張量基本入門分析

1、大連理工大學(xué)大連理工大學(xué) 化工機(jī)械學(xué)院化工機(jī)械學(xué)院12近20年的來(lái)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的發(fā)展，不熟悉張量分析的人閱讀連續(xù)介質(zhì)力學(xué)是很困難的，有時(shí)甚至是不可能的，張量分析已滲入到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中來(lái)。目 錄 引言 張量的基本概念，愛(ài)因斯坦求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分Appendix Au 廣義相對(duì)論（1915）、理論物理u 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)（固體力學(xué)、流體力學(xué)）u 現(xiàn)代力學(xué)的大部分文獻(xiàn)都采用張量表示主要參考書:W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mech

2、anics, Springer, 1972.黃克智等，張量分析，清華大學(xué)出版社，2003.張量基本概念標(biāo)標(biāo) 量量（零階張量）（零階張量）例如：質(zhì)量，溫度例如：質(zhì)量，溫度質(zhì)量密度質(zhì)量密度應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度等等。等等。其值與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)。其值與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)。 1 0 ijijije e張量基本概念矢矢 量量（一階張量）（一階張量）例如：位移，速度，例如：位移，速度，加速度，力，加速度，力，法向矢量法向矢量, ,等等。等等。矢矢 量量（一階張量）（一階張量）矢量矢量u在笛卡爾坐標(biāo)系中分解為在笛卡爾坐標(biāo)系中分解為31 12 23 31iiuuuuiueeee其中其中u1, u2, u3 是是u的

3、三個(gè)分量，的三個(gè)分量，e1, e2, e3是單位基矢量。是單位基矢量。張量基本概念矢矢 量量（一階張量）（一階張量）n既有既有大小大小又有又有方向性方向性的物理量的物理量; ;n其分量與坐標(biāo)系選取有關(guān)，滿其分量與坐標(biāo)系選取有關(guān)，滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系；足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系；n 遵從相應(yīng)的矢量運(yùn)算規(guī)則。遵從相應(yīng)的矢量運(yùn)算規(guī)則。張量基本概念矢矢 量量( (可推廣至張量可推廣至張量) )的三種記法：的三種記法： 實(shí)體記法實(shí)體記法： u 分解式記法分解式記法： 分量記法分量記法：Appendix A.1iu張量基本概念31 12 23 31iiuuuuiueeeeAppendix A.131 1223 31= i

4、iia ba ba baba b張量基本概念指標(biāo)符號(hào)用法1. 三維空間中任意點(diǎn)三維空間中任意點(diǎn) P 的坐標(biāo)（的坐標(biāo)（x, y, z）可縮寫成可縮寫成 xi , 其中其中x1=x, x2=y, x3=z。2. 兩個(gè)矢量?jī)蓚€(gè)矢量 a 和和 b 的分量的的分量的點(diǎn)積點(diǎn)積(或稱或稱數(shù)量積數(shù)量積)為：為： 愛(ài)因斯坦求和約定 如果在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)兩如果在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求次，則表示要把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和。該重復(fù)的指標(biāo)稱為和。該重復(fù)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)啞指標(biāo)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱啞標(biāo)啞標(biāo)。31 1223 3131 1223 31

5、= =iiiiiiiiiiuuuuuaba ba bababueeeeea b張量基本概念 由于由于aibi=biai，即矢量點(diǎn)積的順序可以交換：，即矢量點(diǎn)積的順序可以交換：由于啞標(biāo)由于啞標(biāo) i 僅表示要遍歷求和，故可成對(duì)地任意交僅表示要遍歷求和，故可成對(duì)地任意交換。例如換。例如：只要指標(biāo)只要指標(biāo) j 或或 m 在同項(xiàng)內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍在同項(xiàng)內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍和和 i 相同。相同。 iiaba b = b a =張量基本概念= jjmma ba ba b約定： 如果不標(biāo)明取值范圍，則拉丁指標(biāo)如果不標(biāo)明取值范圍，則拉丁指標(biāo) i, j, k, 表示三維指標(biāo)，取值表示三維指標(biāo)，取值1,

6、2, 3；希臘指標(biāo)希臘指標(biāo), , , 均為二維指標(biāo)，取值均為二維指標(biāo)，取值1, 2。張量基本概念1 1223 31 1223 3= = iikkuuuua baba ba bueeeea b 拉丁指標(biāo)拉丁指標(biāo)1 1221 122= uuua baba bueeea b 希臘指標(biāo)希臘指標(biāo)張量基本概念二階張量二階張量應(yīng)變應(yīng)變 ，應(yīng)力，速度梯度，變形梯度，等。，應(yīng)力，速度梯度，變形梯度，等。三階張量三階張量壓電張量，等。壓電張量，等。四階張量四階張量彈性張量，等。彈性張量，等。張量基本概念二階（或高階）張量的來(lái)源二階（或高階）張量的來(lái)源 描述一些復(fù)雜的物理量需要二階（或高階）張量；描述一些復(fù)雜的物理

7、量需要二階（或高階）張量； 低階張量的梯度；低階張量的梯度； 低階張量的并積；低階張量的并積； 更高階張量的縮并，等。更高階張量的縮并，等。張量基本概念應(yīng)力張量應(yīng)力張量張量基本概念張量的三種記法：張量的三種記法： 實(shí)體記法實(shí)體記法： 分解式記法分解式記法： 分量記法分量記法：ij 張量基本概念11 1 112 1 213 1 321 2 122 2 223 2 331 3 132 3 233 3 3 + + e ee ee ee ee ee ee ee ee e張量基本概念愛(ài)因斯坦求和約定愛(ài)因斯坦求和約定1 12233ijjiiiinnnnT11 11221331nnnT21 12222332

8、nnnT31 13223333nnnT采用指標(biāo)符號(hào)后，線性變換表示為采用指標(biāo)符號(hào)后，線性變換表示為111 11221331221 12222332331 13223333jjjjjjxa xa xa xa xxa xa xa xa xxa xa xa xa x 利用愛(ài)因斯坦求和約定，寫成：利用愛(ài)因斯坦求和約定，寫成：iijjxa x 其中其中 j 是啞指標(biāo)，是啞指標(biāo)，i 是自由指標(biāo)。是自由指標(biāo)。張量基本概念 例如一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來(lái)表示，它是具例如一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來(lái)表示，它是具有二重方向性的二階張量，記為有二重方向性的二階張量，記為 （或（或 ）。）。 矢量和標(biāo)量是特殊的張量

9、，矢量為矢量和標(biāo)量是特殊的張量，矢量為一階張量一階張量，標(biāo)量，標(biāo)量為為零階張量零階張量。Appendix A.1張量基本概念 在表達(dá)式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在表達(dá)式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次則是啞指在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次則是啞指標(biāo)。例：標(biāo)。例：,0ji jif 若若i為自由指標(biāo)為自由指標(biāo),0ji jiif張量基本概念自由指標(biāo)表示：若輪流取該指標(biāo)范圍內(nèi)的任何值，自由指標(biāo)表示：若輪流取該指標(biāo)范圍內(nèi)的任何值，關(guān)系式將始終成立。關(guān)系式將始終成立。例如：表達(dá)式例如：表達(dá)式 在自由指標(biāo)在自由指標(biāo) i 取取1，2，3時(shí)該式始終成立，即

10、有時(shí)該式始終成立，即有iijjxa x 111 11221331221 12222332331 13223333jjjjjjxa xa xa xa xxa xa xa xa xxa xa xa xa x 張量基本概念同時(shí)取值的自由指標(biāo)必須同名，獨(dú)立取值的自由指同時(shí)取值的自由指標(biāo)必須同名，獨(dú)立取值的自由指標(biāo)應(yīng)防止重名。標(biāo)應(yīng)防止重名。 自由指標(biāo)必須整體換名，即把方程或表達(dá)式中出現(xiàn)自由指標(biāo)必須整體換名，即把方程或表達(dá)式中出現(xiàn)的同名自由指標(biāo)全部改成同一個(gè)新名字。的同名自由指標(biāo)全部改成同一個(gè)新名字。,0ji jif,0jk jkfi 換成換成k張量基本概念,0ji jif指標(biāo)符號(hào)也適用于微分和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式

11、。例如，三維指標(biāo)符號(hào)也適用于微分和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。例如，三維空間中線元長(zhǎng)度空間中線元長(zhǎng)度 ds 和其分量和其分量 dxi 之間的關(guān)系之間的關(guān)系2222123ddddsxxx可簡(jiǎn)寫成：可簡(jiǎn)寫成：2dddiisxx場(chǎng)函數(shù)場(chǎng)函數(shù) f (x1, x2, x3) 的全微分：的全微分：ddiiffxx張量基本概念25可用同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩對(duì)可用同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩對(duì)( (或幾對(duì)或幾對(duì)) )不同啞指標(biāo)的方法來(lái)不同啞指標(biāo)的方法來(lái)表示多重求和。表示多重求和。例如：例如：3311ijijijijija x xa x x若要對(duì)在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和，若要對(duì)在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和，一般應(yīng)加求和號(hào)。如：一

12、般應(yīng)加求和號(hào)。如：31 1 12223 3 31iiiia bca b ca b cabc張量基本概念26一般說(shuō)不能由等式一般說(shuō)不能由等式iiiiabac兩邊消去兩邊消去ai導(dǎo)得導(dǎo)得iibc但若但若ai可以任意取值等式始終成立，則可以通過(guò)取特可以任意取值等式始終成立，則可以通過(guò)取特殊值使得上式成立。殊值使得上式成立。張量基本概念27小結(jié)通過(guò)通過(guò)啞指標(biāo)啞指標(biāo)可把許多可把許多項(xiàng)項(xiàng)縮寫成一項(xiàng)，通過(guò)縮寫成一項(xiàng)，通過(guò)自自由指標(biāo)由指標(biāo)又把許多又把許多方程方程縮寫成一個(gè)方程?？s寫成一個(gè)方程。一般說(shuō)，在一個(gè)用指標(biāo)符號(hào)寫出的方程中，一般說(shuō)，在一個(gè)用指標(biāo)符號(hào)寫出的方程中，若有若有 k 個(gè)獨(dú)立的自由指標(biāo)，其取值范圍

13、是個(gè)獨(dú)立的自由指標(biāo)，其取值范圍是1n，則這個(gè)方程代表了則這個(gè)方程代表了n k 個(gè)分量方程。在方程的某項(xiàng)個(gè)分量方程。在方程的某項(xiàng)中若同時(shí)出現(xiàn)中若同時(shí)出現(xiàn) m 對(duì)取值范圍為對(duì)取值范圍為1n 的啞指標(biāo)，則的啞指標(biāo)，則此項(xiàng)含相互迭加的此項(xiàng)含相互迭加的 n m 個(gè)項(xiàng)。個(gè)項(xiàng)。張量基本概念28目 錄Appendix A 引言 張量的基本概念，愛(ài)因斯坦求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分29符號(hào)ij 與erstij 符號(hào) (Kronecker delta) 定義定義(笛卡爾坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系)1 ( =

14、)0 ()ijijij(i, j=1, 2, , n) 特性特性1. 對(duì)稱性，由定義可知指標(biāo)對(duì)稱性，由定義可知指標(biāo) i 和和 j 是對(duì)稱的，即是對(duì)稱的，即 ijji303. 換標(biāo)符號(hào)，具有換標(biāo)作用。例如：換標(biāo)符號(hào)，具有換標(biāo)作用。例如：2. ij 的分量集合對(duì)應(yīng)于的分量集合對(duì)應(yīng)于單位矩陣單位矩陣。例如在三維空間。例如在三維空間111213212223313233100010001即：如果符號(hào)即：如果符號(hào) 的兩個(gè)指標(biāo)中，有一個(gè)和同項(xiàng)中其它的兩個(gè)指標(biāo)中，有一個(gè)和同項(xiàng)中其它因子的指標(biāo)相重，則可以把該因子的那個(gè)重指標(biāo)換成因子的指標(biāo)相重，則可以把該因子的那個(gè)重指標(biāo)換成 的另一個(gè)指標(biāo)，而的另一個(gè)指標(biāo)，而 自

15、動(dòng)消失。自動(dòng)消失。符號(hào)ij 與erst2dddddddijijiijjsxxxxxx31 類似地有類似地有 ; ; ; ijjkikijikjkijkjkiijkikjijjkikijjkklilaaaaaaaa 符號(hào)ij 與erst32 erst 符號(hào) (排列符號(hào)或置換符號(hào)，Eddington) 定義定義(笛卡爾坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系)110rste 當(dāng)當(dāng)r, s, t為正序排列時(shí)為正序排列時(shí)當(dāng)當(dāng)r, s, t為逆序排列時(shí)為逆序排列時(shí)當(dāng)當(dāng)r, s, t中兩個(gè)指標(biāo)值相同時(shí)中兩個(gè)指標(biāo)值相同時(shí)(1,2,3)及其輪流換位得到的及其輪流換位得到的(2,3,1)和和(3,1,2)稱為稱為正序排列正序排列。(

16、3,2,1)及其輪流換位得到的及其輪流換位得到的(2,1,3)和和(1,3,2)稱為稱為逆序排列逆序排列。12rster s s t t r或或符號(hào)ij 與erst33 特性特性1. 共有共有27個(gè)元素，其中三個(gè)元素為個(gè)元素，其中三個(gè)元素為1，三個(gè)元素為，三個(gè)元素為-1，其余的元素都是其余的元素都是02. 對(duì)其任何兩個(gè)指標(biāo)都是對(duì)其任何兩個(gè)指標(biāo)都是反對(duì)稱反對(duì)稱的，即的，即3. 當(dāng)三個(gè)指標(biāo)輪流換位時(shí)當(dāng)三個(gè)指標(biāo)輪流換位時(shí)(相當(dāng)于指標(biāo)連續(xù)對(duì)換兩次相當(dāng)于指標(biāo)連續(xù)對(duì)換兩次)，erst的值不變的值不變 rststrtrseeerstsrtrtstsreeee 符號(hào)ij 與erst34 常用實(shí)例常用實(shí)例1.

17、三個(gè)相互正交的單位基矢量構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基。三個(gè)相互正交的單位基矢量構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基。它具有如下重要性質(zhì)：它具有如下重要性質(zhì)： 每個(gè)基矢量的模為每個(gè)基矢量的模為1，即，即ei ej1 (當(dāng)當(dāng)ij時(shí)時(shí)) 不同基矢量互相正交，即不同基矢量互相正交，即ei ej0 (當(dāng)當(dāng)ij時(shí)時(shí)) 上述兩個(gè)性質(zhì)可以用上述兩個(gè)性質(zhì)可以用ij 表示統(tǒng)一形式：表示統(tǒng)一形式：ei ej ij符號(hào)ij 與erst35 當(dāng)三個(gè)基矢量當(dāng)三個(gè)基矢量ei , ej , ek 構(gòu)成右手系時(shí)，有構(gòu)成右手系時(shí)，有 ijijkkeeee 而對(duì)于左手系，有：而對(duì)于左手系，有： ijijkke eee1e3e2e1e2e3e符號(hào)ij 與erst3

18、62. 矢量的矢量的點(diǎn)積點(diǎn)積：3. 矢量的矢量的叉積叉積(或稱矢量積或稱矢量積) ： () ()() jjkkjkjkjkjkjjkkaba ba ba ba ba beeee() ()()()jjkkjkjkijkjkiaba be a babeeeeen 如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，我們一般默認(rèn)為右手系。如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，我們一般默認(rèn)為右手系。符號(hào)ij 與erst37()ijkjkie a bcabe叉積的幾何意義是叉積的幾何意義是“面元面元矢量矢量”，其大小等于由矢，其大小等于由矢量量 a 和和 b 構(gòu)成的平行四邊構(gòu)成的平行四邊形面積，方向沿該面元的形面積，方向沿該面元的法線方向。法線方向。ijk

19、ijkjkjkica b ea b e符號(hào)ij 與erst38cosa ba bsinaba b()()0abaabb符號(hào)ij 與erst39三個(gè)矢量三個(gè)矢量a, b, c的的混合積混合積是一個(gè)標(biāo)量，其定義為：是一個(gè)標(biāo)量，其定義為： , , ()a b c = abcab c符號(hào)ij 與erst若交換混合積中相鄰兩個(gè)矢量若交換混合積中相鄰兩個(gè)矢量的順序，混合積的值反號(hào)。的順序，混合積的值反號(hào)。當(dāng)當(dāng)a, b, c構(gòu)成右手系時(shí)，混合構(gòu)成右手系時(shí)，混合積表示這三個(gè)矢量所構(gòu)成的平積表示這三個(gè)矢量所構(gòu)成的平行六面體體積。若構(gòu)成左手系，行六面體體積。若構(gòu)成左手系，則為體積的負(fù)值。則為體積的負(fù)值。40 ,

20、, () ()mmijkjkiijkmjkmiijkijkae b ce a b ce ab ca b cab c =ee(1) (2) () ijijijkjkie a be eabe由此可見(jiàn)符號(hào)由此可見(jiàn)符號(hào)ij 和和 erst 分別與矢量代數(shù)中的點(diǎn)積和叉分別與矢量代數(shù)中的點(diǎn)積和叉積有關(guān)。積有關(guān)。利用利用(1)和和(2)式有式有符號(hào)ij 與erst414. 三階行列式的值三階行列式的值11121321222311223321321331 1223313233aaaaaaa a aa a aa a aaaa31221321 1233113223a a aa a aa a a123123ijki

21、jkijkijke a a ae a a a符號(hào)ij 與erst42111213212223123123313233ijkijkijkijkaaaaaae a a ae a a aaaa111222123333rstrstrstijkijkrstaaaaaae e a a aaaa123orosotprpsptopqrstijkijkqrqsqtaaaaaaee e a a aaaa符號(hào)ij 與erst4. 三階行列式的值三階行列式的值43123orosotprpsptopqrstijkijkqrqsqtee e 123opqrstee eopqrstee符號(hào)ij 與erst4. 三階行列式的

22、值三階行列式的值445. e- 恒等式，其一般形式為：恒等式，其一般形式為：即即退化形式為：退化形式為：irisitijkrstjrjsjtkrkskte e26ijkrjkirijkijke ee eijkistjsktksjte e 符號(hào)ij 與erst45000yxxxzxxxyyyzyyyzxzzzzfxyzfxyzfxyz1. 平衡方程平衡方程： 如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？46xyz2. 幾何方程幾何方程： 1, 21, 21, 2yxxxxxyyxyyzyyyzzyxzzzzzxxzuuuxyxuuuyzyuuuzxz如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？473. 本構(gòu)方程（各向同

23、性材料）本構(gòu)方程（各向同性材料）： 如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？1 1 1 xyxxxxyyzzxyyzyyyyxxzzyzzxzzzzxxyyzxEGEGEG提示：可以用到 kk 和 ij ij =2 ij G=E/2(1+)484. 變形協(xié)調(diào)方程（平面應(yīng)變）變形協(xié)調(diào)方程（平面應(yīng)變）： 如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？22222yyxyxxyxx y 提示：二維指標(biāo)為希臘字母, , , ，取值1, 2。49目 錄Appendix A 引言 張量的基本概念，愛(ài)因斯坦求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張

24、量函數(shù)及其微積分50坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換1231 12233(,)iix xxxxxxreeee笛卡爾坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系( (單位直角坐標(biāo)系單位直角坐標(biāo)系) )511231 1223 3( ,)iix x xxxxxreeee 笛卡爾坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系( (單位直角坐標(biāo)系單位直角坐標(biāo)系) )坐標(biāo)變化時(shí)，矢徑的變化為坐標(biāo)變化時(shí)，矢徑的變化為 123123ddddddiiiixxxxxxxxxrrrrre坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換52 任意坐標(biāo)系任意坐標(biāo)系坐標(biāo)變化時(shí)，矢徑的變化為坐標(biāo)變化時(shí)，矢徑的變化為 123(,)x x xr = r123123ddddddiiiixxxxxxxxxrrrrrg坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換53

25、 概念概念 坐標(biāo)線坐標(biāo)線 當(dāng)一個(gè)坐標(biāo)任意變化而另兩個(gè)坐標(biāo)保持不變時(shí)，當(dāng)一個(gè)坐標(biāo)任意變化而另兩個(gè)坐標(biāo)保持不變時(shí)，空間點(diǎn)的軌跡，過(guò)每個(gè)空間點(diǎn)有三根坐標(biāo)線?？臻g點(diǎn)的軌跡，過(guò)每個(gè)空間點(diǎn)有三根坐標(biāo)線。 基矢量基矢量 矢徑對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)定義的三個(gè)基矢量矢徑對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)定義的三個(gè)基矢量gi (1,2,3)iiixrg坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換54 參考架參考架空間每點(diǎn)處有三個(gè)基矢量，它們組成一個(gè)參考架或空間每點(diǎn)處有三個(gè)基矢量，它們組成一個(gè)參考架或稱坐標(biāo)架。任何具有方向性的物理量都可以對(duì)其相稱坐標(biāo)架。任何具有方向性的物理量都可以對(duì)其相應(yīng)作用點(diǎn)處的參考架分解。應(yīng)作用點(diǎn)處的參考架分解。對(duì)笛卡爾坐標(biāo)系：對(duì)笛卡爾坐標(biāo)系：123

26、1 1223 3(,)iix x xxxxxreeeeiiuug112233123; ; xxxrrrgege ge坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換55iiuug三個(gè)相互正交的單位基矢量三個(gè)相互正交的單位基矢量ei構(gòu)成構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基正交標(biāo)準(zhǔn)化基坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換56 歐氏空間中的一般坐標(biāo)系歐氏空間中的一般坐標(biāo)系p 現(xiàn)在的坐標(biāo)線可能現(xiàn)在的坐標(biāo)線可能不再正交不再正交；p 不同點(diǎn)處的坐標(biāo)線可能不同點(diǎn)處的坐標(biāo)線可能不再平行不再平行；p 基矢量的基矢量的大小和方向大小和方向都可能隨點(diǎn)而異；都可能隨點(diǎn)而異；p 各點(diǎn)處的參考架各點(diǎn)處的參考架不再是正交標(biāo)準(zhǔn)化基不再是正交標(biāo)準(zhǔn)化基。 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換57 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 ; ijijiji

27、je ee e坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換58將新基將新基 對(duì)老基對(duì)老基 分解：分解：轉(zhuǎn)換系數(shù)：轉(zhuǎn)換系數(shù)：反之：反之： i eje1 12233iiiii jj eeeeecos(,)i jijijji=eeeeee112233jjjji jieeeee坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 ; ijijijije ee e59向新坐標(biāo)軸向新坐標(biāo)軸 投影，即用投影，即用 點(diǎn)乘上式兩邊，則左邊：點(diǎn)乘上式兩邊，則左邊：右邊：右邊： i ei00, , ( )iijjiixxx rerere0rr + rikkikkiixxx r eee =000()()( )ijjikkiji jixxxxr + reeeee坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 ; ij

28、ijijije ee e6000()()( )ikkikkiiijjikkiji jixxxxxxx 0r eee =r + reeeee由上述兩式可得新坐標(biāo)用老坐標(biāo)表示的表達(dá)式由上述兩式可得新坐標(biāo)用老坐標(biāo)表示的表達(dá)式 經(jīng)過(guò)類似推導(dǎo)可得經(jīng)過(guò)類似推導(dǎo)可得老坐標(biāo)用新坐標(biāo)表示的表達(dá)式老坐標(biāo)用新坐標(biāo)表示的表達(dá)式 0( )ii jjixxx0()ji jijxxx坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換6100()()ii jjiji jijxxxxxx坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣形式坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣形式(設(shè)新老坐標(biāo)原點(diǎn)重合設(shè)新老坐標(biāo)原點(diǎn)重合) 11 11 21 3122 12 22 3233 13 23 33xxxxxxxx 或或 11 12

29、 13 11T21 22 23 2231 32 33 33xxxxxxxx或或坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換62 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的一般定義坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的一般定義設(shè)在三維歐氏空間中任選兩個(gè)新、老坐標(biāo)系，設(shè)在三維歐氏空間中任選兩個(gè)新、老坐標(biāo)系， 和和 是同一空間點(diǎn)是同一空間點(diǎn)P的新、老坐標(biāo)值，則方程組的新、老坐標(biāo)值，則方程組定義了由老坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，稱定義了由老坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，稱正轉(zhuǎn)換正轉(zhuǎn)換。其逆變換為其逆變換為對(duì)對(duì)(*)式微分式微分ixjx ( ,1,2,3)jjixxxi j ( ,1,2,3)iijxxxi j(*)ddiijjxxxx 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換63處處不為零，則存在相應(yīng)的逆變換，即可反過(guò)來(lái)用處

30、處不為零，則存在相應(yīng)的逆變換，即可反過(guò)來(lái)用 唯一確定唯一確定其系數(shù)行列式其系數(shù)行列式( (雅克比行列式雅克比行列式) )111123222123333123ijxxxxxxxxxxJxxxxxxxxxxdixdjx坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換64 容許轉(zhuǎn)換容許轉(zhuǎn)換 由單值、一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、且由單值、一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、且 J 處處處處不為零的轉(zhuǎn)換函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換不為零的轉(zhuǎn)換函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 正常轉(zhuǎn)換正常轉(zhuǎn)換 J 處處為正，把右手系轉(zhuǎn)換右手系處處為正，把右手系轉(zhuǎn)換右手系 反常轉(zhuǎn)換反常轉(zhuǎn)換 J 處處為負(fù)，把右手系轉(zhuǎn)換成左手系處處為負(fù)，把右手系轉(zhuǎn)換成左手系坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換65目 錄Appendix A 引言 張

31、量的基本概念，愛(ài)因斯坦求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分66 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 張量張量，都不會(huì)因人為選擇不同參考坐標(biāo)系而改變，都不會(huì)因人為選擇不同參考坐標(biāo)系而改變其固有性質(zhì)，然而其固有性質(zhì)，然而其分量的值則與坐標(biāo)選擇密切其分量的值則與坐標(biāo)選擇密切相關(guān)相關(guān)。 所以，張量的分量在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)應(yīng)滿足一定的規(guī)所以，張量的分量在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)應(yīng)滿足一定的規(guī)律，以保證其律，以保證其坐標(biāo)不變性坐標(biāo)不變性。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律67 標(biāo)量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律標(biāo)量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律設(shè)一個(gè)標(biāo)量在新、老坐標(biāo)系中的值為設(shè)一個(gè)標(biāo)量在

32、新、老坐標(biāo)系中的值為t 和和t ，則，則 矢量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律矢量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律tt , ii jjji jiaaaa68 張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律以三維空間的二階張量為例，其分解式是以三維空間的二階張量為例，其分解式是：其中，其中，Tij 為為張量分量張量分量，eiej稱為稱為基矢量基矢量，就是把兩個(gè)，就是把兩個(gè)基矢量并寫在一起，不作任何運(yùn)算，成為構(gòu)成矢量的基?；噶坎懺谝黄?，不作任何運(yùn)算，成為構(gòu)成矢量的基。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律69張量的分量表示法張量的分量表示法張量的實(shí)體表示法張量的實(shí)體表示法（并矢表示法）（并矢表示法） 張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律即即ijijT

33、Te emnm in jijTT ji jieeijm imn jnTeem in jijmnT e e mni mj nijTT張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律70高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律KKKKijki rj sk trstrsti rj sk tijkTTTT 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律71注：在一個(gè)表示全部張量分量集合的指標(biāo)符號(hào)在一個(gè)表示全部張量分量集合的指標(biāo)符號(hào) 中，自由指標(biāo)的數(shù)目等于張量的階數(shù)中，自由指標(biāo)的數(shù)目等于張量的階數(shù) K，每個(gè)自，每個(gè)自由指標(biāo)的取值范圍等于張量的維數(shù)由指標(biāo)的取值范圍等于張量的維數(shù) n，各指標(biāo)在其，各指標(biāo)在其取值范圍內(nèi)的任何一種可能組合都表示了張

34、量的取值范圍內(nèi)的任何一種可能組合都表示了張量的一個(gè)分量，所以一個(gè)分量，所以 n 維維 K 階張量共有階張量共有 nK 個(gè)分量。個(gè)分量。ijkT張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律72 張量方程 定義定義 每項(xiàng)都由張量組成的方程稱為每項(xiàng)都由張量組成的方程稱為張量方程張量方程。 特性特性 具有與具有與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的重要性質(zhì)，可用于的重要性質(zhì)，可用于描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。 or : ijijklklCC, 0 or ij jif0f 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律73目 錄 引言 張量的基本概念，愛(ài)因斯坦求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換

35、規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分74張量代數(shù) & 商判則 相相 等等若兩個(gè)張量若兩個(gè)張量 和和 相等相等則對(duì)應(yīng)分量相等則對(duì)應(yīng)分量相等若兩個(gè)張量在某個(gè)坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)分量相等，若兩個(gè)張量在某個(gè)坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)分量相等，則它們?cè)谌魏纹渌鴺?biāo)系中對(duì)應(yīng)分量也相等。則它們?cè)谌魏纹渌鴺?biāo)系中對(duì)應(yīng)分量也相等。ijijTTe eijijSSe eTSijijTS75 和、差和、差兩個(gè)同階張量?jī)蓚€(gè)同階張量 與與 之和之和( (或差或差) )是另一個(gè)同階張量是另一個(gè)同階張量其分量關(guān)系為其分量關(guān)系為ijijAAe eijijBBe eijijTTe eTABijijij

36、TAB張量代數(shù) & 商判則76 數(shù)數(shù) 積積張量張量A和一個(gè)數(shù)和一個(gè)數(shù) (或標(biāo)量函數(shù)或標(biāo)量函數(shù)) 相乘得另一同相乘得另一同維同階張量維同階張量T其分量關(guān)系為其分量關(guān)系為=TAijijTA張量代數(shù) & 商判則77 并并 積積兩個(gè)同維不同階（或同階）張量?jī)蓚€(gè)同維不同階（或同階）張量 A 和和 B 的并積的并積 T是一個(gè)階數(shù)等于是一個(gè)階數(shù)等于 A、B 階數(shù)之和的高階張量。階數(shù)之和的高階張量。設(shè)設(shè)則則其分量關(guān)系為其分量關(guān)系為ijkijkAAe e elmlmBBe eijklmijklmTTAB =e e e e eijklmijklmTA BAB BA注意：注意：張量代數(shù) & 商判則78 縮縮 并并若

37、對(duì)基張量中的任意兩個(gè)基矢量求點(diǎn)積，在若對(duì)基張量中的任意兩個(gè)基矢量求點(diǎn)積，在張量將縮并為低二階的新張量。張量將縮并為低二階的新張量。 其分量關(guān)系為其分量關(guān)系為ijijTS張量代數(shù) & 商判則ijkijkijkikjijijjjTTTSSe e eeee79ijkijkiikkkkRTTRe e eee若在基張量中取不同基矢量的點(diǎn)積，則縮并的結(jié)若在基張量中取不同基矢量的點(diǎn)積，則縮并的結(jié)果也不同。例如若果也不同。例如若RSjiijRTjijiST張量代數(shù) & 商判則 縮縮 并并ijkijkijijjjTTSSe e eee80 內(nèi)內(nèi) 積積并積加縮并運(yùn)算稱為內(nèi)積。例如并積加縮并運(yùn)算稱為內(nèi)積。例如 和和

38、 的一種內(nèi)積是的一種內(nèi)積是其分量關(guān)系為其分量關(guān)系為ijkijkAAe e eiklijkljSA BlmlmBB =e e張量代數(shù) & 商判則ijkijklmlmijkljiklikliklABA BSSe e ee ee e ee e e81 點(diǎn)點(diǎn) 積積前張量前張量 A 的最后基矢量與后張量的最后基矢量與后張量 B 的第一基的第一基矢量縮并的結(jié)果，記為矢量縮并的結(jié)果，記為 ，是最常用的，是最常用的一種內(nèi)積。一種內(nèi)積。兩個(gè)二階張量的點(diǎn)積相當(dāng)于矩陣乘法。兩個(gè)二階張量的點(diǎn)積相當(dāng)于矩陣乘法。A B=ijklmijklmijkkmijmijmijkA BA BRRA Be e ee ee e ee e

39、 eijmijkkmRA B張量代數(shù) & 商判則82對(duì)前、后張量中兩對(duì)近挨著的基矢量縮并的結(jié)對(duì)前、后張量中兩對(duì)近挨著的基矢量縮并的結(jié)果稱為雙點(diǎn)積，共有兩種：果稱為雙點(diǎn)積，共有兩種： 并雙點(diǎn)積并雙點(diǎn)積 串雙點(diǎn)積串雙點(diǎn)積:ijkjkiiiA BTTA B =eeijkkjiiiSA BSA B =eeiijkjkTA B=iijkkjSA B=張量代數(shù) & 商判則 雙點(diǎn)積雙點(diǎn)積83 并并 矢矢把把 K 個(gè)獨(dú)立矢量并寫在一起稱為并矢量，它個(gè)獨(dú)立矢量并寫在一起稱為并矢量，它們的并積是一個(gè)們的并積是一個(gè) K 階張量。階張量。iijjkkijkijk= abcab cTabceeee e eijkijkT

40、ab c矢量的并積不服從交換律，并矢量中各矢量的順序不得任意調(diào)換。矢量的并積不服從交換律，并矢量中各矢量的順序不得任意調(diào)換。張量代數(shù) & 商判則84和任意矢量的內(nèi)積（包括點(diǎn)積）為和任意矢量的內(nèi)積（包括點(diǎn)積）為 K-1 階張階張量的量一定是個(gè)量的量一定是個(gè) K 階張量。階張量。一個(gè)一個(gè) K 階張量連續(xù)地和階張量連續(xù)地和 n 個(gè)任意矢量求內(nèi)積，個(gè)任意矢量求內(nèi)積，其縮并的結(jié)果是一個(gè)其縮并的結(jié)果是一個(gè) K-n 階張量。階張量。張量代數(shù) & 商判則 商判則商判則85OperationNumber of order并并 積積差差 乘乘 -1點(diǎn)點(diǎn) 乘乘 -2雙點(diǎn)乘雙點(diǎn)乘 -486目 錄 引言 張量的基本概念

41、，愛(ài)因斯坦求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分87特殊張量，主方向與主分量u 常用特殊張量 零零 張張 量量 則：則： 0T0, 0ijijTT 88 單位張量單位張量 笛卡爾坐標(biāo)系中分量為笛卡爾坐標(biāo)系中分量為ij的二階張量的二階張量 I，即，即1 1223 3ijijIe ee ee ee e ijijijijII 且且單位張量和任意張量的點(diǎn)積就等于該張量本身：?jiǎn)挝粡埩亢腿我鈴埩康狞c(diǎn)積就等于該張量本身：I aa， I AA特殊張量，主方向與主分量89SI特殊張量，主方向與主分量ijijS

42、 球形張量球形張量主對(duì)角分量為主對(duì)角分量為 ，其余分量為零的二階張量。它其余分量為零的二階張量。它是數(shù)是數(shù) 與單位張量的數(shù)積。即與單位張量的數(shù)積。即90 轉(zhuǎn)置張量轉(zhuǎn)置張量對(duì)于二階張量對(duì)于二階張量 ，由對(duì)換分量指標(biāo)而基，由對(duì)換分量指標(biāo)而基矢量順序保持不變所得到的新張量矢量順序保持不變所得到的新張量稱為張量稱為張量 T 的轉(zhuǎn)置張量。的轉(zhuǎn)置張量。ijijTTe eTjiijijjiTTTe ee e特殊張量，主方向與主分量91 對(duì)稱張量對(duì)稱張量 反對(duì)稱張量反對(duì)稱張量T ; ijjiTTTTT ; ijjiTT TT特殊張量，主方向與主分量92轉(zhuǎn)置張量等于其負(fù)張量的張量。即滿足轉(zhuǎn)置張量等于其負(fù)張量的張

43、量。即滿足反對(duì)稱張量的主對(duì)角張量均為零。三維二階反對(duì)反對(duì)稱張量的主對(duì)角張量均為零。三維二階反對(duì)稱張量的獨(dú)立分量只有三個(gè)。稱張量的獨(dú)立分量只有三個(gè)。n 維二階對(duì)稱張量有維二階對(duì)稱張量有 個(gè)獨(dú)立分量。個(gè)獨(dú)立分量。T ; ijjiTT TT112n n特殊張量，主方向與主分量 反對(duì)稱張量反對(duì)稱張量93任意二階張量任意二階張量 T 均可分解為對(duì)稱張量均可分解為對(duì)稱張量 S 和反對(duì)稱張量和反對(duì)稱張量 A 之和：之和：TSAT12S =TTT12A=TT特殊張量，主方向與主分量 加法分解加法分解94任意二階對(duì)稱張量任意二階對(duì)稱張量 S 均可分解為球形張量均可分解為球形張量 P 和偏和偏斜張量斜張量 D 之

44、和：之和： SPD13iiS ijijP ijijijijijDSPS其中其中 =0 iiiiiiDS特殊張量，主方向與主分量 偏斜張量偏斜張量 95偏斜張量為偏斜張量為偏斜張量三個(gè)對(duì)角分量之和為零偏斜張量三個(gè)對(duì)角分量之和為零：;ijijijDSPDSP 1303iiiiiiDSS 1 313iiijijkkijSPS特殊張量，主方向與主分量 偏斜張量偏斜張量 96笛卡爾系中以笛卡爾系中以erst為分量的三階張量，又稱為分量的三階張量，又稱排列張量排列張量rstrsteee e e特殊張量，主方向與主分量 置換張量置換張量 97所有分量均不因坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而改變的張量。所有分量均不因坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而改變的

45、張量。例如：?jiǎn)挝粡埩坷纾簡(jiǎn)挝粡埩縄、球形張量、置換張量等。、球形張量、置換張量等。標(biāo)量是零階的各向同性張量，而矢量則不是各向標(biāo)量是零階的各向同性張量，而矢量則不是各向同性的。同性的。特殊張量，主方向與主分量 各向同性張量各向同性張量98u 主方向與主分量二階張量可定義為一種由矢量二階張量可定義為一種由矢量 a 到矢量到矢量 b 的線的線性變換，即性變換，即一般說(shuō)，矢量一般說(shuō)，矢量 a 與與 b 并不同向。對(duì)于給定的任并不同向。對(duì)于給定的任意二階張量意二階張量 T 能否找到某個(gè)矢量能否找到某個(gè)矢量 ，它在線性變，它在線性變換后能保持方向不變，即換后能保持方向不變，即 或或; ijjiT abT

46、 a = b ; ijjiTT= 0ijijjT特殊張量，主方向與主分量99(1,2,3)0 ijijjiT其中其中是標(biāo)量。上式是求是標(biāo)量。上式是求 j 的線性齊次代數(shù)方程組，的線性齊次代數(shù)方程組，存在非零解的充分必要條件存在非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為零是系數(shù)行列式為零1112132122233132330TTTTTTTTT321230III特殊張量，主方向與主分量100這是關(guān)于這是關(guān)于的特征方程；其中的特征方程；其中是是Tij的主對(duì)角分量之和，稱為張量的主對(duì)角分量之和，稱為張量 T 的跡，記作的跡，記作trT是矩陣是矩陣Tij的二階主子式之和。的二階主子式之和。 1112233iiI

47、TTTT22231113111223233313321221()2iijjijjiTTTTTTIT TT TTTTTTT特殊張量，主方向與主分量321230III101是矩陣的行列式，記作是矩陣的行列式，記作detT。 特征方程的三個(gè)特征根稱為張量特征方程的三個(gè)特征根稱為張量T 的的主分量主分量。當(dāng)。當(dāng)T是實(shí)對(duì)稱張量時(shí)，存在三個(gè)實(shí)特征根是實(shí)對(duì)稱張量時(shí)，存在三個(gè)實(shí)特征根 1112133212223123313233ijkijkTTTITTTe T T TTTT( )(1,2,3)kk。321230III特殊張量，主方向與主分量102(1,2,3)0 ijijjiT由特征方程求特征根：由特征方程求

48、特征根：( )()0ijkijiT 321230III由每個(gè)由每個(gè)(k) 分別求特征方向：分別求特征方向：方向矢量方向矢量 j(k) ()ijij特殊張量，主方向與主分量103由上述方法求得的三個(gè)單位矢量由上述方法求得的三個(gè)單位矢量 (k)j(k)ej 稱為稱為張量張量 T 的主方向。的主方向。注： 若若(1) , (2) , (3)互不相等，則互不相等，則 (1), (2), (3)互相垂直?；ハ啻怪薄?對(duì)于二重根情況，例如對(duì)于二重根情況，例如(1)(2)，則垂直于，則垂直于 (3)的任何方向都的任何方向都是主方向，可任選其中兩個(gè)互相垂直方向是主方向，可任選其中兩個(gè)互相垂直方向作為作為 (1

49、)和和 (2)。 對(duì)于三重根情況，例如對(duì)于三重根情況，例如(1)(2) (3)，則任何方向都是主方則任何方向都是主方向，可任選三個(gè)互相垂直的方向作為向，可任選三個(gè)互相垂直的方向作為 (1), (2)和和 (3) 。特殊張量，主方向與主分量104u 主坐標(biāo)系沿主方向沿主方向 (1), (2), (3)的正交坐標(biāo)系稱為張量的正交坐標(biāo)系稱為張量 T 的的主坐標(biāo)系。在主坐標(biāo)系中，有主坐標(biāo)系。在主坐標(biāo)系中，有(1)(1)(1)(2)(2)(2)(3)(3)(3)Te ee ee e當(dāng)當(dāng)T 為應(yīng)力張量時(shí)，為應(yīng)力張量時(shí)，(k) 就是三個(gè)主應(yīng)力就是三個(gè)主應(yīng)力1, 2和和3特殊張量，主方向與主分量105特征方程

50、是一個(gè)與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的普遍方程，它特征方程是一個(gè)與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的普遍方程，它的三個(gè)系數(shù)的三個(gè)系數(shù)I1, I2和和I3分別稱為張量分別稱為張量T的第一、第二的第一、第二和第三不變量。和第三不變量。 特征方程的根特征方程的根(k)也是三個(gè)不變量，相應(yīng)的主方向也是三個(gè)不變量，相應(yīng)的主方向 (k)也與坐標(biāo)無(wú)關(guān)。也與坐標(biāo)無(wú)關(guān)。 11222, (), d etiiiijjijjiITIT TT TIT特殊張量，主方向與主分量u 不變量106目 錄 引言 張量的基本概念，愛(ài)因斯坦求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分107張量函數(shù)及其微積分在空間所論域內(nèi)在空間所論域內(nèi), , 每點(diǎn)定義的同階張量每點(diǎn)定義的同階張量, , 構(gòu)構(gòu)成了張量場(chǎng)。一般張量場(chǎng)中被考察的張量隨位置成了張量場(chǎng)。一般張量場(chǎng)中被考察的張量隨位置而變化。研究張量場(chǎng)因位置而變化的情況使我們而變化。研究張量場(chǎng)因位置而變化的情況使我們從張量代數(shù)的領(lǐng)域進(jìn)入張量分析的領(lǐng)域。從張量代數(shù)的領(lǐng)域進(jìn)入張量分析的領(lǐng)域。這里簡(jiǎn)要介紹這里簡(jiǎn)