轉子動力學求解轉子臨界轉速與固有頻率

1、 旋轉機械在當今機械行業(yè)有著非常廣泛的應用，如水輪機、汽輪機、加工車床和機械傳動軸系等。轉子是旋轉機械的主要部件。旋轉軸系轉子存在自身固有頻率，當轉子旋轉頻率接近或等于其固有頻率時，旋轉系統(tǒng)會發(fā)生劇烈振動，這時的轉速稱為臨界轉速。臨界轉速的求解是轉子動力學中非常重要的研究課題。 目前對臨界轉速的計算方法主要有： 傳遞矩陣法先把轉子分成若干段，每段左、右端四個截面參數(shù)（撓度、撓角、彎矩和剪力）之間的關系可用該段的傳遞矩陣描述。如此遞推，可得系統(tǒng)左右兩端面的截面參數(shù)間的總傳遞矩陣，再由邊界條件和固有振動時有非零解的條件，藉試湊法得出各階臨界轉速，并隨后求得相應的振型。 有限元法將連續(xù)系統(tǒng)分割成適當

2、大小的單元，單元內(nèi)的位移等狀態(tài)量用以節(jié)點的相應狀態(tài)量為未知數(shù)的一系列函數(shù)表示，使系統(tǒng)的能量之差即動能、勢能之差為最小來調(diào)整節(jié)點的狀態(tài)，從而得到相應的矩陣方程。 選取一篇碩士論文高速列車傳動齒輪箱齒輪轉子動力學特性研究中傳動齒輪箱中低速軸進行研究。 實際的轉子是一個質(zhì)量連續(xù)分布的彈性系統(tǒng)，具有無窮多個自由度。在轉子動力學中經(jīng)常把轉子簡化為具有若干個集總質(zhì)量的多自由度系統(tǒng)。即沿軸線把轉子質(zhì)量及轉動慣量集總到若干個節(jié)點上，這些節(jié)點一般選在葉輪、軸頸中心、聯(lián)軸器、軸的截面有突變處以及軸的端部等位置，并按順序編號。 將轉子質(zhì)量及轉動慣量集總到28個節(jié)點之后，模型可以簡化為 把低速軸分成27段之后，可以計

3、算出每段等截面軸的長度、質(zhì)量、極轉動慣量和直徑轉動慣量。各段參數(shù)列表如下： 假設兩個相鄰節(jié)點之間的軸段是第j個軸段，這個軸段是由s個截面尺寸不同的等截面軸段組成的。 將各個變截面軸段所具有的質(zhì)量和轉動慣量都集總到左右的兩個端點位置，形成集總的剛性剛性波圓盤。 對于簡化后的節(jié)點j,它具有的直徑轉動慣量 ，極轉動慣量 以及總質(zhì)量 的計算方法分別如下： 其中，djJpjJjm(d)1(d)1(d)1RLdjdjdjdjRLPjpjpjpjRLjjjjJJJJJJJJmmmm1sRkjkjlaml11ssjLRkjjkkkjl lamlml2221sRkPjpk kkkkkaJj lala2221sk

4、kLPjpk kkkkklaJj lala23221112sRkdjdjkkkkkaJj llla laala23221112skkLdjdjkkkkklaJj llla laala 低速軸集總后的參數(shù)列表為： 對于轉子中的第i個軸段，其左右兩端截面的編號分別為i與i+1，則截面i的撓度 ，斜率 ，彎矩 及剪力 所組成的列陣，稱為該截面的狀態(tài)向量 。即： 任一部件兩端截面的狀態(tài)向量總存在一定的關系，即： 即稱為該部件的傳遞矩陣。對于質(zhì)量模型，有iXiAiMiQ iz X,A,TiizM Q 1iiizTz iT 211zTz 321221zTzTTz 111121iiiiizTzTTTz 傳遞

5、矩陣法是將集總了轉動慣量和質(zhì)量的剛性薄圓盤和沒有質(zhì)量的等截面彈性軸結合起來，作為一個組合構件來考慮，組合構件的傳遞矩陣為： 其中 為第j個節(jié)點處的支撐總剛度，E為彈性模量，I為軸段的截面矩，l為軸段長度， 為考慮剪切影響的系數(shù)。322322222222211162261221001sjpdsjpdisjpdsjllllmKlJJEIEIEIEIllllmKJJTEIEIEIEIl mKJJlmK 26tEIk GAl 傳統(tǒng)傳遞矩陣法： 轉子系統(tǒng)右端終止截面狀態(tài)向量 與左端開始截面狀態(tài)矢量 之間的關系為： 假設轉子模型左右端面都是自由端，則其邊界條件為 ，于是該式存在非零解的條件為這是傳統(tǒng)傳遞矩

6、陣法的系統(tǒng)的頻率方程，也就是求解臨界轉速的方程式。1NZ1Z11111NNNNZT TTZA Z110,0,0,0NNMQMQ123411NNaaMXaaQA122340Naaaa RiccatiRiccati傳遞矩陣法傳遞矩陣法 在計算過程中引入了一個Riccati變換，可以將一開始求解微分方程兩個邊界條件的問題轉變?yōu)橐粋€初始值的問題，這種轉變一方面保留了傳動傳遞矩陣法求解過程中所具有的優(yōu)點，另一方面直接提高了傳遞矩陣方法計算過程中數(shù)值的穩(wěn)定性。 把狀態(tài)矢量Z進行分組，具有0值的元素為一組,用矢量f表示，非0值為另一組，表示為矢量e，于是狀態(tài)向量簡化成為 ，左右端面都是自由端時，彎矩和剪力為

7、0，而 徑向位移和撓角不為0，于是有iifZe TiifMQTiieXA于是得到展開可以得到其中，111221221iiifuufeuue 1111212122iiii iiiii ifufu eeufue11101iilu221220sjpdisjil mKJJumK 232121262iillEIEIullEIEI322222222116212sjpdisjpdillmKlJJEIEIullmKJJEIEI引入Riccati變換， ，得到，可知，對于右端截面N+1則有由初始邊界條件可知，存在非零解的條件為這就是Riccati傳遞矩陣法進行求解臨界轉速時的系統(tǒng)頻率方程式。ii ifS e121221iiieu Sue 1111122122iiiifu Suu Sue 1111122122iiiSu Suu Su111NNNfSe11110,0,0,0NNfefe10NS支承剛度計算：根據(jù)高等轉子動力學中計算第j個支承的總剛度為其中K為油膜剛度， 為轉子的渦動角速度， 是軸承座的參振剛度， 是軸承座的