控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性1. 引言引言2. 李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義3. 李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法5. 線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性4. 線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性6. 有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定7. 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析引引 言言 李亞普諾夫?qū)⒎€(wěn)定性問題的研究歸納為兩種方法。李亞普諾夫?qū)⒎€(wěn)定性問題的研究歸納為兩種方法。 第一種方法是求出線性化以后的常微分方程的解，從而分析原第一種方法是求出線性化以后的常微分方程的解，從而分析原系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 第二種方法不需要

2、求解微分方程的解，而能夠提供系統(tǒng)穩(wěn)定性第二種方法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息。的信息。 對(duì)于非線性、時(shí)變、多輸入多輸出系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，第二種方法特別對(duì)于非線性、時(shí)變、多輸入多輸出系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，第二種方法特別重要。李亞普諾夫第二法又稱為直接法。重要。李亞普諾夫第二法又稱為直接法。 這種方法是基于一種廣義能量函數(shù)及其隨時(shí)間變化的特性來(lái)研這種方法是基于一種廣義能量函數(shù)及其隨時(shí)間變化的特性來(lái)研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的。以下通過一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。究系統(tǒng)穩(wěn)定性的。以下通過一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。引引 言言例例 一個(gè)彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)，如下圖示。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)由如下一個(gè)彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)，如下圖示。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)由如下微分

3、方程描述。微分方程描述。0kxx fxm 令令1m0kxx fx （1）選取狀態(tài)變量選取狀態(tài)變量xx 112xxx 則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為212fxkxx21xx （2）引引 言言在任意時(shí)刻，系統(tǒng)的總能量在任意時(shí)刻，系統(tǒng)的總能量2122212121),(kxxxxE（3）顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) 時(shí)時(shí) ， 而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)時(shí)0 x0)(xE0 x0)(0E而總能量隨時(shí)間的變化率為而總能量隨時(shí)間的變化率為222211221121dddd),(ddfxxxxkxtxxEtxxExxEt可見，只有在可見，只有在 時(shí)，時(shí)， 。在其他各處均有。在其他各處均有 ，這表明系統(tǒng)總能量是衰減的，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定

4、的。這表明系統(tǒng)總能量是衰減的，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。02x0/ddtE0/ddtE Lyapunov第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的。第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的。引引 言言平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 一般地，系統(tǒng)狀態(tài)方程為一般地，系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，其初始狀態(tài)，其初始狀態(tài)為為 。系統(tǒng)的狀態(tài)軌線。系統(tǒng)的狀態(tài)軌線 是隨時(shí)間而變化的。當(dāng)且僅當(dāng)是隨時(shí)間而變化的。當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)（當(dāng) tt0 ）則稱）則稱 為系統(tǒng)平衡。為系統(tǒng)平衡。),(txfx )(0tx)(txexx exex 如果不在坐標(biāo)原點(diǎn)，可以通過非奇異線性變換，使如果不在坐標(biāo)原點(diǎn)，可以通過非奇異線性變換，使 ，因此，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題都可以歸結(jié)為原點(diǎn)的穩(wěn)

5、定性問題。因此，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題都可以歸結(jié)為原點(diǎn)的穩(wěn)定性問題。0ex李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義1 穩(wěn)定的定義穩(wěn)定的定義nxx1x則則221nxxx非線性時(shí)變系統(tǒng)非線性時(shí)變系統(tǒng)0ex),(txfx （4）（6）（5）0),(tetxx)(0),(0t定義定義 對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù) ，都對(duì)應(yīng)存在實(shí)數(shù)，都對(duì)應(yīng)存在實(shí)數(shù) ，使，使0滿足滿足的任意初始狀態(tài)的任意初始狀態(tài) 出發(fā)的軌線出發(fā)的軌線 有有00)(xxt)(txetxx)( （對(duì)所有（對(duì)所有 t t0）成立，則稱成立，則稱 為為L(zhǎng)yapunov意義下是穩(wěn)定的。意義下是穩(wěn)定的。0ex表示求歐幾里德范數(shù)

6、。表示求歐幾里德范數(shù)。（即：表示空間距離）（即：表示空間距離）李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義0ex如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 是穩(wěn)定的。從平衡狀態(tài)的某是穩(wěn)定的。從平衡狀態(tài)的某個(gè)充分小的領(lǐng)域內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線個(gè)充分小的領(lǐng)域內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，收斂于收斂于 ，則稱，則稱 為漸近穩(wěn)定。為漸近穩(wěn)定。0ex)(txt0ex2 漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義更精密的敘述如下：更精密的敘述如下：0exetxx )()(tx0ex如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài) ，對(duì)于，對(duì)于 ，存在，存在 和和，當(dāng)

7、，當(dāng) 時(shí)，從時(shí)，從 出發(fā)的出發(fā)的 ，都有，都有并且并且 充分大時(shí)，充分大時(shí)， 就充分小。則稱就充分小。則稱 為為L(zhǎng)yapunov意義下意義下漸近穩(wěn)定。當(dāng)漸近穩(wěn)定。當(dāng) 與與 、 無(wú)關(guān)時(shí)無(wú)關(guān)時(shí) ，則稱，則稱 為一致漸近穩(wěn)定。為一致漸近穩(wěn)定。0tT Tt etxx)(0T0ex0tT李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義3 大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定如果如果 是整個(gè)狀態(tài)空間中任一點(diǎn)，并且都有是整個(gè)狀態(tài)空間中任一點(diǎn)，并且都有則為大范圍漸近穩(wěn)定或稱為則為大范圍漸近穩(wěn)定或稱為L(zhǎng)yapunov意義下全局漸近穩(wěn)定。意義下全局漸近穩(wěn)定。00)(xxtettxx)(lim當(dāng)穩(wěn)定性與當(dāng)穩(wěn)定性與

8、的選擇無(wú)關(guān)時(shí)，稱一致全局漸近穩(wěn)定。的選擇無(wú)關(guān)時(shí)，稱一致全局漸近穩(wěn)定。0t李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義不穩(wěn)定4 不穩(wěn)定不穩(wěn)定對(duì)于任意的實(shí)數(shù)對(duì)于任意的實(shí)數(shù) ，存在一個(gè)實(shí)數(shù)，存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，不論，不論 取的多么小，在滿足不取的多么小，在滿足不等式等式的所有初始狀態(tài)中，至少存在一個(gè)初始狀的所有初始狀態(tài)中，至少存在一個(gè)初始狀態(tài)態(tài) ，由此出發(fā)的軌線，由此出發(fā)的軌線 ，滿足，滿足00exx00 x)(txexx稱稱 為為L(zhǎng)yapunov意義下不穩(wěn)定意義下不穩(wěn)定0ex李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法0)(xV定義定義 如果標(biāo)量函數(shù)如果標(biāo)量函數(shù) ，并且當(dāng)，并且當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；僅當(dāng)；僅

9、當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；則稱；則稱 為正定的。除了為正定的。除了 以外，還有以外，還有狀態(tài)使?fàn)顟B(tài)使 ，稱，稱 為半正定的。為半正定的。)(xV00 x0 x0)(xV)(xV0 x0)(xV)(xV)(xV0)(xV0 x0)(xV定義定義 如果標(biāo)量函數(shù)如果標(biāo)量函數(shù) ，并且當(dāng)，并且當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；僅當(dāng)；僅當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；則稱；則稱 為負(fù)定的。除了為負(fù)定的。除了 以外，還有以外，還有狀態(tài)使?fàn)顟B(tài)使 ，稱，稱 為半負(fù)定的。為半負(fù)定的。)(xV00 x0 x0)(xV)(xV（7）定理定理4-14-1 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx 在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)

10、具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：并且滿足：1） 為正定；為正定； 2） 為負(fù)定。為負(fù)定。 則則 為一致漸近穩(wěn)定的。為一致漸近穩(wěn)定的。如果如果 ， ，則，則 是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 0ex)(xV)(xV)(xV0exx)(xV)(xV李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法例例 系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。)(21221xxxxx解解而而221121212)()(xxxxxxxxVx將狀態(tài)方程代入上式，化簡(jiǎn)后得將狀態(tài)方程代入上式，化簡(jiǎn)后得)()(2221xxVx222122121)(21)(xxxxVx選取選取Ly

11、apunov函數(shù)，顯然是正定的，即滿足函數(shù)，顯然是正定的，即滿足00)(00)(xxxxVV可見，可見， 是負(fù)定的，即滿足是負(fù)定的，即滿足)(xV00)(00)(xxxxVV因此，因此， 是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。 0ex當(dāng)當(dāng) ，有，有 ，故系統(tǒng)，故系統(tǒng) 是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。0exx)(xV李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法定理定理4-24-2 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx )(xV)(xVx0ex0)(xV0ex)(xV)(xV在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：數(shù)，并

12、且滿足：1） 為正定；為正定； 2） 為半負(fù)定；為半負(fù)定；3）除了）除了 平衡狀態(tài)外，平衡狀態(tài)外，還有還有 的點(diǎn)，但是不會(huì)在整條狀態(tài)軌線上有的點(diǎn)，但是不會(huì)在整條狀態(tài)軌線上有 則則 為一致漸近穩(wěn)定的。為一致漸近穩(wěn)定的。如果如果 ， ，則，則 是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 0ex)(xV0)(xV李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法例例 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為1222221)1 (xxxaxxx其中，其中， a 為大于零的實(shí)數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為大于零的實(shí)數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex選取選取Lyapunov函數(shù)：函數(shù)：2221)(

13、xxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足而而221122)(xxxxVx將狀態(tài)方程代入上式，化簡(jiǎn)后得將狀態(tài)方程代入上式，化簡(jiǎn)后得2222)1 (2)(xxaVx21xx 1x可見，當(dāng)可見，當(dāng) 和任意的和任意的 時(shí)，有時(shí)，有 ，而，而 和任意和任意 時(shí)，時(shí)， 。又因?yàn)?。又因?yàn)?，只要，只要 變化變化 就不為零，因此就不為零，因此在整條狀態(tài)軌線上不會(huì)有在整條狀態(tài)軌線上不會(huì)有 。02x1x0)(xV02x1x0)(xV21xx 0)(xV是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。 0ex當(dāng)當(dāng) ，有，有 ，故系統(tǒng)，故系統(tǒng) 是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的

14、。0exx)(xV李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法定理定理4-34-3 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx 0ex)(xVx0ex)(xV)(xV0ex在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：數(shù)，并且滿足：1） 為正定；為正定；2） 為半負(fù)定；為半負(fù)定； 則則 為一致穩(wěn)定的。為一致穩(wěn)定的。如果如果 ， ，則，則 是大范圍一致穩(wěn)定的。是大范圍一致穩(wěn)定的。 )(xV李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法)(xV因?yàn)橐驗(yàn)?0則系統(tǒng)可能存在閉合曲線（極限環(huán)），在上面恒有則系統(tǒng)可能存在閉合曲線（極限環(huán)），在上面恒有 ，則系，則系統(tǒng)可

15、能收斂到極限環(huán)，而不收斂到平衡點(diǎn)。因此統(tǒng)可能收斂到極限環(huán)，而不收斂到平衡點(diǎn)。因此 是一致穩(wěn)是一致穩(wěn)定的。定的。0)(xV0ex李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法例例 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為1221xxkxx其中，其中， k 為大于零的實(shí)數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。為大于零的實(shí)數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex選取選取Lyapunov函數(shù)：函數(shù)：2221)(kxxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足而而02222)(21212211xkxkxxxkxxxVx由定理由定理4-3可知，可知， 為為L(zhǎng)yapun

16、ov意義下一致穩(wěn)定。意義下一致穩(wěn)定。 0ex李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法定理定理4-44-4 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx 0ex)(xV)(xV0ex 在在 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：并且滿足： 1） 為正定；為正定； 2） 為正定或半正定；為正定或半正定； 則則 為不穩(wěn)定的。為不穩(wěn)定的。)(xV例例 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為21221xxxxx分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex選取選取Lyapunov函數(shù)

17、：函數(shù)：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足而而222221212211222222)(xxxxxxxxxxVx由定理由定理4-4可知，可知， 是不穩(wěn)定的。是不穩(wěn)定的。 0ex 應(yīng)該指出：到目前為止，人類還沒有找到構(gòu)造應(yīng)該指出：到目前為止，人類還沒有找到構(gòu)造Lyapunov函數(shù)函數(shù)的一般方法。因?yàn)榈囊话惴椒?。因?yàn)長(zhǎng)yapunov第二法給出的結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充第二法給出的結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。因此，對(duì)于某個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，找不到合適的分條件。因此，對(duì)于某個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，找不到合適的Lyapunov函數(shù)，函數(shù)，既不能說(shuō)系統(tǒng)穩(wěn)定，也不能說(shuō)系統(tǒng)不穩(wěn)

18、定，只能說(shuō)無(wú)法提供有關(guān)該既不能說(shuō)系統(tǒng)穩(wěn)定，也不能說(shuō)系統(tǒng)不穩(wěn)定，只能說(shuō)無(wú)法提供有關(guān)該系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息。系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息。線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)，其相應(yīng)的齊次狀態(tài)方程為對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)，其相應(yīng)的齊次狀態(tài)方程為xAx)(t由第由第2章介紹的方法求出其解為章介紹的方法求出其解為由此可判別齊次以及非齊次系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如果收斂則都穩(wěn)定；由此可判別齊次以及非齊次系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如果收斂則都穩(wěn)定；如果發(fā)散，則都不穩(wěn)定。如果發(fā)散，則都不穩(wěn)定。)(),()(00ttttxx 首先介紹矩陣正定性的定義：對(duì)于方陣首先介紹矩陣正定性的定義：對(duì)于方陣nnnnnnqqqqqqqqq2122221

19、11211Q當(dāng)它的所有主子式均大于零時(shí)，則當(dāng)它的所有主子式均大于零時(shí)，則Q是正定是正定的。即：的。即：011q022211211qqqq,0212222111211nnnnnnqqqqqqqqq對(duì)線性定常系統(tǒng)對(duì)線性定常系統(tǒng) ，可以用，可以用Lyapunov第二法。第二法。xAx)(t線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 如果方陣如果方陣Q 是正定的，則是正定的，則Q 就是負(fù)定的。負(fù)定的矩陣主子式就是負(fù)定的。負(fù)定的矩陣主子式負(fù)正相間。負(fù)正相間。Lyapunov函數(shù)函數(shù) 為狀態(tài)變量為狀態(tài)變量 的二次型函數(shù)，即的二次型函數(shù)，即)(xVxPxxxTV)(如果如果P 為為 維正定的對(duì)稱常數(shù)矩陣，則維

20、正定的對(duì)稱常數(shù)矩陣，則 為正定的。為正定的。nn)(xVxPAPAxPxxx)()(dd)(TTTtV令令 ，其中，其中Q 為正定實(shí)數(shù)矩陣，且滿足為正定實(shí)數(shù)矩陣，且滿足 QxxxTV)(QPAPAT如果給定如果給定Q陣，能夠推出陣，能夠推出P 為正定的，則系統(tǒng)在為正定的，則系統(tǒng)在 為穩(wěn)定的。并為穩(wěn)定的。并且線性定常系統(tǒng)為穩(wěn)定，就一定是大范圍一致漸近穩(wěn)定。且線性定常系統(tǒng)為穩(wěn)定，就一定是大范圍一致漸近穩(wěn)定。0ex線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性例例 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為xx1110-判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0e

21、x為簡(jiǎn)單起見，可以令為簡(jiǎn)單起見，可以令Q 陣為單位矩陣陣為單位矩陣I。IPAPAT1001111011102221121122211211PPPPPPPP解得解得121212322211211PPPP022211211PPPP011P有有可見，可見， P 為正定的矩陣，故為正定的矩陣，故 為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。0ex線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為)() 1(kkGxx（8）0ex系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為0ex假設(shè)假設(shè)G 為為 維非奇異常數(shù)陣，維非奇異常數(shù)陣， 是唯一的平衡狀態(tài)。是唯一的平

22、衡狀態(tài)。nn選取選取Lyapunov函數(shù)函數(shù))()()(kkkVTPxxx（9）式中，式中，P 為為 正定的對(duì)稱常數(shù)，因此正定的對(duì)稱常數(shù)，因此 是正定的。是正定的。 nn)(kV x)(kV x的差分為的差分為)()()()() 1() 1()()1()(kkkkkkkVkVkVTTTTxP-PGGxPxxPxxxxx若要在若要在 處漸近穩(wěn)定，要求處漸近穩(wěn)定，要求 為負(fù)定的。所以為負(fù)定的。所以0ex)(kV x)()()(kkkVTQxxx其中其中Q 為正定。為正定。給定一個(gè)正定對(duì)稱常數(shù)陣給定一個(gè)正定對(duì)稱常數(shù)陣Q ，求，求P 陣，并驗(yàn)證其正定性。陣，并驗(yàn)證其正定性。QP-PGGT（10）線性定

23、常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性例例 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判別其穩(wěn)定性。線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判別其穩(wěn)定性。)(02110) 1(kkxx解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex為簡(jiǎn)單起見，可以令為簡(jiǎn)單起見，可以令Q 陣為單位矩陣陣為單位矩陣I。IPPGGT解得解得100102110012102221121122211211PPPPPPPP380035P035P 的各階主子式均大于零，即的各階主子式均大于零，即0380035可見，可見， P 為正定的矩陣，故為正定的矩陣，故 為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。0ex有界輸入有界輸入-有界輸

24、出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定1 有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable定義：對(duì)于初始松弛系統(tǒng)，任何有界輸入，其輸出也是有界的，稱定義：對(duì)于初始松弛系統(tǒng)，任何有界輸入，其輸出也是有界的，稱為為BIBO系統(tǒng)。系統(tǒng)。如果輸入如果輸入 有界，是指有界，是指 uu1K如果輸入如果輸入 有界，是指有界，是指 yy2Ktttd)()(0uHytKtttttd)()(d)()(001uHuH如果如果tttd)(0H3K于是于是y31KK312KKK 可以取可以取有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定定理定理 由方程由方程 描述的

25、線性定常系統(tǒng)。描述的線性定常系統(tǒng)。CxyBuAxx為初始松弛系統(tǒng)。其輸出向量的解為為初始松弛系統(tǒng)。其輸出向量的解為ttttd)()()(0uHy（11）BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個(gè)常數(shù)穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個(gè)常數(shù)K3，有，有td)(0H3K或者對(duì)于或者對(duì)于 的每一元素，都有的每一元素，都有)(t Hhijd)(03K有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定其中，其中，a 為一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù)，而系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為為一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù)，而系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為例例 線性定常系統(tǒng)方程為線性定常系統(tǒng)方程為uaxxcxy atcthe)(分析系統(tǒng)是否分析系統(tǒng)是否BIBO穩(wěn)定。穩(wěn)定。解解001dd

26、)(00aaacecha可見，只有當(dāng)可見，只有當(dāng) 時(shí)，才有有限值時(shí)，才有有限值 存在，系統(tǒng)才是存在，系統(tǒng)才是BIBO穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。3K0a有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定2 BIBO穩(wěn)定與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關(guān)系穩(wěn)定與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關(guān)系對(duì)于線性定常系統(tǒng)對(duì)于線性定常系統(tǒng)CxyBuAxx（12）平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 的漸近穩(wěn)定性由的漸近穩(wěn)定性由A 的特征值決定。而的特征值決定。而BIBO的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性是由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定的。是由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定的。0ex0ex0ex)(sG 的所有極點(diǎn)都是的所有極點(diǎn)都是A 的特征值，但的特征值，但 A 的特征值并不一定都是的特征值并不一定都是

27、的極點(diǎn)。可能存在零極點(diǎn)對(duì)消。所以，的極點(diǎn)?？赡艽嬖诹銟O點(diǎn)對(duì)消。所以， 處的漸近穩(wěn)定就包含處的漸近穩(wěn)定就包含了了BIBO穩(wěn)定，而穩(wěn)定，而BIBO穩(wěn)定卻可能不是穩(wěn)定卻可能不是 處的漸近穩(wěn)定。處的漸近穩(wěn)定。)(sG那么在什么條件下，那么在什么條件下，BIBO穩(wěn)定才有平衡狀態(tài)穩(wěn)定才有平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定呢？漸近穩(wěn)定呢？結(jié)論是：如果（結(jié)論是：如果（12）式所描述的線性定常系統(tǒng)是）式所描述的線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定，且系穩(wěn)定，且系統(tǒng)是既能控又能觀測(cè)的，則系統(tǒng)在統(tǒng)是既能控又能觀測(cè)的，則系統(tǒng)在 處是漸近穩(wěn)定的。處是漸近穩(wěn)定的。0ex0ex非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1 用用Lyapunov第二

28、法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性第二法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性到目前為止，尚沒有構(gòu)造到目前為止，尚沒有構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一般性方法。往往函數(shù)的一般性方法。往往都是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，用試湊法。都是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，用試湊法?？死鞣蛩够死鞣蛩够ǎ?2）非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為00)()(fxfx 其中其中 和和 均為均為n維向量。維向量。 為非線性多為非線性多元函數(shù)，對(duì)各元函數(shù)，對(duì)各 都具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。都具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。x)(xf),()(21niixxxffxix), 2 , 1(ni非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析構(gòu)造構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下函數(shù)如下)()(

29、)(xWfxfxWxxTTV（13）其中其中 W 為為 正定對(duì)稱常數(shù)矩陣正定對(duì)稱常數(shù)矩陣nn)()()()()(xfWxfxWfxfxTTV（14）而而)()(ddd)(d)(xfxJxxfxxfxfxftt（15）nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111)()(xxfxJ其中其中稱為雅可比矩陣稱為雅可比矩陣（16）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析)()()()()()()()()()()()()()(xfxSxfxfxWJWxJxfxfxWJxfxWfxfxJxTTTTTV其中其中)()()(xWJWxJxST（17）0ex)(xV如果如果 是負(fù)定

30、的，則是負(fù)定的，則 是負(fù)定的。而是負(fù)定的。而 是正定的，故是正定的，故 是一致漸近穩(wěn)定的。如果是一致漸近穩(wěn)定的。如果 ， ，則，則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為簡(jiǎn)便，通常取是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為簡(jiǎn)便，通常取 ，這時(shí)，這時(shí))(xS)(xV0exx)(xVIW )()()(xJxJxST非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析例例 非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為3221211xxxxxx試分析試分析 的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。0ex解解3221211)(xxxxxxxf雅可比矩陣雅可比矩陣222212211131101)()(xxfxfxfxfxxfxJ選擇選擇 W=I 則則222222621123110131011)()()(xxxTxJxJxS非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系