經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)小抄3-2（線性代數(shù)完整版電大小抄）-2011電大專(zhuān)科考試小抄

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性代數(shù) 一、單項(xiàng)選擇題1設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則下列運(yùn)算中（ A ）可以進(jìn)行. AAB BABT CA+B DBAT 2設(shè)為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ B ）A. B. C. D. 3設(shè)為同階可逆方陣，則下列說(shuō)法正確的是（D ）A. 若AB = I，則必有A = I或B = I B.C. 秩秩秩 D. 4設(shè)均為n階方陣，在下列情況下能推出A是單位矩陣的是（ D ） A B C D5設(shè)是可逆矩陣，且，則（C ）.A. B. C. D. 6設(shè)，是單位矩陣，則 （ D ） A B C D7設(shè)下面矩陣A, B, C能進(jìn)行乘法運(yùn)算，那么（ B ）成立.AAB = AC，A 0，則B

2、 = C BAB = AC，A可逆，則B = C CA可逆，則AB = BA DAB = 0，則有A = 0，或B = 08設(shè)是階可逆矩陣，是不為0的常數(shù)，則（ C ） A. B. C. D. 9設(shè)，則r(A) =（ D ） A4 B3 C2 D1 10設(shè)線性方程組的增廣矩陣通過(guò)初等行變換化為，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為（ A ） A1 B2 C3 D4 11線性方程組 解的情況是（ A ）A. 無(wú)解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有無(wú)窮多解 12若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)（A）時(shí)線性方程組無(wú)解A B0 C1 D213 線性方程組只有零解，則（ B ）.A. 有唯一

3、解 B. 可能無(wú)解 C. 有無(wú)窮多解 D. 無(wú)解14設(shè)線性方程組AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則該線性方程組（ B ） A有唯一解 B無(wú)解 C有非零解 D有無(wú)窮多解15設(shè)線性方程組有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組（ C ） A無(wú)解 B有非零解 C只有零解 D解不能確定16設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則下列運(yùn)算中（ A ）可以進(jìn)行.AAB BABT CA+B DBAT17設(shè)為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ B ）A. B. C. D. 18設(shè)為同階可逆方陣，則下列說(shuō)法正確的是（D ）A. 若AB = I，則必有A = I或B = I B.C. 秩秩秩 D. 19設(shè)均為n階方陣

4、，在下列情況下能推出A是單位矩陣的是（ D ）A B C D20設(shè)是可逆矩陣，且，則（C ）.A. B. C. D. 21設(shè)，是單位矩陣，則 （ D ）A B C D22設(shè)下面矩陣A, B, C能進(jìn)行乘法運(yùn)算，那么（ B ）成立.AAB = AC，A 0，則B = C BAB = AC，A可逆，則B = CCA可逆，則AB = BA DAB = 0，則有A = 0，或B = 023若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)（D）時(shí)線性方程組有無(wú)窮多解A1 B C2 D 24 若非齊次線性方程組Amn X = b的( C )，那么該方程組無(wú)解A秩(A) n B秩(A)m C秩(A） 秩 () D秩(A）=

5、秩()25線性方程組 解的情況是（ A ）A. 無(wú)解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有無(wú)窮多解26 線性方程組只有零解，則（B ）.A. 有唯一解 B. 可能無(wú)解 C. 有無(wú)窮多解 D. 無(wú)解27設(shè)線性方程組AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則該線性方程組（ B ）A有唯一解 B無(wú)解 C有非零解 D有無(wú)窮多解28設(shè)線性方程組有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組（ C ）A無(wú)解 B有非零解 C只有零解 D解不能確定30. 設(shè)A, B均為同階可逆矩陣, 則下列等式成立的是( B ). A. (AB)T = ATBT B. (AB)T = BTAT C. (AB T)-1 =

6、A-1(BT)1 D. (AB T)-1 = A-1(B1) T 解析：(AB )-1B-1 A-1(AB)T = BTAT故答案是B31. 設(shè)A= (1 2), B= (-1 3), E是單位矩陣, 則ATB E ( A ). A. B. C. D. 解析：ATB E32. 設(shè)線性方程組AX = B的增廣矩陣為, 則此線性方程組一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為( A ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：33. 若線性方程組的增廣矩陣為(A, B)=, 則當(dāng)(D)時(shí)線性方程組有無(wú)窮多解. A. 1 B. 4 C. 2 D. 解析： 34. 線性方程組 解的情況是( A ). A. 無(wú)解

7、B. 只有零解 C. 有惟一解 D. 有無(wú)窮多解解析：35. 以下結(jié)論或等式正確的是（ C ） A若均為零矩陣，則有B若，且，則 C對(duì)角矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣 D若，則 36. 設(shè)為矩陣，為矩陣，且乘積矩陣有意義，則為（ A ）矩陣 A B C D 37. 設(shè)均為階可逆矩陣，則下列等式成立的是（C ） A， B C D 38. 下列矩陣可逆的是（ A ） A B C D 39. 矩陣的秩是（ B ） A0 B1 C2 D3 二、填空題1兩個(gè)矩陣既可相加又可相乘的充分必要條件是 與是同階矩陣2計(jì)算矩陣乘積=43若矩陣A = ，B = ，則ATB=4設(shè)為矩陣，為矩陣，若AB與BA都可進(jìn)行運(yùn)算，則有關(guān)系式

8、5設(shè)，當(dāng) 0 時(shí)，是對(duì)稱(chēng)矩陣.6當(dāng) 時(shí)，矩陣可逆.7設(shè)為兩個(gè)已知矩陣，且可逆，則方程的解 8設(shè)為階可逆矩陣，則(A)= n 9若矩陣A =，則r(A) = 2 10若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則線性方程組AX = b無(wú)解11若線性方程組有非零解，則-112設(shè)齊次線性方程組，且秩(A) = r n，則其一般解中的自由未知量的個(gè)數(shù)等于 n-r 13齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為 (其中是自由未知量) 14線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為則當(dāng) =-1 時(shí)，方程組有無(wú)窮多解.15若線性方程組有唯一解，則只有0解 . 16兩個(gè)矩陣既可相加又可相乘的充分必要條件是 .

9、 答案：同階矩陣17若矩陣A = ，B = ，則ATB=答案18設(shè)，當(dāng) 時(shí)，是對(duì)稱(chēng)矩陣. 答案：19當(dāng) 時(shí)，矩陣可逆. 答案：20設(shè)為兩個(gè)已知矩陣，且可逆，則方程的解答案：21設(shè)為階可逆矩陣，則(A)= 答案：22若矩陣A =，則r(A) = 答案：223若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則線性方程組AX = b答案：無(wú)解24若線性方程組有非零解，則答案：25設(shè)齊次線性方程組，且秩(A) = r n，則其一般解中的自由未知量的個(gè)數(shù)等于答案：26齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為 .答案： (其中是自由未知量)27線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為則當(dāng) 時(shí)，方程組有無(wú)窮

10、多解. 答案：28. 計(jì)算矩陣乘積= 4 . 29. 設(shè)A為階可逆矩陣, 則(A)= n . 30. 設(shè)矩陣A =, E為單位矩陣, 則(E A) T= 31. 若線性方程組有非零解, 則 1 . 32. 若線性方程組AX=B(B O)有惟一解, 則AX=O無(wú)非零解 .33.設(shè)矩陣，則的元素.答案：334.設(shè)均為3階矩陣，且，則=. 答案：35. 設(shè)均為階矩陣，則等式成立的充分必要條件是 .答案：36. 設(shè)均為階矩陣，可逆，則矩陣的解.答案：37. 設(shè)矩陣，則.答案：三、計(jì)算題 1設(shè)矩陣，求1解 因?yàn)?= =所以 = 2設(shè)矩陣 ，計(jì)算 2解：= = = 3設(shè)矩陣A =，求 3解 因?yàn)?(A I

11、 )= 所以 A-1 = 4設(shè)矩陣A =，求逆矩陣 4解 因?yàn)?A I ) = 所以 A-1= 5設(shè)矩陣 A =，B =，計(jì)算(AB)-1 5解 因?yàn)锳B = (AB I ) = 所以 (AB)-1= 6設(shè)矩陣 A =，B =，計(jì)算(BA)-1 6解 因?yàn)锽A= (BA I )= 所以 (BA)-1= 7解矩陣方程7解 因?yàn)?即 所以，X = 8解矩陣方程. 8解：因?yàn)?即 所以，X = 9設(shè)線性方程組 討論當(dāng)a，b為何值時(shí)，方程組無(wú)解，有唯一解，有無(wú)窮多解. 9解 因?yàn)?所以當(dāng)且時(shí)，方程組無(wú)解； 當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解； 當(dāng)且時(shí)，方程組有無(wú)窮多解. 10設(shè)線性方程組 ，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的

12、秩，并判斷其解的情況. 10解 因?yàn)?所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因?yàn)閞(A) r()，所以方程組無(wú)解. 11求下列線性方程組的一般解： 11解 因?yàn)橄禂?shù)矩陣 所以一般解為 （其中，是自由未知量） 12求下列線性方程組的一般解： 12解 因?yàn)樵鰪V矩陣 所以一般解為 （其中是自由未知量） 13設(shè)齊次線性方程組問(wèn)l取何值時(shí)方程組有非零解，并求一般解. 13解 因?yàn)橄禂?shù)矩陣 A = 所以當(dāng)l = 5時(shí)，方程組有非零解. 且一般解為 （其中是自由未知量） 14當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組 有解？并求一般解.14解 因?yàn)樵鰪V矩陣 所以當(dāng)=0時(shí)，線性方程組有無(wú)窮多解，且一般解為： 是自由未知量1

13、5已知線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為問(wèn)取何值時(shí)，方程組有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求方程組的一般解.15解：當(dāng)=3時(shí)，方程組有解. 當(dāng)=3時(shí)， 一般解為， 其中, 為自由未知量.16設(shè)矩陣 A =，B =，計(jì)算(BA)-1解 因?yàn)锽A= (BA I )= 17設(shè)矩陣，是3階單位矩陣，求解：由矩陣減法運(yùn)算得 利用初等行變換得即 18設(shè)矩陣，求解：利用初等行變換得即 由矩陣乘法得 19求解線性方程組的一般解 解：將方程組的系數(shù)矩陣化為階梯形一般解為 (是自由未知量) 20求當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的一般解解 將方程組的增廣矩陣化為階梯形所以，當(dāng)時(shí)，方程組有解，且有無(wú)窮多解

14、，答案：其中是自由未知量 21求當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 當(dāng)時(shí)，方程組有解，且方程組的一般解為 其中為自由未知量 22計(jì)算解 =23設(shè)矩陣，求。解 因?yàn)樗裕ㄗ⒁猓阂驗(yàn)榉?hào)輸入方面的原因，在題4題7的矩陣初等行變換中，書(shū)寫(xiě)時(shí)應(yīng)把（1）寫(xiě)成；（2）寫(xiě)成；（3）寫(xiě)成；）24設(shè)矩陣，確定的值，使最小。解：當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值。25求矩陣的秩。解： 。26求下列矩陣的逆矩陣：（1）解： （2）A =解：A-1 = 27設(shè)矩陣，求解矩陣方程解： = 四、證明題1試證：設(shè)A，B，AB均為n階對(duì)稱(chēng)矩陣，則AB =BA1證 因?yàn)锳T = A，BT = B，(AB)T = AB 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 2試證：設(shè)是n階矩陣，若= 0，則2證 因?yàn)?= = 所以 3已知矩陣 ，且，試證是可逆矩陣，并求. 3. 證 因?yàn)?，且，即，得，所以是可逆矩陣，? 4. 設(shè)階矩陣滿(mǎn)足，證明是對(duì)稱(chēng)矩陣.4. 證 因?yàn)?=所以是對(duì)稱(chēng)矩陣.5設(shè)A，B均