正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法

1、第二節(jié)第二節(jié)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法 第十二章 如果級(jí)數(shù) 1nnunuuu21滿足條件：,),2, 1(0nun稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。,011us212uus1u3213uuus21uu ,1s2snnsssss13210一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法數(shù)列極限存在準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限定理定理 1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂部分和序列nS),2, 1(n有界 .部分和數(shù)列部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列. .ns. 211211211211 121收斂證明級(jí)數(shù)例nnn證明:這是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，其部分和為:nns2112112112

2、故sn有界，所以原級(jí)數(shù)收斂.n21212121211 n定理定理2 (比較審斂法) 設(shè) 和 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)， 且), 2 , 1( nvunn1nnv1nnu(1) 級(jí)數(shù) 收斂，則級(jí)數(shù) 收斂；(2) 級(jí)數(shù) 發(fā)散，則級(jí)數(shù) 發(fā)散.1nnv1nnu1nnu1nnvnnnnnuuussnu211 ,即：項(xiàng)和是的前證明：設(shè)nnnnnvvvnv211,即：項(xiàng)和是的前設(shè)(1,2,)nnnnuvsn即即: 大的收斂, 小的一定收斂; 小的發(fā)散, 大的一定發(fā)散. （1）若 1nnv則由定理1知,n有界因此ns所以級(jí)數(shù) 1nnu（2）若則由定理1知, ,ns無界因此所以級(jí)數(shù) 1nnu 1nnvn收斂，也有界，收斂；

3、發(fā)散，也無界，發(fā)散；(1,2,)nnnnuvsn推論：推論： 如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu1nnv(0,)nnukvknN,則定理2中的結(jié)論仍和從某項(xiàng)N之后滿足關(guān)系式:成立。例例2. 討論 p 級(jí)數(shù)pppn131211(常數(shù) p 0)的斂散性. 解解: 1) 若, 1p因調(diào)和級(jí)數(shù)11nn所以p 級(jí)數(shù)11npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn1由比較審斂法可知：, 1p因?yàn)楫?dāng)nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp時(shí),2) 若考慮級(jí)數(shù)1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故級(jí)數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級(jí)數(shù)收斂 .1) 1(

4、11pn11111) 1(113121211pppppnn1nnppxnn1d11111) 1(111ppnnpnnpxx1d1 結(jié)論：結(jié)論：p 級(jí)數(shù)當(dāng) p 1 時(shí)收斂；當(dāng) p 1 時(shí)發(fā)散。1 p（2） 時(shí)，時(shí)， ppppn14131211 )15181()71615141()3121(1pppppppp )8181()41414141()2121(1pppppppp 1118141211ppp幾何級(jí)數(shù)，幾何級(jí)數(shù)，收斂。收斂。 設(shè)收斂于設(shè)收斂于S。S 由定理由定理1知，此時(shí)知，此時(shí)P-級(jí)數(shù)收斂。級(jí)數(shù)收斂。S 1211 pq公比公比 ，法二調(diào)和級(jí)數(shù)與 p 級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).,1) 1(n

5、un, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu. 是發(fā)散的證明級(jí)數(shù)如1) 1(1nnn2 (1)(1)n nn證明：11) 1(1nnn113121111nnn而級(jí)數(shù)是發(fā)散的；比較審斂法的不便比較審斂法的不便: : 須有參考級(jí)數(shù)須有參考級(jí)數(shù). . 由比較判別法可知，所給級(jí)數(shù)也發(fā)散.解：解：,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n, 03sin n ,sinxx sin,33nn例例3. 判別級(jí)數(shù) 13sin2nnn 的收斂性。所以所以原級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。,20時(shí)又當(dāng) x取2 sin3nnnu23nn2( )3nnv而 1nnv 1)32(nn 是收斂的幾何級(jí)數(shù)，所以， 1nnu 13sin2nnn

6、是收斂的。例例4 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) 的斂散性。的斂散性。 11nnn解解 11nnn nnn1121 n n212121211432即即而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù) 收斂，收斂， 1121nn故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) 收斂。收斂。 11nnnlimnnnuv0,收斂和 有相同的斂散性。(0),ll 收斂; ,發(fā)散發(fā)散; 注意：若lim0,nnnuv1nnv且發(fā)散，1nnu則不一定發(fā)散。定理定理3. .(比較審斂法的極限形式),1nnu1nnv設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu1nnu1nnv1nnv1nnv1nnu本質(zhì)：本質(zhì)：比較兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)作為無窮小量的階0lim) 1 (nnnvu由, 0對(duì)于,N ,

7、時(shí)當(dāng)Nn nnvu)(Nnvunn即由比較審斂法由比較審斂法, , 得證得證. .證明證明lvunnnlim)2(由, 02l對(duì)于,N,時(shí)當(dāng)Nn 22llvullnn)(232Nnvluvlnnn即由比較審斂法由比較審斂法, 得證得證.nnnvulim)3(由0limnnnuv則有假設(shè)假設(shè) 收斂，收斂， 1nnu由（由（2 2）知）知 收斂，收斂， 1nnv與與 發(fā)散矛盾。發(fā)散矛盾。 1nnv故故 發(fā)散。發(fā)散。 1nnu的斂散性. 1limsinnnn例例5. 判別級(jí)數(shù)11sinnn的斂散性 .解解: 1sinlim1nnn sin1nn11根據(jù)比較審斂法的極限形式知.1sin1發(fā)散nn例例6

8、. 判別級(jí)數(shù)1211lnnn解解:limn221ln1lim1nnn1由比較審斂法的極限形式知.11ln12收斂nn)1ln(21n21n2n211lnn,11sinnn 11nn且發(fā)散，發(fā)散，發(fā)散11sinnn正確嗎？ 解：解：23lnnnun取例例7：判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù) 123lnnnn的收斂性。的收斂性。,145nvn又取收斂收斂且且nnnvu lim4541lnnnn 45411lnnnn 11451nnnnv則41lnlimnnn 41lnlimxxx 414limxx 0 由比較判別法的極限形式知，由比較判別法的極限形式知， 1123lnnnnnnu收斂。收斂。limnnnuv0,收

9、斂和 有相同的斂散性。(0),ll 收斂; ,發(fā)散發(fā)散; 1nnu1nnu1nnv1nnv1nnv1nnu(1)特別取,1pl0收斂nu則收斂，若limlim,nnnpnnn uulvlimlim0nnnnnnuulv (2)取1,nnv 則發(fā)散，若（或?yàn)? ）發(fā)散1nnv11nnnu,1pnnv 1nnv11pnn 推論推論(極限審斂法) 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù),(1)若 ，則級(jí)數(shù) 發(fā)散;1nnu1nnu)lim(0limnnnnnulnu或1nnu)0(limllunnpn(2)如果p1，而 ，則級(jí)數(shù) 收斂.例如例如. 級(jí)數(shù)11(1cos) ,nnn1(1cos)nunn211()2nunn 當(dāng)n

10、 時(shí)，2212nn32limnnn u32221lim2nnnn2,2故所給級(jí)數(shù)收斂（1 1）使用比較審斂法（包括推論或極限形式），需選取一個(gè)適當(dāng)?shù)摹⑹諗啃詾橐阎募?jí)數(shù)作為比較對(duì)象。（2 2）常用的比較對(duì)象有：等比級(jí)數(shù)、P - 級(jí)數(shù)和調(diào)和級(jí)數(shù)。（3 3）比較對(duì)象的選取有時(shí)比較困難。說明：說明：nnnuu1lim由定理定理4 . 比值審斂法 ( Dalembert 判別法)設(shè) nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且,lim1nnnuu則(1) 當(dāng)1(2) 當(dāng)1證證: (1),1時(shí)當(dāng)11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收斂 ,.收斂nu時(shí), 級(jí)數(shù)收斂 ;或時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散 .,ZN知存在,時(shí)

11、當(dāng)Nn k)(由比較審斂法可知（3）當(dāng)）當(dāng) = 1 時(shí)，時(shí)，不能用此法判定級(jí)數(shù)的斂散性。,1時(shí)或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散.Nn 當(dāng)時(shí)nnuu11nuNu1lim1nnnuu說明說明: 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如例如, , p 級(jí)數(shù):11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但, 1p級(jí)數(shù)收斂 ;, 1p級(jí)數(shù)發(fā)散 .從而(2) 當(dāng),232) 1(2nnnnnvu例,2) 1(211收斂級(jí)數(shù)nnnnnu,) 1(2(2) 1(211nnnnnauu但,61lim2nna,23lim12nna.limlim1不存在nnnnna

12、uu注意注意: 比較判別法與比值判別法常結(jié)合使用例例8. 判定級(jí)數(shù)21cos32nnnn解：解：因?yàn)?cos32nnnnunn2 nv 1limnnnvv112lim2nnnnn1lim2nnn121 所以1nnv故211cos32nnnnnnu的收斂性收斂，收斂。 比值審斂法的優(yōu)點(diǎn)：比值審斂法的優(yōu)點(diǎn)：無須尋找比較對(duì)象，直接利用級(jí)數(shù)自身的一般項(xiàng)，因此使用直觀方便。例例9. 判定級(jí)數(shù)12)12(1nnn解：解： nnuu1)1(2)12(2)12( nnnn)11()12()12(nnn nnnuu1lim )11()12()12(limnnnn 1122 比值判別法失效，需改用其它方法來判別。

13、比值判別法失效，需改用其它方法來判別。的收斂性。1(21) 2nunn例例9. 判定級(jí)數(shù) 12)12(1nnn,122nnn 由由于于212)12(1nnn 有有所所以以的收斂性。1,(21)2nunn解：解： 121nn而級(jí)數(shù)由比較判別法知 12)12(1nnn也是收斂的。是 p = 2 的 p 級(jí)數(shù)，是收斂的， 注意：當(dāng)某個(gè)判別法失效時(shí)，不要盲目下結(jié)論，此時(shí)要改用其它方法進(jìn)一步判別。 limn例例10. 討論級(jí)數(shù))0(11xxnnn的斂散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根據(jù)定理4可知:,10時(shí)當(dāng) x級(jí)數(shù)收斂 ;,1時(shí)當(dāng) x級(jí)數(shù)發(fā)散 ;.1發(fā)散級(jí)數(shù)nn,1時(shí)當(dāng) x

14、1nnu(2)當(dāng) 1 (或?yàn)?) 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng) = 1 時(shí),不能用此法判定級(jí)數(shù)的收斂性。 同比值審斂法一樣，根值審斂法也有使用直觀方便 的優(yōu)點(diǎn)； 比值審斂法與根值審斂法均要求所用到的極限存在， 且不等于1。定理定理5. 根值審斂法 ( Cauchy判別法) 設(shè) 1nnu為正項(xiàng)級(jí),limnnnu則;,1) 1(級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng) 數(shù), 且 根值審斂法適用于通項(xiàng)含有n次冪；例例11. 判定下列級(jí)數(shù)的收斂性。 12)1(2)1(nnn解：解：因?yàn)?2)1(2nnnu nnnu lim2) 1(2limnnn 所以由根值判別法知，級(jí)數(shù)收斂nnn13) 1(21 133lim01 nn由兩邊夾法則1

15、) 1(2lim nnn21 12)1(2nnn 1)1(3)2(nnnnn解：解：因?yàn)?)1(3nnnnnu nnnu lim)1 (3limnnnn 所以根值判別法失效1 nnu limnnnnn)1 (3lim nnn)11 (1lim3 e3 0 所以所給級(jí)數(shù)發(fā)散。例例11. 判定下列級(jí)數(shù)的收斂性。比值判別法與根值判別法的比較：比值判別法與根值判別法的比較：（1）適用對(duì)象）適用對(duì)象若一般項(xiàng)若一般項(xiàng)nu中含有因子中含有因子, !n則一般考慮用比值法，則一般考慮用比值法，若一般項(xiàng)若一般項(xiàng)nu中含有因子中含有因子,nn則一般考慮用根值法，則一般考慮用根值法，（2）適用范圍）適用范圍若用根值法

16、失效，即若用根值法失效，即, 1lim nnnu則用比值法也則用比值法也一定失效，即此時(shí)必有一定失效，即此時(shí)必有, 1lim1 nnnuu反之不成立。反之不成立。（3）一般來說，比值法運(yùn)算簡單，根值法適用范圍大。）一般來說，比值法運(yùn)算簡單，根值法適用范圍大。例例12：判定級(jí)判定級(jí)數(shù)數(shù))0(!1 annannn解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)? 0! nnnnnaunnnuu1lim 11) 1(! ) 1(lim nnnnna且含有因子且含有因子, !n!nannn 1) 1() 1(lim nnnnnnannnna)1(lim nnna)11 (1lim ea （1）當(dāng)）當(dāng) 0 a e ，時(shí)，時(shí)， 所給級(jí)數(shù)

17、發(fā)散；所給級(jí)數(shù)發(fā)散；例例12：判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù))0(!1 annannn解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)? 0! nnnnnau且含有因子且含有因子, !nnnnuu1lim nnna)11 (1lim ea 的收斂性。的收斂性。（3）當(dāng)）當(dāng) a = e ，時(shí)，時(shí)，nnuu1 nne)11 ( ,1 ,1nnuu , 0lim nnu所以所給級(jí)數(shù)發(fā)散。所以所給級(jí)數(shù)發(fā)散。)11 ( (enn 例例13. 證明0!lim nnnn證明：證明：nnnuu1lim 1) 1(! ) 1(lim nnnn考察級(jí)數(shù)!nnn 1) 1() 1(lim nnnnnnnnnn)1(lim nnn)11 (1lim 11 e所以所考察級(jí)數(shù)收斂；,!1 nnnn,!nnnnu 因此，