等價無窮小量在求函數(shù)極限中的應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

1、9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpRWXmA&UE9aQGn8xp$R# 積商結(jié)構(gòu); 和差結(jié)構(gòu); 冪指結(jié)構(gòu); 極限; 應(yīng)用 1 等價無窮小量在求積商結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用 定義1.1.1 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 稱為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量.定義 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 則稱 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 是當(dāng) SKIPIF 1 0 時的等價無窮小. 記作 SKIPIF 1 0 SK

2、IPIF 1 0 .應(yīng)用等價無窮小代換, 必須記住一些基本的等價無窮小量, 如 SKIPIF 1 0 時, SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 等.定理 SKIPIF 1 0 設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 內(nèi)有定義, 且有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 存在, 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .證明 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .定理 SKIPIF 1 0 設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIP

3、IF 1 0 內(nèi)有定義, 且有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 存在, 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .證明 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .由定理,可以得到以下一個重要的結(jié)論, 它在求積和商的極限中有很重要的作用, 需加強對它的理解. 結(jié)論 SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量, 若 SKIPIF 1 0 存在, 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .

4、證明 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 從結(jié)論容易看出, 當(dāng) SKIPIF 1 0 時, 結(jié)論就是上面定理1的情形; 當(dāng)去掉分子 SKIPIF 1 0 并略去相關(guān)條件, 結(jié)論就是定理1.1.2的情形, 即兩定理是結(jié)論的特殊情況, 需要要很好的理解上面的結(jié)論.1.2 定理和結(jié)論的應(yīng)用舉例例 求 SKIPIF 1 0 .解 由于 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 故由定理1.1.2得 SKIPIF

5、 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .例 利用等價無窮小量求極限 SKIPIF 1 0 .解 由于這個極限的分子不滿足上面定理和結(jié)論的要求, 需要我們對它進行轉(zhuǎn)化,使之成為定理和結(jié)論需要的形式, 容易看出 SKIPIF 1 0 , 而 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 說明 這道題是結(jié)論的應(yīng)用, 應(yīng)注意的是, 在利用等

6、價無窮小量代換求極限時,要注意所求極限的形式與上面所給定理和結(jié)論是否相對應(yīng), 不滿足時不能隨意替換, 需要適當(dāng)?shù)淖冃? 變成我們需要的形式, 如剛才這個極限的分子就不與上面的結(jié)論要求相對應(yīng), 需要上面的適當(dāng)?shù)淖冃?例 求極限 SKIPIF 1 0 . 解 由于 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 由結(jié)論得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 說明 這道例題與例1.1.2類似, 雖然形式比較復(fù)雜, 但只要嚴格按照上面的結(jié)論就

7、可以迎刃而解了.2 等價無窮小量在求和差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用2.1 重要定理及其結(jié)論 課本中一般強調(diào)等價無窮小代換法則只在乘除的情況下可以使用, 在加減的情況下不能隨意使用, 那么究竟在什么樣的情況下加減的形式可以使用呢? 現(xiàn)在來著重介紹一下, 下面先來看和的情形. 定理 SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量, 且 SKIPIF 1 0 , 則 SKIPIF 1 0 .證明 當(dāng) SKIPIF 1 0 時, 因為 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 知 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF

8、1 0 , SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 當(dāng) SKIPIF 1 0 時, 有已知條件知 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 . 定理2.1.1表明, 在計算與兩個無窮小量的代數(shù)和有關(guān)的極限運算時, 若其為同階無窮小且兩者商的極限不為 SKIPIF 1 0 時, 則可用與其等價的無窮小量分別替換, 將是運算過程更為簡潔.對于差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限類似得如下定理 定理 SKIPIF

9、 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量,且 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 . 定理2.1.2表明, 在計算與兩個無窮小量的差有關(guān)的極限運算時, 若其為同階無窮小且兩者商的極限不為 SKIPIF 1 0 時, 則可用與其等價的無窮小量分別替換, 將是運算過程更為簡潔. 定理解決了等價無窮小量在求和差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用, 下面對定理2.1.1和定理2.1.2推廣可得到如下一些結(jié)論.結(jié)論 SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量, 且 SKIPIF 1

10、0 若 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 存在, 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 證明 由所給條件知 SKIPIF 1 0 ,再由結(jié)論可直接得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .結(jié)論 SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量, 且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 為常

11、數(shù), 若 SKIPIF 1 0 存在, 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 證明 由 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 知 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 從而 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 同理 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 結(jié)論的得到增強了定理的應(yīng)用范圍, 使其應(yīng)用更加廣泛, 進一步體現(xiàn)了等價無窮小代換的廣泛性

12、與靈活性, 暗示我們對于一些復(fù)雜的極限可以通過等價無窮小代換使之簡潔而有效. 2.2 定理和結(jié)論的應(yīng)用舉例例 求極限 SKIPIF 1 0 . 解 由于當(dāng) SKIPIF 1 0 時, SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , 并且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .故當(dāng) SKIPIF 1 0 時, SKIPIF 1 0 .又由于當(dāng) SKIPIF 1 0 時, SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , 并且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .故當(dāng)

13、SKIPIF 1 0 時, SKIPIF 1 0 由結(jié)論得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 說明 這道題是對定理和結(jié)論的直接應(yīng)用, 對于既有積商, 又有和差的極限, 首先判斷其是否符合和差形式的條件, 然后在應(yīng)用上面推廣的結(jié)論, 這樣做顯然比直接利用洛必達簡單些, 在求極限中, 往往我們先利用等價無窮小代換, 再利用洛比達會起到事半功倍的效果.例2 求極限 SKIPIF 1 0 為常數(shù) SKIPIF 1 0 . 解 因為當(dāng) SKIPIF 1 0 時, SKIPIF 1 0 所以由結(jié)論有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .例

14、2.2.3 求極限 SKIPIF 1 0 . 解 當(dāng) SKIPIF 1 0 時, SKIPIF 1 0 , 并且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .故當(dāng) SKIPIF 1 0 時, SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .又當(dāng) SKIPIF 1 0 時, SKIPIF 1 0 并且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .故當(dāng) SKIPIF 1 0 時, SKIPIF 1 0 .所以由結(jié)論2.1.2有 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 . 說明 例跟例2.2.1一樣, 只要嚴格遵守上面推廣的結(jié)論就可以很快得到結(jié)果, 其解法既快捷又簡便

15、, 很好的體現(xiàn)了利用等價無窮小代換求極限的優(yōu)越性. 總之, 有上述的幾個例子可以發(fā)現(xiàn), 對于某些函數(shù)極限的計算利用等價無窮小替換比洛比達法則簡單易行, 可起到事半功倍的效果, 必要的時候兩種方法可以同時進行.3 等價無窮小量在求冪指結(jié)構(gòu)(未定式 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 )函數(shù)的極限中的應(yīng)用 本節(jié)主要介紹等價無窮小量了冪指結(jié)構(gòu)函數(shù)極限中的應(yīng)用, 在冪指結(jié)構(gòu)函數(shù)極限中利用等價無窮小代換可以適當(dāng)?shù)陌逊爆嵉氖阶舆M行化簡, 從而有利于我們更快更好的解決這一類極限, 下面我們先從引理入手.引理 SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 和 SKIPI

16、F 1 0 在 SKIPIF 1 0 有定義, SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量, 且 SKIPIF 1 0 則有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .證明 由條件知 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , 且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .引理3.1.2 設(shè) SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 有定義, SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量, 且 SKIP

17、IF 1 0 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .證明 因為 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , 又因為 SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 下面介紹未定式 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的基本定理及其結(jié)論 定理 SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量, 且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 型 SKIPIF 1 0 . 證明 由

18、SKIPIF 1 0 的連續(xù)性及引理得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 結(jié)論 設(shè) SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量, SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .結(jié)論3.1.2 設(shè) SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量, SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 則 SKI

19、PIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .結(jié)論3.1.3 SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量, 若它們滿足如下條件 1） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 2） SKIPIF 1 0 ;則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 證明 由 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 再由定理可得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .定理 設(shè) SKIPIF 1 0 , SKIP

20、IF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量, 且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 型 SKIPIF 1 0 . 證明 由 SKIPIF 1 0 的連續(xù)性及引理得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 根據(jù)定理, 下面得到更一般的情況 結(jié)論 SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量, 且 SKI

21、PIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .定理 SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量, 且 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 型 SKIPIF 1 0 . 證明 由 SKIPIF 1 0 的連續(xù)性及引理得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SK

22、IPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 結(jié)論 設(shè) SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時的無窮小量, SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 注釋 很容易看出, 上面的部分定理是結(jié)論的特殊情況, 三種未定式的情況互有關(guān)聯(lián), 因此要想很好的應(yīng)用定理和結(jié)論, 需要對三種未定式靈活應(yīng)用, 提倡相互聯(lián)系解題, 反對將它們割裂. 注釋 這些結(jié)論將定理進行了適當(dāng)?shù)耐茝V, 不但有指數(shù)的形式, 而且融合和差的形式, 一方面

23、使其應(yīng)用更加廣泛, 另一方面突出體現(xiàn)了等價無窮小代換在求極限的靈活性和多樣性的特點.例3.2.1 求極限 SKIPIF 1 0 .解 因為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , 所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .又因為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , 故由定理 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .說明 這是一個 SKIPIF 1 0 型的極限,是對定理及結(jié)論的應(yīng)用, 首先判斷它是否符合定理或結(jié)論的條件, 然后再利用定理或結(jié)論.例 求極限 SKIPIF 1 0 解 由于當(dāng) SKIPIF 1 0 時, SKIPIF 1 0 , 且 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , 所以滿足結(jié)論的條件,故由結(jié)論得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIP