數(shù)字信號處理_3

1、1.時域_離散化_導致頻域周期化；時域周期化導致頻域_離散化_。2.用沖激串( )()TnttnT和有限信號f(t)分別表示周期信號和離散信號3.DFS的公式和含義分別是什么？kkkxX jje )e (de )e (-21 jjkXkx 對于某些滿足條件的非周期序列對于某些滿足條件的非周期序列xk，可以表達為虛指，可以表達為虛指數(shù)序列數(shù)序列 ej k 的線性疊加的線性疊加 不同的序列不同的序列xk對應不同的加權系數(shù)對應不同的加權系數(shù)X(ej ) ，其，其計算表達式為計算表達式為:de )e(21jj2kXkxkkkxXjje )e( 試求序列試求序列 xk=a akuk 的的DTFT。akk

2、kXj0je)e ( 當當|a a|1時，時， 求和不收斂，序列的求和不收斂，序列的DTFT不存在。不存在。 當當|a a|1時，時，ajje11)e(X 定義定義X(ej )的部分和的部分和kNNkNkxXjje )e (kxk若絕對可和絕對可和0)e ()e (limjjNNXX則一致收斂一致收斂2kxk若能量有限能量有限0d)e()e(lim2jjNNXX則均方收斂均方收斂若序列滿足絕對可和，則序列存在若序列滿足絕對可和，則序列存在DTFT若序列滿足能量有限，存在若序列滿足能量有限，存在DTFT。（充分條件）。（充分條件）ccj0 1)e (X DTFTcc)(SakN=10時N=60時

3、)(Sacckkx序列序列 不滿足絕對可和，但能量有限。不滿足絕對可和，但能量有限。序列序列 取不同的取不同的N值時，對應的值時，對應的DTFT如圖所示。如圖所示。)( ),(SaccNkNkkxN例：試求周期為例：試求周期為 2 的單位沖激函數(shù)的單位沖激函數(shù) 的的 IDTFT。)(2de )(21 j2kkx21解：解：de)(21 j2k 該例說明該例說明絕對可和絕對可和與與平方可和平方可和只是只是DTFT存在的存在的充分條件充分條件，不是必要條件。，不是必要條件。)(jjje)e ()e (XX相位譜相位譜 ( ) 的主值的主值(principal value)區(qū)間為區(qū)間為 序列的序列的

4、DTFT X(ej ) 一般為一般為 的復函數(shù)，的復函數(shù)， 可表達為可表達為幅度譜幅度譜和和相位譜相位譜的形式，的形式， 也可表達為也可表達為實部實部和和虛部虛部的形式。的形式。)e (j)e ()e (jjjIRXXX)e (j1DTFT1 Xkx)e (j2DTFT2 Xkx若若)e()e(j2j1DTFT21bXaXkbxkax 則有則有DTFTkx證：kkkxje )e(j X)e( jDTFT Xkx)e ( jDTFTXkx 若若)e ( jDTFT Xkx則則DTFTkxkkkxje )e(j Xkkkxje 當當 xk是是時，由于時，由于xk=x*k，所以有，所以有)e()e(

5、jj XX)(jj)(jje)e(e)e( XX)e()e(jj XX)()()e(j)e()e(j)e(jIjRjIjRXXXX)e()e(jRjR XX)e()e(jIjIXX小小 結結 實數(shù)對稱性實數(shù)對稱性*()()()jjjeX eXeXe 實數(shù)序列的Fourier變換滿足共軛對稱性()()jjX eX e arg()arg()jjX eX e 幅度是的偶函數(shù)幅角是的奇函數(shù)Re()Re()jjX eX e Im()Im()jjX eX e 實部是的偶函數(shù)虛部是的奇函數(shù)2j)e1 (2cos4)e(2jX)(2cos4e2j求序列求序列xk=1,2,1；k=0,1,2的的幅度譜幅度譜和和

6、相位譜相位譜。2jjjee21)e(X024當當x k為實偶對稱序列時，為實偶對稱序列時，由于由于 xk=x* k ，所以，所以)e()e(jj XX)e(j)e()e(j)e(jIjRjIjRXXXX的實偶函數(shù)是 )e ( ; 0)e (jjIXX)e()e(jjXX)e(j)e()e(j)e(jIjRjIjRXXXXX(ej)是 純虛函數(shù), 且為奇對稱當當x k為實奇對稱序列時，為實奇對稱序列時，由于由于xk= x* k ，所以，所以XR(ej)=0;試求序列試求序列yk的的DTFT。DTFTky)e()e(jjXX)e(Im2jjX10 01 kkkkykkaa jjDTFTe11)e

7、(:aaXkukxk解kxkxky2cos21sin2 jaaa)e (ejjDTFTXnkxn )e (e)( jDTFTj00 Xkxk)e (jDTFTXkx 若若則則2/ )ee(jjkkkxky2/)e ()e ()e ()( j)( jjXXY已知已知xk的頻譜如圖所示，試求的頻譜如圖所示，試求yk=xkcos( k)的頻譜。的頻譜。已知已知xk的頻譜如圖所示，試求的頻譜如圖所示，試求yk=xkcos( k)的頻譜。的頻譜。)(e)e (jjDTFTHXkhkx d)e ()e (21)( jjDTFT HXkhkxd)e (212j2Xkxk 序列時域的能量等于頻域的能量序列時域

8、的能量等于頻域的能量*2kxkxkxkk證明證明:*jjde)e(21kkXkxd-e)e(21jj*kkXkxd-e )e(21jj*kkkxXd| )e(|21d)e()e(212jjj*XXX舉例 ,0 | 1kf ka u ka() jF eDTFTf k()jF ed 2()jF ed 已知序列 ，它的傅里葉變換 ，則_；_。2221 anNkxkxnN 是周期為是周期為N的序列的序列:nNNkxNkxnN證) 1(NnkxnkxNj:DTFT (e) X問題 序列的是為連續(xù)變量的函數(shù)可否利用其樣點序列表達X(ej)? xk+3-4 -3 -2 -1012345671221 x k

9、-4 -3 -2 -1012345671221 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 4kx xk-3-4 -3 -2 -1012345671221-4 -3 -2 -1012345672222222222223kx 當當序列長度序列長度不超過不超過N時時,周周期化后的序列和原序列一個周期化后的序列和原序列一個周期內(nèi)的值相同。期內(nèi)的值相同。 當當序列長度序列長度超過超過N時，周時，周期化后的序列會出現(xiàn)混疊期化后的序列會出現(xiàn)混疊(aliasing)。2jj2 (e) emnNmnNX mXx nZrNkrNkn, 1, 1 , 0, 令)

10、(10rNkmNrNkWrNkxmXmkNNNkWkx10)(DFS)e (2jkxmXXNmN)(DFS)e(2jkxXNmNX(ej )在頻域的離散化導致對在頻域的離散化導致對應的時域序列應的時域序列xk的周期化的周期化.x(t)在時域的離散化導致對應在時域的離散化導致對應的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)X(jw w)的周期化的周期化. 和和為利用數(shù)字化方為利用數(shù)字化方式分析和處理信號奠定了理論基礎。式分析和處理信號奠定了理論基礎。)(kxtx時域抽樣 nTnXTX)2j (1)j (w周期化CTFTDTFT)e (jmXX頻域抽樣 nnNkxkx周期化IDTFTIDFS已知有限序列已知有限序列xk=

11、-1,-1, 4, 3； k= 0,1,2,3，序，序列列xk的的DTFT為為X(ej )。記。記X(ej )在在 =2 m/3;m=0,1,2的取樣值為的取樣值為Xm，求，求IDFTXm 。IDFTXm =xk+xk+3 =2, -1, 4; k=0,1,2 X(ej )在頻域的離散在頻域的離散化導致對應的時域序列化導致對應的時域序列xk的周期化的周期化.)(jjje)e ()e (DTFTHHkh:)e(jH: )(離散系統(tǒng)的頻率響應定義為:頻響反映了系統(tǒng)對激勵中各頻響反映了系統(tǒng)對激勵中各頻率頻率分量的分量的幅度幅度和和相位相位影響。影響。e)(jnhnknejkhkykeejjnhnnk

12、)e(ejjHk)e (eejj系統(tǒng)LTIjHkkxk=ejk; (k) 稱為單頻信號稱為單頻信號 余弦序列通過LTI系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應 當系統(tǒng)輸入為余弦序列時，則輸出當系統(tǒng)輸入為余弦序列時，則輸出為為同頻率同頻率的余弦序列，其幅度受頻率響的余弦序列，其幅度受頻率響應幅度應幅度 H(ej )|加權影響，而輸出的相位加權影響，而輸出的相位則為輸入相位與系統(tǒng)響應相位之和。則為輸入相位與系統(tǒng)響應相位之和。0cos()k?000 |() |cosarg()jjy kH ekH e推 導 過 程0001cos2jkjkjjke eee 000()1122jjkjkjH ejje ee eH e j ke()

13、j kjeH e()jH e000()1122jjkjkjH ejjeeeeH e 00001 ()()2jjkjjkjjy kH ee eH eee 00001 ()()2jjkjjkjjy kH ee eH eee hk是實序列，故滿足共軛對稱條件：是實序列，故滿足共軛對稱條件：00()*()jjH eHe H(ej 0) 的幅度偶對稱，相角奇對稱的幅度偶對稱，相角奇對稱00|() | |() |jjH eH e 00arg()arg()jjH eH e 000000(arg()(arg()1 |() |() |2jjjjH ekjjH eky kH eeH ee 000|() |cosa

14、rg()jjH ekH e已知一離散已知一離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的hk=(0.5)kuk， 輸入輸入 xk=cos(0.5 k)，( k)求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。jje5 . 011DTFT)e ( :khH解j5 . 011)e(5 . 0jH4636. 0 je8944. 0)4636. 05 . 0cos(8944. 0kky舉 例 已知系統(tǒng)函數(shù):(1)( )(0.4)(0.6)z zH zzz如果輸入序列為： 12cos2f kk則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出yk: _0 12cos22f kk 解：100cos2k021jjee00000(1)22()(0.4)(0.6)(10.4)(1

15、0.6)0.24jjjjjeeH eee100cos2k0025|()|arg()0;3jjH eH e000 |() |cosarg()jjy kH ekH ede)e(21jjkTXkxTkyde)e()e(21jjjkHX)e ()e ()e (jjjXHYde)e(21jjkXkx由于存在由于存在)e (eejj系統(tǒng)LTIjHkk所以有所以有 線性相位系統(tǒng)的定義線性相位系統(tǒng)的定義： k0 設輸入序列為設輸入序列為nknnckxje信號通過線性相位系統(tǒng)的響應信號通過線性相位系統(tǒng)的響應kknnnnnHckyjjjee)e(0)(jj0e)e(kknnnnHc)(jjje)e()e(HHmk

16、NNmmXNkx2j10e 1e12j10mkNNmTmXNkxTkymkNmNNmHmXN2j2j10e )e (1由于存在由于存在)e (ee2j2j系統(tǒng)LTI2jmNkmNkmNH所以有所以有knknknnnhnhjj1jjee ee 信號信號xk=ej kuk通過系統(tǒng)的響應通過系統(tǒng)的響應)(je nkknnhkyknknnhjjee 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(steady-state response)kHkyjjsre )e ( 系統(tǒng)的瞬態(tài)響應系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(transient response)knknnhkyjj1tree e 1)(j1trnhnhkyknnkkn 對于對于

17、BIBO穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng) 對于對于hk的非零范圍為的非零范圍為0 k N 1 的的FIR系統(tǒng)系統(tǒng)當當k N 1時，時，0trkky0trkky系統(tǒng)的相位延遲系統(tǒng)的相位延遲)()(p系統(tǒng)的群延遲系統(tǒng)的群延遲 g( ) (group delay)d)(d)(g輸入序列輸入序列xk= dkcos( c k)通過通過LTI系統(tǒng)的響應系統(tǒng)的響應)(cos)(cpccgkkdky理想低通濾波器理想低通濾波器理想高通濾波器理想高通濾波器理想帶通濾波器理想帶通濾波器理想帶阻濾波器理想帶阻濾波器 已知輸入信號為角頻率分別為已知輸入信號為角頻率分別為0.1和和0.4的離散正弦的離散正弦信號。信號。 設計簡單設計簡單, 濾除低頻分量，保留高頻分量。濾除低頻分量，保留高頻分量。aa2jjjee)e(Haj2je)e1 (aje)cos2(群延遲群延遲:1)( 為了濾除低頻分量，保留高頻分量則要求為了濾除低頻分量，保留高頻分量則要求01 . 0cos2a14 . 0cos2a假設該假設該DF是一個具有如下形式的長度為是一個具有如下形式的