎn)： （1）每次試驗只有有限個結(jié)果；）每次試驗只有有限個結(jié)果； （2）每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。）每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。 定義：定義： 如果一個隨機(jī)試驗如果一個隨機(jī)試驗E具有以下特征具有

36、以下特征1 1、試驗的樣本空間中僅含有有限個樣本點(diǎn)；、試驗的樣本空間中僅含有有限個樣本點(diǎn)；2 2、每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。、每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。則稱則稱具有上述特性的概型為具有上述特性的概型為古典概型（等可能概型）古典概型（等可能概型）。討論相應(yīng)的概率問題稱為討論相應(yīng)的概率問題稱為古典概型古典概型問題。問題。 )()()(21nPPP ,21nS 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)古典概型中事件概率的計算：古典概型中事件概率的計算：,21nS 設(shè)設(shè)樣樣本本空空間間)()()(21nPPP 于是于是 )()(121nPSP )()()(21nPPP )(inP 從而對于每一個基本事件，有從而對

37、于每一個基本事件，有 nPi1)( 設(shè)事件設(shè)事件A包含有包含有k個基本事件：個基本事件：,21kiiiA 有有 )()(21kiiiPAP )()()(21kiiiPPP nk 中中的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)中中所所含含的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)SA （利用有限可加性）（利用有限可加性） 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)古典概型中事件概率的計算：古典概型中事件概率的計算：中中的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)中中所所含含的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)SAnkAP )(1、在應(yīng)用古典概型時必須注意、在應(yīng)用古典概型時必須注意“等可能性等可能性”的條件的條件. 2、“等可能性等可能性”是一種假設(shè)，在實際應(yīng)用中，我們是一種假設(shè)，在實際應(yīng)用中，我

38、們需要根據(jù)實際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或需要根據(jù)實際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的.試驗的基本事件總數(shù)試驗的基本事件總數(shù)的有利場合數(shù)的有利場合數(shù)A 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 例例 將一枚硬幣上拋三次，設(shè)事件將一枚硬幣上拋三次，設(shè)事件A =“恰有一次出現(xiàn)正面恰有一次出現(xiàn)正面”，B=“至少有一次出現(xiàn)正面至少有一次出現(xiàn)正面”， 求求A，B的概率。的概率。(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)解：解

39、： 樣本空間為樣本空間為 S38( )P A于是于是78( )P B注：上例中，將一枚硬幣上拋三次，觀察正面向上的次數(shù)，注：上例中，將一枚硬幣上拋三次，觀察正面向上的次數(shù)， S 0, 1, 2 , 3 , 記記Ai“正面出現(xiàn)正面出現(xiàn) i 次次”則則P(A0)1/8 ，P(A1)3/8 ，P(A2)3/8， P(A3)1/8所以以所以以Ai作為基本事件，則非等可能概型。作為基本事件，則非等可能概型。廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例1 1一部四卷文集，按任意次序排列在一級書架上，問各一部四卷文集，按任意次序排列在一級書架上，問各冊自右至左或自左至右恰成冊自右至左或自左至右恰成1,2,3,41,2,3,

40、4順序的概率是多少？順序的概率是多少？解：解：樣本點(diǎn)為四卷書書號的任一可能的排列，樣本點(diǎn)為四卷書書號的任一可能的排列，總數(shù)總數(shù)n=4321A的有利場合數(shù)（的有利場合數(shù)（A包含的樣本點(diǎn)數(shù)）為包含的樣本點(diǎn)數(shù)）為2 21234，4321121! 42)( AP概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例2 一口袋裝有一口袋裝有6只球只球,其中其中4只白球只白球,2只紅球只紅球.從袋中取球兩次從袋中取球兩次,每次隨每次隨機(jī)地取一只機(jī)地取一只.考慮兩種取球方式：考慮兩種取球方式：(a) 放回抽樣放回抽樣:第一次取一只第一次取一只,觀其顏色后放回觀其顏色后放回,攪勻后再取一只攪勻后再取一

41、只.(b) 不放回抽樣不放回抽樣:第一次取一球不放回第一次取一球不放回,第二次從剩余的球中再取一球第二次從剩余的球中再取一球. 試分別就上面兩種情況求試分別就上面兩種情況求:（1）取到的兩只球都是白球的概率；）取到的兩只球都是白球的概率；（2）取到的兩只球顏色相同的概率；）取到的兩只球顏色相同的概率；（3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。解解: (a) 放回抽樣放回抽樣: 從袋中任取兩球從袋中任取兩球,總的取法為總的取法為 3666 設(shè)設(shè) A=取到的兩只球都是白球取到的兩只球都是白球 B=取到的兩只球都是紅球取到的兩只球都是紅球 C=取到的兩球中至

42、少有一只白球取到的兩球中至少有一只白球 D=取到的兩只球顏色相同取到的兩只球顏色相同則顯然有則顯然有 ,BAD 取到的兩只球都是白球的取法為取到的兩只球都是白球的取法為 1644 于是于是 943616)( AP取到的兩只球都是紅球的取法為取到的兩只球都是紅球的取法為 422 91364)( BPBC 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例2 一口袋裝有一口袋裝有6只球只球,其中其中4只白球只白球,2只紅球只紅球.從袋中取球兩次從袋中取球兩次,每次隨每次隨機(jī)地取一只機(jī)地取一只.考慮兩種取球方式：考慮兩種取球方式：(a) 放回抽樣放回抽樣:第一次取一只第一次取一只,觀其顏色后放回觀其顏色后放回,攪勻后再取

43、一只攪勻后再取一只.(b) 不放回抽樣不放回抽樣:第一次取一球不放回第一次取一球不放回,第二次從剩余的球中再取一球第二次從剩余的球中再取一球. 試分別就上面兩種情況求試分別就上面兩種情況求:（1）取到的兩只球都是白球的概率；）取到的兩只球都是白球的概率；（2）取到的兩只球顏色相同的概率；）取到的兩只球顏色相同的概率；（3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。解解: (a) 放回抽樣放回抽樣:設(shè)設(shè) A=取到的兩只球都是白球取到的兩只球都是白球 B=取到的兩只球都是紅球取到的兩只球都是紅球 C=取到的兩球中至少有一只白球取到的兩球中至少有一只白球 D=取到

44、的兩只球顏色相同取到的兩只球顏色相同則顯然有則顯然有 ,BAD BC 943616)( AP91364)( BP又因又因 , AB從而有從而有 )()(BAPDP )()(BPAP 95 )(1)()(BPBPCP 98 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例2 一口袋裝有一口袋裝有6只球只球,其中其中4只白球只白球,2只紅球只紅球.從袋中取球兩次從袋中取球兩次,每次隨每次隨機(jī)地取一只機(jī)地取一只.考慮兩種取球方式：考慮兩種取球方式：(a) 放回抽樣放回抽樣:第一次取一只第一次取一只,觀其顏色后放回觀其顏色后放回,攪勻后再取一只攪勻后再取一只.(b) 不放回抽樣不放回抽樣:第一次取一球不放回第一次取一球不

45、放回,第二次從剩余的球中再取一球第二次從剩余的球中再取一球. 試分別就上面兩種情況求試分別就上面兩種情況求:（1）取到的兩只球都是白球的概率；）取到的兩只球都是白球的概率；（2）取到的兩只球顏色相同的概率；）取到的兩只球顏色相同的概率；（3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。解解: (b) 不放回抽樣不放回抽樣: 從袋中任取兩球從袋中任取兩球,總的取法為總的取法為 3056 設(shè)設(shè) A=取到的兩只球都是白球取到的兩只球都是白球 B=取到的兩只球都是紅球取到的兩只球都是紅球 C=取到的兩球中至少有一只白球取到的兩球中至少有一只白球 D=取到的兩只球顏色相

46、同取到的兩只球顏色相同則顯然有則顯然有 ,BAD 取到的兩只球都是白球的取法為取到的兩只球都是白球的取法為 1234 于是于是 523012)( AP取到的兩只球都是紅球的取法為取到的兩只球都是紅球的取法為 212 151302)( BPBC 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例2 一口袋裝有一口袋裝有6只球只球,其中其中4只白球只白球,2只紅球只紅球.從袋中取球兩次從袋中取球兩次,每次隨每次隨機(jī)地取一只機(jī)地取一只.考慮兩種取球方式：考慮兩種取球方式：(a) 放回抽樣放回抽樣:第一次取一只第一次取一只,觀其顏色后放回觀其顏色后放回,攪勻后再取一只攪勻后再取一只.(b) 不放回抽樣不放回抽樣:第一次取一

47、球不放回第一次取一球不放回,第二次從剩余的球中再取一球第二次從剩余的球中再取一球. 試分別就上面兩種情況求試分別就上面兩種情況求:（1）取到的兩只球都是白球的概率；）取到的兩只球都是白球的概率；（2）取到的兩只球顏色相同的概率；）取到的兩只球顏色相同的概率；（3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。解解: (b) 不放回抽樣不放回抽樣:設(shè)設(shè) A=取到的兩只球都是白球取到的兩只球都是白球 B=取到的兩只球都是紅球取到的兩只球都是紅球 C=取到的兩球中至少有一只白球取到的兩球中至少有一只白球 D=取到的兩只球顏色相同取到的兩只球顏色相同則顯然有則顯然有 ,

48、BAD 523012)( AP151302)( BP又因又因 , AB從而有從而有 )()(BAPDP )()(BPAP 157 )(1)()(BPBPCP 1514 BC 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)n1010= =3 3 4 4有有種種取取法法; ;1 1例例3 3有有1010個外觀相同的電阻，其電阻分別是個外觀相同的電阻，其電阻分別是1 1歐、歐、2 2歐、歐、1010歐歐. .現(xiàn)從中任意取出現(xiàn)從中任意取出3 3個，希望一個電阻值小于個，希望一個電阻值小于5 5歐，一個等于歐，一個等于5 5歐歐, ,一個大于一個大于5 5歐，問一次抽取就能達(dá)到要求的概率歐，問一次抽取就能達(dá)到要求的概率. .

49、解：樣本點(diǎn)為從解：樣本點(diǎn)為從1010個不同電阻中任取三個的組合個不同電阻中任取三個的組合樣本空間總數(shù)為樣本空間總數(shù)為計算有利場合數(shù)：計算有利場合數(shù)：有利場合數(shù)為有利場合數(shù)為構(gòu)成一個有利場合可分三個步驟：構(gòu)成一個有利場合可分三個步驟：第一步，從小于第一步，從小于5歐的電阻值中任取出一個，歐的電阻值中任取出一個， 5 5有有種種取取法法; ;1 1有有1 1種種取取法法; ; 4154151111111( )6P A 41541511111110103 3第二步，從等于第二步，從等于5 5歐的電阻值中任取出一個歐的電阻值中任取出一個; ;第三步，從大于第三步，從大于5 5歐的電阻值中任取出一個歐的

50、電阻值中任取出一個; ;廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)16r2345123n-1n例例4 4將將r個球置于個球置于n個箱中（每個球以個箱中（每個球以1/1/n的概率被置入某一的概率被置入某一特定箱中）特定箱中）, ,若若nr, ,試求任一箱內(nèi)的球數(shù)均不超過試求任一箱內(nèi)的球數(shù)均不超過1 1的概率。的概率。解：先計算樣本空間總數(shù)解：先計算樣本空間總數(shù)第一個球置于一箱中，第一個球置于一箱中，共有共有n種放法種放法; ;相繼將每一個球置于一箱中都有相繼將每一個球置于一箱中都有n種放法；種放法；11111111這樣放完這樣放完r個球構(gòu)成一個可能的結(jié)果（樣本點(diǎn)），個球構(gòu)成一個可能的結(jié)果（樣本點(diǎn)），再計算有利場合

51、數(shù)：再計算有利場合數(shù)：第一個球置于一箱中，共有第一個球置于一箱中，共有n種放法種放法; ;第二個球由于不能放到第一個球所在箱，所以只有第二個球由于不能放到第一個球所在箱，所以只有n- -1 1種放法種放法第第r個球不能放到前個球不能放到前r-1-1個球所在箱，所以只有個球所在箱，所以只有n- -r+1 1種放法種放法有利場合數(shù)有利場合數(shù)由乘法原理，由乘法原理，r個球的不同的放法有個球的不同的放法有rnnnn rnArnnn )1()1(rrnnAAP )()!(!rnnnr 于是于是 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型：許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類

52、型： 有有n個人，設(shè)每個人的生日是任一天的概率為個人，設(shè)每個人的生日是任一天的概率為1/365. 1/365. 求這求這n ( (n 365) 365)個人沒有兩個人的生日相同（個人沒有兩個人的生日相同（n人生日互人生日互不相同）的概率不相同）的概率. .人人任一天任一天可計算當(dāng)可計算當(dāng)n=40=40時，時，P0.1090.109我敢打睹，我我敢打睹，我們班至少有兩們班至少有兩人生日在同一人生日在同一天！天！)!(!)(rnnnnAAPrrrn 根據(jù)上公式得根據(jù)上公式得 )!365(365!365nPn 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型：許多表面上提法不同的問

53、題實質(zhì)上屬于同一類型： 有有n個旅客，乘火車途經(jīng)個旅客，乘火車途經(jīng)N個車站，設(shè)每個人在每站下車個車站，設(shè)每個人在每站下車的概率為的概率為1/ N(N n) ，求指定的，求指定的n個站各有一人下車的概率個站各有一人下車的概率. .旅客旅客車站車站 某城市每周發(fā)生某城市每周發(fā)生7 7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同. . 求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率. .車禍車禍天天)!(!)(nNNNNAAPnnnN )!77(7!77)(7777 AAP77!7 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)123k.a+b 例例5 5 袋中有大小相同的袋中有大小相同

54、的 a 個黃球，個黃球，b 個白球現(xiàn)將球從袋中個白球現(xiàn)將球從袋中一一隨機(jī)摸出來，試求第一一隨機(jī)摸出來，試求第 k 次摸出的球是黃球的概率次摸出的球是黃球的概率113a234b2解法一解法一: : 認(rèn)為球是不相同的（可辯的），認(rèn)為球是不相同的（可辯的），黃球編號為黃球編號為1 1 a, ,白球編號為白球編號為1 1 b設(shè)樣本點(diǎn)為：依次取出的設(shè)樣本點(diǎn)為：依次取出的a+b個球的排列個球的排列樣本點(diǎn)總數(shù)為樣本點(diǎn)總數(shù)為: : (a+b)!事件事件A構(gòu)成構(gòu)成A的有利場合分兩步：的有利場合分兩步：從從a個黃球中任取出一個放到第個黃球中任取出一個放到第k個位置，個位置， 有有a種方式種方式113a234b2第

55、第k個位置個位置其余其余ab-1-1個位置是個位置是( (a+b-1)-1)個球的任意排列，個球的任意排列，有有( (a+b-1)!)!種方式種方式13a234b2A的有利場合數(shù)為的有利場合數(shù)為: : a( (a+b-1)!)!1()!()!a abaPabab故故 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 例例5 5 袋中有大小相同的袋中有大小相同的 a 個黃球，個黃球，b 個白球現(xiàn)將球從袋中個白球現(xiàn)將球從袋中一一隨機(jī)摸出來，試求第一一隨機(jī)摸出來，試求第 k 次摸出的球是黃球的概率次摸出的球是黃球的概率事件事件A123k.a+ba ba113a234b2解法二：解法二：認(rèn)為黃球及白球分別是沒有區(qū)別的（不可辯

56、的）認(rèn)為黃球及白球分別是沒有區(qū)別的（不可辯的）總數(shù)：總數(shù)：構(gòu)成構(gòu)成A的有利場合分兩步：的有利場合分兩步：從從a個黃球中任取出一個放到第個黃球中任取出一個放到第k個位置，個位置，有有1種方式種方式113a234b2第第k個位置個位置其余其余ab-1個位置是（個位置是（a-1）個黃球和）個黃球和b個白球的兩類排列，個白球的兩類排列，把依次取出的把依次取出的a+b個球成一列個球成一列樣本點(diǎn)為：兩類元素樣本點(diǎn)為：兩類元素( (a 個黃球和個黃球和b 個白球個白球) ) 的排列的排列11abaaPababa有有 種方式種方式11aba廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例6 6 設(shè)設(shè)100100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中

57、有5 5件次品件次品, ,現(xiàn)從中任意抽出現(xiàn)從中任意抽出3 3件，求件，求恰有恰有2 2件是次品被抽出的概率件是次品被抽出的概率. .解法一：設(shè)樣本點(diǎn)為從解法一：設(shè)樣本點(diǎn)為從100件產(chǎn)品抽出件產(chǎn)品抽出3件的組合件的組合( )MNMknkP ANn正品正品 95M件件次品次品100100件產(chǎn)品件產(chǎn)品A1003總數(shù)：總數(shù)：構(gòu)成構(gòu)成A的有利場合分兩步：的有利場合分兩步：從從5件次品中抽出件次品中抽出2件，件，從從95件正品中抽出件正品中抽出3件件25 種種方方式式95 1種種方方式式59521()1003P A N N件產(chǎn)品件產(chǎn)品次品次品 5件件次品次品 M件件正品正品 N-M廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)

58、例例6 6 設(shè)設(shè)100100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有5 5件次品件次品, ,現(xiàn)從中任意抽出現(xiàn)從中任意抽出3 3件，求件，求恰有恰有2 2件是次品被抽出的概率件是次品被抽出的概率. .這是一種無放回抽樣情形，這是一種無放回抽樣情形，有放回抽樣時有放回抽樣時P(A)=P(A)=？解法二：設(shè)樣本點(diǎn)為從解法二：設(shè)樣本點(diǎn)為從100件產(chǎn)品抽出件產(chǎn)品抽出3件的排列件的排列M件件次品次品A總數(shù)：總數(shù)：構(gòu)成構(gòu)成A的有利場合分兩步：的有利場合分兩步：先確定正品次品的位置先確定正品次品的位置(即兩類元素即兩類元素(一個一個正品和兩個次品正品和兩個次品)的排列問題的排列問題)，正品從正品從95件中取出一件有件中取出一件有

59、32 種種方方式式95種種方方式式395 5 42( )100 99 98P A 123第一件次品從第一件次品從5件中取出一件件中取出一件5種種方方式式第二件次品從第二件次品從4件中取出一件件中取出一件4種種方方式式能用組合能用組合作為樣本作為樣本點(diǎn)嗎？點(diǎn)嗎？正品正品 95100100件產(chǎn)品件產(chǎn)品次品次品 5件件9899100 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例7 在在12000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個數(shù)的整數(shù)中隨機(jī)地取一個數(shù),問取到的整數(shù)既不問取到的整數(shù)既不能被能被6整除整除,又不能被又不能被8整除的概率是多少整除的概率是多少?廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 把把C、C、E、E、I、N、S七個字母分別寫在七

60、張同樣的卡片七個字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，求排列結(jié)果恰好拼成一個取出，并將其按取到的順序排成一列，求排列結(jié)果恰好拼成一個英文單詞的概率：英文單詞的概率：拼成英文單詞拼成英文單詞SCIENCESCIENCE 的情況數(shù)的情況數(shù)( (有利場合數(shù)）為有利場合數(shù)）為故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為： 這個概率很小，這里算出的概率有如下的實際意義：這個概率很小，這里算出的概率有如下的實際意義：如果多次重復(fù)這一抽卡試驗，則我們所關(guān)心的事件在如果多次重復(fù)這