組合與組合數(shù)公式2

1、組合與組合數(shù)公式（二）98100210242322)2(1CCCCC）（計(jì)算：!) 1()2)(1( mmnnnnPPCmmmnmn! )( ! mnmnCmn一、組合的定義二、組合數(shù)公式復(fù)習(xí)例.11CmnmCmnmn:求證,! :）（！證明mnmnCmn)!1()!1(! 111mnmnmnmmnmCmn)!1)(! )!1(1mnmnnmm.! )( !Cmnmnmn 寫(xiě)出從 a , b , c , d 四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有組合。aabc ， abd ， acd ， bcd .bcddbccdabc abd acd bcd d c b a434C414C34434 CC 從從4個(gè)不

2、同元素中每次取出個(gè)不同元素中每次取出3個(gè)的一個(gè)組合，個(gè)的一個(gè)組合，和剩下的（和剩下的（4-3）個(gè)元素的組合是一一對(duì)應(yīng)的。）個(gè)元素的組合是一一對(duì)應(yīng)的。推廣推廣: 從從 n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的每個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的一個(gè)組合，與剩下的n-m個(gè)元素的每一個(gè)個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對(duì)應(yīng)，所以從組合一一對(duì)應(yīng)，所以從 n個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取出出 m個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這n 個(gè)元素個(gè)元素中取出中取出n-m 個(gè)元素的組合數(shù)，即個(gè)元素的組合數(shù)，即 ccmnnmn組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì).1CCmnnmn : 定理,! :）（！證明mnmnCmn! ! )(

3、）（！mnnmnnCmnn! )( ! mnmn！.CCmnnmn 3、性質(zhì)1的應(yīng)用(1)當(dāng)m 時(shí)，利用這個(gè)公式，可使 的計(jì)算簡(jiǎn)化2ncmn如：如：3621892979979ccc49502199100210098100cc（2）當(dāng)）當(dāng)m=n時(shí)時(shí), 有有 所以規(guī)定所以規(guī)定10ccnnn10cn1、（課本、（課本101例例4）一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的）一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和個(gè)白球和1個(gè)黑球個(gè)黑球 從口袋內(nèi)取出從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？個(gè)球，共有多少種取法？ 從口袋內(nèi)取出從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有個(gè)球，使其中含有1 1個(gè)黑球，個(gè)黑球，有多少種取法？有多少種取法？ 從口袋內(nèi)

4、取出從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？多少種取法？5638C 2127C 3537C解：解：（1） 性質(zhì)性質(zhì)2 我們可以這樣解釋?zhuān)何覀兛梢赃@樣解釋?zhuān)簭目诖鼉?nèi)的從口袋內(nèi)的8個(gè)球中所取出的個(gè)球中所取出的3個(gè)球，可以分為個(gè)球，可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)兩類(lèi)：一類(lèi)含有含有1個(gè)個(gè)黑球，一類(lèi)不含黑球，一類(lèi)不含有黑球因此根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，有黑球因此根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，上述等式成立上述等式成立 我們發(fā)現(xiàn)：我們發(fā)現(xiàn)：38C27C37C為什么呢為什么呢到一個(gè)怎樣的公式？）從上面的結(jié)果可以得（的？個(gè)是不含有）在這些組合里有多少（的？個(gè)是含有）在這些組合里有多少（組合？）可以有多少個(gè)不同

5、的（個(gè)元素。每次取出個(gè)不同元素中，這從43211,111321aamnaaaan推廣推廣:從從 這這n+1個(gè)不同個(gè)不同的元素中，取出的元素中，取出m個(gè)元素的組合數(shù)個(gè)元素的組合數(shù) ，這些組合，這些組合可以分成兩類(lèi)：一類(lèi)含可以分成兩類(lèi)：一類(lèi)含 ，一類(lèi)不含，一類(lèi)不含 。含。含 的組的組合是從合是從 這這n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m-1個(gè)個(gè)元素的組合數(shù)為元素的組合數(shù)為 ；不含；不含 的組合是從的組合是從 這這n個(gè)不同的元素中取出個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為個(gè)元素的組合數(shù)為 ，再由加法原理，得再由加法原理，得aaan121,a1a1a1aaan132,cmn1a1aaan 132,cmn

6、cmn1cccmnmnmn11性質(zhì)性質(zhì)2.211CCCmnmnmn : 定理CCmnmn1 :證明)!1()!1(!)!( !mnmnmnmn)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn!) 1(!)!1(mnmn.1Cmn 注:1 公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與原組合數(shù)上標(biāo)較大的相同的一個(gè)組合數(shù) 2 此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算在今后學(xué)習(xí)“二項(xiàng)式定理”時(shí)，我們會(huì)看到它的主要應(yīng)用cccmnmnmn11例計(jì)算：;198200)1( C;299399)2(CC .2283938)3( CCC)1990012199200(2

7、200 C16170012398991003100 C563828283838)(2CCCCC;11111)1( CCCCmnmnmnmn.21211)2( CCCCmnmnmnmn例2 求證:.111111)1(CCCCCCmnmnmnmnmnmn 證明:.)()(2121111111)2( CCCCCCCCCCmnmnmnmnmnmnmnmnmnmn 計(jì)算：計(jì)算：69584737CCCC 求證：求證：nmC2nmC+12nmC+2nmC 解方程：解方程：3213113xxCC 解方程：解方程：333222101xxxxxACC 計(jì)算：計(jì)算：554535251505CCCCCC 推廣：推廣：

8、nnnnnnnnCCCCC21210 練習(xí):例3平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn)，任何3點(diǎn)不在同一直線上,以每3點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)三角形,一共可畫(huà)多少個(gè)三角形?220123101112312 C答:一共可畫(huà)220個(gè)三角形.思考交流1. 從9名學(xué)生中選出3人做值日,有多少種不同的選法?2. 有5 本不同的書(shū),某人要從中借2本,有多少種不同的借法?)84123789(39 C)101245(25 C例4有13個(gè)隊(duì)參加籃球賽,比賽時(shí)先分成兩組,第一組7個(gè)隊(duì),第二組6個(gè)隊(duì).各組都進(jìn)行單循環(huán)賽(即每隊(duì)都要與本組其它各隊(duì)比賽一場(chǎng)),然后由各組的前兩名共4個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽決出冠軍、亞軍,共需要比賽多少場(chǎng)?)4261521242627(CCC 例5 在產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí),